ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 9

Twierdzenie 2 (część) Jeśli F jest prawodokładny, to L_{0}F = F. Jeśli F jest lewodokładny, to R^{0}F = F. Dowód (dla prawodokładnych) Mamy rezolwentę projektywną X,

⋯→ P_{1} → P_{0} → X → 0.

Wtedy

X = coker(P_{1} → P_{0}), L_{0}F (X) = coker(F (P_{1}) → F (P_{0})).

Ale F jest prawodokładny, stąd F zachowuje kojądra. Czyli

L_{0}(F)(X) = coker(F (P_{1}) → F (P_{0})) = F (coker(P_{1} → P_{0})) = F (X).

Grupy Ext i rozszerzenia

Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z 1) i M, N ∈ Mod _{R}. Rozszerzenie N przez M jest to ciąg dokładny postaci

E : 0 → N → X → M → 0.

Rozszerzenia E jest równoważne E′,

E′: 0 → N → X′→ M → 0,

(ozn. E ≡ E′), gdy istnieje homomorfizm f : X → X′ taki, że następujący diagram jest przemienny

0 −−⟶ N −−⟶ X −−⟶ M −−⟶ 0
↓  ^{id}_{N} ↓  ^{f} ↓  ↓^{id}_{M}  ↓
0 −−⟶ N −−⟶ X′ −−⟶ M −−⟶ 0

(f musi być izomorfizmem z lematu o 5 (zadanie)). Jasne jest, że ≡ jest relacją równoważności. Zauważmy, że jeśli ciąg dokładny

E : 0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{j} M −−⟶ 0

rozszczepia się poprzez g : M → X, to E jest równoważny ciągowi dokładnemu sumy prostej poprzez

f : N ⊕ M → X, f(n, m) = i(n) + g(m).

Niech E_{1}(M, N) oznacza zbiór wszystkich rozszerzeń N przez M wydzielony przez relację ≡.

Twierdzenie (dowód później) E_{1}(M, N) jest w bijekcji z Ext_{R}^{1}(M, N).

Uwaga Może się zdarzyć, że X ≅ X′, ale E nie jest równoważny E′. Żeby zauważyć powyższe policzymy Ext_{ℤ}^{1}(ℤ/n, ℤ/m) (dla R–pierścienia i a ∈ R, R/a oznacza R/aR). Jeszcze ogólniej, weźmy pierścień R, a ∈ R (zakładamy, że a nie jest dzielnikiem 0) i R-moduł M. Wtedy mamy projektywną rezolwentę R/a

0 −−⟶ R −−⟶^{·a} R −−⟶ R/a −−⟶ 0 .

Obliczymy Ext^{n}(R/a, M) licząc kohomologie kompleksu

0 −−⟶ Hom_{R}(R, M) −−−−→^{h^{M} (·a)} Hom_{R}(R, M) −−⟶ 0 .

Następujący diagram jest przemienny

0 −−⟶ Hom_{R}(R, M) −−−−→^{h^{M} (·a)} Hom_{R}(R, M) −−⟶ 0
↓  ^{f} ↓  ^{f} ↓  ↓
0 −−⟶  M  −−⟶^{·a}  M  −−⟶ 0 ,

gdzie f(ϕ) = ϕ(1). Stąd

Ext^{n}(R/aR, M) = \{ \begin{matrix}M/aM & jeśli n = 1 \\ 0 & jeśli n > 1. \end{matrix}

Czyli dla n, m ∈ ℕ mamy

Ext^{1}(ℤ/n, ℤ/m) = \frac{ℤ/m}{n(ℤ/m)} ≅ ℤ/(n, m).

W szczególności Ext^{1}(ℤ/n, ℤ/n) = ℤ/n. Ale np. dla n = 3 są tylko (z dokładnością do izomorfizmu) dwie abelowe grupy rzędu 9 (ℤ/9 i ℤ/3 ⊕ ℤ/3), ale istnieją 3 nierównoważne rozszerzenia ℤ/3 przez ℤ/3.

Można pokazać, że dla R–noetherowskiego i X-skończenie generowanego, X ≅ M ⊕ N implikuje, że rozszerzenie jest rozszczepialne.

Dowód twierdzenia Definiujemy odwzorowanie

χ : E_{1}(M, N) → Ext_{R}^{1}(M, N).

Dla rozszerzenia

E : 0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{i} M −−⟶ 0

mamy z zadania 3 listy 7 (w, którym P_{∗} → M może być dowolnym kompleksem acyklicznym), że istnieje diagram przemienny

P_{2} −−⟶^{d_{2}} P_{1} −−⟶^{d_{1}} P_{0} −−⟶^{d_{0}} M −−⟶ 0
↓  ^{α} ↓  ^{β} ↓  ^{id}_{M} ↓  ↓
0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{i} M −−⟶ 0 .

Definiujemy

χ(E) := [α] ∈ \frac{ker(h^{N}(d_{2}) : Hom(P_{1}, N) → Hom(P_{2}, N))}{im(h^{N}(d_{2}) : Hom(P_{0}, N) → Hom(P_{1}, N))} = Ext^{1}(M, N).

Sprawdzamy, czy χ(E) jest dobrze określone. Z powyższego diagramu, h^{N}(d_{2})(α) = αd_{2} = 0, czyli α ∈ ker(h^{N}(d_{2})). Jeśli mamy inne morfizmy α′, β′takie, że powyższy diagram jest przemienny, to z zadania 6 z Listy 7 dostajemy s : P_{0} → N takie, że

α − α′= sd_{1} = h^{N}(d_{1})(s), stąd [α] = [α′].

Czyli χ jest dobrze określone na klasie rozszerzeń. Jest jasne, że χ zachowuje równoważność rozszerzeń (składamy α z identycznością).

Pokazujemy, że χ jest “1-1”.

Weźmy dwa rozszerzenia

E : 0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{j} M −−⟶ 0
↑  ↑^{α}  ↑^{β}  ↑^{id}_{M}  ↑
P_{2} −−⟶^{d_{2}} P_{1} −−⟶^{d_{1}} P_{0} −−⟶^{d_{0}} N −−⟶ 0
↓  ↓_{α′}  ↓^{β′}  ↓^{id}_{M}  ↓
E′: 0 −−⟶ N −−⟶^{i′} X −−⟶^{j′} M −−⟶ 0 ,

takie, że χ(E) = χ(E′), czyli α − α′= d_{1}^{n}(s) = sd_{1} dla pewnego s : P_{0} → N. Ponieważ d_{0} jest epimorfizmem i im(i) = ker(j), mamy X = im(i) + im(β). Definiujemy

γ : X → X′, γ(β(p_{0}) + i(n)) = (β′+ i′s)(p_{0}) + i′(n).

Sprawdzamy, że γ jest dobrze określone.

β(p_{0}) + i(n) = β(p̄_{0}) + i(n̄)
β(p_{0} − p̄_{0}) = i(n̄ − n)

Wtedy

p_{0} − p̄_{0} ∈ ker(d_{0}) = im(d_{1}),

stąd istnieje p_{1} ∈ P_{1} taki, że d_{1}(p_{1}) = p_{0} − p̄_{0}, α(p_{1}) = n̄ − n.

(β′+ i′s)(p_{0} − p̄_{0}) = (β′d_{1} + i′sd_{1})(p_{1})

Ale sd_{1} = α − α′ i i′α′= β′d_{1}, stąd

β′d_{1} + i′sd_{1} = β′d_{1} + i′(α − α′) = i′α.

Dostajemy

(β′+ i′s)(p_{0} − p̄_{0}) = i′α(p_{1}) = i′(n̄ − n)
(β′+ i′s)(p_{0}) + i′(n) = (β′+ i′s)(p̄_{0}) + i′(n̄).

Czyli γ jest dobrze określone (i oczywiście jest homomorfizmem). Sprawdzamy przemienność diagramu

0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{j} M −−⟶ 0
↓  ^{id}_{N} ↓  ^{γ}↓  ↓^{id}_{M}  ↓
0 −−⟶ N −−⟶^{i′} X′ −−⟶^{j′} M −−⟶ 0 .

γi(n) = i′(n) z definicji γ.

j′γ(β(p_{0})+i(n)) = j′(β′+i′s)(p_{0})+j′i′(n) = j′β′(p_{0}) = jβ(p_{0}) = j(β(p_{0})+i(n)).

Stąd E ≡ E′ i χ jest “1-1”.

Pokazujemy, że χ jest “na”. Dla kocyklu f : P_{1} → N (tzn. fd_{2} = 0) definiujemy

X = P_{0} ∐_{P_{1}} N := coker((f, −d_{1}) : P_{1} → P_{0} ⊕ N).

Dostajemy i : N → X i z definicji kojądra dostajemy j : X → M takie, że mamy diagram przemienny, w którym dolny ciąg jest dokładny

P_{2} −−⟶^{d_{2}} P_{1} −−⟶^{d_{1}} P_{0} −−⟶^{d_{0}} M −−⟶ 0
↓  ^{α} ↓  ^{β} ↓  ^{id}_{M} ↓  ↓
0 −−⟶ N −−⟶^{i} X −−⟶^{j} M −−⟶ 0 .

Czyli [f] = χ(E) dla E : 0 → N → X → M → 0 jak wyżej.

Uwaga 1 W kategoriach abelowych mamy:

1. Produkt włóknisty f : Y → X, g : Z → X, to ker(fp_{Y}−gp_{Z} : Y ⊕Z → X), gdzie p_{Y}, p_{Z} są rzutowaniami na składniki sumy prostej.

2. Koprodukt włóknisty f : X → Y, g : X → Z, to coker((f, −g) : X → Y ⊕ Z).

3. Wyrównywacz f : X → Y, g : X → Y, to ker(f − g).

4. Kowyrównywacz f : X → Y, g : X → Y, to coker(f − g).

Uwaga 2 Dla n > 1, grupy Ext^{n}(M, N) są w bijekcji z klasami równoważnych rozszerzeń postaci

0 → N → X_{1} → X_{2} → ⋯→ X_{n} → M → 0.