Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 16 lutego 2004r.

Wersja testu A 16 lutego 2004r.

1. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

2. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

3. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

4. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

5. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

6. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

7. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

8. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

9. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

10. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

Wersja testu A 16 lutego 2004r.

3

1. Czy prawdą jest, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} sin(x+z) = cos(y +z) ;

b) ∃_{z∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} sin(x+z) = cos(y +z) ;

c) ∀_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} sin(x+z) = cos(y +z) ;

d) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} sin(x+z) = cos(y +z) ?

2. Czy z podanego warunku wynika, że ciąg (a_{n}) jest zbieżny do zera

a) ∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n>N} a_{n}^{2} < ε;

b) ∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n>N} a_{n}^{3} < ε;

c) ∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n>N} |a_{n}|< ε^{3} ;

d) ∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n>N} a_{n} < ε?

3. Czy wartość podanej całki jest równa zero

a) ∫_{−8}^{8}sin^{8}x sin^{88}x sin^{888}x dx;

b) ∫_{−5}^{5}e^{sinx} dx;

c) ∫_{−6}^{6}sin6x cos77x e^{666x^{2}} dx;

d) ∫_{−7}^{7}sin^{7}x sin^{77}x sin^{777}x dx?

4. Czy istnieje taka liczba niewymierna dodatnia x, że

a) liczba x^{3} jest wymierna ;

b) \sqrt{2}< x < \sqrt{3};

c) liczba x^{2} jest niewymierna ;

d) liczba \sqrt{x} jest wymierna ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny, jeśli

a) a_{n} = \frac{\sqrt{n}+ ^{3} \sqrt{n}}{3+n\sqrt{n}} ;

b) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}+1} ;

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n} \sqrt{n}}{^{3} \sqrt{n}+3} ;

d) a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} ?

6. Szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny. Czy stąd wynika, że

a) szereg ∑ _{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n} jest rozbieżny ;

b) szereg ∑ _{n=1}^{∞} na_{n} jest zbieżny ;

c) szereg ∑ _{n=1}^{∞} |a_{n}| jest zbieżny ;

d) szereg ∑ _{n=1}^{∞} na_{n} jest rozbieżny ?

7. Czy istnieje taki ciąg (a_{n}) niemający granicy skończonej, że

a) ∀_{n∈ℕ} a_{n} ∈ \{\frac{1}{k}; k ∈ ℕ\};

b) ∀_{n∈ℕ} 3 < a_{n} < π;

c) ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} = 7 ;

d) ciąg (a_{n}^{2}) jest zbieżny do 4 ?

8. Czy jest prawdą, że

a) lim_{x→0^{+}} \frac{lnx}{\sqrt{x}} = 0 ;

b) lim_{x→+∞} \sqrt{x}lnx = 0 ;

c) lim_{x→0^{+}} \sqrt{x}lnx = −∞;

d) lim_{x→+∞} \frac{lnx}{\sqrt{x}} = +∞?

9. Czy funkcja f jest rosnąca na podanym przedziale

a) f(x) = sin( \frac{x+1}{100} ) , [0,4π] ;

b) f(x) = (e^{x}−e^{2}) (e^{x}−e^{7}) , [2,7] ;

c) f(x) = \frac{lnx}{17+e^{−x}} , [3,777] ;

d) f(x) = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} , [−5,17] ?

10. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z o module 1 zachodzi warunek

a) z^{360} = 1 ;

b) jeżeli z^{2} ≠ −1, to \frac{z}{1+z^{2}} ∈ ℝ;

c) z +z^{−1} ∈ ℝ;

d) \overline{z} = z^{−1} ?

11. Czy podany zbiór jest podgrupą grupy {1, 2, 3, 4, 5, 6} z mnożeniem modulo 7

a) {2, 3, 6};

b) {1, 2, 3};

c) {1, 2, 4};

d) {2, 4, 6}?

12. Czy w grupie {0, 1, 2, ..., 11} z dodawaniem modulo 12 istnieje element rzędu

a) 6 ;

b) 4 ;

c) 5 ;

d) 3 ?

13. Czy wyznacznik podanej macierzy jest równy 0

a) ( \begin{matrix}1 & 6 & 10 & 13 & 15 \\ 0 & 2 & 7 & 11 & 14 \\ 0 & 0 & 3 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix} ) ;

b) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ 13 & 17 & 19 & 23 & 29 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 31 & 37 & 41 & 43 & 47 \end{matrix} ) ;

c) ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 & 102 \\ 2 & 4 & 3 & 8 & 203 \\ 3 & 9 & 5 & 27 & 305 \\ 4 & 16 & 7 & 64 & 407 \\ 5 & 25 & 11 & 125 & 511 \end{matrix} ) ;

d) ( \begin{matrix}2 & 11 & 23 & 37 & 43 \\ 0 & 3 & 13 & 29 & 41 \\ 0 & 0 & 0 & 17 & 31 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 19 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \end{matrix} ) ?

14. Czy wektory v_{1}, v_{2}, v_{3} są liniowo niezależne w ℝ^{3}, jeśli v_{1} = (1,3,2), v_{2} = (3,5,2) oraz

a) v_{3} = (4,8,7) ;

b) v_{3} = (3,7,5) ;

c) v_{3} = (2,6,3) ;

d) v_{3} = (1,2,1) ?

15. Czy istnieje taka liczba rzeczywista a, że układ równań

\{ \begin{matrix}ax+2y & = & 0 \\ 3x+4y & = & 0 \end{matrix}

a) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste ;

b) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste ;

c) ma nieskończenie wiele rozwiązań rzeczywistych ;

d) nie ma rozwiązań rzeczywistych ?

16. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z podana liczba jest liczbą rzeczywistą nieujemną

a) z ·\overline{z};

b) z +\overline{z};

c) 3|z|−z −\overline{z};

d) z^{2} ?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity

a) x^{6}+2x^{4}+3x^{2}+4 ;

b) 2x^{6}−4x^{5}+6x^{3}−7 ;

c) x^{6}−2x^{4}−3x^{2}+4 ;

d) x^{5}−5 ?

18. W jednej urnie jest jedna kula biała i dwie kule czarne. W drugiej urnie jest n kul białych i jedna kula czarna. Wybieramy losowo urnę, a następnie losujemy kulę z wybranej urny. Niech p_{n} będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że wylosowano kulę białą. Czy stąd wynika, że

a) p_{1} = 2/5 ;

b) p_{5} = 7/12 ;

c) p_{3} = 4/7 ;

d) p_{2} = 1/2 ?

19. Wykonano kolejno 4 rzuty monetą. Okazało się, że 2 razy wypadł orzeł, a 2 razy reszka. Czy wobec tego

a) prawdopodobieństwo, że w pierwszych dwóch rzutach wypadł jeden orzeł i jedna reszka, jest równe 2/3 ;

b) prawdopodobieństwo, że w pierwszych dwóch rzutach wypadły dwa orły, jest równe 1/4 ;

c) prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł, a w drugim reszka, jest równe 1/3 ;

d) prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł, jest równe 1/2 ?

20. Z urny zawierającej 6 kul z numerami 1, 2, 3, 4, 5, 6 wylosowano (bez zwracania) dwie kule. Niech p_{n} będzie prawdopodobieństwem, że suma liczb na wylosowanych kulach jest równa n. Czy stąd wynika, że a) p_{5} = p_{6} ;

b) p_{3} = p_{4} ;

c) p_{6} = p_{7} ;

d) p_{4} = p_{5} ?