ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 7

Definicja Morfizm f : X → Y jest monomorfizmem, gdy dla każdych g, h : Z → X, fg = fh implikuje g = h. f jest epimorfizmem, gdy dla każdych g, h : Y → Z, gf = hf implikuje g = h. Monomorfizm oznaczamy przez X ↪ Y a epimorfizm przez X ↠ Y. coker(X ↪ Y) możemy rozumieć jako obiekt ilorazowy Y/X.

Przykłady

1. Dowolny izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem, ale nie na odwrót.

2. Monomorfizmy w Set to funkcje “1-1”. Epimorfizmy w Set , to funkcje “na”. Podobnie w Top .

3. Monomorfizmy w Haus (topologiczne przestrzenie Hausdorffa) to funkcje ciągłe “1-1”. Epimorfizmy w Set , to funkcje dominujące, tzn. funkcje ciągłe f : X → Y takie, że F (X) jest gęste w Y. Podobnie w Var _{K}.

Fakt Niech A będzie kategorią abelową i f : X → Y morfizmem. Wtedy:

1. f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker(f) = 0.

2. f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy coker(f) = 0.

3. f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker(f) = coker(f) = 0.

W szczególności f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy f jest epimorfizmem i monomorfizmem. Dowód

1. ⇒ Nieck k : K → X będzie jądrem f. Wtedy fk = 0. Ale też f0 = 0, czyli k = 0, bo f jest monomorfizmem. Z własności uniwersalnej jądra, id_{K} = 0, stąd (ćwiczenia) K = 0. ⇐ Załóżmy, że fg = fh. Wtedy f(g − h) = 0. Stąd g − h faktoryzuje się prze jądro, czyli g − h = 0, bo ker(f) = 0.

2. Podobnie jak dla monomorfizmów.

3. ⇒ Wynika z 1. i 2. ⇐ Rozłóżmy f jak we własności A4

0 −−⟶^{0} X −−⟶^{i} I −−⟶^{j} Y −−⟶^{0} 0,

Ale coker(0 → X) = id_{X} i ker(Y → 0) = id_{Y}. Stąd I = X, J = Y i f = j – izomorfizm.

Fakt W kategorii abelowej jądro jest monomorfizmem i kojądro epimorfizmem. W szczególności, w rozkładzie f : X → Y na f = ij, j : X → I = im(f) jest epimorfizmem i i : I → Y jest monomorfizmem. Dowód (dla jądra) Jeśli k : ker(f) → X jest jądrem f : X → Y, to dla dowolnego g : F → ker(f) takiego, że kg = 0, fkg = 0, czyli fkg faktoryzuje się przez jedyny morfizm F → ker(f). Stąd 0 = h i 0 = ker(k), czyli k jest monomorfizmem. Podobnie dla epimorfizmu.

Theorem Niech C będzie dowolną kategorią, A ∈ C. Wtedy funktor reprezentowalny h_{A} zachowuje granice odwrotne. Przechodząc do kategorii dualnej, h^{A} przenosi granice proste na odwrotne. Jeśli C jest abelowa, to h_{A} zachowuje granice jako funktor w Ab . Dowód Niech

(X, f_{i}) = \underleftarrow{lim}(X_{i}, f_{jk}).

Chcemy pokazać, że

(Hom(A, X), h_{A}(f_{i})) = \underleftarrow{lim}(Hom(A, X_{i}), h_{A}(f_{jk})).

Weźmy dowolnego “kandydata” (Y, g_{i}), gdzie g_{i} : Y → Hom(A, X_{i}) są odpowiednio przemienne z h_{A}(f_{jk}). Dla dowolnego y ∈ Y, mamy

f_{jk} ∘ g_{j}(y) = h_{A}(f_{jk})(g_{j}(y)) = g_{k}(y).

Stąd (A, g_{i}(y)) jest “kandydatem” na \underleftarrow{lim}(X_{i}, f_{jk}), czyli istnieje jedyna funkcja g(y) : A → X odpowiednio przemienna z g_{i}(y). Stąd g : Y → Hom(A, X) jest jedyną funkcją odpowiednio przemienną z h_{A}(g_{i}). Dla kategorii abelowych, jeśli g_{i} są homomorfizmami, to dla każdych y, y′∈ Y, g(y) + g(y′) i g(y + y′) są jedyne, czyli są sobie równe i g jest homomorfizmem.

Przykład Funktor n-tej grupy podstawowej zachowuje produkty.

Definicja (kompleksu i kohomologii)

1. Kompleks (kołańcuchów), w abelowej kategorii A, to dowolny nieskończony ciąg obiektów i morfizmów (zwanych różniczkami)

X^{∗} : … −−⟶^{d^{n−1}} X^{n} −−⟶^{d^{n}} X^{n+1} −−⟶^{d^{n+1}} …

taki, że dla każdego n, d^{n+1} d^{n} = 0. Warunek d^{n+1} d^{n} = 0 w kategorii Mod _{R} znaczy, że im(d^{n}) ⊆ ker(d^{n+1} ). Podobnie możemy rozumieć ten warunek w dowolnej kategorii abelowej: d^{n+1} d^{n} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy d_{n} faktoryzuje się przez α_{n} : X^{n} → ker(d^{n+1} ) wtedy i tylko wtedy, gdy X^{n} → im(d^{n}) faktoryzuje się przez monomorfizm im(d^{n}) → ker(d^{n+1} ).

2. Dla kompleksu X^{∗} definiujemy H^{n}(X^{∗}) (n-te kohomologie X^{∗}) jako coker(α_{n−1} ). Równoważnie

H^{n}(X^{∗}) = coker(im(d^{n−1} ) ↪ ker(d^{n})),

czyli H^{n}(X^{∗}) możemy rozumieć jako \frac{ker(d^{n})}{im(d^{n−1} )}. Równoważnie (ćwiczenia) H^{n}(X^{∗}) = ker(β_{n}), gdzie β_{n} jest faktoryzacją d^{n} przez coker(d^{n−1} ) (istnienie takiej faktoryzacji jest równoważne warunkowi d^{n}d^{n−1} = 0).

3. Kompleks X^{∗} nazywamy acyklicznym w obiekcie X^{n}, gdy H^{n}(X^{∗}) = 0. Kompleks acykliczny w każdym obiekcie nazywamy ciągiem dokładnym. Ciąg dokładny postaci

0 → A → B → C → 0

nazywamy krótkim ciągiem dokładnym (rozumiany jaki kompleks poprzez uzupełnienie obiektami zerowymi). Przykład Dla sumy prostej A ⊕ B,

0 −−⟶ A −−⟶^{i_{1}} A ⊕ B −−⟶^{b_{2}} B −−⟶ 0,

jest krótkim ciągiem dokładnym.

4. Dostajemy kategorię kompleksów kołańcuchów Kom(A).

Morfizmy, to morfizmy odpowiadających sobie obiektów zachowujące różniczkowania d^{n}. Jądro, kojądro, sumę prostą definiuje się “obiekt po obiekcie” i Kom(A) jest abelowa. Mówimy, że krótki ciąg dokładny się rozsczczepia, gdy jest izomorficzny z krótkim ciągiem dokładnym pochodzącym od sumy prostej.

Definicja Ustalmy funktor F : A → B pomiędzy kategoriami abelowymi.

1. F jest addytywny, gdy indukuje homomorfizmy na grupach morfizmów. Funktor addytywny przenosi kompleksy na kompleksy.

2. Funktor addytywny nazywamy dokładnym, gdy przenosi ciągi dokładne na ciągi dokładne.

3. F (addytywny) nazywamy prawodokładnym, gdy przenosi ciąg dokładny 0 → A → B → C → 0, na ciąg 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0, który jest acykliczny w F (B) i F (C).

4. F nazywamy lewodokładnym, gdy przenosi ciąg dokładny 0 → A → B → C → 0, na 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0, który jest acykliczny w F (B) i F (C).

Fakt

Ciąg 0 −−⟶ X −−⟶^{f} Y −−⟶^{g} Z −−⟶ 0 jest

1. acykliczny w X i Y wtedy i tylko wtedy, gdy f = ker(g).

2. acykliczny w Y i Z wtedy i tylko wtedy, gdy g = coker(f).

Dowód

1. Ciąg jest acykliczny w X wtedy i tylko wtedy, gdy

coker(0 → ker(f)) = 0.

Ale

coker(0 → ker(f)) = id_{ker(f)} ,

stąd acykliczność w X jest równoważna ker(f) = 0. Ciąg jest acykliczny w Y wtedy i tylko wtedy, gdy

coker(X → ker(g)) = 0.

Wiemy, że acykliczność w X jest równoważna temu, że ker(f) = 0, co z kolei jest równoważne ker(X → ker(g)) = 0. Czyli X → ker(g) jest izomorfizmem stąd f = ker(g) (jądro jest określone z dokładnością do izomorfizmu!).

2. Tak samo jak dla 1., używając definicji H^{n}(X^{∗}) jako ker(β_{n}).

Fakt Niech F : A → B będzie funktorem pomiędzy kategoriami abelowymi. Oto niektóre z własności, które może mieć F.

1. F jest prawo-dołączony (odp. lewo-dołączony).

2. F zachowuje granice odwrotne (odp. granice proste).

3. F zachowuje jądra (odp. kojądra).

4. F jest lewodokładny (odp. prawodokładny).

5. F zachowuje monomorfizmy (odp. epimorfizmy).

Wtedy 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 5.. Dowód oczywisty (3. ⇒ 4. wynika z poprzedniego faktu).

Motywująca uwaga Interesuje nas znajdowanie wartości funktorów na F na obiektach, F (X). Jeśli F jest dokładny i umiemy wpisać X w ciąg dokładny

0 → A → X → B → 0

dla prostszych obiektów A, B, to znajomość F (A) i F (B) coś nam mówi o F (C). Jeśli F nie jest dokładny, to dzięki algebrze homologicznej zmierzymy “jak daleko” znajduje się F (X) od F (A) i F (B).