Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2015/2016:
Current page of the seminar is available here.
|
|
Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2015/2016:Current page of the seminar is available here. |
Zostanie omówiona kombinatoryka momentów mieszanych dla kanonicznych bi-wolnych operatorów kreacji i anihilacji na wolnej przestrzeni Focka. Odczyt będzie kontynuacją poprzedniego odczytu.
Odczyt będzie podsumowaniem referatów na temat iteracyjnych równań funkcyjnych, które zostały wygłoszone na seminarium w przeszłości. Zostaną również przedstawione pewne nowe wyniki oraz ogólne problemy teorii iteracyjnych równań funkcyjnych.
W referacie zajmiemy się następujacym rodzajem zbieżności (zob. Erdos, Knowles, Yin, et.al. 2014). Mówimy, że ciąg macierzy losowych $X_N$ ma izotropowe prawo graniczne $M(z)$ jeśli rezolwenta $(X_N - z I_N)^{-1}$ zmierza w sensie normy maximum do $M(z)$. Dotychczas znane są izotropowe prawa graniczne dla macierzy Wignera i Marchenki-Pastura. Twierdzenia te wymagają tylko nieco silniejszych probabilistycznych założeń niż klasyczne rezultaty, dając istotnie mocniejszą tezę. Pokażemy jak, za pomocą skończenie wymiarowych perturbacji, tworzyć nowe izotropowe prawa a następnie zastosujemy ogólną teorię w kilku przypadkach: macierzy H-samosprzężonych, macierzy port-Hamiltonowskich, oraz wielomianów macierzowych.
Punktem wyjścia rozważań jest antropologia filozoficzna i socjologia rozumiejąca. Celem jest spojrzenie na realizm w ontologii matematyki z pozycji zewnętrznej - bardziej rozumiejącej (jak w naukach humanistycznych) niż wyjaśniającej (jak w naukach ścisłych). Realizm w matematyce ujmowany jest w dwóch jego wyraźnych odmianach: umiarkowanej na przykładzie Quine'a oraz skrajnej (platonizm) na przykładzie Gödla. Analiza realizmu w ontologii matematyki skupia się na dwóch rzeczach: (1) problemie obiektywności oraz (2) problemie obszarów nieempirycznych. W ich świetle realizm (platonizm) jawi się jako złożenie dwóch operacji: konstrukcji i translacji przedmiotu matematycznego w nieempiryczny obszar. W podsumowaniu wnioski dotyczące miejsca i roli matematyki w całości kultury.
Charaktery Jacka są uogólnieniem nieredukowalnych charakterów grup permutacji. Wyniki eksperymentów komputerowych sugerują, że stoi za nimi jakaś tajemnicza, bogata struktura kombinatoryczna, prawdopodobnie związana ze zliczaniem grafów narysowanych na powierzchniach. Podczas odczytu przedstawię częsciowe wyniki dotyczące asymptotycznie dominującej części tych charakterów zawarte w preprincie http://arxiv.org/abs/1506.06361 .
W 2003 r. D. DiVincenzo, M. Horodecki, D. Leung, J. Smolin i B. Terhal skonstruowali stany kwantowe współdzielone przez dwóch obserwatorów A i B, o tej własności, że przesłanie zaledwie jednego bitu od A do B drastycznie zwiększa wzajemną informację między zmiennymi losowymi opisującymi pomiary, które A i B mogą przeprowadzać na swoich częściach układu. Zjawisko to, nazwane zamykaniem informacji (information locking), nie ma odpowiednika w klasycznej teorii informacji. Wspomniane wyniki zostały następnie wzmocnione przez P. Haydena i współpracowników (2004-2010), którzy rozpatrywali warianty dla większej liczby bitów oraz dla odległości całkowitego wahania rozkładów warunkowych w miejsce informacji wzajemnej. Do konstrukcji odpowiednich stanów użyli oni metody probabilistycznej, opartej o losowe macierze unitarne i tzw. entropowe oraz metryczne relacje nieoznaczoności. W odczycie przedstawię dalsze wzmocnienie oszacowań związanych z zamykaniem informacji z użyciem losowych macierzy unitarnych. W szczególności omówię optymalne z dokładnością do stałych addytywnych entropowe relacje nieoznaczoności dla losowych macierzy unitarnych (wynik wspólny z R. Latałą, Z. Puchałą i K. Życzkowskim) oraz relacje nieoznaczoności wyrażone przez tzw. odległość Hellingera i (klasyczny) współczynnik wierności (fidelity) miar probabilistycznych. Wspomnę także o związkach relacji nieoznaczoności z pewnymi specjalnymi przypadkami twierdzenia Dvoretzky'ego z lokalnej teorii przestrzeni Banacha.
We will talk about a class of von Neumann algebras introduced by Hiai. They form a combination of two generalisations of free group factors: q-Gaussian algebras of Bożejko and Speicher, and deformations of free group factors introduced by Shlyakhtenko. We will prove that they always possess the Haagerup approximation property and we will discuss what is not yet known about these algebras.
The classification of idempotent Fourier multipliers on $H^1(\mathbb{T})$ is known since 1987, due to a theorem of Klemes. Our main result is an example of an idempotent Fourier multiplier on $H^1(\mathbb{T}\times\mathbb{T})$ that is not dervied by manipulation of tensor products of one-dimensional case. The main tool is a new $L^1$ equivalent of the Stein martingale inequality which holds for a special filtration of periodic subsets of $\mathbb{T}$ with some restrictions on the functions involved. We also identify the isomorphic type of the range of the associated operator as the independent sum of dyadic $H^1_n$.
Z grubsza, dla danych półgrupy miar probabilistycznych $\mu=(\mu_t)_{t \ge 0}$ i półgrupy operatorów ograniczonych $T=(T_t)_{t \ge 0}$ na przestrzeni Banacha $X$
subordynacja jest naturalna drogą do stowarzyszenia z nimi nowej półgrupy operatorowej $(T^\mu_t)_{t \ge 0}$ na $X$ za pomocą wzoru
$$
T^\mu_t:=\int_{0}^{\infty} T(t)\, d\mu_t, \qquad t \ge 0,
$$
nazywanej półgrupą subordynowaną. Będąc klasycznym obiektem analizy funkcjonalnej,
półgrupy subordynowane $(T^\mu_t)_{t \ge 0}$ są również istotne w teorii ergodycznej i teorii prawdopodobieństwa.
W trakcie odczytu, przedstawimy rozwiązania kilku długo otwartych problemów o holomorficzności półgrup subordynowanych.
Ponadto, omówimy związki holomorficzności półgrup z ograniczonością odpowiednich $H^{\infty}$-rachunków oraz
rozważymy spokrewnione ,,dyskretne'' zagadnienia.
Jeżeli czas pozwoli, wyjaśnimy także jak telegram Besicovitcha do Littlewooda pojawia się w omawianym kontekście i pozwala
odpowiedzieć na pytanie Erdősa-Kingmana o funkcjach generujących.
W referacie przedstawię wynik, który mówi o tym, że pewne formy kwadratowe w wolnej probabilistyce zachowują nieskończoną podzielność.
Kwantowe ciągi rosnące zostały wprowadzone przez S. Currana w celu scharakteryzowania wolnej niezależności przez porównywanie rozkładów łącznych początkowych odcinków ciągu zmiennych losowych z rozładami łącznymi początkowych odcinków podciągu tego ciągu zmiennych losowych à la Ryll-Nardzewski. Jest to twierdzenie typu de Finettiego, lecz o słabszych założeniach. Postaram się zreferować wyniki mówiące o roli kwantowych ciągów rosnących w wolnej probabilistyce oraz opowiedzieć o swoich wynikach w teorii zwartych grup kwantowych, które wyrosły na bazie badania kwantowych ciągów rosnących i ich związku z kwantowymi permutacjami.
An important role in topology is played by absolute retracts and absolute neighborhood retracts that, roughly speaking, are spaces with good extension properties. In the noncommutative world, the role of spaces with good extension properties is played by C*-algebras with good lifting properties, i.e. projective and semiprojective C*-algebras. Some statements about absolute retracts and neighborhood retracts might be false in the noncommutative setting or hard to prove. We are going to discuss some problems of this sort and their connection with problems in Operator Theory, namely with a question of Akemann, Olsen and Pedersen on best approximation by compact operators. This is joint work with Terry Loring.
Korzystając z metod probabilistyki macierzowo wolnej, wyliczymy momenty graniczne iloczynów prostokątnych macierzy losowych. Wyrazimy je w sposób kombinatoryczny za pomocą partycji nieprzecinających na odpowiednich słowach oraz podamy wzór na S-transformatę miary granicznej, tzn. miary o takich momentach. Ponadto, podamy kilka zastosowań w.w. wzorów w kombinatoryce. Wyniki wspólne z R. Lenczewskim.
Zostanie omówiona kombinatoryka momentów mieszanych dla kanonicznych biwolnych operatorów kreacji i anihilacji na wolnej przestrzeni Focka.
Geometrie skończone, rzutowe i afiniczne, są ściśle związane z przestrzeniami wektorowymi nad ciałami Galois rzędu q, gdzie q jest potęgą liczby pierwszej. Stąd ważne znaczenie mają q-analogi, np. współczynniki Gaussa. W referacie zostaną omówione własności q-analogów dla q=p^k, ich geometryczne interpretacje i zastosowania. Wśród nich zostaną przedstawione własności i rozkłady prawdopodobieństwa charakterystyk losowych podzbiorów skończonych geometrii rzutowych.
Przedstawimy ogólne narzędzia kombinatoryki analitycznej użyteczne w teorii iteracyjnych równań funkcyjnych takie, jak pewne transformacje ciągów (skończone i graniczne) oraz wielomiany specjalne. Odczyt jest wstępem do bardziej zaawansowanych zagadnień równań funkcyjnych, które poruszymy w przyszłości.
Pokażemy ogólna konstrukcję przestrzeni Focka powiązaną z grupami Coxetera typu B.
Opowiem o grupach soficznych, zdefiniowanych przez Gromova i Weissa oraz o ich uogólnieniach. Zdefiniuję pojęcie entropii dla działania grupy soficznej na przestrzeni zwartej (np. na przesunięciu Bernoulliego), według prac Bowena, Kerra&Li, oraz opowiem dlaczego entropia jest użyteczna.
Opierając się na pracach Diaza, Pariguana i N.Blitvic podamy konstrukcję q-dyskretnych procesów Gaussowskich. Zostaną podane związki z całkami Jacksona i q-dyskretnymi wielomianami Hermite'a spełniające rekursje: x h_{n} (x) = h_{n+1} (x) + q^{n-1} [n]_{q} , dla q z przedziału [0,1] . Podamy związki z moimi poprzednimi wynikami dotyczące q-ciagłych procesów Gaussa dla q>1. Podamy też problemy dotyczące algebr von Neumanna generowanych przez q-dyskretne zmienne Gaussowskie.
Przy pomocy probabilistyki macierzowo wolnej można opisać rozkłady graniczne bloków hermitowskich macierzy losowych, jak również *-rozkłady graniczne bloków niehermitowskich Gaussowskich macierzy losowych. Te ostatnie posiadają realizację na przestrzeni Hilberta (typu macierzowo wolnej przestrzeni Focka) przy pomocy operatorów R-cyrkularnych. Zamierzam omówić pewną nową rodzinę operatorów, którą można otrzymać w tym modelu związaną z niehermitowskim uogólnieniem wolnych rozkładów Meixnera.
I present how Burgers equation arises when considering complex
diffusive dynamics of non-Hermitian matrix models. In particular, an
intricate interplay between eigenvalues and eigenvectors is shown with a
rather surprising significance of the latter. I review the
quaternionic/hermitization technique of Janik et al. [1] and juxtapose
non-Hermitian and Hermitian models with emphasis on eigenvector variables. I
also discuss the canonical Girko-Ginibre circular law from the Burgers
equation point of view and comment on the (apparent) instability of
non-Hermitian matrices upon perturbation. Presentation is based mainly on
[2,3].
[1] http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9612240 [arxiv.org]
[2] http://arxiv.org/pdf/1403.7738 [arxiv.org]
[3] http://arxiv.org/pdf/1503.06846 [arxiv.org]
Planuję przedstawić niedawno uzyskane wyniki dotyczące
(i) asymptotyki wartości własnych operatorów lokalizacji typu Gabora,
(ii) przykładów formuł reprodukujących i baz ortonormalnych przestrzeni L^2(R^2)
zdefiniowanych przy pomocy dwuwymiarowych podprzestrzeni
przestrzeni fazowej.
Just like the theory of C*-algebras can be seen as a non-commutative version
of topology, compact quantum groups arise as a generalization of compact
groups in this framework. Hence, they give rise to a good notion of
symmetries in this context. In 1988, Woronowicz proved a Tannaka-Krein
result for compact (matrix) quantum groups. We first recall and promote this
beautiful theorem and then point out how it opens the door to combinatorial
methods in the theory of quantum groups.
We apply this Tannaka-Krein machinery to obtain Banica and Speicher's
orthogonal easy quantum groups (their work from 2009), and we extend it to
unitary easy quantum groups (joint work in progress with Pierre Tarrago) and
other deformations of the "easy" concept (joint work in progress with
Guillaume Cébron).
W referacie zostanie przedstawiona nowa charakteryzacja klasycznego rozkładu normalnego w języku zależności rozkładu od pewnego parametru.