Matematyka z informatyką 17.09.2002

1. Rozwiązać równanie y′′−y′+y = 0 przy warunku początkowym y(0) = 1, y′(0) = 0.

2. Niech [a_{n},b_{n}], gdzie a_{n},b_{n} ∈ ℝ będą przedziałami z metody znajdywania rozwiązania równania

f(x) = 0

przez �połowienie przedziału”. Udowodnić, że dla r ∈ ℝ spełniającego f(r) = 0 zachodzi:

{r} = ⋂_{n=1}^{∞} [a_{n},b_{n}].

3. Niech

A = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

Przedstawić macierz A w postaci iloczynu

A = LU ,

gdzie L jest macierzą trójkątną dolnie, a U – trójkątną górnie. Czy dla macierzy A istnieje rozkład Choleskiego ?

4. Niech będzie dana następująca deklaracja funkcji rekurencyjnej

int F(int n) –

if(2¡n)

return 2.0*F(n-1)+F(n-2); return 1;

˝

Wypisać, co pojawi się na ekranie po wykonaniu następującego fragmentu kodu

int n;

for(n=1;n¡20;++n)

printf(”%i“n”,F(n));

Podać �matematyczną” definicję ciągu określonego przez tę funkcję.

5. Dla punktów o współrzędnych

(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),(4,3),(4,4)

wyznaczyć metodą najmniejszych kwadratów równanie prostej regresji.