Wersja testu A 17 września 2004r.

1. Czy prawdą jest, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} (y > x ⇒ y > −x) ;

b) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} (y > x ⇒ y > −x) ;

c) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} (y > x ⇒ y > −x) ;

d) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} (y > x ⇒ y > −x) ?

2. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem ma granicę równą 1

a) a_{n} = \frac{2^{n} +3^{n}}{3^{n} +5^{n}} ;

b) a_{n} = \frac{2^{n} +5^{n}}{3^{n} +4^{n}} ;

c) a_{n} = \frac{2^{n} +3^{n}}{2^{n} +5^{n}} ;

d) a_{n} = \frac{2^{n} +5^{n}}{3^{n} +5^{n}} ?

3. Czy dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi równość

a) sin\frac{nπ}{2} = (−1)^{n} ;

b) cos\frac{nπ}{3} = \frac{(−1)^{n+1}}{2} ;

c) sin\frac{nπ}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(−1)^{n} ;

d) cosnπ = (−1)^{n} ?

4. Przyjmijmy oznaczenie P (a,b) = {x^{2} : a x b}. Czy wtedy a) 3 ∈ P (1,2) ;

b) 1 ∈ P (−2,3) ;

c) 4 ∈ P (−3,−2) ;

d) 2 ∈ P (−1,1) ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny, jeśli

a) a_{n} = \frac{1}{n\sqrt{n}+1} ;

b) a_{n} = n·(−1)^{n} ;

c) a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}+1} ;

d) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n+1} ?

6. Czy dla dowolnej funkcji różniczkowalnej f : ℝ → ℝ zachodzi wynikanie

a) jeżeli f jest nieparzysta, to f′ jest nieparzysta ;

b) jeżeli f jest parzysta, to f′ jest parzysta ;

c) jeżeli f jest nieparzysta, to f′ jest parzysta ;

d) jeżeli f jest parzysta, to f′ jest nieparzysta ?

7. Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y zachodzi nierówność a) |x+y|−|y| |x|;

b) |x+y| |x|+|y|;

c) |x−y|−|y| |x|;

d) |x−y| |x|−|y|?

8. Szereg potęgowy ∑ _{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} jest zbieżny dla x = −3 i rozbieżny dla x = 5. Czy stąd wynika, że

a) szereg jest rozbieżny dla x = −6 ;

b) szereg jest rozbieżny dla x = 4 ;

c) szereg jest zbieżny dla x = 3 ;

d) szereg jest zbieżny dla x = 2 ?

9. Czy poprawnie dokonano zmiany kolejności całkowania

a) ∫_{−2}^{0} ∫_{x^{2}}^{4} f(x,y) dy dx = ∫_{−4}^{0} ∫_{−\sqrt{y}}^{0} f(x,y) dx dy;

b) ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{x^{2}} f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{4} ∫_{0}^{\sqrt{y}}f(x,y) dx dy;

c) ∫_{−2}^{0} ∫_{0}^{x^{2}} f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{4} ∫_{−2}^{−\sqrt{y}} f(x,y) dx dy;

d) ∫_{0}^{2} ∫_{x^{2}}^{4} f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{4} ∫_{\sqrt{y}}^{2} f(x,y) dx dy?

10. Czy nierówność log_{a}3 > log_{a}2 jest prawdziwa dla

a) a = 3 ;

b) a = 2 ;

c) a = 1/2 ;

d) a = 1/3 ?

11. Niech

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & ... & 10 \\ 11 & 12 & ... & 20 \\ ... & ... & ... & ... \\ 91 & 92 & ... & 100 \end{matrix})

będzie macierzą 10×10, w której kolejno wypisano liczby od 1 do 100. Czy rząd macierzy A

a) przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 ;

b) jest mniejszy niż 8 ;

c) jest większy niż 3 ;

d) jest liczbą parzystą ?

12. Czy podany pierścień jest ciałem

a) pierścień liczb wymiernych z dodawaniem i mnożeniem ;

b) pierścień liczb zespolonych z dodawaniem i mnożeniem ;

c) pierścień liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem ;

d) pierścień wielomianów jednej zmniennej o współczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem ?

13. Czy w grupie {1, 3, 5, 7} z mnożeniem modulo 8 istnieje element rzędu

a) 1 ;

b) 3 ;

c) 4 ;

d) 2 ?

14. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & −3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −3 & 3 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) jest

liczba

a) −4 ;

b) −3 ;

c) 2 ;

d) 1 ?

15. Niech z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}. Czy wtedy

a) z^{19} = z^{7} ;

b) z^{18} = −1 ;

c) z^{17} = z^{2} ;

d) z^{16} = iz?

16. Dany jest układ pięciu równań liniowych z trzema niewiadomymi x,y,z. Wiadomo, że jednym z równań układu jest równanie

x+y +z = 3

oraz, że trójki (x,y,z) = (3,0,0) i (x,y,z) = (0,3,0) są rozwiązaniami danego układu. Czy stąd wynika, że

a) trójka (x,y,z) = (0,2,1) \underline{nie} jest rozwiązaniem układu równań ;

b) trójka (x,y,z) = (0,1,2) jest rozwiązaniem układu równań ;

c) trójka (x,y,z) = (3,3,0) \underline{nie} jest rozwiązaniem układu równań ;

d) trójka (x,y,z) = (1,2,0) jest rozwiązaniem układu równań ?

17. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi nierówność

a) |z| |z −1|+1 ;

b) |z −i| |z −1|+1 ;

c) |z −1| |z −i|+1 ;

d) |z −1| |z|+1 ?

18. Wykonano jeden rzut kostką do gry. Niech E_{n} będzie wartością oczekiwaną n-tej potęgi liczby wyrzuconych oczek. Czy wtedy

a) (E_{1})^{2} > E_{2} ;

b) E_{2} < 15 ;

c) E_{2} < 13 ;

d) (E_{1})^{2} < E_{2} ?

19. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech p_{n} będzie prawdopodobieństwem, że mniejsza z wyrzuconych liczb jest równa n. Czy wtedy a) p_{3} = 1/6 ;

b) p_{2} = 1/4 ;

c) p_{5} = 1/12 ;

d) p_{4} = 1/9 ?

20. Losujemy liczbę ze zbioru {1,2,...,36}. Niech A będzie zdarzeniem: wylosowana liczba jest podzielna przez 3. Niech B będzie zdarzeniem: wylosowana liczba jest jednocyfrowa. Niech C będzie zdarzeniem: wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę 3 lub 0. Czy wtedy a) zdarzenia B i C są niezależne ;

b) zdarzenia A i B są niezależne ;

c) zdarzenia A, B i C są niezależne ;

d) zdarzenia A i C są niezależne ?