Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 19 czerwca 2002r.

Wersja testu A 19 czerwca 2002r.

1. Czy prawdą jest, że

a) ∀_{n∈ℤ} ∃_{k∈ℤ} n = k^{2} ;

b) ∃_{n∈ℤ} ∀_{k∈ℤ} n = k^{2} ;

c) ∀_{k∈ℤ} ∃_{n∈ℤ} n = k^{2} ;

d) ∃_{k∈ℤ} ∀_{n∈ℤ} n = k^{2} ?

2. O twierdzeniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), dla dowolnego n 1 zachodzi wynikanie T (n) ⇒ T (2n), dla dowolnego n 8 zachodzi wynikanie T (n) ⇒ T (n−7). Czy stąd wynika, że prawdziwe jest

a) T (13) ;

b) T (15) ;

c) T (14) ;

d) T (12) ?

3. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} e^{sinn} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[7]{n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sinn}{n^{2}} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \begin{matrix}^{3} & \sqrt{n+3} \\ √ & \overline{n+2} \end{matrix} ?

4. Dane są liczby rzeczywiste a, b, c, d. Czy liczba a na pewno jest wymierna, jeśli wiadomo, że wymierne są liczby

a) a+b, b+c, c+d, d+a;

b) a+b, a+c;

c) a+b+c, b+c+d, c+d+a, d+a+b;

d) a+b, a+c, b+c?

5. Czy funkcja f(x) = sin|x| ma lokalne minimum w punkcie

a) x = π;

b) x = π/2 ;

c) x = 3π/2 ;

d) x = 0 ?

6. Czy poprawnie obliczono pochodną funkcji

a) \frac{d}{dx} (sin^{4}x−cos^{4}x) = 4sinxcosx;

b) \frac{d}{dx}( ^{3} \sqrt{x})= \frac{1}{3 ^{3} \sqrt{x}} ;

c) \frac{d}{dx} (sin^{2}x−cos^{2}x) = 4sinxcosx;

d) \frac{d}{dx} (\sqrt{x^{2}+1} ) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ?

7. Czy poprawnie dokonano zamiany kolejności całkowania

a) ∫_{0}^{1}∫_{0}^{1−x} f(x,y)dydx = ∫_{0}^{1}∫_{0}^{1−y} f(x,y)dxdy;

b) ∫_{0}^{1}∫_{x}^{1}f(x,y)dydx = ∫_{0}^{1}∫_{0}^{y}f(x,y)dxdy;

c) ∫_{0}^{1}∫_{0}^{√ \overline{1−x^{2}}} f(x,y)dydx = ∫_{0}^{1}∫_{√ \overline{1−y^{2}}}^{1} f(x,y)dxdy;

d) ∫_{0}^{1}∫_{0}^{x^{2}} f(x,y)dydx = ∫_{0}^{1}∫_{0}^{√ \overline{y}}f(x,y)dxdy? 8. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z takiej, że |z|=1, spełniony

jest warunek

a) z +\overline{z} 2 ;

b) \overline{z} = z;

c) \overline{z} = \frac{1}{z} ;

d) z^{2} ≠ i?

9. Czy prawdziwa jest nierówność (argumenty funkcji podane są w radianach)

a) sin314 < 0 ;

b) arctg \frac{π}{4} < 1 ;

c) cos1 < \frac{1}{2} ;

d) sin1 < \frac{1}{2} ?

10. Czy prawdziwa jest równość

a) ∫_{1}^{2} \frac{dx}{x(x+1)} = ln4−ln3 ;

b) ∫_{1}^{3} \frac{dx}{x(x+1)} = ln3−ln2 ;

c) ∫_{2}^{8} \frac{dx}{x(x+1)} = ln4−ln3 ;

d) ∫_{2}^{4} \frac{dx}{x(x+1)} = ln5−ln2 ?

11. Dane są macierze A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) oraz B = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) . Czy prawdą jest, że

a) AB = B^{−1} A;

b) BA = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −2 & −3 \end{matrix} ) ;

c) 5A+B = ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 7 \end{matrix} ) ;

d) A^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ?

12. Dane są macierze A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) oraz B = ( \begin{matrix}1000 & 2000 \\ 3000 & 4000 \end{matrix} ) . Ba-

damy własności wyznaczników macierzy A i B. Czy prawdą jest, że a) det(A^{10000}) = 1 ;

b) detB = detA;

c) det(AB) = det(AB^{−1} ) ;

d) det(AB) = 0 ?

13. Dana jest macierz A = ( \begin{matrix}1 & 12 \\ 3 & 1 \end{matrix} ) . Czy jest prawdą, że

a) wielomianem charakterystycznym macierzy A jest w(λ) = λ^{2}−2λ−35 ;

b) λ = 7 jest wartością własną macierzy A;

c) Wektor v = (−4,2) jest wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ = −5 ;

d) macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne ?

14. Rozważamy układ równań

\{ \begin{matrix}3x+2y & = & 4 \\ x−4y & = & −1 \\ x+10y & = & 6 \end{matrix}

z niewiadomymi x i y. Czy prawdziwe jest zdanie

a) rząd macierzy rozszerzonej układu jest równy 3 ;

b) istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu ;

c) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu ;

d) układ ten nie ma rozwiązań ?

15. Rozważamy grupę Z_{17} = {1,2,3,4,...,16} z mnożeniem modulo 17. Czy prawdą jest, że

a) zbiór {1,5,10,15} z mnożeniem modulo 17 jest podgrupą grupy Z_{17} ;

b) elementem odwrotnym do 15 w grupie Z_{17} jest 3 ;

c) 15·16 = 1 w grupie Z_{17} ;

d) równanie 7x = 5 nie ma rozwiązań w grupie Z_{17} ?

16. Czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie dotyczące baz podanych przestrzeni liniowych

a) wektory (1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0) i (1,1,1,1) są liniowo zależne ;

b) wielomiany X^{2}+X +1, X^{2}+X, 1 tworzą bazę przestrzeni liniowej złożonej z wielomianów stopnia co najwyżej 2 o współczynnikach rzeczywistych ;

c) wektor (1,2,1) jest liniową kombinacją wektorów (1,1,1) i (1,0,1) ;

d) wektory (0,1,1), (1,0,1), (−1,1,0) tworzą bazę przestrzeni euklidesowej E^{3} ?

17. Czy prawdziwa jest następująca równość dla liczb zepolonych a) (1+3i)·(3−2i) = 2+4i;

b) e^{2iπ} = i;

c) (1−i)^{12} = −64 ;

d) (−2+i)^{−1} = −\frac{2}{5} − \frac{1}{5}i?

18. Dane są dwa wielomiany nad ciałem liczb rzeczywistych: w = (x−1)^{5}(x+2)^{2}(x^{2}+3)(x^{2}+4)^{2} oraz v = −2(x−1)^{2}(x+2)(x+5)(x^{2}+4). Czy jest prawdą, że

a) NW D(w,v) = 2(x−1)^{2}(x+2)(x^{2}+4) ;

b) wielomian w ma dokładnie dwa różne pierwiastki zespolone nierzeczywiste ;

c) wielomian w dzieli się bez reszty przez wielomian v;

d) NW W (w,v) = (x−1)^{2}(x+2)^{2}(x+5)^{2}(x^{2}+4)^{2} ?

19. Rzucamy kostką czerwoną, a następnie zieloną. Niech A będzie zdarzeniem: wypadło 2 na zielonej lub więcej niż 4 na czerwonej kostce, oraz B:suma wyników na obu kostkach jest większa lub równa 8. Wtedy a) P (A) = 1/2 ;

b) zdarzenia A i B są niezależne ;

c) P (A) = P (B) ;

d) P (A∩B) = 1/4 .

20. Paweł i Piotr rzucają na zmianę rzutkami do celu. Paweł rzuca pierwszy. Załóżmy, że trafia on z prawdopodobieństwem 1/4, a Piotr z prawdopodobieństwem 1/3. Wtedy

a) szansa, że Piotr trafi do celu 3 razy w 6 próbach równa się 160/729 ;

b) średnia ilość porażek przed trafieniem do celu przez Pawła wynosi 3 ;

c) wartość oczekiwana łącznej liczby trafień przez Pawła i Piotra po 25 kolejkach wynosi 14 ;

d) prawdopodobieństwo, że Paweł chybi mniej razy niż Piotr przed swoim trafieniem równa się 1/3 .