Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część II

specjalność zastosowania 20 czerwca 2002

Zastosowania 20.06.2002

1. Niech {X_{n}}_{n=1}^{∞} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na (0,1). Udowodnić, że ciąg zmiennych losowych {Y_{n}}_{n=1}^{∞} , którego wyrazy mają postać

Y_{n} = \frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+...+X_{n}^{2}}

jest zbieżny prawie wszędzie oraz podać postać granicy.

2. Niech {N_{1}(t), t 0} i {N_{2}(t), t 0} będą niezależnymi procesami Poissona o intensywnościach odpowiednio λ_{1} i λ_{2}.

(a) Uzasadnić, że proces {N(t), t 0} = {N_{1}(t)+N_{2}(t), t 0} jest procesem Poissona o intensywności λ_{1}+λ_{2}.

(b) Niech Z oznacza moment zajścia pierwszego zdarzenia w procesie {N(t), t 0}. Podać postać rozkładu zmiennej losowej Z.

3. Niech X = (X_{1},X_{2},...,X_{n})′ dla n 2 będzie próbą z rozkładu wykładniczego o dystrybuancie F (x;λ) = [1−exp(−λx)]1_{(0,∞)} (x), λ > 0. Wyznaczyć estymatory parametru λ:

(a) największej wiarogodności,

(b) nieobciążony z jednostajnie minimalną wariancją. Który z tych estymatorów ma mniejsze ryzyko przy założeniu kwadratowej funkcji straty?

4. Rozwiązać równanie

y′′−2y′+y = 0,

przy warunku początkowym y(0) = 1, y′(0) = 0.