W tym rozdziale udowodnimy, że każda macierz symetryczna o wyrazach rzeczywistych jest diagonalizowalna. Następnie użyjemy tego faktu do opisu funkcjonałów kwadratowych na przestrzeni liniowej skończonego wymiaru.
Zakładamy tu, że jest przestrzenią euklidesową wymiaru oraz jest bazą ortonormalną . By udowodnić, że każda macierz symetryczna jest diagonalizowalna, wygodnie jest wprowadzić pojęcie symetrycznego przekształcenia liniowego .
, gdzie
(por. dyskusja po uwadze 10.8). jest symetryczne, więc
Załóżmy, że macierz jest symetryczna,
tzn. . Pokażemy, że
dla wszystkich .
Standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni możemy traktować
jako iloczyn macierzy :
. Dlatego,
korzystając z uwagi 11.2 i z tego, że , mamy
W kolejnym lemacie udowodnimy, że każda macierz symetryczna ma wartość własną. Najpierw sprawdzimy to dla macierzy wymiaru .
Jeśli , to dowolny niezerowy wektor spełnia dla pewnego . jest więc wartością własną przekształcenia i macierzy .
Załóżmy więc, że . Niech będzie obcięciem do podprzestrzeni . jest przestrzenią euklidesową (z iloczynem skalarnym indukowanym z ). Skoro jest symetryczne, to również jest symetryczne. Niech będzie bazą ortonormalną przestrzeni . Na mocy uwagi 14.2, jest symetryczna, więc z uwagi 14.3 wynika, że ma ona wartość własną, ktora jest również wartością własną , i macierzy .
Dla dowodu diagonalizowalności macierzy symetrycznych wygodniej będzie dowieść najpierw diagonalizowalności przekształceń symetrycznych.
Niech będzie wartością własną (wniosek 14.5), niech
będzie przestrzenią wektorów własnych dla
wartości własnej . Przestrzeń ma wymiar i
jest -niezmiennicza (por. komentarz do definicji 8.10).
Jeżeli , to
i ma macierz
diagonalną
w dowolnej bazie przestrzeni .
Załóżmy więc, że
Pokażemy, że jest również -niezmiennicza. Niech . Wystarczy pokazać, że , tzn.
dla wszystkich
. Dla takich
wektorów mamy
i
, więc
korzystając z symetryczności dostajemy
Rozważając przekształcenia symetryczne powstałe przez obcięcie do podprzestrzeni i , na mocy założenia indukcyjnego dostajemy bazy ortonormalne i przestrzeni i odpowiednio, złożone z wektorów własnych . Dlatego jest bazą ortonormalną przestrzeni złożoną z wektorów własnych .
Do znajdowania bazy ortonormalnej złożonej z wektorów własnych przekształcenia symetrycznego przydatna być może następująca uwaga.
Na mocy twierdzenia 8.11, przy oznaczeniach z wniosku 14.9, . Niech będzie bazą ortonormalną przestrzeni . Wówczas na mocy wniosku 14.9, jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych .
W dalszej części tego rozdziału zajmiemy się formami kwadratowymi i funkcjonałami kwadratowymi. Formą kwadratową zmiennych nazywamy dowolną sumę jednomianów stopnia , zmiennych .
Na przykład, formą kwadratową jest wielomian
Wielomian ten określa
funkcję
, zwaną funkcjonałem kwadratowym na
przestrzeni
. Zauważmy, że w tym
przykładzie
, gdzie
jest symetryczną formą 2-liniową daną wzorem
Jedną z motywacji do zajmowania się formami i funkcjonałami kwadratowymi jest chęć zrozumienia, jakie podzbiory w są opisane przez równania typu lub , gdzie jest formą kwadratową zmiennych . W przypadku przestrzeni i rozważania te prowadziły do klasyfikacji krzywych stożkowych i kwadryk. Metoda polegała tam na dobraniu pewnego nowego układu współrzędnych, w którym równanie danej krzywej czy powierzchni było proste. Podobnie zrobimy również w przypadku przestrzeni . Wygodnie jest jednak rozważać funkcjonały kwadratowe na dowolnej przestrzeni liniowej wymiaru .
Powyżej zauważyliśmy już, że formy kwadratowe związane są z formami 2-liniowymi. Ten związek sugeruje następującą definicję.
Niech będzie dowolną bazą przestrzeni i niech będzie macierzą symetrycznego funkcjonału 2-liniowego odpowiadającego funkcjonałowi kwadratowemu . Macierz jest symetryczna.
Załóżmy, że . Wtedy .
Formę kwadratową
nazywamy formą
funkcjonału w bazie , zaś macierz macierzą funkcjonału
w bazie . Na przykład macierz
Podobnie jak w przypadku diagonalizacji przekształceń liniowych dążymy zazwyczaj do znalezienia bazy, w której dany funkcjonał kwadratowy ma prostą macierz. Okazuje się, że w przypadku przestrzeni euklidesowej każdy funkcjonał kwadratowy ma macierz diagonalną w pewnej bazie ortonormalnej.
Rozważmy formę kwadratową (dla pewnej symetrycznej macierzy ) i związany z nią funkcjonał kwadratowy .
Przykład.
Znajdziemy kanoniczną postać formy kwadratowej
.
W bazie standardowej przestrzeni
forma ta ma macierz
Używając formy kanonicznej funkcjonału możemy łatwiej wyobrazić sobie hiperpowierzchnie dane równaniami i .