ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 2

1. Pokazać, że złożenie morfizmów funktorów jest morfizmem funktorów.

2. Niech Ab^{f} będzie kategorią skończonych grup abelowych. Pokazać, że Ab^{f} jest równoważna z (Ab^{f} )^{op}.

3. Pokazać, że kategorie Func(C^{op}, D) i Func(C, D^{op}) są izomorficzne.

4. Niech dla przestrzeni topologicznej X z punktem bazowym x,

Σ(X, x) = (X × [0, 1]/(X × {0, 1} ∪ {x} × [0, 1]), [(x, 0)]) Ω(X, x) = (Hom_{Top _{∗}}((S^{1}, ∗), (X, x)), pętla stała) z topologią zwarto-otwartą Pokazać, że:

(a) Σ, Ω : Top_{∗} → Top_{∗} są funktorami.

(b) Następujące (bi)funktory: (Top_{∗})^{op}×Top_{∗} ∋ ((X, x), (Y, y)) ↦ Hom_{Top _{∗}}(Σ(X, x), (Y, y)) ∈ Set (Top_{∗})^{op}×Top_{∗} ∋ ((X, x), (Y, y)) ↦ Hom_{Top _{∗}}((X, x), Ω(Y, y)) ∈ Set są izomorficzne.

5. Dla pierścienia przemiennego R i R-modułu M, pokazać, że następujące (bi)funktory są izomorficzne: (Mod _{R})^{op} × Mod _{R} ∋ (X, Y) ↦ Hom_{Mod _{R}}(M ⊗_{R} X, Y) ∈ Mod _{R} (Mod _{R})^{op}×Mod _{R} ∋ (X, Y) ↦ Hom_{Mod _{R}}(X, Hom_{Mod _{R}}(M, Y)) ∈ Mod _{R}

6. Zdefiniować F : Set → Grp , funktor grupy wolnej. Pokazać, że nastę-

pujące (bi)funktory są izomorficzne:

Set^{op} × Grp ∋ (X, G) ↦ Hom_{Grp} (F (X), G) ∈ Set

Set^{op} × Grp ∋ (X, G) ↦ Hom_{Set} (X, G) ∈ Set .