EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 16.02.2004

Zadanie 1. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y) = x+y

na zbiorze

{(x,y); x^{2}+xy +y^{2} = 1}

oraz podać, w których punktach te wartości są osiągane.

Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie a, dla których szereg

∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{a}+1}{n^{a}+n^{2}}

jest zbieżny.

Zadanie 3. Obliczyć całkę

∫_{0}^{1} \frac{dx}{e^{2x} +e^{x}} .

Zadanie 4. Podać przykład macierzy kwadratowej 3×3 o następujących dwóch własnościach:

1^{∘} wektory (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) oraz (1,0,1) są wektorami własnymi macierzy, 2^{∘} wektor (1,1,1) nie jest wektorem własnym macierzy.

Udowodnić poprawność podanego przykładu.

Zadanie 5. Rozstrzygnąć, czy istnieją takie liczby zespolone z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}, że zbiór {z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}} z mnożeniem liczb zespolonych jako działaniem, jest grupą izomorficzną z grupą permutacji S_{3}.

Zadanie 6. Dziekan powołuje komisję, która ma ustalić, czy korytarze w Instytucie Matematyki są poziome czy pionowe. Po zapoznaniu się z opiniami ekspertów komisja przeprowadza głosowanie, przy czym każdy z członków komisji podejmuje decyzję zgodną ze stanem faktycznym z takim samym prawdopodobieństwem p ∈ ( \frac{1}{2},1), a decyzje poszczególnych członków komisji są zdarzeniami niezależnymi. Ostateczną decyzję komisja podejmuje większością głosów, a w przypadku parzystej liczby członków i remisu w głosowaniu, o werdykcie komisji decyduje rzut monetą.

Rozstrzygnąć, w zależności od p, jaka komisja ustali stan faktyczny z większym prawdopodobieństwem: trzyosobowa czy czteroosobowa?