Czy komputer może być pomocny matematykowi? - refleksje historyka nauki.

Krzysztof Maślanka (Instytut Historii Nauki PAN)

Streszczenie:

Komputery zostały skonstruowane przez matematyków o uznanych osiągnięciach teoretycznych (von Neumann, Turing, Atanasoff, Aitken i in.). Nikt nie kwestionuje ich roli jako szybkich kalkulatorów czy edytorów skomplikowanych typograficznie tekstów. Coraz częściej jednak są one efektywnie przydatne jako swoiste "mikroskopy", pozwalające na wstępne, jakościowe rozeznanie w problemach matematycznych (np. badanie zaskakujących rozkładów zer wielomianów wysokich stopni czy poszukiwanie nowych, ścisłych formuł). Spektakularnym przykładem roli komputera w teorii liczb było obalenie przez A. Odlyzko i H. te Riele stuletniej hipotezy Mertensa (1985), gdzie komputer odegrał zasadniczą rolę.

O implikacjach własności skalowania dla modeli matematycznych w przyrodzie

Andrzej Raczyński (OM U.Wr.)

Streszczenie:

W trakcie wykładu przedstawione zostaną implikacje istnienia skalowania rozwiązań równań różniczkowych bądź funkcji opisujących pewne cechy organizmów. Na przykładzie rozwiązań samo-podobnych pokażemy jak rozwiązania te określają pewne własności pozostałych rozwiązań.


Grupy skończone z topologicznego punktu widzenia I,II

Stefan Jackowski (UW)

Streszczenie:

Wątkiem przewodnim obu wykładów będzie trwający od kilkunastu lat dialog teorii homotopii i teorii grup. Grupy dyskretne występują w topologii w naturalny sposób jako grupy podstawowe przestrzeni topologicznych. Kategorię grup dyskretnych można nawet utożsamić z pewną pełną podkategorią kategorii homotopijnej przestrzeni topologicznych. Pozwala to rozważać topologiczne konstrukcje na grupach, niewidoczne a priori z algebraicznego punktu widzenia. Wychodząc z motywacji teorii homotopii, C.Broto, R.Levi i B.Oliver rozwinęli teorię p-lokalnych "grup skończonych". Dla dowolnej liczby pierwszej p każda grupa skończona G definiuje grupę p-lokalną - jest to jej p-podgrupa Sylowa G_p wraz z informacją o sprzężeniach pochodzących z całej grupy. Niedawno współautorzy programu klasyfikacji grup prostych M.Aschbacher i A.Chermak w obszernej pracy w "Annals of Mathematics", kontynuując prace D.Bensona, pokazali, że wywodzące się z teorii homotopii egzotyczne przykłady p-lokalnych "grup" mają naturalną interpretacje na gruncie teorii grup. Wspomnimy też o homotopijnej teorii zwartych grup Lie, w której w naturalny sposób występują egzotyczne p-lokalne "grupy skończone".

W pierwszym wykładzie, przeznaczonym dla ogólnej publiczności matematycznej, omówione zostaną poglądowo pewne pojęcia z teorii grup i topologii niezbędne do pokazania związków teorii homotopii i teorii grup. Drugi wykład będzie adresowany do osób bliżej zainteresowanych geometrią i topologią i będzie silniej korzystał z narzędzi topologii algebraicznej.


Uniwersum matematyczne: rzeczywistość czy artefakt?

Roman Murawski (UAM)

Streszczenie:

Wykład poświęcony jest pytaniu: jak istnieją i czym są obiekty matematyczne? Zaprezentowana zostanie panorama odpowiedzi, które pojawiają się w filozofii matematyki, jak również argumenty, które za nimi przemawiają. Podane będą przykłady rozmaitych opinii matematyków i logików na ten temat i omówiony będzie wpływ, jaki przyjęcie danego stanowiska ma na sposób uprawiania matematyki


Trzy prawa chaosu

Michał Misiurewicz (IUPUI )

Streszczenie:

Wrażliwość na warunki początkowe jest znaną cechą układów chaotycznych. Motyl trzepoczący skrzydełkami w Hongkongu może wywołać po kilku dniach burzę we Wrocławiu. Uważa się często, że zachowanie tego motyla nie ma większego wpływu na średnie długoterminowe - ile burz rocznie będziemy średnio obserwować we Wrocławiu w ciągu najbliższych 500 lat. Okazuje się jednak, że istnieje czasem wrażliwość na parametry. W takim przypadku przywiezienie do Hongkongu kolejnego motyla może w zasadniczy sposób zmienić te średnie. W dodatku nie wiadomo zupełnie, czy pozbycie się z Hongkongu tak niebezpiecznego gatunku jak trzepoczące skrzydełkami motyle polepszy czy pogorszy sytuację klimatyczną we Wrocławiu w dalekiej przyszłości.


Nierówności Burkholdera i ich zastosowanie do całek osobliwych (Burkholder’s foundational inequalities and applications to singular integrals)

prof. Rodrigo Bańuelos (Purdue University)

Abstract

We will present an overview of some of the applications of the martingale inequalities of D.L. Burkholder to Lp-bounds for singular integrals, concentrating in particular on Lp-bounds for the Hilbert, Riesz, Beurling-Ahlfors transforms, and other multipliers obtained by projections (conditional expectations) of transformations of stochastic integrals. The aim is to obtain optimal, or near optimal, bounds in these inequalities. Time permits, some connections to problems in the calculus of variations will be mentioned.