Zespoloną przestrzeń liniową możemy traktować jako rzeczywistą przestrzeń liniową wymiaru (ograniczając mnożenie do skalarów rzeczywistych). , więc również . składa sie z wektorów o wszystkich współrzędnych rzeczywistych. jest podprzestrzenią liniową traktowanej jako rzeczywista przestrzeń liniowa, nie jest jednak zespoloną podprzestrzenią (gdyż np. , lecz ).
Rozważmy wektor
Rozważmy liczbę zespoloną
. Wówczas w
przestrzeni zespolonej
mamy
Przypomnijmy, że podobnie jak w przypadku rzeczywistych przestrzeni liniowych, z każdą macierzą wymiaru o wyrazach zespolonych związane jest przekształcenie liniowe dane wzorem . W zespolonej algebrze liniowej definiujemy również pojęcia wartości własnej i wektora własnego, jak również wielomianu charakterystycznego macierzy i przekształcenia liniowego. Będziemy korzystać z następującej uwagi.
W klasyfikacji izometrii liniowych będziemy używać pojęcia podprzestrzeni -niezmienniczej (definicja 8.10), jak również następującego lematu.
Rozważmy zespolone przekształcenie liniowe o macierzy . Zauważmy, że dla wektorów , .
Na mocy uwagi 12.1, macierz , a więc również przekształcenie liniowe , mają zespoloną wartość własną . Zatem istnieje niezerowy wektor taki, że .
Niech
i
. Mamy więc
Wracamy teraz do rzeczywistej przestrzeni liniowej . Niech . oraz generują , więc jest -niezmiennicza. Oczywiście . Wektor własny jest niezerowy, więc przynajmniej jeden z wektorów jest niezerowy. Dlatego .
Załóżmy teraz, że jest przestrzenią euklidesową skończonego wymiaru, zaś jest izometrią liniową.
Załóżmy, że , to znaczy dla wszystkich . Pokażemy, że , to znaczy dla wszystkich .
Niech . Na mocy znajdujemy takie, że
. jest izometrią, więc
Zajmiemy się teraz opisem izometrii liniowych przestrzeni w przypadkach, gdy lub .
W pierwszych 2 przypadkach baza spełnia nasze żądania. W przypadku trzecim musimy ją nieco zmodyfikować. Wybierzmy na płaszczyźnie bazę ortonormalną tak, że . Niech . Wówczas w bazie ortonormalnej ma macierz postaci (a).
Następne twierdzenie podaje klasyfikację izometrii liniowych przestrzeni euklidesowej .
Na mocy lematu 12.2 znajdujemy podprzestrzeń -niezmienniczą wymiaru lub . Na mocy lematu 12.3, podprzestrzeń jest również -niezmiennicza i (uwaga 11.3). Dlatego i możemy skorzystać z założenia indukcyjnego dla przestrzeni euklidesowych i (z iloczynem skalarnym indukowanym z przestrzeni ).
Rozważmy mianowicie funkcje i . Z uwagi na -niezmienniczość przestrzeni i , funkcje i są izometriami liniowymi przestrzeni i odpowiednio.
Na mocy założenia indukcyjnego istnieją bazy ortonormalne
(przestrzeni ) i (przestrzeni ) takie, że w
bazach tych przekształcenia i mają macierze postaci
. Niech
. Wówczas jest bazą ortonormalną
przestrzeni oraz w bazie tej przekształcenie ma macierz
Wiemy już więc, że macierz jest postaci z klatkami na głównej przekątnej. By udowodnić drugą część twierdzenia, oznaczmy przez macierz powstałą z macierzy przez zastąpienie wszystkich klatek jedynkami, z wyjątkiem klatki .
Każda z macierzy jest macierzą w bazie przekształcenia , które jest odbiciem względem pewnej hiperpłaszczyzny, obrotem wokół w pewnej płaszczyźnie lub identycznością. Oczywiście . Dlatego , co kończy dowód twierdzenia.
Rozważa się również izometrie przestrzeni , które nie są liniowe.
Przykładem izometrii, która nie jest liniowa, jest translacja o niezerowy wektor . Następujący wniosek daje nam klasyfikację wszystkich izometrii przestrzeni .
2) Niech oraz
. Wtedy jest izometrią
(jako złożenie izometrii) i
Można również badać izometrie liniowe przestrzeni unitarnych skończonego wymiaru. Okazuje się, że klasyfikacja takich izometrii jest dużo prostsza niż w przypadku przestrzeni euklidesowych. Wynika to stąd, że każdy endomorfizm liniowy zespolonej przestrzeni liniowej ma wektor własny, czyli podprzestrzeń niezmienniczą wymiaru . W przypadku zespolonym wartość własna macierzy ortogonalnej jest liczbą zespoloną o module . Dlatego dowolna izometria liniowa przestrzeni unitarnej skończonego wymiaru ma w pewnej bazie ortonormalnej macierz diagonalną, gdzie na przekątnej występują liczby zespolone o module .