WSTE‘P DO TOPOLOGII (A) Skrypt dla studentów

Paweł Krupski

[figure] Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego

Spis treści

PRZEDMOWA v Rozdział 1. Pojȩcie przestrzeni metrycznej 1

Ćwiczenia 5 Rozdział 2. Kule i granice cia̧gów 7

Ćwiczenia 9 Rozdział 3. Różne typy zbiorów. Podprzestrzenie 11

Ćwiczenia 17 Rozdział 4. Przekształcenia cia̧głe 21

1. Podstawowe rodzaje przekształceń cia̧głych 24 Ćwiczenia 29

Rozdział 5. Metryki równoważne 31

Ćwiczenia 33 Rozdział 6. Iloczyny kartezjańskie 35

Ćwiczenia 41 Rozdział 7. Przestrzenie topologiczne.

Metryzowalność 43

Ćwiczenia 45 Rozdział 8. Przestrzenie spójne. Składowe.

Rozspajanie 47

Ćwiczenia 54 Rozdział 9. Przestrzenie łukowo spójne 55

Ćwiczenia 61 Rozdział 10. Przestrzenie zwarte 63

Ćwiczenia 74 Rozdział 11. Przestrzenie zupełne 75

Ćwiczenia 85

iv SPIS TREŚCI

Rozdział 12. Przestrzenie ośrodkowe 87

Ćwiczenia 91 Rozdział 13. Zbiór Cantora 93

Ćwiczenia 101 Bibliografia 103 Indeks 105

PRZEDMOWA

Skrypt oparty jest na semestralnych wykładach z topologii prowadzonych przeze mnie w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Wrocławskiego i przeznaczonych dla studentów sekcji ogólnej i zastosowań matematyki oraz studiów zaocznych. Obecnie wykład ten jest zakodowany pod nazwa‘ Wste‘ p do topologii A. Obejmuje on omówienie i przegla‘d podstawowych poje‘ć i twierdzeń topologicznych, wyste‘puja‘cych na co dzień w różnych działach matematyki i ogranicza sie‘ w zasadzie do przestrzeni metrycznych. Ogólne przestrzenie topologiczne sa‘ tu jedynie wzmiankowane.

W stosunku do realiów żywego wykładu skrypt proponuje nieco rozszerzona‘ wersje‘ materiału, która‘ można zaproponować ambitniejszej grupie studenckiej. Według mojego doświadczenia minimum programowe, które jest do zrealizowania w cia‘gu semestru może pomina‘ć takie zagadnienia, jak iloczyny kartezjańskie nieskończenie wielu przestrzeni metrycznych, dowody niektórych trudniejszych twierdzeń i zadania o charakterze teoretycznym.

Wykład Wste‘ p do topologii (A) i skrypt maja‘ charakter “służebny” w stosunku do innych działów matematyki. W zwia‘zku z tym pominie‘te sa‘ prawdziwe problemy, którymi zajmuje sie‘ dziedzina matematyki zwana topologia‘. Studenci zainteresowani ta‘ dziedzina‘ powinni sie‘gna‘ć po podre‘czniki wprowadzaja‘ce, z których w je‘zyku polskim szczególnie godne polecenia, moim zdaniem, sa‘: [ES], [E],[Ku], [D].

Niniejszy skrypt w żadnym wypadku nie rości sobie pretensji do oryginalności zawartego materiału. Podobieństwa do innych tekstów sa‘ w nim cze‘ste i naturalne.

Be‘de‘ niezmiernie wdzie‘czny czytelnikom za wszelkie uwagi krytyczne, które moga‘ sie‘ przyczynić do ulepszenia kolejnych wersji skryptu.

Paweł Krupski Grudzień 2000

ROZDZIAł 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja‘ ρ : X × X → [0, ∞), spełniaja‘ca‘ naste‘puja‘ce trzy warunki

M1: ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
M2: ρ(x, y) = ρ(y, x),
M3: ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z),

dla dowolnych x, y, z ∈ X, nazywamy przestrzenia‘ metryczna‘ i oznaczamy symbolem (X, ρ). Funkcje‘ ρ nazywamy metryka‘ w X, elementy zbioru X—punktami, a wartość ρ(x, y)—odległościa‘ mie‘ dzy punktami x, y w przestrzeni metrycznej (X, ρ). Warunek M3 zwie sie‘ nierównościa‘ trójka‘ta.

Jeśli rozważamy przestrzeń metryczna‘ z ustalona‘ jedna‘ metryka‘ ρ, to zamiast pisać (X, ρ), be‘dziemy po prostu pisać X.

Średnica‘ niepustego podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest liczba diam A = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ X}, jeśli rozważany kres górny istnieje; mówimy wtedy, że zbiór A jest ograniczony. W przeciwnym wypadku piszemy diam A = ∞.

Przykład 1.1. Przestrzeń dyskretna. W dowolnym zbiorze niepustym X można określić metryke‘ ρ_{01} przyjmuja‘ca‘ wartość 0 na każdej parze punktów równych oraz 1 na pozostałych parach punktów. Przestrzeń metryczna‘ (X, ρ_{01}) nazywamy przestrzenia‘ dyskretna‘.

Przykład 1.2. Przestrzeń unormowana.

Przestrzeń unormowana jest to przestrzeń liniowa X (dla prostoty— nad ℝ), w której określona jest norma ∥ · ∥ wektorów, tj. funkcja ∥ · ∥ : X → [0, ∞) maja‘ca naste‘puja‘ce własności:

(1) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0
(2) ∥αx∥ = |α|∥x∥
(3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

dla dowolnych wektorów x, y ∈ X i skalara α ∈ ℝ.

Przestrzeń taka‘ oznaczamy symbolem (X, ∥ · ∥). Przy pomocy normy określamy łatwo metryke‘ ρ w X wzorem ρ(x, y) = ∥x − y∥.

Przykładami najcze‘ściej spotykanych w matematyce przestrzeni unormowanych sa‘ przestrzenie euklidesowe, przestrzeń Hilberta l_{2} lub różnego rodzaju przestrzenie funkcyjne. Niektóre z nich omówione sa‘ poniżej.

Przykład 1.3. Przestrzeń euklidesowa.

Jest to n-wymiarowa przestrzeń unormowana ℝ^{n} z norma‘ euklidesowa‘ dana‘ wzorem

∥x∥_{e} = \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}},

gdzie x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}. Wobec tego metryka euklidesowa w ℝ^{n} dana jest wzorem

ρ_{e}(x, y) = ∥x − y∥_{e} = \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − y_{i})^{2}}.

Zauważmy, że odległość euklidesowa dwóch punktów oznacza geometrycznie długość odcinka prostoliniowego mie‘dzy nimi.

Przykład 1.4. W przestrzeni liniowej ℝ^{n} rozważa sie‘ cze‘sto dwie inne normy:

(1) ∥x∥_{s} = ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|,

(2) ∥x∥_{m} = max{|x_{1}|, …, |x_{n}|},

gdzie x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n}, prowadza‘ce odpowiednio do metryk (1) ρ_{s}(x, y) = ∥x − y∥_{s},

(2) ρ_{m}(x, y) = ∥x − y∥_{m}.

Obie metryki sa‘ równoważne metryce euklidesowej, o czym be‘dzie mowa w dalszej cze‘sci. Ich interpretacja geometryczna jest jasna.

Przykład 1.5. metryka centrum. W ℝ^{n} określamy odległość punktów wzorem

ρ_{c}(x, y) = \begin{cases}ρ_{e}(x, y) & gdy 0, x, y sa̧ współliniowe, \\ ∥x∥_{e} + ∥y∥_{e} & w przeciwnym razie. \end{cases}

Można podawać wiele interpretacji fizycznych, w których punkty materialne moga‘ sie‘ poruszać wyła‘cznie po promieniach wychodza‘cych z “centrum” 0 i wtedy metryka ρ_{c} w sposób naturalny mierzy odległość punktów. Przemawia do wyobraźni przykład miasta (lub kopalni), w którym wszystkie ulice (chodniki) schodza‘ sie‘ promieniście do rynku (centralnego szybu). Metryke‘ ρ_{c} nazywa sie‘ czasem metryka‘ “centrum” lub metryka‘ “jeża” z kolcami, be‘da‘cymi promieniami wychodza‘cymi z

Przykład 1.6. metryka rzeka. Na płaszczyźnie określamy odległość punktów x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}):

ρ_{r}(x, y) = \begin{cases}ρ_{e}(x, y) & gdy x_{1} = y_{1}, \\ |x_{2}| + |x_{1} − y_{1}| + |y_{2}| & w przeciwnym razie. \end{cases}

Taka odległość staje sie‘ naturalna w dżungli amazońskiej, gdzie jedynymi doste‘pnymi szlakami sa‘ proste ścieżki wydeptane przez zwierze‘ta do rzeki (prosta x_{2} = 0) i sama rzeka.

Dwie ostatnie metryki okaża‘ sie‘ nierównoważne metryce euklidesowej.

Przykład 1.7. Na sferze S^{2} = { x ∈ ℝ^{3} : ∥x∥_{e} = 1 } określamy odległość geodezyjna‘ ρ(x, y) jako długość niedłuższego łuku koła wielkiego od x do y.

Przykład 1.8. Przestrzeń Hilberta

l_{2} = { (x_{1}, x_{2}, …) ∈ ℝ^{∞} : ∑_{i=1}^{∞}(x_{i})^{2} < ∞}.

Jest to przestrzeń unormowana z norma‘

∥x∥ = \sqrt{∑_{i=1}^{∞}(x_{i})^{2}},

gdzie x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ l_{2}. Można ja‘ uważać za nieskończenie wymiarowy odpowiednik przestrzeni euklidesowych.

Przykład 1.9. Kostka Hilberta Q. Jest to podzbiór przestrzeni l_{2} postaci

Q = \{ (x_{1}, x_{2}, …) : |x_{i}| ≤ \frac{1}{i} \},

z metryka‘ określona‘ takim samym wzorem, jak w l_{2}.

Przykład 1.10. Przestrzeń B(X, Y).

Jeśli X jest dowolnym zbiorem niepustym, a (Y, ρ)—przestrzenia‘ metryczna‘, to w zbiorze B(X, Y) wszystkich funkcji f : X → Y ograniczonych, to znaczy takich, że diam f(X) < ∞, wprowadzamy metryke‘

ρ_{sup}(f, g) = sup{ρ(f(x), g(x)) : x ∈ X}

(metryka ta zwana jest metryka‘ zbieżności jednostajnej). W przypadku, gdy Y jest przestrzenia‘ unormowana‘, z norma‘ ∥ · ∥, również B(X, Y) staje sie‘ w naturalny sposób przestrzenia‘ unormowana‘, można bowiem dodawać funkcje i mnożyc je przez skalary rzeczywiste, a norme‘ funkcji f określa wzór ∥f∥_{sup} = sup{∥f(x)∥ : x ∈ X}. Odległość funkcji w tej metryce szacuje różnice‘ mie‘dzy ich wartościami.

Przykład 1.11. Przestrzeń C_{1}.

Określamy C_{1} = { f : [0, 1] → ℝ : f jest cia‘gła }. Jest to przestrzeń unormowana z norma‘ ∥f∥_{1} = ∫_{0}^{1} |f(x)|dx. Odległość dwóch funkcji w metryce otrzymanej z tej normy jest polem obszaru pomie‘dzy ich wykresami.

Przykład 1.12. Przestrzeń zmiennych losowych

W rachunku prawdobodobieństwa rozważa sie‘ zbiór X zmiennych losowych określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, w której dane jest prawdopodobieństwo P. W X mamy naturalna‘ relacje‘ równoważności:

f ∼ g ⇔ P ({ x ∈ E : f(x) ≠ g(x) }) = 0.

Relacja ta utożsamia zmienne losowe równe prawie wsze‘dzie, tzn. równe z prawdopodobieństwem 1. W zbiorze X̃ klas abstrakcji relacji ∼ wprowadzamy metryke‘ wzorem:

ρ([f], [g]) = sup_{ϵ>0} P ({ x ∈ E : |f(x) − g(x)| ≥ ϵ }).

Odległość ta szacuje prawdopodobieństwo zdarzeń, że zmienne losowe f, g różnia‘ sie‘ o pewna‘ wielkość dodatnia‘.

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić, że normy i metryki opisane przykładach w rozdziale 1, rzeczywiście spełniaja‘ warunki definicji normy i M1–M3 definicji metryki.

(2) Sprawdzić, czy nastȩpuja̧ce funkcje sa̧ metrykami w podanych zbiorach:

(a) ρ′(p, q) = min(1, ρ(p, q)), gdzie p, q ∈ (X, ρ).

(b) ρ̂(p, q) = \frac{ρ(p,q)}{1+ρ(p,q)}, gdzie p, q ∈ (X, ρ).

(c) ρ(m, n) = |\frac{1}{m} − \frac{1}{n}|, m, n ∈ ℕ.

ROZDZIAł 2 Kule i granice cia̧gów

Kule i granice cia‘gów sa‘ podstawowymi poje‘ciami dla przestrzeni metrycznych.

Definicja 2.1. Kula‘ o środku (wokół) p i (o) promieniu r > 0 w przestrzeni metrycznej (X, ρ) nazywamy zbiór

K(p; r) = { x ∈ X : ρ(p, x) < r }.

Kula‘ uogólniona‘ wokół podzbioru A ⊂ X o promieniu r nazywamy zbiór K(A; r) = { x ∈ X : (∃a ∈ A)ρ(x, a) < r }.

Kula K(p; r) zawiera wie‘c punkty w przestrzeni X leża‘ce bliżej niż r od punktu p w sensie metryki ρ. Zauważmy, że środek kuli zawsze do niej należy i że jeśli dwie kule maja‘ ten sam środek, to kula o mniejszym promieniu zawiera sie‘ w kuli o promieniu wie‘kszym.

Kula uogólniona K(A; r) jest zaś suma‘ wszystkich kul o środkach należa‘cych do zbioru A i promieniach r.

W przestrzeni dyskretnej (Przykład 1.1) kulami sa‘ zbiory jednopunktowe (dla promieni ≤ 1) ba‘dź cała przestrzeń (gdy promień jest > 1).

Na płaszczyźnie euklidesowej kulami sa‘ otwarte koła, w przestrzeni euklidesowej ℝ^{3} sa‘ nimi geometryczne otwarte kule, itd.

W przestrzeni B(ℝ, ℝ) (Przykład 1.10) kula‘ wokół funkcji f o promieniu r jest zbiór wszystkich funkcji, których wykresy leża‘ w pasie szerokości 2r wokół wykresu f.

Warto samodzielnie znaleźć postacie kul w innych przykładach z rozdziału 1 (zob. Ćwiczenia).

Naste‘puja‘ce stwierdzenie wyraża istotna‘ własność kul w dowolnej przestrzeni metrycznej (Xρ).

Stwierdzenie 2.1. Jeśli y ∈ K(x; r), to istnieje liczba r′ > 0 taka, że K(y; r′) ⊂ K(x; r).

Dowód. Przyjmijmy r′ = r − ρ(x, y). Wtedy r′ > 0 oraz jeśli z ∈ K(y; r′), to ρ(z, x) ≤ ρ(z, y) + ρ(y, x) < r′ + r − r′ = r, wie‘c z ∈ K(x; r). □

Dobrym ćwiczeniem wykorzystuja‘cym nierówność trójka‘ta dla metryki jest dowód naste‘puja‘cego faktu.

Stwierdzenie 2.2. Podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnej kuli w tej przestrzeni.

Terminologia dotycza‘ca cia‘gów w przestrzeniach metrycznych jest taka sama, jak w analizie matematycznej. Cia‘giem punktów w przestrzeni metrycznej (X, ρ) nazywamy, jak zwykle w matematyce, dowolna‘ funkcje‘ n ↦ x_{n} określona‘ na zbiorze ℕ o wartościach w X; stosujemy standardowe oznaczenia cia‘gów: (x_{n})_{n∈ℕ} lub (x_{1}, x_{2}, …).

Podcia‘g (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} jest to cia‘g punktów cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} taki, że (n_{1}, n_{2}, …) jest podcia‘giem rosna‘cym cia‘gu (1, 2, …).

Mówimy, że prawie wszystkie punkty cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} maja‘ pewna‘ własność, gdy istnieje liczba naturalna n_{0} taka, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ n_{0} punkt x_{n} ma te‘ własność. Na przykład mówimy, że cia‘g jest prawie stały, gdy x_{n_{0}} = x_{n_{0}+1} = … dla pewnego wskaźnika n_{0}.

Definicja 2.2. Punkt x ∈ X jest granica‘ cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} w przestrzeni metrycznej (X, ρ), gdy lim_{n→∞} ρ(x_{n}, x) = 0.

Piszemy wtedy lim x_{n} = x lub x_{n} → x, a o cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} mówimy, że jest zbieżny (do x) w przestrzeni metrycznej (X, ρ).

Stwierdzenie 2.3.

(1) Cia‘g zbieżny w dowolnej przestrzeni metrycznej ma dokładnie jedna‘ granice‘ .

(2) Każdy podcia‘g cia‘gu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co cały cia‘g.

Dowód. Załóżmy, że lim x_{n} = x oraz lim x_{n} = x′ w przestrzeni (X, ρ). Wtedy ρ(x, x′) ≤ ρ(x, x_{n})+ρ(x_{n}, x′), a ponieważ lim ρ(x, x_{n}) = lim ρ(x′, x_{n}) = 0, wie‘c ρ(x, x′) = 0, czyli x = x′.

Własność (2) wynika wprost z definicji granicy.

□

W przestrzeni dyskretnej jedynymi cia‘gami zbieżnymi sa‘ cia‘gi prawie stałe. W przestrzeni funkcyjnej B(X, Y) zbieżność cia‘gu funkcji oznacza ich zbieżność jednostajna‘.

Poje‘ciem zbliżonym do granicy cia‘gu jest poje‘cie punktu skupienia zbioru.

Definicja 2.3. Punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X w przestrzeni X, gdy x jest granica‘ cia‘gu punktów z A różnych od x.

Ćwiczenia

(1) Narysuj kule o środku p i promieniu r w metrykach ρ_{r}, ρ_{c}, ρ_{m}, ρ_{s} na płaszczyźnie, określonych w poprzednim rozdziale, gdzie

(a) p = (0, 0), r = 1,

(b) p = (1, 1), r = 1, r = 2.

(2) Udowodnij stwierdzenie 2.2.

(3) Udowodnij, że suma skończenie wielu kul przestrzeni metrycznej jest w niej podzbiorem ograniczonym.

(4) Niech S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} be‘dzie sfera‘ w przestrzeni euklidesowej ℝ^{3}, a (p_{n}) ⊂ S^{2} cia‘giem zbieżnym do p ∈ ℝ^{3}. Czy p ∈ S^{2} ? Do każdego punktu q ∈ S^{2} dobierz cia‘g (q_{n}) ⊂ ℝ^{3} \ S^{2} zbieżny do q.

(5) Znajdź wszystkie punkty skupienia zbioru

\{\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} : m, n, k ∈ ℕ\} .

ROZDZIAł 3 Różne typy zbiorów. Podprzestrzenie

Definicja 3.1. Podzbiór A ⊂ (X, ρ) nazywa sie‘ zbiorem otwartym w przestrzeni X, gdy A jest suma‘ pewnej ilości kul w X. Dopełnienie zbioru otwartego w X nazywa sie‘ zbiorem domknie‘ tym w X. Jeśli zbiór U ⊂ X jest otwarty w X i x ∈ U, to U nazywa sie‘ otoczeniem punktu x w przestrzeni X.

Zauważmy, że zbiorami otwartymi sa‘, mie‘dzy innymi, pojedyncze kule, cała przestrzeń X (suma wszystkich kul) i zbiór pusty (suma pustej rodziny kul). Zatem przestrzeń X i zbiór pusty sa‘ jednocześnie przykładami zbiorów domknie‘tych.

Zwróćmy też uwage‘, że w przestrzeni, która nie jest dyskretna, istnieja‘ podzbiory, które nie sa‘ ani otwarte, ani domknie‘te—inaczej mówia‘c, zbiór, który nie jest otwarty, nie musi być domknie‘ty (cze‘sto popełniany bła‘d logiczny!).

Rodzine‘ wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni X nazywamy topologia‘ przestrzeni X generowana‘ przez metryke‘ ρ.

Podstawowe własności mnogościowe zbiorów otwartych (domknie‘- tych) wyrażaja‘ sie‘ w naste‘puja‘cym stwierdzeniu.

Stwierdzenie 3.1.

(1) Suma (przekrój) dowolnej ilości podzbiorów otwartych (domknie‘ tych) jest podzbiorem otwartym (domknie‘ tym) przestrzeni.

(2) Przekrój (suma) skończenie wielu podzbiorów otwartych (domknie‘ tych) jest podzbiorem otwartym (domknie‘ tym) przestrzeni.

Dowód. Pierwsza wlasność zbiorów otwartych wynika natychmiast z ich definicji, jako sumy kul. Dowód drugiej opiera sie‘ na Stwierdzeniu 2.1. Wynika z niego, że przekrój dwóch kul jest zbiorem otwartym (nie musi być kula‘!), gdyż jeśli z ∈ K(x; r) ∩ K(y; r′), to istnieja‘ kula K(z; s) ⊂ K(x; r) oraz kula K(z; s′) ⊂ K(y; r′); wtedy, jeśli t = min(s, s′), to K(z; t) ⊂ K(x; r) ∩ K(y; r′)—widzimy wie‘c, że przekrój K(x; r) ∩ K(y; r′) jest suma‘ takich kul K(z; t), gdzie z ∈ K(x; r) ∩ K(y; r′).

Jeśli teraz U_{1} i U_{2} sa‘ podzbiorami otwartymi, to ich przekrój jest suma‘ przekrojów K(x; r) ∩ K(y; r′), gdzie K(x; r) ⊂ U_{1}, K(y; r′) ⊂ U_{2}, które sa‘ zbiorami otwartymi, a wie‘c jest on zbiorem otwartym. Przez prosta‘ indukcje‘ wnioskujemy, że przekrój skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.

Odpowiednie własności zbiorów domknie‘tych wynikaja‘ z własności zbiorów otwartych poprzez prawa de Morgana. Na przykład, jeśli {F_{γ}}_{γ∈Γ} jest dowolna‘ rodzina‘ podzbiorów domknie‘tych przestrzeni X, to przekrój

⋂{F_{γ} : γ ∈ Γ} = ⋂{X \ (X \ F_{γ}) : γ ∈ Γ} = X \ ⋃{X \ F_{γ} : γ ∈ Γ}

jest domknie‘ty, bo jest dopełnieniem zbioru otwartego

⋃{X \ F_{γ} : γ ∈ Γ}.
□

Podstawowymi operacjami topologicznymi wykonywanymi na dowolnych podzbiorach przestrzeni metrycznych sa‘ operacje wne‘trza i domknie‘cia.

Definicja 3.2. Wne‘ trzem int A podzbioru A ⊂ X w przestrzeni X jest maksymalny zbiór otwarty w X zawarty w A. Inaczej mówia‘c, int A jest suma‘ wszystkich zbiorów otwartych w X zawartych w A.

Skrót int pochodzi od łacińskiego słowa interior.

Zauważmy, że zbiór A jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu wne‘trzu.

Zbiór A może mieć wne‘trze puste—nazywamy go wtedy zbiorem brzegowym w X. Przykładami takich zbiorów sa‘ zbiór liczb wymiernych oraz zbiór liczb niewymiernych na prostej euklidesowej.

Definicja 3.3. Domknie‘ ciem cl_{X} A podzbioru A ⊂ X w przestrzeni X jest minimalny zbiór domknie‘ty w X, zawieraja‘cy A. Innymi słowy, cl_{X} A jest przekrojem wszystkich zbiorów domknie‘tych w X, zawieraja‘cych A.

Jeśli wiadomo, że rozpatrujemy domknie‘cie w ustalonej przestrzeni metrycznej X, to zamiast cl_{X} piszemy po prostu cl.

Oznaczenie cl jest skrótem angielskiego słowa closure.

Widać, że zbiór A jest domknie‘ty w X wtedy i tylko wtedy, gdy A = cl A.

Stwierdzenie 3.2. Każdy podzbiór A przestrzeni X spełnia naste‘ - puja‘ce warunki:

(1) cl ∅ = ∅.

(2) A ⊂ cl A.
(3) cl(cl A) = cl A.

(4) cl(A ∪ B) = cl A ∪ cl B.

Dowód. Pierwszy warunek wynika z domknie‘tości zbioru pustego, a drugi wprost z definicji domknie‘cia. Warunek (3) jest konsekwencja‘ definicji domknie‘cia i obserwacji, że cl A jest zbiorem domknie‘tym zawieraja‘cym A.

Ponieważ cl A i cl B sa‘ domknie‘te, wie‘c ich suma też, przy czym A ∪ B ⊂ cl A ∪ cl B, ska‘d cl(A ∪ B) ⊂ cl A ∪ cl B. Na odwrót, zarówno A ⊂ cl(A ∪ B), jak i B ⊂ cl(A ∪ B), wie‘c cl A ⊂ cl(A ∪ B) oraz cl B ⊂ cl(A ∪ B), bo cl(A ∪ B) jest domknie‘ty. □

Jeśli cl A = X, to A nazywa sie‘ zbiorem ge‘ stym w X. Zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne stanowia‘ przykłady zbiorów ge‘stych na prostej euklidesowej.

Stwierdzenie 3.3. Niech A be‘ dzie podzbiorem przestrzeni (X, ρ).

(1) x ∈ cl A wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie punktu x w X przecina zbiór A.

(2) x ∈ cl A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} taki, że x_{n} ∈ A, dla wszystkich n ∈ ℕ, oraz lim x_{n} = x.

(3) int A = X \ cl(X \ A)

(4) Zbiór A jest brzegowy w przestrzeni X wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie X \ A jest zbiorem ge‘ stym w X.

Dowód.

(1) Istnienie otoczenia U punktu x, które nie przecina zbioru A jest równoważne temu, że x nie należy do zbioru domknie‘tego X \ U, zawieraja‘cego A, wie‘c x nie należy do cl A. Na odwrót, jeśli x ∉ cl A, to U = X \ cl A jest otoczeniem punktu x rozła‘cznym z A.

(2) Załóżmy, że x ∈ cl A. Wtedy, na podstawie własności (1), każda kula K(x; \frac{1}{n}), n ∈ ℕ, zawiera pewien punkt z A—oznaczmy go przez x_{n}. Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest zbieżny do x, bo ρ(x, x_{n}) < \frac{1}{n}, wie‘c lim_{n→∞} ρ(x, x_{n}) = 0. Na odwrót, jeśli lim ρ(x, x_{n}) = 0, x_{n} ∈ A i U jest otoczeniem x, to istnieje kula K(x; r) ⊂ U, a w niej znajduja‘ sie‘ prawie wszystkie punkty x_{n}. Znowu z własności (1) wynika, że x ∈ cl A.

(3) Zbiór X \ int A jest domknie‘ty i zawiera X \ A, wie‘c

cl(X \ A) ⊂ X \ int A,

ska‘d

int A ⊂ X \ cl(X \ A).

Z drugiej strony

X \ A ⊂ cl(X \ A),

czyli zbiór X \ cl(X \ A) jest otwarty i zawarty w A, zatem zawiera sie‘ w int A.

(4) Te‘ równoważność otrzymujemy od razu ze wzoru (3).

□

Z powyższego stwierdzenia wynika praktyczna uwaga:

Uwaga 3.1. Zbiór A ⊂ X jest domknie‘ty w przestrzeni X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego cia‘gu punktów z A zbieżnego w X jego granica należy do A.

Definicja 3.4. Podzbiór Y przestrzeni metrycznej X jest typu G_{δ} w X, gdy Y jest przekrojem przeliczalnej ilości podzbiorów otwartych przestrzeni X.

Dopełnienia podzbiorów typu G_{δ} w X nazywaja‘ sie‘ F_{σ} w X.

Stwierdzenie 3.4. Każdy zbiór domknie‘ ty w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest typu G_{δ}, a każdy zbiór otwarty w X jest typu F_{σ}.

Dowód. Niech F be‘dzie domknie‘ty w X. Pokażemy, że

F = ⋂_{n=1}^{∞} K(F; \frac{1}{n}),

gdzie K(F; \frac{1}{n}) oznacza kule‘ uogólniona‘ wokół F o promieniu \frac{1}{n} (taka kula jest oczywiście zbiorem otwartym).

Niech x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} K(F; \frac{1}{n}). Dla każdego n istnieje wie‘c punkt x_{n} ∈ F taki, że

ρ(x, x_{n}) < \frac{1}{n}.

Sta‘d

lim_{n→∞} x_{n} = x

i, z domknie‘tości F, x ∈ F. Inkluzja odwrotna

F ⊂ ⋂_{n=1}^{∞} K(F; \frac{1}{n})

jest oczywista.

Druga‘ cze‘ść stwierdzenia uzyskujemy z pierwszej stosuja‘c prawa de Morgana rachunku zbiorów. □

Definicja 3.5. Zbiór A ⊂ X jest nigdziege‘ sty w przestrzeni X, gdy jego domknie‘cie jest zbiorem brzegowym w X.

Łatwo zauważyć, że podzbiór zbioru brzegowego w przestrzeni X jest brzegowy w X i że—wobec tego— zbiór nigdziege‘sty jest brzegowy. Oczywiście zbiór brzegowy nie musi być nigdziege‘sty, jeśli nie jest domknie‘ty (np. zbiór liczb wymiernych na prostej euklidesowej).

Definicja 3.6. Brzegiem zbioru A ⊂ X w przestrzeni X nazywamy zbiór bd A = cl A \ int A.

Skrót bd pochodzi od angielskiego boundary.

Przykład 3.1. Brzegiem kuli K(c; r) w przestrzeni euklidesowej ℝ^{n} jest sfera (n − 1)-wymiarowa o środku c i promieniu r, czyli zbiór punktów odległych o r od środka c. W innych przestrzeniach metrycznych tak być nie musi.

Nie należy mylić poje‘ć “zbioru brzegowego”i “brzegu zbioru”. Brzeg zbioru nie musi być zbiorem brzegowym (np. brzegiem zbioru liczb wymiernych na prostej euklidesowej jest cała prosta), ani zbiór brzegowy nie musi być brzegiem żadnego zbioru (ten sam przykład!).

Zauważmy jeszcze, że zbiór A ⊂ X jest otwarto-domknie‘ty w przestrzeni X wtedy i tylko wtedy, gdy bd A = ∅.

Definicja 3.7. Zbiór punktów skupienia zbioru A ⊂ X w przestrzeni X nazywamy pochodna‘ zbioru A w X i oznaczamy symbolem A^{d}.

Uwaga 3.2. Z definicji pochodnej i stwierdzenia 3.3 łatwo wynika wzór

cl A = A ∪ A^{d}

dla każdego podzbioru A przestrzeni metrycznej X.

Definicja 3.8. Jeśli A ⊂ A^{d}, to A nazywamy zbiorem w sobie ge‘ stym.

Przykładem zbioru w sobie ge‘stego jest zbiór liczb wymiernych na prostej euklidesowej; zbiór liczb całkowitych nie jest w sobie ge‘sty.

Definicja 3.9. Niech (X, ρ) be‘dzie przestrzenia‘ metryczna‘ i Y ⊂ X. Przestrzeń metryczna‘ (Y, ρ ↾ Y × Y) nazywamy podprzestrzenia‘ przestrzeni X. Metryke‘ ρ ↾ Y × Y oznaczamy zwykle tym samym symbolem ρ, co metryke‘ w całej przestrzeni X.

Aby odróżnić poje‘cia dotycza‘ce podprzestrzeni Y od analogicznych poje‘ć dla całej przestrzeni X wygodnie jest zaznaczać przy nich symbole oznaczaja‘ce te przestrzenie, np. K_{Y} (y; r), cl_{Y} , int_{Y} , bd_{Y} oznaczać be‘da‘ odpowiednio: kule‘ o środku y i promieniu r, domknie‘cie, wne‘trze, brzeg w podprzestrzeni Y.

16 3. RÓŻNE TYPY ZBIORÓW. PODPRZESTRZENIE

Z powyższej definicji wynikaja‘ od razu wzory:

(3.1)  K_{Y} (y; r) = Y ∩ K_{X}(y; r);
(3.2)  cl_{Y}(A) = Y ∩ cl_{X}(A) dla A ⊂ Y;
(3.3) U ⊂ Y jest otwarty (domknie‘ty) w Y wtedy i tylko wtedy, gdy
U jest postaci U = Y ∩ U′

dla pewnego zbioru otwartego (domknie‘tego) U′ w X.

Ćwiczenia

(1) Uzasadnić drugie zdania w definicjach 3.2 i 3.3.

(2) Podać przykłady przestrzeni metrycznych z kulami K(x; r), których brzegiem nie jest zbiór punktów odległych o r od środka x.

(3) Kiedy zbiór brzegowy jest równy swojemu brzegowi?

(4) Wyprowadzić wzory (3.1)–(3.3).

(5) Znajdź podzbiór przeliczalny i ge‘sty w zbiorze liczb niewymiernych P z metryka‘ euklidesowa‘.

(6) Udowodnij, że jeśli zbiór G jest otwarty w X, to dla dowolnego zbioru A ⊂ X zachodzi

(a) G ∩ cl A ⊂ cl(G ∩ A)

(b) cl(G ∩ cl A) = cl(G ∩ A) Podaj przykład na istotność inkluzji (a).

(7) Udowodnij, że suma zbioru brzegowego i zbioru nigdziege‘stego w przestrzeni X jest zbiorem brzegowym w X oraz przekrój dwóch podzbiorów ge‘stych i otwartych w X jest ge‘sty i otwarty w X.

(8) Znajdź wne‘trze, domknie‘cie i brzeg naste‘puja‘cych podzbiorów:

ℝ×ℕ, ℝ×[0, ∞), [0, 1)×{0}, {(x, y) : x^{2}+y^{2} = 5}, ℚ×(ℝ\ℚ), ℝ × {0}

(a) płaszczyzny euklidesowej,

(b) płaszczyzny z metryka‘ “centrum”.

(c) płaszczyzny z metryka‘ “rzeka”.

(9) Rozpatrujemy przestrzeń (X, ρ), gdzie X = [0, 1] × (0, 1) ⊂ (ℝ^{2}, ρ) dla ρ = ρ_{e}, ρ_{c}, ρ_{r}. Podaj wne‘trze, domknie‘cie, brzeg i zbadaj, czy naste‘puja‘ce podzbiory sa‘ otwarte, domknie‘te, brzegowe, ge‘ste w X: \{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … \} × (0, 1), (0, 1) × \{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … \}, (\frac{1}{2}, 1) × (0, 1), (\frac{1}{2}, 1] × (0, 1), {(x, x) : 0 < x < 1}, (ℚ ∩ (0, 1)) × (ℚ ∩ (0, 1)).

(10) Niech S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} be‘dzie sfera‘ w przestrzeni euklidesowej ℝ^{3}. Czy S^{2} jest domknie‘ty i brzegowy w ℝ^{3} ? Rozważ to samo zadanie zaste‘puja‘c sfere‘ kula‘ B^{3} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1}.

(11) Czy zbiór {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{9} + y^{7} − sin(xy) = 1} jest domknie‘ty na płaszczyźnie euklidesowej? A zbiór {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x − [x]} ? Czy średnica koła bez brzegu jest zbiorem domknie‘tym (otwartym) w tym kole? na płaszczyźnie euklidesowej?

(12) Udowodnij naste‘puja‘ce wzory:

(a) cl A = A ∪ A^{d},

(b) cl A^{d} = A^{d},

(c) (A ∪ B)^{d} = A^{d} ∪ B^{d},

(d) ⋃_{t} A_{t}^{d} ⊂ (⋃_{t} A_{t})^{d},

(e) A^{dd} ⊂ A^{d}.

Podaj przykłady na istotność dwu ostatnich inkluzji.

(13) Znajdź domknie‘cie zbioru S = \{(x, y) ∈ R^{2} : y = sin \frac{1}{x}\} na płaszczyźnie euklidesowej. Czy S jest otwarty, ge‘sty, brzegowy w cl S ? A w ℝ^{2} ? Znajdź punkty skupienia S w ℝ^{2}.

(14) Czy prosta w przestrzeni euklidesowej ℝ^{m}, m > 1, jest zbiorem: domknie‘tym, otwartym, brzegowym, ge‘stym? To samo pytanie dla płaszczyzny w ℝ^{m}, m > 2. A gdyby w pytaniu pierwszym rozpatrywać (ℝ^{2}, ρ_{c})?

(15) Udowodnij wzory dla podzbiorów przestrzeni metrycznej X i podaj przykłady na istotność inkluzji:

(a) cl A = int A ∪ bd A

(b) bd(int A) ⊂ bd A

(c) cl(A ∩ B) ⊂ cl A ∩ cl B

(d) X \ cl A = int(X \ A)

(e) X \ int A = cl(X \ A)

(16) Podaj przykłady wskazuja‘ce na to, że przekrój przeliczalnej ilości zbiorów otwartych nie musi być otwarty, a suma przeliczalnej ilości zbiorów domknie‘tych nie musi być zbiorem domknie‘tym.

(17) Sprawdź wzory dla podzbiorów ustalonej przestrzeni metrycznej X:

(a) A ⊂ B ⇒ cl A ⊂ cl B

(b) cl A \ cl B ⊂ cl(A \ B)

(c) int(A ∩ B) = int A ∩ int B

(d) ⋃_{t} (int A_{t}) ⊂ int ⋃_{t} A_{t}

(e) bd(A ∪ B) ⊂ bd A ∪ bd B; jeśli A ∩ cl B = ∅ = B ∩ cl A, to zachodzi równość.

(f) bd(A ∩ B) ⊂ bd A ∪ bd B

(g) bd A = bd(X \ A)

(h) bd(cl A) ⊂ bd A

(i) bd A = ∅ ⇔ A jest otwarto-domknie‘ty.

(j) diam(cl A) = diam A Podaj przykłady na istotność inkluzji w odpowiednich wzorach.

(18) Niech zbiór A ⊂ Y be‘dzie ge‘sty w podprzestrzeni Y ⊂ X, która

jest ge‘sta w X. Czy A jest ge‘sty w X?

Niech D be‘dzie ge‘sty w X, a Y ⊂ X be‘dzie otwarty w X. Czy D ∩ Y jest ge‘sty w podprzestrzeni Y?

(19) Zbadaj zbieżność cia‘gu punktów płaszczyzny

p_{n} = (cos (\frac{π}{4} + \frac{1}{n}) , sin (\frac{π}{4} + \frac{1}{n}))

w metrykach ρ_{e}, ρ_{c}, ρ_{r}, ρ_{01}. Co jest domknie‘ciem zbioru {p_{1}, p_{2}, … } na płaszczyźnie w tych metrykach?

(20) Udowodnij, że zbiór A ⊂ (X, ρ) jest ge‘sty w X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru otwartego niepustego U ⊂ X jest A ∩ U ≠ ∅.

(21) Znajdź wszystkie podzbiory ge‘ste w (ℕ, ρ_{e}).

ROZDZIAł 4 Przekształcenia cia̧głe

Definicja 4.1. Niech (X, ρ_{X}), (Y ρ_{Y}), be‘da‘ przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y nazywa sie‘ przekształceniem cia‘głym w punkcie x ∈ X, gdy dla każdego cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} zbieżnego do x w (X, ρ_{X}) cia‘g (f(x_{n}))_{n∈ℕ} jest zbieżny do f(x) w (Y, ρ_{Y}).

Jeśli f : X → Y jest cia‘głe w każdym punkcie przestrzeni X, to f nazywamy przekształceniem cia‘głym.

Tak, jak w analizie matematycznej dowodzi sie‘ równoważności definicji 4.1, zwanej Heinego, cia‘głości f w punkcie x z tzw. definicja‘ Cauchy’ego cia‘głości w punkcie x:

(C): ∀ϵ > 0∃δ > 0(ρ_{X}(x, x′) < δ ⇒ ρ_{Y} (f(x), f(x′)) < ϵ). Warunek (C) cze‘sto wygodnie jest wysławiać, używaja‘c kul:

(C): dla każdej kuli K(f(x); ϵ) w Y istnieje kula K(x; δ) w X

taka, że f(K(x; δ)) ⊂ K(f(x); ϵ). W przestrzeniach metrycznych można sformułować poje‘cie cia‘głości

przekształcenia w je‘zyku zbiorów otwartych, domknie‘tych lub przy użyciu operacji cl.

Stwierdzenie 4.1. f : X → Y jest cia‘głe w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V ⊂ Y punktu f(x) istnieje otoczenie U ⊂ X punktu x takie, że f(U) ⊂ V.

Naste‘ puja‘ce warunki sa‘ równoważne.

(1) f : X → Y jest cia‘głe;

(2) przeciwobraz f^{−1}(V) jest otwarty w X dla każdego zbioru otwartego V w Y;

(3) przeciwobraz f^{−1}(D) jest domknie‘ ty w X dla każdego zbioru domknie‘ tego D w Y;

(4) f(cl A) ⊂ cl f(A) dla dowolnego podzbioru A ⊂ X.

Dowód. Pierwsza‘ cze‘ść uzyskujemy łatwo z warunku Cauchy’ego (C) cia‘głości w punkcie: jeśli f jest cia‘głe w x i V jest otoczeniem punktu f(x), to istnieje kula K(f(x); ϵ) ⊂ V, a dla niej istnieje kula K(x; δ) = U ⊂ X, taka że f(U) ⊂ K(f(x); ϵ) ⊂ V. Na odwrót, jeśli dla każdego otoczenia V punktu f(x) istnieje otoczenie U punktu x spełniaja‘ce f(U) ⊂ V, to przyjmuja‘c V = K(f(x); ϵ) znajdziemy kule‘ K(x; δ) ⊂ U, której obraz przez f be‘dzie sie‘ oczywiście zawierał w kuli K(f(x); ϵ).

Przechodza‘c do dowodu drugiej cze‘ści, załóżmy, że warunek (1) jest spełniony i V jest podzbiorem otwartym przestrzeni Y. Niech x be‘dzie dowolnym punktem zbioru f^{−1}(V). Z pokazanej przed chwila‘ pierwszej cze‘ści stwierdzenia wynika istnienie otoczenia U punktu x takiego, że f(U) ⊂ V, co oznacza U ⊂ f^{−1}(V). Wobec tego zbiór f^{−1}(V) jest otwarty, czyli zachodzi (2).

Warunek (3) wynika z (2) (jest do niego dualny) wre‘cz z definicji zbioru domknie‘tego (i oczywistych własności przeciwobrazów): jeśli D jest domknie‘ty w Y, to Y \ D jest otwarty w Y oraz f^{−1}(D) = f^{−1}(Y \ (Y \ D)) = X \ f^{−1}(Y \ D) jest domknie‘ty w X.

W celu pokazania implikacji (3) ⇒ (4), zauważmy, że zbiór cl f(A) jest domknie‘ty w Y, wie‘c jego przeciwobraz f^{−1}(cl f(A)) jest domknie‘ty w X, a przy tym A ⊂ f^{−1}(f(A)) ⊂ f^{−1}(cl f(A)). Z definicji domknie‘cia zbioru otrzymujemy zawieranie cl A ⊂ f^{−1}(cl f(A)), z którego dostajemy (4).

Aby udowodnić ostatnia‘ implikacje‘ (4) ⇒ (1), przypuśćmy, że f nie jest cia‘głe w pewnym punkcie x, to znaczy istnieje cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} zbieżny do x w przestrzeni X taki, że cia‘g (f(x_{n}))_{n∈ℕ} nie jest zbieżny do f(x) w przestrzeni Y. Zatem istnieje kula K(f(x); ϵ) ⊂ Y, poza która‘ znajduje sie‘ nieskończenie wiele punktów cia‘gu (f(x_{n}))_{n∈ℕ}. Spośrod tych punktów wybierzmy podcia‘g (f(x_{n_{k}}))_{k∈ℕ} i przyjmijmy w (4) A = {x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, … }. Ponieważ x ∈ cl A, wie‘c f(x) ∈ cl f(A), ska‘d wnosimy, że kula K(f(x); ϵ) zawiera punkt zbioru f(A) = {f(x_{1}), f(x_{2}), … } —sprzeczność.

□

Stwierdzenie 4.2. Jeśli A jest podprzestrzenia‘ przestrzeni metrycznej X i f : X → Y jest przekształceniem cia‘glym, to przekształcenie f ↾ A : A → Y jest też cia‘głe.

Dowód. Uzasadnienie polega na sprawdzeniu definicji przekształcenia cia‘głego, pamie‘taja‘c, że cia‘g zbieżny w podprzestrzeni jest jednocześnie zbieżny w całej przestrzeni. □

Jednym z ważnych zagadnień w topologii i w analizie matematycznej jest zagadnienie odwrotne do Stwierdzenia 4.2, a dokładniej— badanie, kiedy przekształcenie cia‘głe f : A → Y da sie‘ przedłużyć do przekształcenia cia‘głego f^{∗} : X → Y, tj. spełniaja‘cego f^{∗} ↾ A = f (takie przekształcenie f^{∗} nazywa sie‘ przedłużeniem cia‘głym przekształcenia f na X). Znane przykłady z analizy wskazuja‘, że nie każde przekształcenie cia‘głe określone na podprzestrzeni prostej euklidesowej ma przedłużenie cia‘głe na cała‘ prosta‘. Ważnym i nietrywialnym wynikiem pozytywnym jest twierdzenie Tietzego, którego dowód można znaleźć w podre‘cznikach, np. [ES], [Ku].

Twierdzenie 4.1. (Tietzego) Niech Y be‘ dzie jedna‘ z naste‘ puja‘- cych przestrzeni z metryka‘ euklidesowa‘: ℝ^{n}, [a; b]^{n}, (a; b]^{n}, gdzie n ∈ ℕ lub kostka‘ Hilberta. Jeśli A jest podzbiorem domknie‘ tym przestrzeni metrycznej X, to każde przekształcenie cia‘głe f : A → Y ma przedłużenie cia‘głe na X.

Składanie przekształceń cia‘głych prowadzi do przekształceń cia‘głych.

Stwierdzenie 4.3. Jeśli f : X → Y jest cia‘głe w punkcie x, a g : Y → Z jest cia‘głe w punkcie f(x), to złożenie gf : X → Z jest cia‘głe w x. Zatem jeśli f i g sa‘ cia‘gle, to gf jest też cia‘głe.

Dowód. Niech W ⊂ Z be‘dzie otoczeniem punktu g(f(x)). Z cia‘- głości g wynika istnienie otoczenia V ⊂ Y punktu f(x) takiego, że g(V) ⊂ W, a z cia‘głości f —istnienie otoczenia U ⊂ X punktu x takiego, że f(U) ⊂ V. Sta‘d g(f(U)) ⊂ g(V) ⊂ W, wie‘c gf jest cia‘głe w punkcie x. □

Cze‘sto określamy przekształcenie na całej przestrzeni X, określaja‘c je na podzbiorach, które daja‘ w sumie X. Naste‘puja‘ce stwierdzenie podaje w dwóch wersjach—dla podzbiorów domknie‘tych i otwartych, kiedy taka procedura jest poprawna i gwarantuje cia‘głość przekształcenia na X.

Stwierdzenie 4.4. Niech A i B be‘ da‘ podzbiorami domknie‘ tymi (otwartymi) przestrzeni X i A∪B = X. Jeśli f′ : A → Y i f′′ : B → Y sa‘ cia‘głe oraz f′(x) = f′′(x) dla wszystkich x ∈ A∩B, to przekształenie f : X → Y określone wzorem

f(x) = \begin{cases}f′(x) & dla x ∈ A, \\ f′′(x) & dla x ∈ B \end{cases}

jest cia‘głe.

Dowód. Sprawdzamy cia‘głość f badaja‘c przeciwobrazy zbiorów domknie‘tych (otwartych): jeśli F ⊂ Y jest domknie‘ty (otwarty) w Y, to f^{−1}(F) = (f^{−1}(F) ∩ A) ∪ (f^{−1}(F) ∩ B) = (f′)^{−1}(F) ∪ (f′′)^{−1}(F) jest domknie‘ty (otwarty) w X, bo przeciwobrazy (f′)^{−1}(F) i (f′′)^{−1}(F) sa‘ domknie‘te (otwarte) odpowiednio w A i B, a wie‘c również w X, gdyż A i B sa‘ domknie‘te (otwarte) w X. □

Stwierdzenie 4.5. Jeśli (X, ρ_{X}) i (Y, ρ_{Y}) sa‘ przestrzeniami metrycznymi, to zbiór C(X, Y) wszystkich przekształceń cia‘głych ograniczonych jest domknie‘ ty w przestrzeni B(X, Y) z metryka‘ zbieżności jednostajnej ρ_{sup}.

Dowód. Trzeba sprawdzić, że granica f ∈ B(X, Y) cia‘gu zbieżnego przekształceń f_{n} ∈ C(X, Y) też należy do C(X, Y). Sprowadza sie‘ to do powtórzenia znanego z analizy matematycznej rozumowania pokazuja‘cego, że granica jednostajnie zbieżnego cia‘gu funkcji cia‘głych jest funkcja‘ cia‘gła‘. □

1. Podstawowe rodzaje przekształceń cia̧głych

1.1. Przekształcenia jednostajnie cia̧głe.

Definicja 4.2. Przekształcenie f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ_{Y}) jest jednostajnie cia‘głe, gdy dla każdej liczby ϵ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli ρ_{X}(x, x′) < δ, to ρ_{Y} (f(x), f(x′)) < ϵ.

Nietrudno zauważyć, że przekształcenia jednostajnie cia‘głe sa‘ cia‘głe (porównaj definicje‘ z warunkiem Cauchy’ego (C)) i że złożenie przekształceń jednostajnie cia‘głych jest jednostajnie cia‘głe. Wszystkie funkcje jednostajnie cia‘głe f : X → Y, gdzie X, Y ⊂ ℝ, znane z analizy matematycznej sa‘ przekształceniami jednostajnie cia‘głymi w sensie powyższej definicji. Wiadomo zatem, że przekształcenie cia‘głe nie musi być jednostajnie cia‘głe.

1.2. Przekształcenia Lipschitza.

Definicja 4.3. Przekształcenie f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ_{Y}) nazywa sie‘ Lipschitza o stałej c > 0, gdy dla dowolnych dwóch punktów x, x′ ∈ X spełniona jest nierówność

ρ_{Y} (f(x), f(x′)) ≤ cρ_{X}(x, x′).

Gdy c ≤ 1, to f nazywamy przekształceniem zwe‘ żaja‘cym, a gdy c < 1— przekształceniem ściśle zwe‘ żaja‘cym.

Poje‘cie przekształcenia Lipschitza uogólnia znane z analizy matematycznej poje‘cie funkcji Lipschitza na przekształcenia mie‘dzy przestrzeniami metrycznymi. Dla przypomnienia, jeśli np. funkcja f : ℝ → ℝ ma pochodna‘ w każdym punkcie ograniczona‘ przez stała‘ dodatnia‘ c, to z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że jest ona funkcja‘ Lipschitza o stałej c.

Przykład 4.1. Odległość punktów od ustalonego podzbioru A ⊂ (X, ρ), czyli funkcja

d_{A} : X → ℝ, d_{A}(x) = inf{ρ(x, a) : a ∈ A}

jest przekształceniem Lipschitza.

Istotnie, z nierówności trójka‘ta ρ(x, a) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, a), po przejściu do kresów dolnych, otrzymujemy nierówność d_{A}(x) ≤ ρ(x, y) + d_{A}(y), czyli d_{A}(x)−d_{A}(y) ≤ ρ(x, y). Podobnie, d_{A}(y)−d_{A}(x) ≤ ρ(x, y). Zatem |d_{A}(x) − d_{A}(y)| ≤ ρ(x, y).

Warto zanotować naste‘puja‘ca‘ równoważność:

(4.1)  d_{A}(x) = 0 ⟺ x ∈ cl A

Złożenie przekształcenia Lipschitza o stałej c_{1} z przekształceniem Lipschitza o stałej c_{2} jest przekształceniem Lipschitza o stałej c_{1}c_{2}.

Łatwym wnioskiem z definicji 4.2 i 4.3, że przekształcenie Lipschitza musi być jednostajnie cia‘głe (jeśli c jest stała‘ Lipschitza, to przyjmujemy δ = \frac{ϵ}{c} w definicji jednostajnej cia‘głości), ale nie na odwrót!

1.3. Podobieństwa.

Definicja 4.4. Przekształcenie f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ_{Y}) jest podobieństwem o skali c > 0, gdy f(X) = Y oraz dla dowolnych dwóch punktów x, x′ ∈ X spełniona jest równość

ρ_{Y} (f(x), f(x′)) = cρ_{X}(x, x′).

Przestrzenie X i Y sa‘ podobne, gdy istnieje mie‘dzy nimi podobieństwo.

Przykład 4.2.

(1) Naturalnymi przykładami podobieństw sa‘ znane z geometrii elementarnej podobieństwa płaszczyzny euklidesowej.

(2) Każde dwie kule (sfery) w przestrzeni euklidesowej sa‘ podobne.

(3) Każdy odcinek o końcach a, b w przestrzeni unormowanej X, to znaczy zbiór {(1 − t)a + tb ∈ X : t ∈ [0, 1]} jest podobny do przedziału [0, 1] prostej euklidesowej.

Zauważmy, że • każde podobieństwo jest różnowartościowe,

• każde podobieństwo o skali c jest przekształceniem Lipschitza o stałej c,

• złożenie dwóch podobieństw o skalach c_{1} i c_{2} jest podobieństwem o skali c_{1}c_{2},

• przekształenie odwrotne do podobieństwa o skali c jest podobieństwem o skali \frac{1}{c}.

1.4. Izometrie.

Definicja 4.5. Izometria‘ nazywamy podobieństwo o skali 1. Przestrzenie X i Y nazywamy izometrycznymi, gdy istnieje izometria mie‘dzy nimi.

Wszystkie znane z geometrii izometrie sa‘ przykładami izometrii w powyższym sensie.

Dowolna hiperpłaszczyzna H_{i} = { (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{i} = 0 } w przestrzeni euklidesowej ℝ^{n} jest izometryczna z przestrzenia‘ euklidesowa‘ ℝ^{n−1}; izometria‘ jest tu naturalne przekształcenie f : H → ℝ^{n−1}, f(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1}, …, x_{n}).

Z wyróżnionych poprzednio własności podobieństw wynikaja‘ odpowiednie ogólne własności izometrii: izometria jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem Lipschitza o stałej 1, przekształcenie odwrotne do izometrii jest też izometria‘, zlożenie izometrii jest izometria‘.

1.5. Homeomorfizmy.

Definicja 4.6. Przekształcenie cia‘głe f : X → Y nazywamy homeomorfizmem, gdy f jest wzajemnie jednoznaczne oraz przekształcenie odwrotne f^{−1} : Y → X jest cia‘głe. Przestrzenie metryczne X i Y sa‘ homeomorficzne, gdy istnieje homeomorfizm f : X → Y. Piszemy wtedy X =^{top} Y.

Znanymi ze szkoły przykładami homeomorfizmów sa‘: funkcje liniowe (jako przekształcenia ℝ → ℝ), funkcja tan : (−\frac{π}{2}; \frac{π}{2}) → ℝ, podobieństwa płaszczyzny euklidesowej.

Wszystkie podobieństwa sa‘ homeomorfizmami.

Przykład 4.3. Rzut stereograficzny.

Niech

S = { x = (x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ^{n} : (x_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n−1})^{2} + (x_{n} − 1)^{2} = 1 }

be‘dzie sfera‘ w (ℝ^{n}, ρ_{e}) o środku w punkcie (0, …, 0, 1) i promieniu 1 i niech p = (0, … 0, 2). Rzutem stereograficznym sfery S na hiperpłaszczyzne‘ H = { x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{n} = 0 } nazywamy przekształcenie s określone geometrycznie w naste‘puja‘cy sposób: dla każdego x ∈ S punkt s(x) jest punktem przecie‘cia półprostej w ℝ^{n} o pocza‘tku p, przechodza‘cej przez x z hiperpłaszczyzna‘ H. Można łatwo znaleźć wzory analityczne określaja‘ce s(x). Mianowicie

s(x) = (\frac{2x_{1}}{2 − x_{n}} , …, \frac{2x_{n−1}}{2 − x_{n}} , 0) .

Nietrudno podać też wzory na przekształcenie odwrotne s^{−1} : H → S:

s^{−1}(y) = (\frac{4y_{1}}{4 + ∥y∥^{2}} , …, \frac{4y_{n−1}}{4 + ∥y∥^{2}} , \frac{2∥y∥^{2}}{4 + ∥y∥^{2}} )

(wyprowadzenie tych wzorów polecam czytelnikom jako dobre ćwiczenie z geometrii analitycznej).

Z powyższych wzorów stwierdzamy, że s jest homeomorfizmem, a ponieważ hiperpłaszczyzna H jest izometryczna z przestrzenia‘ euklidesowa‘ ℝ^{n−1}, zaś sfera S bez punktu p jest podobna do dowolnej innej sfery (n − 1)-wymiarowej pozbawionej dowolnego punktu, wie‘c stwierdzamy ważny fakt topologiczny:

Stwierdzenie 4.6. Sfera (n − 1)-wymiarowa bez jednego punktu jest homeomorficzna z przestrzenia‘ euklidesowa‘ ℝ^{n−1}.

Uwaga 4.1. Intuicje stoja‘ce za poje‘ciem przekształcenia cia‘głego i homeomorfizmu sa‘ naste‘puja‘ce. Przekształcenie cia‘głe zmienia przestrzeń metryczna‘, czy też tworzy nowa‘, bez jej rozrywania—dopuszczalne jest sklejanie punktów. Homeomorfizm czyni to bez rozrywania i bez sklejania punktów.

Poje‘cie homeomorfizmu jest podstawowe dla topologii. Własności przestrzeni, które sa‘ niezmiennikami homeomorfizmów nazywamy własnościami topologicznymi. Oto pare‘ prostych przykładów takich własności.

Przykład 4.4.

(1) Jeśli f : X → Y jest homeomorfizmem i U ⊂ X jest otwarty (domknie‘ty) w X, to ponieważ f(U) = (f^{−1})^{−1}(U) i f^{−1} : Y → X jest cia‘głe, wie‘c f(U) jest otwarty (domknie‘ty) w Y na podstawie 4.1.

(2) Przestrzeń homeomorficzna z przestrzenia‘ w sobie ge‘sta‘ jest w sobie ge‘sta.

(3) Jeśli przestrzeń zawiera podzbiór ge‘sty przeliczalny (taka przestrzeń nazywa sie‘ ośrodkowa), to przestrzeń z nia‘ homeomorficzna też ma taki podzbiór, czyli jest ośrodkowa.

(4) Naste‘puja‘ca własność przedziału domknie‘tego X = [α, β] prostej euklidesowej jest topologiczna: każdy cia‘g punktów w X zawiera podcia‘g zbieżny w X (przestrzenie metryczne posiadaja‘ce te‘ własność nazywaja‘ sie‘ zwarte).

Niektóre ważne własności nie sa‘ topologiczne. Na przykład przestrzeń ograniczona może być homeomorficzna z nieograniczona‘, kula w przestrzeni X może być homeomorficzna z podzbiorem (otwartym!), który nie jest kula‘ w przestrzeni Y =^{top} X, przestrzeń unormowana może być homeomorficzna z przestrzenia‘ nieunormowana‘ (zob. 4.3).

1.6. Przekształcenia otwarte i domkniȩte.

Definicja 4.7. Przekształcenie cia‘głe f : X → Y jest otwarte (domknie‘ te), gdy dla każdego podzbioru otwartego (domknie‘tego) A w X obraz f(A) jest otwarty (domknie‘ty) w Y.

Oczywiście przekształcenia cia‘głe nie musza‘ być otwarte ani domknie‘te. Stanowia‘ one ważna‘ klase‘ przekształceń, różnia‘ca‘ sie‘ od homeomorfizmów tylko brakiem wzajemnej jednoznaczności.

Stwierdzenie 4.7. Przekształcenie f : X → Y jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy f jest wzajemnie jednoznaczne i otwarte (domknie‘ te).

Dowód. Wiemy już (4.4), że każdy homeomorfizm jest przekształceniem zarówno otwartym, jak i domknie‘tym. Na odwrót, jeśli f jest wzajemnie jednoznaczne, to jego otwartość lub domknie‘tość oznacza po prostu cia‘głość przekształcenia odwrotnego f^{−1} : Y → X, na podstawie 4.1. □

Ćwiczenia

(1) Uzasadnij równoważność warunku Cauchy’ego (C) z definicja‘ cia‘głości 4.1

(2) Sprawdź, że przekształcenia jednostajnie sa‘ cia‘głe i ich zlożenie też jest jednostajnie cia‘głe.

(3) Udowodnij stwierdzenie 4.5.

(4) Udowodnij równoważność (4.1).

(5) Sprawdź, że zlożenie przekształceń Lipschitza o stałych c_{1} i c_{2} jest przekształceniem Lipschitza o stałej c_{1}c_{2}.

(6) Podaj przykład przekształcenia jednostajnie cia‘głego, które nie jest Lipschitza.

(7) Udowodnij, że każde dwie kule (sfery) w przestrzeni euklidesowej sa‘ do siebie podobne i że każdy odcinek w przestrzeni unormowanej jest podobny do przedziału euklidesowego [0, 1] (zob. przykład 4.2).

(8) Udowodnij, że dowolne dwie hiperpłaszczyzny k-wymiarowe w przestrzeni euklidesowej ℝ^{n}, k ≤ n, sa‘ izometryczne.

(9) Udowodnij własności wymienione w przykładzie 4.4.

(10) Sprawdź, czy naste‘puja‘ce własności sa‘ niezmiennikami homeomor-

fizmów:

być: podzbiorem brzegowym, w sobie ge‘ stym.

(11) Sprawdź wzory:

h(cl A) = cl h(A), h(int A) = int h(A), h(bd A) = bd h(A),

gdzie h : X → Y jest homeomorfizmem i A ⊂ X.

(12) Sprawdzić, czy naste‘puja‘ce przekształcenia sa‘ homeomorfizmami (w metrykach euklidesowych):

(a) każda niestała funkcja liniowa f : ℝ → ℝ;

(b) f : ℝ → ℝ dana wzorem f(x) = x^{n}, n ∈ ℕ;

(c) f : ℝ → f(ℝ) ⊂ ℝ^{2} dana wzorem f(x) = (x, sin x);

(d) f : (−π, π) → ℝ dana wzorem f(x) = tan(\frac{x}{2});

(e) f [0, 1) × [0, 1) → S^{1} × S^{1} ⊂ ℝ^{4} dane wzorem

f(x, y) = ((cos 2πx, sin 2πx), (cos 2πy, sin 2πy));

(f) f : ℝ^{2} → ℝ^{2} dane wzorem f(x, y) = (x + y, x − y);

(g) f : C → D określone wzorem f(x, y, z) = (x, y), gdzie

C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z = x^{2} + y^{2} ≤ 2},
D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 2};

jaka‘ figura‘ jest C?

(h) f : P → K dane wzorem f(x, y) = (2(r − 1), ϕ), gdzie P = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, 1 < r < 2, ϕ ∈ [0, 2π)}, K = f(P); jakimi figurami sa‘ P i K?

(i) inwersja wzgle‘dem sfery S^{n}(r) = { x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ = r}:

i : ℝ^{n} \ {0} → ℝ^{n} \ {0}

takie, że i(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy y leży na półprostej 0x oraz ∥x∥∥y∥ = r^{2}.

(13) Pokaż, że każdy przedział otwarty na prostej euklidesowej ℝ jest homeomorficzny z ℝ; czy jest podobny do ℝ? Czy istnieje funkcja jednostajnie cia‘gła przekształcaja‘ca go na ℝ?

(14) Podaj przykład funkcji cia‘głej f : ℝ → ℝ (w metryce euklidesowej), która jest “na” oraz zbioru

(a) otwartego

(b) domknie‘tego A ⊂ ℝ takiego, że f(A) nie jest

(a) otwarty

(b) domknie‘ty.

(15) Udowodnij, że cl A = d_{A}^{−1}(0).

(16) Sprawdź, że jeśli zbiory A, B ⊂ (X, ρ) sa‘ domknie‘te, rozła‘czne i niepuste, to wzór f(x) = \frac{d_{A}(x)}{d_{A}(x)+d_{B}(x)} określa przekształcenie cia‘głe f : X → [0, 1] takie, że f(A) = {0}, f(B) = {1}.

(17) W poprzednim ćwiczeniu podany jest jawny wzór na przekształcenie cia‘głe przestrzeni metrycznej X w [0, 1]. Uzasadnić istnienie takiego przekształcenia w inny sposób—korzystaja‘c z twierdzenia Tietzego.

(18) Pokaż, że dowolny okra‘g i elipsa w (ℝ^{2}, ρ_{e}) oraz dowolna sfera i elipsoida w (ℝ^{3}, ρ_{e}) sa‘ homeomorficzne.

(19) Pokaż, że powierzchnia walca S^{1} × [0, 1], gdzie S^{1} jest okre‘giem jednostkowym o środku (0, 0) jest homeomorficzna z pierścieniem cl K((0, 0); 2) \ K((0, 0); 1) na płaszczyźnie euklidesowej.

(20) Pokaż, że powierzchnia stożka w (ℝ^{3}, ρ_{e}) jest homeomorficzna z kołem domknie‘tym na płaszczyźnie euklidesowej.

(21) Udowodnij, że sfera

S^{2} = {x ∈ ℝ^{3} : ∥x∥ = 1}

z wycie‘tym dyskiem bez brzegu, tzn. zbiór

S^{2} \ K(p; r),

gdzie K(p; r) jest kula‘ w ℝ^{3} o środku p ∈ S^{2} i promieniu r < 1, jest homeomorficzna z kołem domknie‘tym na płaszczyźnie.

ROZDZIAł 5 Metryki równoważne

Definicja 5.1. Dwie metryki ρ i ρ′ w zbiorze X nazywamy równoważnymi i piszemy ρ ∼ ρ′, gdy spełniony jest warunek

lim_{n→∞} ρ(x_{n}, x) = 0 ⇔ lim_{n→∞} ρ′(x_{n}, x) = 0.

Innymi słowy, metryki ρ i ρ′ sa‘ równoważne, gdy przestrzenie metryczne X_{1} = (X, ρ) i X_{2} = (X, ρ′) maja‘ te same cia‘gi zbieżne.

Wobec tego, nietrudno zauważyć, że zbiory, które dadza‘ sie‘ zdefiniować przy użyciu granic cia‘gów pokrywaja‘ sie‘ w przestrzeniach (X, ρ) i (X, ρ′). Na przykład, ze stwierdzenia 3.3 wynika, że

• cl_{X_{1}} A = cl_{X_{2}} A, a to z kolei implikuje, że obie przestrzenie maja‘ takie same zbiory domknie‘te, a wie‘c również takie same sa‘ w nich zbiory otwarte (choć kule w X_{1} i X_{2} nie musza‘ być takie same!). Okazuje sie‘, że ta ostatnia własność charakteryzuje równoważność metryk.

Stwierdzenie 5.1. Metryki ρ i ρ′ w X sa‘ równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy topologie przestrzeni metrycznych X_{1} = (X, ρ) i X_{2} = (X, ρ′) sa‘ równe.

Dowód. Wobec uwagi poprzedzaja‘cej stwierdzenie, pozostaje uzasadnić równoważność metryk przy założeniu równości topologii w X_{1} i X_{2}. Niech wie‘c cia‘g punktów x_{n} be‘dzie zbieżny do punktu x w przestrzeni X_{1} i niech K_{2}(x; r) be‘dzie dowolna‘ kula‘ w przestrzeni X_{2}. Ponieważ K_{2}(x; r) jest zbiorem otwartym w X_{1}, wie‘c istnieje kula K_{1}(x; r′) w przestrzeni X_{1} zawarta w K_{2}(x; r). Prawie wszystkie wyrazy cia‘gu x_{n} należa‘ do K_{1}(x; r′), zatem i do K_{2}(x; r), co oznacza zbieżność cia‘gu x_{n} do x w przestrzeni X_{2}. □

Przykład 5.1. Metryki ρ_{s} i ρ_{m} w ℝ^{n} z rozdziału 1 sa‘ równoważne metryce euklidesowej ρ_{e}, a metryki ρ_{c} i ρ_{r} w ℝ^{2} nie sa‘ równoważne metryce ρ_{e}.

Stwierdzenie 5.2. Jeśli f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ) jest homeomorfizmem, to istnieje metryka ρ′ w Y równoważna metryce ρ taka, że f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ′) jest izometria‘.

32 5. METRYKI RÓWNOWAŻNE

Dowód. Metryke‘ ρ′ określamy w naturalny sposób wzorem

ρ′(y_{1}, y_{2}) = ρ_{X}(f^{−1}(y_{1}), f^{−1}(y_{2})).

□

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić równoważność metryk z przykładu 5.1.

Czy metryka “centrum” jest równoważna metryce “rzeka”?

(2) Sprawdzić, że metryki w X określone wzorami

ρ′(p, q) = min(1, ρ(p, q)),

oraz

ρ̂(p, q) = \frac{ρ(p, q)}{1 + ρ(p, q)},

gdzie p, q ∈ (X, ρ). sa‘ równoważne metryce ρ.

(3) Czy metryka ρ(m, n) = |\frac{1}{m} − \frac{1}{n}|, m, n ∈ ℕ, jest równoważna w zbiorze ℕ metryce euklidesowej? dyskretnej?

(4) Udowodnić stwierdzenie 5.2.

ROZDZIAł 6 Iloczyny kartezjańskie

Tak, jak w innych działach matematyki, poje‘cie iloczynu kartezjańskiego jest jednym z podstawowych również w topologii— przecież przestrzenie i kostki euklidesowe sa‘ iloczynami kartezjańskimi.

Jeśli dane sa‘ przestrzenie metryczne (X_{1}, ρ_{1}), (X_{2}, ρ_{2}), …, to w iloczynie kartezjańskim X_{1} × X_{2} × … X_{n}, naśladuja‘c metryke‘ euklidesowa‘, możemy wprowadzić metryke‘, zwia‘zana‘ z metrykami ρ_{1}, ρ_{2}, …, ρ_{n}, wzorem

(6.1)  ρ(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{n} ρ_{i}(x_{i}, y_{i})^{2}},

gdzie x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), y = (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}).

W iloczynie kartezjańskim przeliczalnej ilości przestrzeni X_{1}×X_{2} … wprowadzenie metryki zwia‘zanej w naturalny sposób z metrykami ρ_{1}, ρ_{2}, … może być wzorowane na metryce w przestrzeni Hilberta l_{2} (zob. 1.8). Jest jednak pewna komplikacja techniczna, zwia‘zana z koniecznościa‘ zbieżności pierwiastkowanego szeregu. Aby to zapewnić, zakłada sie‘ dododatkowo, że, na przykład, diam X_{i} < \frac{1}{i}, dla każdego i. Wtedy określamy

(6.2)  ρ(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{∞} ρ_{i}(x_{i}, y_{i})^{2}},

dla x = (x_{1}, x_{2}, …), y = (y_{1}, y_{2}, …).

Innym sposobem załatwiaja‘cym problem zbieżności szeregu i stosowanym w sytuacji, gdy średnice wszystkich przestrzeni X_{n} sa‘ wspólnie ograniczone, jest określenie naste‘puja‘cej metryki:

(6.3)  ρ(x, y) = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2^{i}} ρ_{i}(x_{i}, y_{i}),

dla x = (x_{1}, x_{2}, …), y = (y_{1}, y_{2}, …).

Wreszcie w ogólnym przypadku— gdy przestrzenie X_{i} sa‘ dowolne— można w nich rozważyć metryki ρ′_{i} równoważne ρ_{i} i wspólnie ograniczone (np. biora‘c ρ′_{i} = min(ρ_{i}, 1)), a naste‘pnie posta‘pić tak, jak poprzednio, kłada‘c

(6.4)  ρ(x, y) = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2^{i}} ρ′_{i}(x_{i}, y_{i}),

dla x = (x_{1}, x_{2}, …), y = (y_{1}, y_{2}, …).

Definicja 6.1. Iloczynem kartezjańskim przestrzeni metrycznych (X_{1}, ρ_{1}), (X_{2}, ρ_{2}), …, (X_{n}, ρ_{n}), nazywamy przestrzeń metryczna‘ (X, ρ), gdzie X = X_{1} × X_{2} × … X_{n}, z metryka‘ ρ określona‘ wzorem (6.1).

Iloczynem kartezjańskim nieskończenie wielu przestrzeni metrycznych (X_{1}, ρ_{1}), (X_{2}, ρ_{2}), …, nazywamy przestrzeń metryczna‘ (X, ρ), gdzie X = X_{1} × X_{2} × …, z metryka‘ ρ określona‘ wzorami (6.2), (6.3) lub (6.4), w sytuacjach opisanych wyżej.

Powyższe metryki be‘dziemy nazywać metrykami standardowymi iloczynu X.

Poszczególne przestrzenie X_{i} nazywamy osiami iloczynu, a funkcje p_{i} : X → X_{i}, p_{i}(x) = x_{i}, gdzie x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) lub x = (x_{1}, x_{2}, …)—rzutowaniami na odpowiednie osie.

Powstaje pytanie, dlaczego akurat tak określone metryki w iloczynach kartezjańskich sa‘ dobre. Jaka‘ maja‘ “przewage‘” nad, na przykład, metryka‘ dyskretna‘?

Twierdzenie 6.1. (O zbieżności po współrze‘dnych)

Niech (X_{1}, ρ_{1}), (X_{2}, ρ_{2}), …, (X_{n}, ρ_{n}) be‘ da‘ przestrzeniami metrycznymi, X = (X_{1} × X_{2} × … X_{n}, ρ) z metryka‘ ρ określona‘ wzorem (6.1), x_{k} = (x_{k1}, x_{k2}, …, x_{kn}) ∈ X, k = 1, 2, …, oraz x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Wówczas

lim_{k→∞} x_{k} = x w przestrzeni (X, ρ)

wtedy i tylko wtedy, gdy

lim_{k→∞} x_{ki} = x_{i} w przestrzeni (X_{i}, ρ_{i}) dla każdego i = 1, 2, …, n.

Podobnie, jeśli metryka w iloczynie X = X_{1}×X_{2}×… jest określona wzorami (6.2), (6.3) lub (6.4) (adekwatnie do odpowiadaja‘cych im założeń o przestrzeniach X_{1}, X_{2}, …), x_{k} = (x_{k1}, x_{k2}, …) ∈ X, k = 1, 2, …, oraz x = (x_{1}, x_{2}, …), to

lim_{k→∞} x_{k} = x w przestrzeni (X, ρ)

wtedy i tylko wtedy, gdy

lim_{k→∞} x_{ki} = x_{i} w przestrzeni (X_{i}, ρ_{i}) dla każdego i = 1, 2, . . ..

Innymi słowy, zbieżność cia‘gu punktów w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych oznacza zbieżność ich współrze‘ dnych do odpowiednich współrze‘ dnych punktu granicznego.

Dowód. Zanotujmy oczywiste nierówności:

ρ_{i}(x_{ki}, x_{i}) ≤ ρ(x_{k}, x)

w przypadku skończenie wielu osi lub metryki (6.2), a w pozostałych przypadkach mamy

ρ_{i}(x_{ki}, x_{i}) ≤ 2^{i}ρ(x_{k}, x)

lub

min(1, ρ_{i}(x_{ki}, x_{i})) ≤ 2^{i}ρ(x_{k}, x).

Widać sta‘d, że jeśli cia‘g punktów x_{k} jest zbieżny do x w iloczynie X, to i-te współrze‘dne punktów x_{k} sa‘ zbieżne do i-tej współrze‘dnej punktu x.

Na odwrót, załóżmy, że

(6.5)  lim_{k→∞} ρ_{i}(x_{ki}, x_{i}) = 0 dla każdego i.

W przypadku skończenie wielu osi widać łatwo, że

lim_{k→∞} ρ(x_{k}, x) = 0.

Jeśli osi jest nieskończenie wiele, możemy zastosować typowe dla szeregów szacowanie, które przeprowadzimy tutaj np. dla przypadku metryki (6.3), gdy przestrzenie X_{i} sa‘ wspólnie ograniczone przez pewna‘ stała‘ M. Niech mianowicie ϵ be‘dzie dowolna‘ liczba‘ dodatnia‘. Wybieramy wskaźnik m taki, że m-ta reszta szeregu ∑_{i=1}^{∞} \frac{M}{2^{i}} jest mniejsza od \frac{ϵ}{2}. Wtedy

∑_{i=m}^{∞} \frac{ρ_{i}(x_{ki}, x_{i})}{2^{i}} < \frac{ϵ}{2} dla każdego k ∈ ℕ.

Naste‘pnie, na podstawie (6.5) wybieramy wskaźnik r tak duży, by dla k ≥ r zachodziła nierówność

∑_{i=1}^{m−1} \frac{ρ_{i}(x_{ki}, x_{i})}{2^{i}} < \frac{ϵ}{2}.

Dodaja‘c obie nierówności stronami otrzymamy

ρ(x_{k}, x) < ϵ dla k ≥ r,

co oznacza zbieżność cia‘gu (x_{k})_{k∈ℕ} do x w X. □

Dzie‘ki twierdzeniu 6.1 można łatwo sprawdzić, czy inna metryka ρ′ w iloczynie kartezjańskim X zbiorów X_{i} jest równoważna metryce standardowej ρ. Otóż jest tak, gdy zbieżność w (X, ρ′) oznacza zbieżność po współrze‘dnych. Warto prześledzić to zjawisko na przykładach metryk w ℝ^{2} z rozdziału 1.

Twierdzenie 6.1 wyjaśnia, że metryka standardowa w iloczynie kartezjańskim, a także każda metryka jej równoważna, dobrze wia‘że sie‘ z metrykami na osiach. Takiej zalety nie ma oczywiście metryka dyskretna w iloczynie przestrzeni niedyskretnych.

Wniosek 6.1.

(1) Rzutowania p_{i} : X → X_{i} iloczynu kartezjańskiego X przestrzeni metrycznych X_{i} na osie sa‘ przekształceniami cia‘głymi.

(2) Przekształcenie f : Y → X dowolnej przestrzeni metrycznej Y w iloczyn kartezjański X przestrzeni metrycznych X_{i} jest cia‘głe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenia p_{i}f, zwane współrze‘dnymi przekształcenia f, sa‘ cia‘głe dla wszystkich i.

Powyższy wniosek ma bardzo cze‘ste zastosowanie w analizie matematycznej przy badaniu cia‘głości funkcji wielu zmiennych, sprowadzaja‘cej sie‘ do sprawdzenia cia‘głości współrze‘dnych funkcji. Dla ilustracji— rozpatrzmy funkcje‘ z przykładu 4.3 s^{−1} : H → S:

s^{−1}(y) = (\frac{4y_{1}}{4 + ∥y∥^{2}} , …, \frac{4y_{n−1}}{4 + ∥y∥^{2}} , \frac{2∥y∥^{2}}{4 + ∥y∥^{2}} )

Jej współrze‘dnymi sa‘ przekształcenia cia‘głe

y ↦ \frac{4y_{1}}{4 + ∥y∥^{2}} ,

⋮

y ↦ \frac{4y_{n−1}}{4 + ∥y∥^{2}} ,

y ↦ \frac{2∥y∥^{2}}{4 + ∥y∥^{2}} ,

wie‘c s^{−1} jest cia‘głe.

Inny, prostszy przykład: rozpatrzmy przedstawienie parametryczne powierzchni śrubowej dane przez funkcje‘

f : [0, 1] × [0, 2π] → ℝ^{3}, f(u, v) = (u cos v, u sin v, v + 3u)

(rozpatrujemy metryki euklidesowe). Współrze‘dnymi f sa‘ funkcje cia‘głe f_{1}(u, v) = u cos v, f_{2}(u, v) = u sin v oraz f_{3}(u, v) = v + 3u, wie‘c f jest cia‘głe.

Stwierdzenie 6.1. Wykres przekształcenia cia‘głego f : X → Y, to znaczy zbiór W = { (x, y) ∈ X × Y : y = f(x), x ∈ X }, jest homeomorficzny z dziedzina‘ X. Homeomorfizmem jest tu rzutowanie p : W → X, czyli przekształcenie określone wzorem p(x, y) = x.

To proste stwierdzenie jest bardzo cze‘sto wykorzystywane przy uzasadnianiu własności topologicznych wielu takich podzbiorów przestrzeni euklidesowych, które można przedstawić jako wykresy przekształceń cia‘głych (na przykład krzywe i powierzchnie).

Naste‘puja‘cy fakt ma ważne znaczenie w teorii przestrzeni metrycznych.

Stwierdzenie 6.2. Metryka ρ_{X} : X×X → ℝ jest przekształceniem cia‘głym (Lipschitza) iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznej (X, ρ_{X}) przez siebie.

Dowód. Niech (x, y), (x′, y′) ∈ X × X. Metryka standardowa w X × X dana jest wzorem

ρ((x, y), (x′, y′)) = \sqrt{ρ_{X}(x, x′)^{2} + ρ_{X}(y, y′)^{2}}.

Zatem z nierówności trójka‘ta wynikaja‘ nierówności

ρ_{X}(x, y) − ρ_{X}(x′, y′) ≤ ρ_{X}(x, x′) + ρ_{X}(y, y′),
ρ_{X}(x′, y′) − ρ_{X}(x, y) ≤ ρ_{X}(x, x′) + ρ_{X}(y, y′),

czyli

|ρ_{X}(x, y) − ρ_{X}(x′, y′)| ≤ ρ_{X}(x, x′) + ρ_{X}(y, y′) ≤

\sqrt{2}\sqrt{ρ_{X}(x, x′)^{2} + ρ_{X}(y, y′)^{2}} = \sqrt{2}ρ((x, y), (x′, y′)).

□

Duża‘ role‘ w topologii odgrywa poje‘cie homotopii.

Definicja 6.2. Niech f, g : X → Y be‘da‘ dwoma przekształceniami cia‘głymi, a I = [0, 1] przedziałem euklidesowym. Mówimy, że f i g sa‘ homotopijne, gdy istnieje przekształcenie cia‘głe H : X × I → Y takie, że H(x, 0) = f(x) i H(x, 1) = g(x) dla każdego x ∈ X. Przekształcenie H nazywa sie‘ homotopia‘ mie‘dzy f i g (albo: ła‘cza‘ca‘ f i g).

Uwaga 6.1. Przedział I wyste‘puja‘cy w definicji homotopii traktuje sie‘ cze‘sto intuicyjnie jako przedział czasowy: w chwili t = 0 homotopia jest przekształceniem f, naste‘pnie zmienia sie‘ cia‘gle wraz z rosna‘cym czasem, aby w chwili t = 1 stać sie‘ przekształceniem g.

Definicja 6.3. Przestrzeń X nazywa sie‘ ścia‘galna do punktu p ∈ X, gdy przekształcenie tożsamościowe

f : X → X, f(x) = x

dla każdego x, jest homotopijne z przekształceniem stałym

g : X → X, g(x) = p,

dla wszystkich x.

Przykład 6.1. Przykładami przestrzeni ścia‘galnych sa‘ przestrzenie euklidesowe i kostki.

Podstawowymi przykładami przestrzeni nieścia‘galnych sa‘ okra‘g euklidesowy i ogólniej—sfery n-wymiarowe. Dowód nieścia‘galności okre‘gu nie jest jednak banalny (zob. [ES]).

Ścia‘galność jest ważna‘ własnościa‘ topologiczna‘ pozwalaja‘ca‘ odróżnić np. takie przestrzenie jak kwadrat i sfera dwuwymiarowa.

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić, że wzory (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) określaja‘ metryki w odpowiednich iloczynach kartezjańskich.

(2) Sprawdzić zbieżność po współrze‘dnych w metrykach z przykładu 1.4, w metrykach “centrum”, “rzeka” oraz określonych wzorami (6.2), (6.4).

(3) Sprawdzić, czy w przestrzeni Hilberta l_{2} i w kostce Hilberta Q zachodzi zbieżność po współrze‘dnych.

(4) Uzasadnić wniosek 6.1.

(5) Znaleźć homeomorfizmy mie‘dzy naste‘puja‘cymi iloczynami kartezjańskimi:

(a) ℝ^{n} i (a, b)^{n}, gdzie (a, b) jest euklidesowym przedziałem otwartym o końcach a, b.

(b) Q i [−1, 1]^{∞}.

(c) ℝ^{∞} z metryka‘ dana‘ wzorem (6.4) i (a, b)^{∞} z metryka‘ dana‘

wzorem (6.3).

(6) Niech (X_{i}, ρ_{i}), i = 1, 2, …, m, be‘da‘ przestrzeniami metrycznymi. Sprawdzić, że przekształcenie

f : (X_{1} × X_{2} × … X_{k}) × (X_{k+1} × X_{k+2} × … X_{m}) → X_{1} × X_{2} × … X_{m}

iloczynów kartezjańskich przestrzeni X_{i} określone wzorem

f ((x_{1}, x_{2}, …, x_{k}), (x_{k+1}, x_{k+2}, …, x_{m})) = (x_{1}, x_{2}, …, x_{m})

jest izometria‘.

(7) Sprawdzić, że działanie mnożenia punktów przestrzeni euklidesowej ℝ^{n} przez liczby rzeczywiste jest przekształceniem cia‘głym ℝ×ℝ^{n} → ℝ^{n}, ale nie jednostajnie cia‘głym.

Sprawdzić to samo dla mnożenia skalarnego punktów w ℝ^{n} traktowanego jako przekształcenie ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ.

(8) Skonstruować homeomorfizm mie‘dzy kula‘ domknie‘ta‘ K = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ≤ 1} a kostka‘ [−1, 1]^{n}.

(9) Dla f, g ∈ C(I, ℝ) i dowolnego parametru t ∈ I określamy homotopie‘ H : I × I → ℝ wzorem

H(x, t) = f(x)(1 − t) + tg(x).

Czy funkcja h_{t} : I → ℝ, określona równościa‘ h_{t}(x) = H(x, t) należy do C(I, ℝ)? Naszkicować wykresy h_{t} dla funkcji f(x) = x i g(x) = x^{2} i dla kilku t, np. dla t = 0, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, \frac{9}{10}, 1.

Niech teraz f, g ∈ C(I, ℝ) be‘da‘ dowolne i różne od siebie. Określamy przekształcenie H′ : I → H′(I) ⊂ C(I, ℝ) wzorem H′(t) = h_{t}. Sprawdzić, czy

(a) f, g ∈ H′(I); (b) H jest podobieństwem; Czym jest zbiór H′(I)?

(10) Znajdź homotopie‘ mie‘dzy dowolnymi przekształceniami cia‘głymi f, g : X → Y, gdzie

(a) X jest dowolna‘ przestrzenia‘ metryczna‘, a Y = ℝ^{2}, I^{2};

(b) X = ℝ^{2}, I^{2}, a Y jest dowolna.

(11) Sprawdzić, które z podanych przestrzeni sa‘ ścia‘galne: ℝ, ℝ^{2}, I, I^{2}, S^{1} × I, X= suma odcinków ła‘cza‘cych punkt (\frac{1}{2}, 1) z punktami \frac{1}{n}, n ∈ ℕ, na osi x na płaszczyźnie euklidesowej.

(12) Pokazać, że (a) przestrzeń homeomorficzna z przestrzenia‘ ścia‘galna‘ jest ścia‘galna;

(b) iloczyn kartezjański przestrzeni ścia‘galnych jest ścia‘galny.

(13) Udowodnić wzory dla A ⊂ X i B ⊂ Y:

(a) cl(A × B) = cl A × cl B

(b) int(A × B) = int A × int B

(c) bd(A × B) = (bd A × cl B) ∪ (cl A × bd B) Wywnioskować sta‘d, że iloczyn kartezjański dwóch zbiorów dom-

knie‘tych (otwartych) A ⊂ X i B ⊂ Y jest domknie‘ty (otwarty) w X × Y.

(14) Wykazać, że jeśli f, g : X → Y sa‘ cia‘głe, to zbiór { x ∈ X : f(x) = g(x) } jest domknie‘ty w X.

(15) Udowodnić, że jeśli X jest przestrznia‘ metryczna‘, to przeka‘tna kwadratu kartezjańskiego X × X, czyli zbiór

Δ = { (x, x) : x ∈ X },

jest domknie‘ta w X × X. Sprawdzić, że Δ jest otwarta w X × X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenia‘ dyskretna‘.

ROZDZIAł 7 Przestrzenie topologiczne. Metryzowalność

Poje‘ciem ogólniejszym od przestrzeni metrycznej jest przestrzeń topologiczna. Punktem wyjścia do jej definicji sa‘ własności zbiorów otwartych wyrażone w Stwierdzeniu 3.1.

Definicja 7.1. Zbiór X z wyróżniona‘ rodzina‘ T jego podzbiorów nazywamy przestrzenia‘ topologiczna‘, gdy

(1) ∅, X ∈ T ,

(2) suma dowolnej ilości zbiorów z rodziny T jest też zbiorem tej rodziny,

(3) przekrój skończonej ilości zbiorów z rodziny T jest zbiorem należa‘cym do T .

Rodzine‘ T nazywamy topologia‘ lub rodzina‘ wszystkich zbiorów otwartych w zbiorze X. Otoczeniem punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiór otwarty w X, zawieraja‘cy x.

Tak samo, jak w przypadku przestrzeni metrycznych, definiujemy zbiory domknie‘te, domknie‘cie, wne‘trze, zbiory brzegowe, ge‘ste, nigdziege‘ste; w zwia‘zku z tym ich podstawowe własności mnogościowe sa‘ takie same, jak w przestrzeniach metrycznych.

Przez podprzestrzeń przestrzeni topologicznej X rozumiemy jej dowolny podzbiór Y, w którym topologia‘ jest rodzina wszystkich zbiorów postaci U ∩ Y, gdzie U jest zbiorem otwartym w X (zgadza sie‘ to, jak widać, z własnościa‘ podprzestrzeni metrycznych wyrażona‘ wzorem (3.3)).

Przekształcenia cia‘głe mie‘dzy przestrzeniami topologicznymi, to funkcje, dla których przeciwobrazy zbiorów otwartych sa‘ otwarte (por. stwierdzenie 4.1). Homeomorfizmy—to przekształcenia wzajemnie jednoznaczne cia‘głe, których przekształcenia odwrotne też sa‘ cia‘głe, a przestrzenie topologiczne sa‘ homeomorficzne, gdy istnieje mie‘dzy nimi homeomorfizm.

Ale trzeba tu zaznaczyć, że nie wszystkie własności przestrzeni metrycznych, które dadza‘ sie‘ sformułować w terminach zbiorów otwartych, ba‘dż wymienionych przed chwila‘ poje‘ć, musza‘ zachodzić w przestrzeniach topologicznych. Przykładami tego rodzaju własności sa‘, tak zwane, aksjomaty oddzielania. Jednym z nich jest naste‘puja‘cy aksjomat Hausdorffa oznaczany czasem symbolem T_{2}.

Definicja 7.2. Przestrzeń topologiczna X z topologia‘ T spełnia aksjomat Hausdorffa, gdy każde dwa różne punkty przestrzeni X maja‘ rozła‘czne otoczenia. Taka‘ przestrzeń nazywamy krócej przestrzenia‘ Hausdorffa .

Każda przestrzeń metryczna (X, ρ) jest przestrzenia‘ Hausdorffa, bo jeśli x, y ∈ X sa‘ różne i r = \frac{1}{2}ρ(x, y), to kule K(x; r), K(y; r) sa‘ rozła‘cznymi otoczeniami punktów x, y.

Przykład 7.1. Niech X be‘dzie dowolnym zbiorem zawieraja‘cym przynajmniej dwa punkty, a T = {∅, X}, be‘dzie jego topologia‘. Łatwo zauważyć, że przestrzeń X nie jest Hausdorffa. Jest ona wie‘c najprostszym przykładem przestrzeni topologicznej, w której nie istnieje metryka generuja‘ca rodzine‘ zbiorów otwartych równa‘ topologii T .

Definicja 7.3. Przestrzeń topologiczna X z topologia‘ T jest metryzowalna, gdy istnieje metryka ρ w X, która generuje topologie‘ równa‘ topologii T ; innymi słowy, każda kula w przestrzeni metrycznej (X, ρ) należy do topologii T oraz każdy zbiór z T jest suma‘ takich kul.

Jeśli przestrzeń topologiczna z topologia‘ T jest metryzowalna, to oczywiście metryka, generuja‘ca T nie jest jedyna, ale ze Stwierdzenia 5.1 wynika, że każde dwie takie metryki musza‘ być równoważne.

Aksjomat Hausdorffa (również inne aksjomaty oddzielania, nie omawiane tutaj) jest warunkiem koniecznym metryzowalności, a przestrzeń topologiczna opisana w powyższym przykładzie nie jest metryzowalna.

Warto zauważyć, że przestrzeń topologiczna homeomorficzna z przestrzenia‘ metryzowalna‘ też jest metryzowalna—jej metryke‘ można bezpośrednio i w naturalny sposób określić przy pomocy homeomorfizmu i to w taki sposób, by dany homeomorfizm stał sie‘ izometria‘ (zob. 5.2).

Jednym z głównych zadań dziedziny matematyki zwanej topologia‘ ogólna‘ jest formułowanie warunków koniecznych lub dostatecznych metryzowalności przestrzeni topologicznych.

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić, że w podprzestrzeni Y ⊂ X przestrzeni topologicznej X domknie‘cie zbioru A ⊂ Y jest postaci cl_{Y} A = (cl_{X} A) ∩ Y oraz, że gdy X jest metryzowalna przez metryke‘ ρ, to Y jest metryzowalna przez metryke‘ ρ ↾ Y × Y.

(2) Udowodnić, że jeśli przestrzeń topologiczna X jest metryzowalna, to dla każdego punktu x ∈ X istnieje cia‘g jego otoczeń U_{n}, n ∈ ℕ, takich, że dla dowolnego otoczenia U punktu x znajdzie sie‘ n takie, że U_{n} ⊂ U (ta własność przestrzeni metryzowalnych nazywa sie‘ pierwszym aksjomatem przeliczalności lub posiadaniem bazy przeliczalnej w każdym punkcie x.

(3) Niech X be‘dzie zbiorem wszystkich liczb porza‘dkowych mniejszych lub równych pierwszej nieprzeliczalnej liczbie ω_{1}. Zbiór ten jest dobrze uporza‘dkowany przez relacje‘ porza‘dku liniowego ≺. W X wprowadzamy tak zwana‘ topologie‘ porza‘dkowa‘ przyjmuja‘c za zbiory otwarte w X wszystkie przedziały postaci

(α, β) = {γ : α ≺ γ ≺ β},
[0, α) = {γ : γ ≺ α}

i

(α, ω_{1}] = {γ : α ≺ γ ⪯ ω_{1}}

oraz dowolne ich sumy.

Sprawdzić, że tak określona rodzina zbiorów otwartych jest topologia‘ Hausdorffa w X oraz, że otrzymana przestrzeń topologiczna nie ma bazy przeliczalnej w punkcie ω_{1}; na podstawie poprzedniego zadania, oznacza to niemetryzowalność przestrzeni X.

(4) Sprawdzić, że aksjomat Hausdorffa, posiadanie bazy przeliczalnej w każdym punkcie oraz metryzowalność przestrzeni topologicznych sa‘ niezmiennikami homeomorfizmów.

(5) Wykazać, że jeśli X, Y sa‘ przestrzeniami topologicznymi, f, g : X → Y sa‘ cia‘głe i Y ∈ T_{2}, to zbiór

{ x ∈ X : f(x) = g(x) }

jest domknie‘ty w X.

(6) Udowodnić, że jeśli f : D → Y jest cia‘ge‘, D ⊂ Y jest ge‘sty w X, a przestrzeń Y spełnia aksjomat T_{2}, to f można przedłużyć na X co najwyżej na jeden sposób.

(7) Udowodnić, że przestrzeń X jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przeka‘tna Δ = { (x, x) : x ∈ X } jest domknie‘ta w X × X.

ROZDZIAł 8 Przestrzenie spójne. Składowe. Rozspajanie

Intuicja poje‘cia spójności przestrzeni polega na niemożności rozdzielenia przestrzeni na dwa “kawałki”, nie leża‘ce blisko siebie.

Definicja 8.1. Przestrzeń topologiczna jest spójna, gdy nie jest suma‘ dwóch swoich niepustych i rozła‘cznych podzbiorów otwartych.

Zauważmy, że jeśli przestrzeń X jest suma‘ rozła‘cznych podzbiorów otwartych A i B, to A i B sa‘ jednocześnie domknie‘te w X (A = X \ B, B = X \A). Można wie‘c powiedzieć równoważnie, że przestrzeń jest spójna, gdy nie jest suma‘ dwóch swoich niepustych i rozła‘cznych podzbiorów domknie‘tych, albo— jeszcze inaczej—przestrzeń jest spójna, gdy nie zawiera podzbiorów otwarto-domknie‘tych poza zbiorem pustym i cała‘ przestrzenia‘.

Oczywiście przestrzeń pusta jest spójna.

Zwykle najłatwiej jest dostrzec niespójność przestrzeni.

Przykład 8.1.

(1) Każda skończona, niejednopunktowa przestrzeń metryczna jest niespójna.

(2) Przestrzeń opisana w przykładzie 7.1 jest spójna.

(3) Podprzestrzeń prostej euklidesowej, be‘da‘ca suma‘ dwóch lub wie‘kszej ilości wzajemnie rozła‘cznych przedziałow nie jest spójna.

(4) Podprzestrzeń prostej euklidesowej złożona z liczb wymiernych (niewymiernych) nie jest spójna.

Najważniejszym nietrywialnym przykładem przestrzeni spójnej jest przedział prostej euklidesowej.

Twierdzenie 8.1. Przedział [0, 1] z metryka‘ euklidesowa‘ jest spójny.

Dowód. Dowód opiera sie‘ na podstawowej własności zbioru liczb rzeczywistych ℝ: dla każdego niepustego i ograniczonego podzbioru Z ⊂ ℝ istnieja‘ jego kresy górny sup Z i dolny inf Z.

Przypuśćmy, że przedział [0, 1] jest niespójny, to znaczy

(8.1)  [0, 1] = A ∪ B,

gdzie A i B sa‘ niepuste, rozła‘czne i domknie‘te w [0, 1]. Ponieważ A i B sa‘ postaci A = A′ ∩ [0, 1], B = B′ ∩ [0, 1] dla pewnych zbiorów A′, B′ ⊂ ℝ domknie‘tych w ℝ (na podstawie wzoru (3.3)), a przedział [0, 1] jest również podzbiorem domknie‘tym prostej euklidesowej ℝ, to i zbiory A, B sa‘ domknie‘te w ℝ (stwierdzenie 3.1).

Ustalmy, że 0 ∈ A i niech b = inf B. Zbiór A^{∗} = { x ∈ A : x < b } jest niepusty i ograniczony. Oznaczmy jego kres górny przez a. Zauważmy, że a ∈ cl A^{∗} ⊂ cl A = A oraz b ∈ cl B = B, bo w każdym otoczeniu punktu a (b) na prostej ℝ sa‘ punkty z A^{∗} (odpowiednio z B), a zbiory A, B sa‘ domknie‘te w ℝ. Ponadto a ≤ b, przy czym równość a = b jest wykluczona wobec rozła‘czności zbiorów A, B. W przedziale (a, b) ⊂ [0, 1] nie ma wie‘c elementów ani z A, ani z B, co jest sprzeczne z równościa‘ (8.1). □

Podamy teraz kilka ogólnych i dosyć prostych twierdzeń pozwalaja‘cych sprawdzać spójność bardziej skomplikowanych przestrzeni.

Twierdzenie 8.2. (O sumie) Jeśli przestrzeń topologiczna X jest suma‘ swoich spójnych podprzestrzeni, maja‘cych punkt wspólny, to X jest spójna.

Dowód. Niech X = ⋃{X_{s} : s ∈ S}, gdzie S oznacza pewien zbiór indeksuja‘cy podprzestrzenie spójne X_{s} i niech p ∈ X_{s} dla każdego s ∈ S.

Przypuśćmy, że X nie jest spójna, czyli X = A∪B dla pewnych niepustych, rozła‘cznych podzbiorów A, B ⊂ X otwartych w X. Załóżmy, że p ∈ A i wybierzmy jakiś punkt b ze zbioru B. Istnieje indeks s_{0}, dla którego b ∈ X_{s_{0}}. Wówczas widzimy, że zbiory A ∩ X_{s_{0}} i B ∩ X_{s_{0}} sa‘ niepuste, rozła‘czne i otwarte w podprzestrzeni X_{s_{0}}, która jest ich suma‘. Jest to oczywiście sprzeczne ze spójnościa‘ X_{s_{0}}. □

Cze‘sto mówimy obrazowo, że dwa punkty przestrzeni topologicznej X sa‘ poła‘czone podzbiorem spójnym, gdy należa‘ do tego podzbioru i jest on podprzestrzenia‘ spójna‘ przestrzeni X.

Wniosek 8.1. Jeśli każde dwa punkty przestrzeni topologicznej X można poła‘czyć podzbiorem spójnym, to przestrzeń X jest spójna.

Dowód. Wybierzmy jakiś punkt p ∈ X. Dla każdego punktu x ∈ X istnieje spójna podprzestrzeń X(x) ⊂ X łacza‘ca p i x. Wtedy X = ⋃{X(x) : x ∈ X} i z twierdzenia 8.2 wynika spójność X. □

Twierdzenie 8.3. (O spójnym obrazie) Obraz przestrzeni spójnej przez przekształcenie cia‘głe jest przestrzenia‘ spójna‘.

Dowód. Niech X be‘dzie przestrzenia‘ spójna‘, a f : X → f(X) bedzie przekształceniem cia‘głym. Gdyby przestrzeń f(X) była niespójna, to istniałyby niepuste i rozła‘czne zbiory A, B ⊂ f(X), otwarte w f(X) takie, że f(X) = A∪B. Wtedy ich przeciwobrazy f^{−1}(A), f^{−1}(B) byłyby również niepuste, rozła‘czne, otwarte w X (stwierdzenie 4.1) i daja‘ce w sumie X, co przeczy spójności X. □

Przykład 8.2.

(1) Każdy odcinek w przestrzeni unormowanej jest spójny (zob. przykład 4.2).

(2) Każdy zbiór wypukły, to znaczy podprzestrzeń przestrzeni unormowanej zawieraja‘ca, wraz z każda‘ para‘ swoich różnych punktów, odcinek je ła‘cza‘cy, jest spójny. W szczególności, spójne sa‘ przestrzenie euklidesowe, a w nich dowolne przedziały (z końcami lub bez), kostki, kule, kostka Hilberta.

(3) Okre‘gi w przestrzeniach euklidesowych sa‘ spójne, bo sa‘ one podobne do okre‘gu jednostkowego S^{1}, który jest obrazem cia‘- głym przedziału [0, 1].

(4) Wykresy przekształceń cia‘głych określonych na przestrzeniach spójnych (zob. stwierdzenie 6.1) sa‘ spójne.

Twierdzenie 8.4. (O domknie‘ciu) Jeśli podprzestrzeń A przestrzeni topologicznej X jest spójna oraz A ⊂ B ⊂ cl A, to również podprzestrzeń B jest spójna.

Innymi słowy, jeśli do podzbioru spójnego dodamy dowolna‘ ilość punktów leża‘cych na jego brzegu, to otrzymamy zbiór spójny.

Dowód. Można założyć, że A ≠ ∅.

Pokażemy najpierw, że podprzestrzeń postaci A ∪ {b} jest spójna dla każdego b ∈ B. Gdyby bowiem tak nie było, to dla pewnego b ∈ B istniałyby rozła‘czne zbiory niepuste C, D, domknie‘te w przestrzeni Y = A ∪ {b}, takie że A ∪ {b} = C ∪ D. Przyjmuja‘c, że b ∈ C, zbiór D zawierałby sie‘ wtedy w A i D ⊂ cl_{A} D = A ∩ cl_{Y} D = A ∩ D = D, wie‘c D byłby domknie‘ty w A. Zbiór C′ = C \{b} ⊂ A też by był domknie‘ty w A, bo cl_{A} C′ = A ∩ cl_{Y} C′ ⊂ A ∩ cl_{Y} C = A ∩ C = C′; ponadto C′ ≠ ∅, bo w przeciwnym razie C = {b}, D = A, wie‘c b ∈ Y ∩ cl A = cl_{Y} A = cl_{Y} D = D i otrzymujemy sprzeczność z rozła‘cznościa‘ zbiorów C, D. W konsekwencji A = C′ ∪ D, gdzie C′ i D sa‘ niepuste, rozła‘czne i domknie‘te w A, a to oznacza niespójność A, wbrew założeniu.

Przestrzeń

B = ⋃ {A ∪ {b} : b ∈ B} ,

jest spójna na podstawie twierdzenia 8.2 □

Twierdzenie o domknie‘ciu wydaje sie‘, być może, najmniej oczywiste.

Przykład 8.3. Niech

X_{+} = \{(x, sin \frac{1}{x}) : x > 0\}, X_{−} = \{(x, sin \frac{1}{x}) : x < 0\}, X = X_{+} ∪ X_{−}

be‘da‘ podprzestrzeniami płaszczyzny euklidesowej. Sa‘ to wykresy funkcji y = sin \frac{1}{x} określonej na odpowiednich przedziałach (zage‘szczone sinusoidy), wie‘c ze stwierdzenia 6.1 sa‘ one homeomorficzne odpowiednio z przedziałami (0, ∞), (−∞, 0) oraz z ℝ\{0}. Wobec tego przestrzenie X_{+} i X_{−} sa‘ spójne, a X spójna nie jest.

Rozważmy naste‘pnie domknie‘cia tych przestrzeni na płaszczyźnie euklidesowej (to już nie be‘da‘ wykresy!):

Y_{+} = cl X_{+} = X_{+} ∪ ({0} × [−1, 1])
Y_{−} = cl X_{−} = X_{−} ∪ ({0} × [−1, 1])
Y = cl X = X ∪ ({0} × [−1, 1])

Z twierdzenia o domknie‘ciu 8.4 wynika, ze przestrzenie Y_{+} i Y_{−} sa‘ spójne, a z twierdzenia o sumie 8.2, że przestrzeń Y jest spójna.

Na pierwszy rzut oka mniej oczywista jest spójność przestrzeni X_{+}∪ {(0, 1)}, X_{−} ∪ {(0, 1)} oraz X_{+} ∪ X_{−} ∪ {(0, 1)}, której dowodzi sie‘ jak wyżej.

Definicja 8.2. Składowa‘ przestrzeni topologicznej nazywamy jej każda‘ maksymalna‘ spójna‘ podprzestrzeń.

Przykład 8.4.

(1) Jedyna‘ składowa‘ przestrzeni spójnej jest cała przestrzeń.

(2) W przestrzeni dyskretnej składowymi sa‘ wszystkie podzbiory jednopunktowe.

(3) W przestrzeni liczb wymiernych (ℚ, ρ_{e}) (podobnie—niewymier-

nych) składowymi sa‘ również zbiory jednopunktowe.

Rzeczywiście, gdyby składowa S ⊂ ℚ zawierała dwie różne liczby wymierne a, b, gdzie a < b, to biora‘c liczbe‘ niewymierna‘ t taka‘, że a < t < b otrzymalibyśmy dwa zbiory (−∞, t) ∩ S, (t, ∞) ∩ S niepuste, rozła‘czne, otwarte w podprzestrzeni S i daja‘ce w sumie S. Oznaczałoby to niespójnośc podprzestrzeni S.

(4) W przestrzeni X = [0, 1] ∪ (2, 3) z metryka‘ euklidesowa‘ składowymi sa‘ przedziały [0, 1] oraz (2, 3).

Gdyby np. przedział [0, 1] nie był składowa‘ w X, to zawierałby sie‘ w istotnie wie‘kszej podprzestrzeni spójnej S ⊂ X. Zbiór S musiałby zawierać liczbe‘ z przedziału (2, 3), wie‘c zbiory (−∞, \frac{3}{2}] ∩ S, (\frac{3}{2}, ∞) ∩ S byłyby niepuste, rozła‘czne, otwarte w S i daja‘ce w sumie S—sprzeczność ze spójnościa‘ S.

Zauważmy naste‘puja‘ce bardzo proste fakty.

Stwierdzenie 8.1.

(1) Każda przestrzeń topologiczna jest suma‘ swoich składowych.

(2) Dwie różne składowe przestrzeni sa‘ rozła‘czne.

(3) Każda składowa przestrzeni jest jej podzbiorem domknie‘ tym.

Dowód. Pierwsze stwierdzenie wynika z tego, że zbiór jednopunktowy jest spójny i albo jest on już składowa‘, albo da sie‘ powie‘kszyć do składowej.

Stwierdzenie drugie wynika bezpośrednio z twierdzenia o sumie 8.2, a trzecie z twierdzenia o domknie‘ciu 8.4. □

Uwaga 8.1. Pierwsze dwa punkty stwierdzenia 8.1 można wyrazić krócej, mówia‘c, ze każda przestrzeń topologiczna ma rozkład na składowe.

Nie należy mylić tego rozkładu z rozkładem przestrzeni niespójnej na dwa podzbiory niepuste, rozła‘czne i domknie‘te, wyste‘puja‘cym w definicji 8.1. Różnice‘ ilustruje przykład zbioru liczb wymiernych z metryka‘ euklidesowa‘.

Spójność jest własnościa‘ topologiczna‘, wie‘c przestrzenie homeomorficzne powinny mieć taka‘ sama‘ ilość homeomorficznych składowych:

Twierdzenie 8.5. Niech S_{X} i S_{Y} oznaczaja‘ rodziny wszystkich składowych przestrzeni topologicznych X i Y, odpowiednio. Jeśli h : X → Y jest homeomorfizmem, to rodziny S_{X} i S_{Y} sa‘ równoliczne, przy czym S_{Y} = {h(S) : S ∈ S_{X}} i funkcja S ↦ h(S) ustala równoliczność tych rodzin.

Dowód. Pokażemy najpierw inkluzje‘

S_{Y} ⊃ {h(S) : S ∈ S_{X}}

czyli, że h(S) jest składowa‘ przestrzeni Y dla S ∈ S_{X}. Gdyby tak nie było, to zbiór spójny h(S) zawierałby sie‘ w wie‘kszej od niego składowej W przestrzeni Y. Wtedy

S = h^{−1}(h(S)) ⊊ h^{−1}(W) ⊂ X

oraz zbiór h^{−1}(W) jest spójny (gdyż przekształcenie h^{−1} jest cia‘głe, a W —spójny), co jest niemożliwe, bo składowa S jest maksymalnym zbiorem spójnym w X.

Dla uzasadnienia inkluzji odwrotnej niech S′ be‘dzie składowa‘ przestrzeni Y. Stosuja‘c poprzednia‘ inkluzje‘ do homeomorfizmu h^{−1}, stwierdzamy, że h^{−1}(S′) jest składowa‘ przestrzeni X, tzn. h^{−1}(S′) = S ∈ S_{X}. Zatem S′ = h(S), co daje

S_{Y} ⊂ {h(S) : S ∈ S_{X}}

.

Do pokazania równoliczności rodzin S_{X} i S_{Y} wystarczy teraz sprawdzić różnowartościowość funkcji S ↦ h(S), gdzie S ∈ S_{X}: dla różnych S_{1}, S_{2} ∈ S_{X} mamy S_{1}∩S_{2} = ∅ (stwierdzenie 8.1) i z różnowartościowości h wynika, że h(S_{1}) ∩ h(S_{2}) = ∅, w szczególności h(S_{1}) ≠ h(S_{2}). □

Uwaga 8.2. Twierdzenie 8.5 podaje jedynie warunek konieczny, by dwie przestrzenie topologiczne były homeomorficzne. Nie jest on wystarczaja‘cy—dwie niehomeomorficzne przestrzenie moga‘ mieć tyle samo homeomorficznych składowych, np. przestrzeń (ℤ, ρ_{e}) liczb całkowitych i (ℚ, ρ_{e}) (nie sa‘ homeomorficzne, bo pierwsza jest w sobie ge‘sta, a druga nie).

Przykład 8.5. Podprzestrzenie X = ℚ × [0, 1] i Y = (ℝ \ ℚ) × [0, 1] płaszczyzny euklidesowej nie sa‘ homeomorficzne, bo składowymi obu sa‘ odcinki postaci {x} × [0, 1] i X ma ich przeliczalnie wiele, a Y nieprzeliczalnie wiele.

Aby uzasadnić, ze składowe przestrzeni X (podobnie dla Y) sa‘ postaci {x} × [0, 1], przypuśćmy, że pewien odcinek {x} × [0, 1] zawiera sie‘ w wie‘kszej podprzestrzeni spójnej S ⊂ X, tzn. w podzbiorze zawieraja‘cym punkt postaci (x′, t) dla x′ ≠ x. Ponieważ rzutowanie p : X → ℚ, p(x, y) = x jest cia‘głe, wie‘c obraz p(S) jest spójna‘ podprzestrzenia‘ w ℚ zawieraja‘ca‘ dwa różne punkty x, x′, co, jak już wiemy, jest niemożliwe.

Definicja 8.3. Podzbiór A przestrzeni topologicznej X rozspaja przestrzeń X (na n składowych), gdy podprzestrzeń X\A jest niespójna (ma n składowych, tzn. rodzina składowych podprzestrzeni X \ A ma moc n dla pewnej liczby kardynalnej n ).

W przypadku, gdy zbiór A zawiera tylko jeden punkt a, mówimy, że punkt a rozspaja X.

Twierdzenie 8.6. Jeśli h : X → Y jest homeomorfizmem i zbiór A ⊂ X rozspaja X (na n składowych), to zbiór h(A) rozspaja Y (na n składowych).

Dowód. Ponieważ obcie‘cie h ↾ X \ A : X \ A → Y \ h(A) jest homeomorfizmem, to twierdzenie wynika natychmiast z twierdzenia 8.5.

□

Twierdzenia 8.5 i 8.6 dostarczaja‘ narze‘dzi do uzasadniania niehomeomorficzności dwóch przestrzeni. Nate‘puja‘ce przykłady ilustruja‘ te‘ metode‘.

Przykład 8.6.

(1) Przedziały euklidesowe [0, 1) i [0, 1] nie sa‘ homeomorficzne, bo w pierwszym jest tylko jeden punkt nierozspajaja‘cy (liczba 0), a w drugim sa‘ dokładnie dwa punkty nierozspajaja‘ce (liczby 0 i 1).

(2) Okra‘g nie jest homeomorficzny z przedziałem [0, 1] (metryki euklidesowe), gdyż żaden punkt nie rozspaja okre‘gu, podczas, gdy sa‘ punkty rozspajaja‘ce przedział.

(3) Okra‘g nie jest homeomorficzny z kwadratem na płaszczyźnie euklidesowej, bo dowolny podzbiór dwupunktowy rozspaja okra‘g, a żaden podzbiór dwupunktowy nie rozspaja kwadratu (dowolne dwa punkty kwadratu, nie należa‘ce do tego podzbioru, można poła‘czyć łamana‘ w kwadracie omijaja‘ca‘ ten podzbiór).

(4) Pe‘k prostych P_{1} = {re^{iϕ} : ϕ ∈ ℚ ∩ [0, 2π], r ∈ ℝ} (o wymiernych współczynnikach kierunkowych) nie jest homeomorficzny z pe‘kiem prostych P_{2} = {re^{iϕ} : ϕ ∈ ℝ\ℚ∩[0, 2π], r ∈ ℝ} (o niewymiernych współczynnikach kierunkowych), gdyż w drugim pe‘ku punkt 0 rozspaja go na nieprzeliczalnie wiele składowych (półproste o pocza‘tku 0), a pierwszy takiego punktu nie ma.

Aby uzasadnić, że składowe podprzestrzeni P_{2} \ {0} sa‘ półprostymi o pocza‘tku 0, przypuśćmy, że pewna półprosta {re^{iϕ_{0}} : r > 0}, gdzie ϕ_{0} ∈ (R \ ℚ) ∩ [0, 2π] zawiera sie‘ w wie‘kszym zbiorze spójnym S ⊂ P_{2}\{0}. Załóżmy, że S zawiera punkt z = re^{iψ} spoza półprostej. Wybieramy liczbe‘ wymierna‘ θ pomie‘dzy ϕ_{0} i ψ i rozważamy półpłaszczyzny otwarte W oraz V, na które dzieli płaszczyzne‘ prosta {re^{iθ} : r ∈ ℝ}. Zbiory W i V sa‘ podzbiorami otwartymi płaszczyzny euklidesowej, wie‘c zbiory W ∩ S i V ∩ S sa‘ otwarte w S, niepuste, rozła‘czne i w sumie daja‘ S, co jest sprzeczne ze spójnościa‘ S.

Ćwiczenia

(1) Uzasadnić stwierdzenia z przykładu 8.1.

(2) Korzystaja‘c z faktu, że obraz cia‘gły przestrzeni spójnej jest spójny udowodnić twierdzenie Darboux, mówia‘ce, że funkcja cia‘gła f : [a, b] → ℝ przyjmuje wszystkie wartości pośrednie mie‘dzy dowolnymi swoimi dwiema wartościami.

(3) Kiedy wykres funkcji cia‘głej jest spójny?

Czy jeśli funkcja f : X → Y ma wykres spójny, to musi być cia‘gła?

(4) Sprawdzić, że podzbiory spójne prostej euklidesowej musza‘ być wypukłe, czyli sa‘ wszelkiego rodzaju przedziałami (z końcami lub bez, ograniczonymi lub nie).

(5) Korzystaja‘c z faktu istnienia przekształcenia cia‘głego przestrzeni metrycznej w przedział euklidesowy [0, 1] (zob. ćwiczenia 16 i 17) oraz z poprzedniego ćwiczenia, udowodnić,że każda niejednopunktowa przestrzeń metryczna spójna jest nieprzeliczalna.

Takie twierdzenie jest nieprawdziwe dla niemetryzowalnych przestrzeni topologicznych Hausdorffa spójnych—sa‘ przykłady takich przestrzeni, które sa‘ przeliczalne! (zob. [ES], str. 376).

(6) Czy wne‘trze oraz brzeg podzbioru spójnego przestrzeni X musza̧

być spójne?

Czy jeśli brzeg podzbioru A ⊂ X jest spójny, to A jest spójny?

(7) Badaja‘c zbiory rozspajaja‘ce odpowiednie przestrzenie z metrykami euklidesowymi uzasadnić, że prosta nie jest homeomorficzna z płaszczyzna‘ ani z ℝ^{3}, a sfera S^{2} z okre‘giem.

Zbadać, które litery alfabetu sa‘ homeomorficzne.

(8) Udowodnić, że każda funkcja cia‘gła f : [0, 1] → [0, 1] ma punkt

stały, tzn. taki punkt x, że f(x) = x.

Wskazówka: Rozpatrzyć funkcje‘ pomocnicza‘

g : [0, 1] → ℝ, g(x) = f(x) − x

i skorzystać ze spójności przedziału euklidesowego [0, 1].

(9) Uzasadnić, że każde przekształcenie cia‘głe f : A → A, gdzie A jest dowolnym łukiem ma punkt stały (zob. poprzednie ćwiczenie).

ROZDZIAł 9 Przestrzenie łukowo spójne

Definicja 9.1. Łukiem nazywamy przestrzeń topologiczna‘ homeomorficzna‘ z przedziałem domknie‘tym prostej euklidesowej.

Jeśli A jest łukiem i h : [α, β] → A jest homeomorfizmem, to punkty a = h(α), b = h(β) nazywamy końcami łuku A i mówimy, że A jest łukiem od a do b, oznaczaja‘c go cze‘sto symbolem ab.

Homeomorfizm h nazywamy zaś parametryzacja‘ łuku ab od a do b. Parametryzacja h od a do b wyznacza porza‘dek liniowy ≺ od a do

b na łuku ab wzorem:

p ≺ q ⇔ h^{−1}(p) < h^{−1}(q).

Uwaga 9.1.

(1) Łuk jest zawsze przestrzenia‘ metryzowalna‘ (zob. rozdział 7).

(2) Jeśli p jest punktem łuku ab różnym od końców a, b, a h : [α, β] → ab parametryzacja‘ łuku ab od a do b, to homeomorfizm h′ = h|[α, h^{−1}(p)] jest parametryzacja‘ podłuku ap ⊂ ab, a h′′ = h|[h^{−1}(p), 1]—parametryzacja‘ podłuku pb ⊂ ab od p do b.

(3) Obraz homeomorficzny łuku jest łukiem.

Lemat 9.1. Jeśli cia‘g punktów a_{n} łuku ab jest zbieżny w ab do punktu p, a punkty a′_{n} ∈ ab spełniaja‘ a_{n+1} ≺ a′_{n} ≺ a_{n} dla każdego n ∈ ℕ, to cia‘g {a′_{n}} jest też zbieżny do p.

Dowód. Taka‘ własność ma oczywiście każdy przedział euklidesowy [α, β]. Parametryzacja h : [α, β] → ab od a do b przenosi ja‘ na łuk ab. □

Przykład 9.1. Wykres przekształcenia cia‘glego f : [α, β] → X, gdzie [α, β] jest domknie‘tym przedziałem euklidesowym, jest łukiem od punktu (α, h(α)) do (β, h(β)) (zob. stwierdzenie 6.1).

Definicja 9.2. Przestrzeń topologiczna jest łukowo spójna, gdy każde jej dwa różne punkty dadza‘ sie‘ poła‘czyć podprzestrzenia‘, która jest łukiem.

Łukowa spójność jest poje‘ciem silniejszym od spójności przestrzeni i wyste‘puje cze‘sto w analizie matematycznej i geometrii.

Przykład 9.2. Przestrzeń Y_{+} z przykładu 8.3 (podobnie Y_{−} i Y) nie jest łukowo spójna. Nie istnieje mianowicie łuk łacza‘cy punkt a = (0, 0) z punktem b = (t, t′) ∈ X_{+}.

Istotnie, przypuśćmy, że jest taki łuk ab ⊂ Y_{+}. Wtedy rzut łuku ab na oś odcie‘tych, jako spójna podprzestrzeń prostej euklidesowej ℝ, musi być przedziałem zawieraja‘cym 0 i t > 0. Dlatego przedział [0, t] zawiera sie‘ w rzucie łuku ab. Oznacza to, że

X_{+} ∩ {(x, y) : x ≤ t} ⊂ ab

(łuk ab zawiera cze‘ść wykresu zage‘szczonej sinusoidy X_{+} znajduja‘ca‘ sie‘ nad lub pod przedziałem (0, t]). Punkty a_{n} = (\frac{1}{2nπ}, 0) i a′_{n} = (\frac{2}{(4n+1)π}, 1) należa‘ wie‘c do ab dla dostatecznie dużych n ∈ ℕ—przyjmijmy, że dla wszystkich n. Ponadto, w porza‘dku liniowym ≺ od a do b mamy a_{n+1} ≺ a′_{n} ≺ a_{n} dla każdego n ∈ ℕ. Na mocy lematu 9.1 cia‘g punktów a′_{n} jest zbieżny do a, co oczywiście jest nieprawda‘, bo granica‘ tego cia‘gu jest punkt (0, 1).

Przestrzenie z przykładu 8.3 zawieraja‘ łuki. Trudniej jest wyobrazić sobie przestrzeń spójna‘ bez łuków. Można oczywiście podać łatwy, ale sztuczny przykład takiej przestrzeni topologicznej—jest nia‘ np. przestrzeń dwupunktowa X z przykładu 7.1. Jeden z pierwszych przykładów podprzestrzeni płaszczyzny euklidesowej spójnych i nie zawieraja‘- cych łuków był skonstruowany przez Zygmunta Janiszewskiego w 1912 r. Punktem wyjścia takiej konstrukcji może być np. powyższa przestrzeń Y. Wycinamy z niej łuk i wstawiamy w jego miejsce mniejsza‘ kopie‘ Y. Mówia‘c mało precyzyjnie, takich operacji wycie‘ć i wstawień wykonujemy nieskończenie wiele, przy czym średnice “wycie‘ć” i “wstawek” da‘ża‘ do 0. Naste‘puje tzw. zage‘szczenie osobliwości, którymi sa‘ wstawiane kopie Y. W rezultacie otrzymamy spójna‘ podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej, bez łuków.

Łukowa spójność jest własnościa‘ topologiczna‘:

Stwierdzenie 9.1. Jeśli przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna i Y jest przestrzenia‘ homeomorficzna‘ z X, to Y jest łukowo spójna.

Dowód. Niech h : X → Y be‘dzie homeomorfizmem i y_{1}, y_{2} dwoma róznymi punktami przestrzeni Y. Wybierzmy punkty x_{1} ∈ h^{−1}(y_{1}), x_{2} ∈ h^{−1}(y_{2}). Istnieje łuk x_{1}x_{2} ⊂ X. Jego obraz homeomorficzny h(x_{1}x_{2}) jest łukiem o końcach y_{1} i y_{2} w Y. □

Lemat 9.2. Przestrzeń, która jest suma‘ dwóch łuków ab i bc, takich że a ≠ c, zawiera łuk od a do c.

Dowód. Jeśli c ∈ ab, to bierzemy podłuk ac łuku ab. Załóżmy wie‘c dalej, że c ∉ ab. Wtedy łuk bc może wielokrotnie przecinać ab i należy znaleźć “ostatni” (w porza‘dku ≺ od b do c) jego punkt p, który należy do ab, a naste‘pnie wzia‘ć sume‘ łuków ap ⊂ ab i pc ⊂ bc.

Aby to opisać precyzyjnie, niech h : [α, β] → ab i g : [β, γ] → bc be‘da‘ parametryzacjami łuków ab i bc od a do b i od b do c, odpowiednio.

Pokażemy, że istnieje taki punkt p ∈ bc, że podłuk pc ⊂ bc nie zawiera punktów łuku ab różnych od p. Gdyby bowiem dla każdego p ∈ bc istniał punkt p′ ∈ ab ∩ pc różny od p, to tworzymy cia‘g par takich punktów, spełniaja‘cych:

p_{1} ≺ p′_{1} ≺ p_{2} ≺ p′_{2} ⋯ ≺ c, gdzie p′_{n} ∈ ab ∩ bc,

zbieżny do c. Można to zrobić np. w naste‘puja‘cy sposób:

p_{1} = g(\frac{β+γ}{2} ) ≺ p′_{1} ≺ p_{2} = g(\frac{g^{−1}(p′_{1})+γ}{2} ) ≺ p′_{2} ≺ …, itd. Widzimy tu, że cia‘g liczb

\frac{β + γ}{2} < g^{−1}(p′_{1}) < \frac{g^{−1}(p′_{1}) + γ}{2} < g^{−1}(p′_{2}) < …

jest zbieżny do γ, wie‘c cia‘g obrazów p′_{1}, p′_{2}, …, musi być zbieżny do obrazu g(γ) = c. Ponadto, wiedza‘c, że p′_{n} ∈ ab i cia‘g (p′_{n}) zawiera podcia‘g zbieżny w ab (zob. 4 w przykładzie 4.4), stwierdzamy, że granica tego podcia‘gu, czyli punkt c należy do łuku ab, co jest sprzeczne z założeniem.

Na koniec zauważmy, że suma podłuków ap ⊂ ab i pc ⊂ bc jest łukiem o końcach a i c. Można bowiem określić homeomorfizm:

f :[1, 2] → ap ∩ pc
f(t) = h((h^{−1}(p) − α)t + α) dla t ∈ [0, 1],
f(t) = g((γ − g^{−1}(p))(t − 1) + g^{−1}(p)) dla t ∈ [1, 2].
□

Łukowa spójność jest istotna‘ cecha‘ obszarów, czyli spójnych i otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych. Fakt ten ma miejsce nawet w ogólniejszej sytuacji.

Definicja 9.3. Przestrzeń unormowana‘ X nazywa sie‘ lokalnie wypukła, gdy istnieje liczba ϵ > 0 taka, że kule w X o promieniach mniejszych od ϵ sa‘ zbiorami wypukłymi.

Wszystkie przykłady przestrzeni unormowanych podane w rozdziale 1 sa‘ lokalnie wypukłe (w przypadku przestrzeni funkcyjnej B(X, Y) trzeba założyć, że Y jest unormowana lokalnie wypukła).

Twierdzenie 9.1. Podzbiór spójny i otwarty przestrzeni unormowanej, lokalnie wypukłej jest łukowo spójny. W szczególności każdy obszar jest łukowo spójny.

Dowód. Niech U be‘dzie podzbiorem spójnym i otwartym przestrzeni unormowanej lokalnie wypukłej X. Możemy założyć, że jest on niepusty (dlaczego?). Niech ϵ be‘dzie liczba‘ dodatnia‘ taka‘, że kule w X o promieniach mniejszych od ϵ sa‘ wypukłe. Ustalmy punkt u ∈ U. Pokażemy, że zbiór

A = {x ∈ U : istnieje łuk ux ⊂ U}

jest zarówno otwarty, jak i domknie‘ty w U.

Otwartość: Niech x ∈ A i niech ux ⊂ U be‘dzie łukiem o końcach x, u. Ponieważ U jest otwarty w X, to istnieje kula K(x; r) ⊂ U, gdzie r < ϵ. Możemy również założyć, że promień r jest tak mały, by u ∉ K(x; r). Wtedy każdy punkt y tej kuli daje sie‘ poła‘czyć z x odcinkiem (a wie‘c łukiem) xy w niej zawartym. W sumie ux ∪ xy istnieje łuk uy (lemat 9.2), ska‘d y ∈ A, co daje K(x; r) ⊂ A.

Domknie‘tość: Podobnie, jak wyżej, pokażemy, że zbiór U \ A jest otwarty w U. Niech x ∈ U \ A i K(x; r) ⊂ U be‘dzie kula‘ z promieniem r < ϵ. Wówczas każdy punkt y tej kuli ła‘czy sie‘ z środkiem x odcinkiem yx ⊂ K(x; r), wie‘c y ∉ A, bo w przeciwnym razie istniałby łuk uy ⊂ U i, z lematu 9.2, suma uy ∪ yx zawierałaby łuk ux. Jest to niemożliwe, bo przecież x ∉ A.

Skoro A jest podzbiorem otwarto-domknie‘tym przestrzeni spójnej U, to albo A = ∅, albo A = U. Pierwszy przypadek jest niemożliwy, bo U zawiera kule wypukłe (o promieniach < ϵ) o środku u. Zatem A = U. Jeśli wie‘c x, y ∈ U sa‘ różne od siebie i od u, to istnieja‘ łuki xu, uy ⊂ U i, korzystaja‘c ponownie z lematu 9.2, stwierdzamy istnienie łuku xy ⊂ U. □

Poje‘ciem analogicznym do składowej jest składowa łukowa.

Definicja 9.4. Składowa‘ łukowa‘ przestrzeni topologicznej X jest każda maksymalna podprzestrzeń łukowo spójna przestrzeni X.

Zauważmy, że składowe łukowe przestrzeni moga‘ być jednopunktowe. Be‘dzie tak, na przykład, gdy przestrzeń nie zawiera łuków.

Każda składowa łukowa, jako zbiór spójny, zawiera sie‘ w składowej przestrzeni. Przykład 8.3 świadczy o tym, że składowe przestrzeni moga‘ być istotnie wie‘ksze od składowych łukowych.

Przykład 9.3. Składowymi łukowymi przestrzeni Y z przykładu 8.3 sa‘ zbiory X_{+}, X_{−} i ({0} × [−1, 1]).

Stwierdzenie 9.2. Składowe łukowe przestrzeni topologicznej X tworza‘ rozkład przestrzeni X.

Dowód. Trzeba sprawdzić, że różne składowe łukowe sa‘ rozła‘czne i daja‘ w sumie X.

Niech wie‘c A_{1}, A_{2} be‘da‘ różnymi składowymi łukowymi i A_{1}∩A_{2} ≠ ∅. Wybierzmy punkt a ∈ A_{1} ∩ A_{2} i niech x, y be‘da‘ dowolnymi różnymi punktami zbioru A_{1} ∪ A_{2}. Jeśli oba punkty x, y leża‘ w tej samej składowej A_{i} (i = 1, 2), to oczywiście w A_{i} istnieje łuk xy. Jeśli leża‘ w różnych składowych, to przyjmijmy, że np. x ∈ A_{1}, y ∈ A_{2} i wybierzmy łuki xa ⊂ A_{1}, ay ⊂ A_{2}. W sumie xa ∪ ay zawiera sie‘ łuk xy ( 9.2). Zatem zbiór A_{1} ∪ A_{2} jest łukowo spójny, a ponieważ A_{1} i A_{2} sa‘ maksymalnymi podzbiorami łukowo spójnymi, to A_{1} = A_{1} ∪ A_{2} = A_{2}, sprzeczność.

Ponieważ każdy podzbiór jednopunktowy jest łukowo spójny, wie‘c zawiera sie‘ w składowej łukowej, to cała przestrzeń X jest suma‘ swoich składowych łukowych. □

Ze stwierdzenia 9.1 wynika, ze poje‘cie składowej łukowej jest niezmiennikiem homeomorfizmów:

Stwierdzenie 9.3. Jeśli A jest składowa‘ łukowa‘ przestrzeni topologicznej X i h : X → Y jest homeomorfizmem, to h(A) jest składowa‘ łukowa‘ przestrzeni Y.

Stwierdzenia 9.2 i 9.3 implikuja‘ analogiczne do twierdzenia 8.5 twierdzenie o składowych łukowych.

Twierdzenie 9.2. Niech A_{X} i A_{Y} oznaczaja‘ rodziny wszystkich składowych łukowych przestrzeni topologicznych X i Y, odpowiednio. Jeśli h : X → Y jest homeomorfizmem, to rodziny A_{X} i A_{Y} sa‘ równoliczne, przy czym A_{Y} = {h(A) : A ∈ A_{X}} i funkcja A ↦ h(A) ustala równoliczność tych rodzin.

Powyższym twierdzeniem można sie‘ posłużyć do udowodnienia, że jakieś dwie przestrzenie nie sa‘ homeomorficzne. Ilustruja‘ to naste‘puja‘ce przykłady.

Przykład 9.4.

(1) Przestrzeń Y_{+} ma dwie składowe łukowe, a Y — trzy, wie‘c te przestrzenie nie sa‘ homeomorficzne.

(2) Podprzestrzeń Z = X_{+}∪({0}×[−1, 1)) płaszczyzny euklidesowej nie jest homeomorficzna z Y_{+}. Obie maja‘ po dwie składowe łukowe, ale składowa łukowa ({0}×[0, 1)) przestrzeni Z nie jest homeomorficzna z żadna‘ ze składowych łukowych w Y_{+}.

Twierdzenia 8.5 i 9.2 jednak nie wystarczaja‘ bezpośrednio, by uzasadnić niehomeomorficzność takich nieskomplikowanych podprzestrzeni płaszczyzny euklidesowej, jak

\{ (x, sin \frac{1}{x}) : 0 < x ≤ π \} ∪ (\{0\} × [−1, 1])

i

\{ (x, sin \frac{1}{x}) : 0 < x ≤ π \} ∪ (\{0\} × [0, \frac{1}{2}]).

Wygodnym narze‘dziem be‘dzie w tym przypadku zwartość, której poświe‘camy kolejny rozdział.

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić spójność i łukowa‘ spójność oraz znaleźć składowe i łukowe składowe

(a) płaszczyzny z metrykami “rzeka” i “centrum”;

(b) kul K((1, 1); r), gdzie r = 1, 2, na płaszczyźnie w metrykach “rzeka” i “centrum”;

(c) zbiorów podanych w ćwiczeniach 8 i 9 w rozdziale 3.

(2) Czy płaszczyzna (przestrzeń ℝ^{n}) euklidesowa bez przeliczalnej ilości punktów jest łukowo spójna?

(3) Udowodnić, że każda przestrzeń ścia‘galna jest łukowo spójna.

(4) Niech Y be‘dzie przestrzenia‘ łukowo spójna‘. Pokazać, że każde dwa przekształcenia stałe z dowolnej przestrzeni X w Y sa‘ homotopijne.

(5) Udowodnić, że przestrzeń C(X, I), gdzie X jest dowolna‘ przestrzenia‘ metryczna‘, a I jest przedziałem euklidesowym [0, 1], jest wypukła i lokalnie wypukła (zob. rozdział 6, ćwiczenia 9 i 10). Zauważyć, że to twierdzenie można uogólnić, zaste‘puja‘c przedział I przestrzenia‘ Y unormowana‘ wypukła‘ i lokalnie wypukła‘.

(6) Badaja‘c składowe lub łukowe składowe sprawdzić, czy wśród naste‘- puja‘cych podprzestrzeni płaszczyzny euklidesowej sa‘ przestrzenie homeomorficzne:

(a) X_{1} = \{(x, y) : y = sin \frac{1}{x}, 0 ≠ |x| ≤ 2\}

(b) X_{2} = X_{1} ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]}

(c) X_{3} = \{(x, y) : y = sin \frac{1}{x}, 0 ≠ |x| < 2\}

(d) X_{4} = \{(x, y) : y = sin \frac{1}{x}, 0 < x < 2\} ∪ \{(0, y) : y ∈ [−1, 1]\}

(e) X_{5} = \{(x, y) : y = sin \frac{1}{x}, −2 < x < 0\}

(f) X_{6} = X_{3} ∪ {(0, −1), (0, 1)}

(g) X_{7} = X_{5} ∪ {(0, 0)}

(h) X_{8} = X_{1} ∪ {(0, −1)}

(i) X_{9} = cl X_{4} ∪ {(0, y) ∈ ℝ^{2} : −2 ≤ y ≤ −1} ∪ {(x, −2) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 2\} ∪ \{(2, y) ∈ ℝ^{2} : −2 ≤ y ≤ sin \frac{1}{2}\}

(j) X_{10} = X_{1} ∪ \{(−2, y) ∈ ℝ^{2} : −2 ≤ y ≤ sin \frac{1}{−2}\} ∪ \{(x, −2) ∈ ℝ^{2} : −2 ≤ x ≤ 2\} ∪ \{(2, y) ∈ ℝ^{2} : −2 ≤ y ≤ sin \frac{1}{2}\}

Czy X_{9} i X_{10} sa‘ homeomorficzne z okre‘giem euklidesowym?

ROZDZIAł 10 Przestrzenie zwarte

Definicja 10.1. Przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zwarta , gdy każdy cia‘g punktów w X ma podcia‘g zbieżny w X.

Przykład 10.1.

(1) Każda przestrzeń skończona jest zwarta.

(2) Nieskończona przestrzeń dyskretna nie jest zwarta.

(3) Prosta euklidesowa nie jest zwarta.

(4) Przedział domknie‘ty [α, β] na prostej euklidesowej jest zwarty.

Jest to konsekwencja‘ znanego z kursu analizy matematycznej, podstawowego twierdzenia Bolzano-Weierstrassa głosza‘cego, ze każdy ograniczony cia‘g liczb rzeczywistych ma podcia‘g zbieżny. Jeśli cia‘g zawiera sie‘ w przedziale [α, β], to i granica jego podcia‘gu zbieżnego jest w tym przedziale.

Aby móc podać dalsze przykłady przestrzeni zwartych, sformułujemy kilka ogólnych własności.

Stwierdzenie 10.1. Podprzestrzeń domknie‘ ta przestrzeni metrycznej zwartej jest zwarta.

Dowód. Załóżmy, że X jest przestrzenia‘ zwarta‘, Y jej podzbiorem domknie‘tym i y_{n} ∈ Y, dla n ∈ ℕ. Istnieje podcia‘g (y_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny w X, tzn. maja‘cy granice‘ y ∈ X. Z domknie‘tości zbioru Y wynika, że y ∈ Y (zob. uwage‘ 3.1), czyli podcia‘g (y_{k_{n}}) jest zbieżny w Y. □

Stwierdzenie 10.2. Jeśli przestrzeń zwarta Y jest podprzestrzenia‘ przestrzeni metrycznej X, to Y jest podzbiorem domknie‘ tym w X.

Dowód. Zgodnie z uwaga‘ 3.1 sprawdzimy, że każdy cia‘g punktów przestrzeni Y, który jest zbieżny w X, ma granice‘ w Y. Niech y_{n} ∈ Y, dla n ∈ ℕ, be‘dzie cia‘giem zbieżnym do punktu y ∈ X. Na mocy zwartości Y istnieje podcia‘g (y_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny w Y. Ponieważ podcia‘g cia‘gu zbieżnego ma te‘ sama‘ granice‘, co cały cia‘g, to y ∈ Y. □

Uwaga 10.1. Własność przestrzeni metrycznych zwartych, o której jest mowa w stwierdzeniu 10.2, jest czasami nazywana ich absolutna‘ domknie‘ tościa‘.

Stwierdzenie 10.3. Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ograniczona.

Dowód. Przypuśćmy, że przestrzeń metryczna zwarta (X, ρ) nie jest ograniczona, tzn. diam X = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ X} = ∞. Przypomnijmy, że wówczas X nie zawiera sie‘ w sumie skończenie wielu kul (ćwiczenie 3 z rozdziału 2). Zdefiniujemy cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} bez podcia‘gu zbieżnego. Niech x_{1} be‘dzie dowolnym punktem przestrzeni X. Istnieje punkt x_{2} ∈ X taki, że ρ(x_{1}, x_{2}) ≥ 1, bo w przeciwnym razie X ⊂ K(x_{1}; 1). Indukcyjnie określamy kolejne punkty cia‘gu: załóżmy, że punkty x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zostały zdefiniowane. Istnieje wtedy punkt x_{n+1} ∈ X taki, że ρ(x_{n+1}, x_{i}) ≥ 1 dla wszystkich i = 1, 2, …, n, gdyż w przeciwnym razie

X ⊂ ⋃_{i=1}^{n} K(x_{i}; 1),

dla pewnego i ∈ {1, 2, …, n}. Każde dwa różne punkty cia‘gu (x_{n})_{n∈ℕ} sa‘ odległe od siebie o co najmniej 1, wie‘c jest jasne, ze ani sam ten cia‘g, ani żaden jego podcia‘g nie może być zbieżny. □

Twierdzenie 10.1. Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu przestrzeni metrycznych zwartych jest przestrzenia‘ zwarta‘.

Dowód. Udowodnimy twierdzenie najpierw dla iloczynu dwóch przestrzeni zwartych X i Y. Niech (x_{n}, y_{n}) ∈ X × Y, n ∈ ℕ . Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} ma podcia‘g zbieżny (x_{k_{n}})_{n∈ℕ} do pewnego punktu x ∈ X. Podcia‘g (y_{k_{n}})_{n∈ℕ} nie musi być zbieżny, ale ma podcia‘g (y_{k_{mn}})_{n∈ℕ} zbieżny do pewnego punktu y ∈ Y. Z twierdzenia 6.1 o zbieżności po współrze‘dnych wynika, że podcia‘g (x_{k_{mn}}, y_{k_{mn}})_{n∈ℕ} cia‘gu (x_{n}, y_{n})_{n∈ℕ} jest zbieżny do punktu (x, y) ∈ X × Y.

Stosuja‘c indukcje‘ matematyczna‘ i prosty fakt, że iloczyny kartezja‘ńskie (X_{1} ×X_{2} ×⋯×X_{k})×X_{k+1} oraz X_{1} ×X_{2} ×⋯×X_{k} ×X_{k+1} sa‘ izometryczne (zob. ćwiczenie 6 z rozdziału 6), dowodzimy twierdzenia dla dowolnej skończonej ilości przestrzeni metrycznych zwartych.

W przypadku iloczynu X nieskończenie wielu przestrzeni zwartych X_{1}, X_{2}, , …, rozważmy dowolny cia‘g x_{n} = (x_{n1}, x_{n2}, …) ∈ X, gdzie x_{ni} ∈ X_{i}. Podobnie, jak wyżej, znajdziemy punkt w X, który be‘dzie granica‘ podcia‘gu cia‘gu x_{n}. Określenie takiego podcia‘gu jest nieco bardziej skomplikowane i polega na, tak zwanej, metodzie przeka‘tniowej. Cia‘g pierwszych współrze‘dnych x_{n1}, n ∈ ℕ, ma podcia‘g x_{k_{n}1} zbieżny do pewnego punktu a_{1} ∈ X_{1}, gdy n → ∞. Podcia‘g drugich współrze‘dnych x_{k_{n}2} ma podcia‘g x_{m_{kn}1} zbieżny do pewnego punktu a_{2} ∈ X_{2}, gdy n → ∞. Podcia‘g trzecich współrze‘dnych x_{m_{kn}3} ma podcia‘g x_{l_{m_{kn}} 3} zbieżny do punktu a_{3} ∈ X_{3} dla n → ∞, itd. Otrzymujemy w ten sposób punkt (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …) ∈ X, be‘da‘cy, na podstawie twierdzenia o zbieżności po współrze‘dnych 6.1, granica‘ cia‘gu punktów

(x_{k_{1}1}, x_{k_{1}2}, x_{k_{1}3}, …),
(x_{m_{k_{2}}1}, x_{m_{k_{2}}2}, x_{m_{k_{2}}3}, …),
(x_{l_{m_{k_{3}}} 1}, x_{l_{m_{k_{3}}} 2}, x_{l_{m_{k_{3}}} 3}, …),
…

który jest podcia‘giem cia‘gu x_{n}. □

Można teraz podać obszerna‘ klase‘ przestrzeni zwartych.

Przykład 10.2. Kostki euklidesowe, kostka Hilberta (zob. ćwiczenie 5b z rozdziału 6) oraz ich podzbiory domknie‘te sa‘ przestrzeniami zwartymi. W szczególności domknie‘cia kul w przestrzeniach euklidesowych sa‘ zwarte (istotnie, domknie‘cie takiej kuli zawiera sie‘ w pewnej kostce, a wie‘c jest podzbiorem domknie‘tym przestrzeni zwartej).

Twierdzenie 10.2. Podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem domknie‘ tym i ograniczonym.

Dowód. Niech A ⊂ (ℝ^{n}, ρ_{e}). Jeśli podprzestrzeń A jest zwarta, to jest podzbiorem domknie‘tym (stwierdzenie 10.2) i ograniczonym (stwierdzenie 10.3).

Na odwrót, jeśli A jest ograniczony, to zawiera sie‘ w pewnej kuli K (stwierdzenie 2.2), której domknie‘cie cl K jest podzbiorem zwartym w (ℝ_{n}, ρ_{e}) (przykład 10.2). Ponieważ A jest domknie‘ty w ℝ^{n}, to jest również domknie‘tym podzbiorem podprzestrzeni cl K, wie‘c jest podprzestrzenia‘ zwarta‘ (stwierdzenie 10.1). □

W powyższym twierdzeniu trzeba zwrócić uwage‘ na założenie, że A jest podzbiorem przestrzeni euklidesowej. Jest to istotne, jak wskazuja‘ naste‘puja‘ce przykłady.

Przykład 10.3.

(1) Domknie‘cie kuli K(0; 1) w przestrzeni Hilberta l_{2} jest podzbiorem ograniczonym i domknie‘tym, ale nie jest podprzestrzenia‘ zwarta‘ w l_{2}: punkty

x_{1} = (1, 0, 0, …), x_{2} = (0, 1, 0, …), x_{3} = (0, 0, 1, 0, …), …

należa‘ do tego domknie‘cia i tworza‘ cia‘g bez podcia‘gu zbieżnego, bo odległość mie‘dzy nimi wynosi 1.

(2) Na płaszczyźnie z metryka‘ “centrum” ρ_{c} domknie‘cie kuli o środku (0, 0) i promieniu 1 jest równe zbiorowi

{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1},

który oczywiście jest domknie‘ty i ograniczony w (ℝ^{2}, ρ_{c}), ale nie jest podprzestrzenia‘ zwarta‘, bo np. cia‘g punktów

(cos \frac{1}{n}, sin \frac{1}{n})

nie ma podcia‘gu zbieżnego w tej podprzestrzeni.

(3) Jeśli X jest przedziałem otwartym (0, 1) na prostej euklidesowej, to X jest podzbiorem ograniczonym i domknie‘tym w przestrzeni X, ale nie jest przestrzenia‘ zwarta‘, bo cia‘g \frac{1}{n}, dla n = 2, 3, …, nie ma podcia‘gu zbieżnego w X.

Przekształcenia cia‘głe określone na przestrzeniach metrycznych zwartych maja‘ ważne własności, cze‘sto wykorzystywane w analizie matematycznej.

Stwierdzenie 10.4. Przestrzeń metryczna, be‘ da‘ca obrazem cia‘- glym przestrzeni metrycznej zwartej, jest zwarta.

Dowód. Niech X be‘dzie przestrzenia‘ metryczna‘ zwarta‘,a f—przekształceniem cia‘glym przestrzeni X na przestrzeń metryczna‘ Y. Załóżmy, że (y_{n}) jest dowolnym cia‘giem punktów przestrzeni Y. Dla każdego n ∈ ℕ wybierzmy punkt x_{n} ∈ f^{−1}(y_{n}). Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} ma podcia‘g zbieżny (x_{k_{n}})_{n∈ℕ} do pewnego punktu x ∈ X. Z cia‘głości przekształcenia f wynika, że

lim_{n→∞} y_{k_{n}} = lim_{n→∞} f(x_{k_{n}}) = f(x) ∈ Y,

wie‘c podcia‘g (y_{k_{n}})_{n∈ℕ} jest zbieżny w Y. □

Przykład 10.4.

(1) Stwierdzenie 10.4 pozwala natychmiast uzasadnić niehomeomorficzność przestrzeni podanych na końcu poprzedniego rozdziału: pierwsza jest zwarta, a druga nie.

(2) Prosta euklidesowa nie jest zwarta, wie‘c nie może być obrazem cia‘głym domknie‘tego przedziału euklidesowego.

Naste‘puja‘cy wniosek daje podstawe‘ do badania maksimum i minimum funkcji rzeczywistych wielu zmienych.

Wniosek 10.1. Każde przekształcenie cia‘głe określone na przestrzeni metrycznej zwartej o wartościach w prostej euklidesowej przyjmuje swoje oba kresy.

Dowód. Obrazem przestrzeni zwartej jest podprzestrzeń zwarta, a wie‘c podzbiór domknie‘ty i ograniczony prostej. Istnieja‘ wie‘c kresy takiego podzbioru, a z jego domknie‘tości wynika, że kresy do niego należa‘. □

Stwierdzenie 10.5. Każde przekształcenie cia‘głe mie‘ dzy przestrzeniami metrycznymi określone na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciagłe i domknie‘ te.

Dowód. Niech f : (X, ρ_{X}) → (Y, ρ_{Y}) be‘dzie cia‘głe, a przestrzeń metryczna (X, ρ_{X})—zwarta.

Przypuśćmy najpierw, że f nie jest jednostajnie cia‘głe, czyli istnieje liczba ϵ > 0 taka, że dla każdej liczby δ > 0 znajdziemy punkty x, y ∈ X takie, że ρ_{X}(x, y) < δ oraz ρ_{Y} (f(x), f(y)) ≥ ϵ. Przyjmuja‘c δ = \frac{1}{n}, dla n = 1‘, 2, …, znajdziemy wie‘c punkty x_{n}, y_{n} ∈ X odległe od siebie o mniej niż \frac{1}{n} i takie, że ρ_{Y} (f(x_{n}), f(y_{n})) ≥ ϵ. Ponieważ iloczyn kartezjański X × X jest przestrzenia‘ zwarta‘ (twierdzenie 10.1) wie‘c cia‘g par (x_{n}, y_{n}) ∈ X × X, dla n = 1, 2, …, ma podcia‘g zbieżny ((x_{k_{n}}, y_{k_{n}}))_{n∈ℕ} zbieżny do pewnego punktu (x, y) ∈ X × X. Z nierówności

ρ_{X}(x_{k_{n}}, y_{k_{n}}) < \frac{1}{k_{n}}

i z cia‘głości metryki ρ_{X} (stwierdzenie 6.2) wynika, ze

ρ_{X}(x, y) = lim_{n→∞} ρ_{X}(x_{k_{n}}, y_{k_{n}}) = 0.

Z drugiej strony, z cia‘głości metryki ρ_{Y} i przekształcenia f, mamy

ρ_{Y} (f(x), f(y)) = ρ_{Y} (lim_{n→∞} f(x_{k_{n}}), lim_{n→∞} f(y_{k_{n}})) = lim_{n→∞} ρ_{Y} (f(x_{k_{n}}), f(y_{k_{n}})) ≥ ϵ > 0,

co daje sprzeczność.

Aby pokazać domknie‘tość przekształcenia f, załóżmy, że A jest domknie‘tym podzbiorem w X. Trzeba uzasadnić, że f(A) jest domknie‘ty w Y. W tym celu rozważamy dowolny cia‘g punktów y_{n} ∈ f(A) zbieżny do punktu y ∈ Y i pokażemy, ze y ∈ f(A) (zob. uwaga 3.1). Wybierzmy punkt x_{n} ∈ f^{−1}(y_{n}) dla każdego n ∈ ℕ. Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} ma podcia‘g (x_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny do pewnego x ∈ X. Ponieważ x_{k_{n}} ∈ A oraz A jest domknie‘ty, wie‘c x ∈ A, ska‘d, na mocy cia‘głości f, otrzymujemy

y = f(x) ∈ f(A).

□

Ze stwierdzeń 10.5 i 4.7 wynika bardzo pożyteczny wniosek: aby stwierdzić, że przekształcenie cia‘głe i wzajemnie jednoznaczne f określone na przestrzeni zwartej jest homeomorfizmem, nie trzeba sprawdzać cia‘głości przekształcenia odwrotnego f^{−1}!

Wniosek 10.2. Przekształcenie cia‘głe i wzajemnie jednoznaczne mie‘ dzy przestrzeniami metrycznymi o dziedzinie zwartej jest homeomorfizmem.

Ciekawa‘ i chyba intuicyjnie zrozumiała‘ własnościa‘ zwartych przestrzeni metrycznych jest to, że, poza izometriami, nie dopuszczaja‘ ani przekształceń zwe‘żaja‘cych, ani rozszerzaja‘cych na siebie (przekształcenie cia‘głe jest rozszerzaja‘ce, gdy odległość obrazów dowolnych dwóch punktów nie jest mniejsza od odległości tych punktów).

Twierdzenie 10.3. ^{1} Jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zwarta i f : X → X jest rozszerzaja‘ca‘ lub zwe‘ żaja‘ca‘ surjekcja‘, to f jest izometria‘.

Dowód. Załóżmy najpierw, że f jest rozszerzaja‘ce i rozważmy dowolne x, y ∈ X. Zachodzi

ρ(f(x), f(y)) ≥ ρ(x, y).

Udowodnimy nierówność odwrotna‘. Niech ϵ > 0. Określamy indukcyjnie dwa cia‘gi punktów:

x_{0} = x, x_{n} = f(x_{n−1}) (tzw. orbita punktu x wzgle‘dem f)

oraz

y_{0} = y, y_{n} = f(y_{n−1}) (orbita punktu y).

Cia‘g (x_{n}, y_{n})_{n∈ℕ} zawiera podcia‘g (x_{k_{n}}, y_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny do pewnego punktu (a, b) przestrzeni zwartej X × X, zatem podcia‘g (x_{k_{n}})_{n∈ℕ} jest zbieżny do a, a podcia‘g (y_{k_{n}})_{n∈ℕ} do b. Znaczy to, że prawie wszystkie punkty pierwszego podcia‘gu znajduja‘ sie‘ w kuli K(a; \frac{ϵ}{4}) i prawie wszystkie punkty drugiego podcia‘gu sa‘ w kuli K(b; \frac{ϵ}{4}). Wybierzmy taki wskaźnik k_{n}, że

x_{k_{n}}, x_{k_{n+1}} ∈ K(a; \frac{ϵ}{4})

i

y_{k_{n}}, y_{k_{n+1}} ∈ K(b; \frac{ϵ}{4}).

Dla uproszczenia zapisu wskaźników przyjmijmy i = k_{n}, j = k_{n+1} − i. Oczywiście mamy i ≥ 0, j > 0 oraz

ρ(x_{i}, x_{i+j}) ≤ ρ(x_{i}, a) + ρ(a, x_{i+j}) < \frac{ϵ}{2},

1H. Freudenthal i W. Hurewicz,Fund. Math. 26(1936),120–122

ρ(y_{i}, y_{i+j}) ≤ ρ(y_{i}, b) + ρ(b, y_{i+j}) < \frac{ϵ}{2}.

Ponieważ, dla dowolnych m, n ∈ ℕ,

(10.1)  ρ(x_{m}, x_{n}) ≥ ρ(x_{m−1}, x_{n−1}),
(10.2)  ρ(y_{m}, y_{n}) ≥ ρ(y_{m−1}, y_{n−1})
(10.3)  ρ(x_{n}, y_{n}) = ρ(f(x_{n−1}), f(y_{n−1})) ≥ ρ(x_{n−1}, y_{n−1}),

wie‘c

(10.4)  ρ(x_{0}, x_{j}) ≤ ρ(x_{i}, x_{i+j}) < \frac{ϵ}{2}

i

(10.5)  ρ(y_{0}, y_{j}) ≤ ρ(y_{i}, y_{i+j}) < \frac{ϵ}{2}.

Otrzymujemy sta‘d nierówności

(10.6) ρ(f(x), f(y)) = ρ(x_{1}, y_{1}) ≤ ρ(x_{j}, y_{j}) ≤ ρ(x_{j}, x_{0}) + ρ(x_{0}, y_{0}) + ρ(y_{0}, y_{j}) <

ρ(x_{0}, y_{0}) + ϵ = ρ(x, y) + ϵ.

Wobec dowolności liczby dodatniej ϵ, otrzymujemy ża‘dana‘ nierówność

ρ(f(x), f(y)) ≤ ρ(x, y).

Załóżmy teraz, że f jest zwe‘żeniem. Dowód, że f jest izometria‘ jest bardzo podobny do przypadku rozszerzenia. Gdyby f było wzajemnie jednoznaczne, to wtedy przekształcenie odwrotne f^{−1} byłoby rozszerzeniem, a wie‘c izometria‘. Te‘ intuicje‘ można jednak wykorzystać nawet, gdy f nie jest wzajemnie jednoznaczne. Niech x, y ∈ X i ϵ > 0. Zaczynamy od indukcyjnego zdefiniowania dwóch cia‘gow:

x_{−1} = f(x), x_{0} = x, x_{n} ∈ f^{−1}(x_{n−1}) (orbita wsteczna punktu f(x)),

y_{−1} = f(y), y_{0} = y, y_{n} ∈ f^{−1}(y_{n−1}) (orbita wsteczna punktu f(y)), dla n ∈ ℕ.

Dla tych cia‘gów można powtórzyć rozumowanie przeprowadzone w przypadku rozszerzenia (zauważmy, że zachodza‘ te same nierówności 10.1,10.2,10.3 dla m, n ≥ 0, a w 10.4 i 10.5 wskaźniki 0, j zmniejsza‘ sie‘ o -1).

Otrzymamy nierówność

ρ(x_{0}, y_{0}) < ρ(x_{−1}, y_{−1}) + ϵ,

która, wobec dowolności liczby ϵ > 0, daje

ρ(x, y) ≤ ρ(f(x), f(y)).

Sta‘d f jest izometria‘.

□

Zwartość w topologii jest rozważana znacznie ogólniej dla przestrzeni topologicznych. Ponieważ nie ma w takim wypadku wygodnego i naturalnego poje‘cia cia‘gu zbieżnego, stosuje sie‘ inna‘ definicje‘, tzw, pokryciowa‘, która jest równoważna z definicja‘ 10.1 (zwana‘ cze‘sto cia‘gowa‘ w zakresie przestrzeni metrycznych.

Definicja 10.2. Każda‘ rodzine‘ podzbiorów przestrzeni topologicznej X, których suma mnogościowa równa sie‘ X nazywamy pokryciem przestrzeni X. Pokrycie jest otwarte, gdy składa sie‘ z podzbiorów otwartych przestrzeni X.

Rodzina podzbiorów, be‘da‘ca pokryciem przestrzeni X i zawarta w pokryciu U tej przestrzeni, nazywa sie‘ podpokryciem pokrycia U.

Kolejne twierdzenie podaje ciekawa‘ własność przestrzeni metrycznych zwartych (dla rybaków oczywista‘: z każdej sieci uciekna‘ dostatecznie małe rybki).

Twierdzenie 10.4. Jeśli U jest pokryciem otwartym zwartej przestrzeni metrycznej (X, ρ), to istnieje liczba λ > 0 taka, że każdy podzbiór w X o średnicy mniejszej od λ zawiera sie‘ w pewnym elemencie pokrycia.

Dowód. Przypuśćmy, że teza nie jest spełniona. Zatem dla każdej liczby λ = \frac{1}{n}, gdzie n ∈ ℕ, istnieje podzbiór A_{n} ⊂ X o średnicy mniejszej od \frac{1}{n}, nie zawieraja‘cy sie‘ w żadnym elemencie pokrycia.

Niech U ∈ U. Dla każdego n ∈ ℕ istnieje punkt a_{n} ∈ A_{n} taki, że a_{n} ∈ X \ U. Z cia‘gu (a_{n})_{n∈ℕ} wybierzmy podcia‘g (a_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny do pewnego punktu a ∈ X. Ponieważ zbiór X \ U jest domknie‘ty w X, to a ∈ X \ U. Wobec tego istnieje zbiór U′ ∈ U różny od U, zawieraja‘cy punkt a. Zbiór U′, jako otoczenie punktu a zawiera prawie wszystkie punkty podcia‘gu (a_{k_{n}})_{n∈ℕ}—możemy przyja‘ć dla prostoty, że wszystkie. Dla każdego n ∈ ℕ istnieje punkt a′_{k_{n}} ∈ A_{k_{n}} który nie należy do U′. Ponieważ

ρ(a′_{k_{n}}, a) ≤ ρ(a′_{k_{n}}, a_{k_{n}}) + ρ(a_{k_{n}}, a) ≤

diam A_{k_{n}} + ρ(a_{k_{n}}, a) ≤ \frac{1}{k_{n}} + ρ(a_{k_{n}}, a) → 0 gdy n → ∞,

to cia‘g (a′_{k_{n}})_{n∈ℕ} jest zbieżny do a, wie‘c prawie wszystkie jego punkty należa‘ do otoczenia U′—sprzeczność. □

Definicja 10.3. Każda liczba λ > 0, spełniaja‘ca teze‘ twierdzenia 10.4 nazywana jest współczynnikiem Lebesgue’a pokrycia U przestrzeni X.

Oczywiście współczynnik Lebesgue’a nie jest jednoznacznie wyznaczony przez pokrycie—liczba dodatnia mniejsza od niego też jest współczynnikiem Lebesgue’a tego pokrycia.

Lemat 10.1. Jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zwarta, to dla każdej liczby ϵ > 0 istnieje skończone pokrycie przestrzeni X kulami o promieniach ϵ.

Dowód. Przypuśćmy, że teza nie zachodzi, tzn.

(*): istnieje liczba ϵ_{0} > 0, dla której nie ma skończonego pokry-

cia przestrzeni X kulami o promieniach < ϵ_{0}. Określimy indukcyjnie cia‘g punktów x_{1}, x_{2}, ⋯ ∈ X taki, że dla dowolnych różnych m, n ∈ ℕ be‘dzie spełniona nierówność ρ(x_{m}, x_{n}) ≥ ϵ_{0}. Taki cia‘g nie ma podcia‘gu zbieżnego, co przeczy zwartości X.

Punkt x_{1} wybieramy dowolnie. Załóżmy, że punkty x_{1}, …, x_{k} zostały określone tak, by ρ(x_{m}, x_{n}) ≥ ϵ_{0} dla różnych m, n ≤ k. Z warunku (*) wynika, że suma kul S = K(x_{1}; ϵ_{0}) ∪ ⋯ ∪ K(x_{k}; ϵ_{0}) nie pokrywa X, wie‘c znajdziemy punkt x_{k+1} ∉ S. Wtedy ρ(x_{k+1}, x_{n}) ≥ ϵ_{0} dla każdego n ≤ k i konstrukcja cia‘gu jest zakończona. □

Lemat 10.2. Każda przestrzeń metryczna zwarta spełnia warunek Borela-Lebesgue’a: każde pokrycie otwarte przestrzeni zawiera podpokrycie skończone.

Dowód. Niech U be‘dzie pokryciem otwartym zwartej przestrzeni metrycznej X. Oznaczmy, dla każdego n ∈ ℕ, przez K_{n} skończone pokrycie przestrzeni X kulami o promieniach \frac{1}{n} (takie pokrycie istnieje na mocy lematu 10.1) i niech K = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n}.

(a): Każdy zbiór otwarty w X jest suma‘ kul z pokrycia K. Istotnie, jeśli V ⊂ X jest otwarty i x ∈ V, to istnieje kula K(x; ϵ) ⊂ V (zob. stwierdzenie 2.1). Niech n ∈ ℕ be‘dzie tak duże, by \frac{1}{n} < \frac{ϵ}{2}. Ponieważ K_{n} jest pokryciem X, to istnieje kula K ∈ K_{n} zawieraja‘ca punkt x. Łatwo sprawdzić, że K ⊂ K(x; ϵ), a wie‘c K ⊂ V, co dowodzi stwierdzenia (a).

(b): Pokrycie U zawiera przeliczalne podpokrycie U′ przestrzeni

X. Na podstawie (a) bowiem, rodzina

K_{U} = { K ∈ K : (∃U ∈ U)(K ⊂ U) }

jest pokryciem X. Przyporza‘dkujmy każdej kuli K ∈ K_{U} jeden wybrany zbiór U_{K} ∈ U, zawieraja‘cy K. Ponieważ rodzina K_{U} ⊂ K jest przeliczalna, to rodzina

U′ = {U_{K} : K ∈ K_{U}} ⊂ U

jest też przeliczalna; ponadto U′ jest pokryciem X, gdyż K_{U} jest pokryciem.

(c): Przeliczalne pokrycie U′ zawiera skończone podpokrycie prze-

strzeni X. Istotnie, niech U′ = {U_{1}, U_{2}, … } i przypuśćmy, że U′ nie zawiera skończonego podpokrycia przestrzeni X. Określimy indukcyjnie cia‘g punktów x_{1}, x_{2}, ⋯ ∈ X oraz cia‘g rosna‘cy 1 = k_{1} < k_{2} < … liczb naturalnych tak, by dla każdego n ∈ ℕ,

x_{n} ∈ U_{k_{n}}, oraz x_{n+1} ∉ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k_{n}}.

Taki cia‘g można łatwo wybrać: x_{1} może być dowolnym punktem z U_{1}, a gdy x_{n} jest określony dla n > 1 i spełnia warunek x_{n} ∈ U_{k_{n}} \ (U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k_{n−1}}), to ponieważ zbiory U_{1}, …, U_{k_{n}} nie stanowia‘ pokrycia X, wie‘c wybieramy punkt x_{n+1} ∉ U_{1} ∪⋯∪U_{k_{n}} oraz zbiór U_{k_{n+1}} z pokrycia U′, zawieraja‘cy x_{n+1}. Oczywiste jest przy tym, że k_{n+1} > k_{n}.

Zauważmy teraz, że cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} nie ma podcia‘gu zbieżnego. Gdyby bowiem podcia‘g x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, … był zbieżny do jakiegoś punktu x ∈ X, to dla pewnego k ∈ ℕ zachodziłoby x ∈ U_{k}, wie‘c x_{n_{m}} ∈ U_{k} dla dostatecznie dużych n_{m}; w szczególności, dla tak dużych m, że x_{n_{m}} ∈ U_{k_{nm}} i k_{n_{m}} > k. Ale wtedy

x_{n_{m}} ∉ U_{1} ∪ ⋯ ∪ U_{k} ∪ ⋯ ∪ U_{K_{nm}},

co daje sprzeczność.

Ze stwierdzeń (b) i (c) wynika ostatecznie, że pokrycie U ma skończone podpokrycie.

□

Lemat 10.3. Każda przestrzeń metryczna X spełniaja‘ca warunek Borela-Lebesgue’a spełnia warunek Cantora: jeśli F_{1}, F_{2}, … sa‘ niepustymi i domknie‘ tymi podzbiorami w X, tworza‘cymi cia‘g zste‘ puja‘cy F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ …, to ⋂_{i=1}^{∞} F_{i} ≠ ∅.

Dowód. Przypuśćmy, że ⋂_{i=1}^{∞} F_{i} = ∅. Wtedy zbiory X \ F_{i} sa‘ otwarte dla i = 1, 2, … i stanowia‘ pokrycie przestrzeni X, bo

⋃_{i=1}^{∞}(X \ F_{i}) = X \ ⋂_{i=1}^{∞} F_{i} = X.

Z warunku Borela-Lebesgue’a wynika istnienie liczby naturalnej n takiej, że ⋃_{i=1}^{n}(X \ F_{i}) = X. Sta‘d F_{n} = ⋂_{i=1}^{n} F_{i} = ∅, co jest sprzeczne z niepustościa‘ zbioru F_{n}. □

Lemat 10.4. Każda przestrzeń metryczna (X, ρ), spełniaja‘ca warunek Cantora, jest zwarta.

Dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. przestrzeń X zawiera cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} bez podcia‘gu zbieżnego. Niech

F_{i} = {x_{k} : k ≥ i}.

Zbiory F_{i} sa‘ niepuste. Sa‘ też domknie‘te. Istotnie, gdyby x ∈ cl F_{i} \ F_{i}, to ze wzoru cl F_{i} = F_{i} ∪ F_{i}^{d} (zob. uwaga 3.2) wynika, że x ∈ F_{i}^{d}, wie‘c x jest granica‘ cia‘gu wzajemnie różnych punktów należa‘cych do F_{i}. Jest jasne, że z takiego cia‘gu można wybrać podcia‘g, który jest zarazem podcia‘giem ciagu (x_{n})_{n∈ℕ}, no i be‘dzie on zbieżny (do x) wbrew przypuszczeniu. Zatem x ∈ F_{i}, co pokazuje domknie‘tość zbioru F_{i}.

Z warunku Cantora stwierdzamy, że istnieje punkt p ∈ ⋂_{i=1}^{∞} F_{i}. Oznacza to, że dla każdego wskaźnika i istnieje liczba k_{i} ≥ i taka, że p = x_{k_{i}}. Można przyja‘ć, że k_{1} < k_{2} < … i wtedy powstaje podcia‘g (x_{k_{i}})_{i∈ℕ} zbieżny do p, co jest znowu sprzeczne z przypuszczeniem. □

Powyższe lematy można zebrać w postaci jednego ważnego twierdzenia, charakteryzuja‘cego zwartość przestrzeni metrycznych poprzez warunek Borela-Lebesgue’a lub Cantora.

Twierdzenie 10.5. Naste‘ puja‘ce warunki sa‘ równoważne:

(1) Przestrzeń metryczna X jest zwarta.

(2) Przestrzeń metryczna X spełnia warunek Borela-Lebesgue’a.

(3) Przestrzeń metryczna X spełnia warunek Cantora.

Zauważmy, że w warunkach Borela-Lebesgue’a i Cantora nie wyste‘- puje specyficzne dla przestrzeni metrycznych poje‘cie cia‘gu i zbieżności, natomiast sa‘ te warunki niezmiennikami topologicznymi. Zatem można by je przyja‘ć za definicje zwartości w ogólnych przestrzeniach topologicznych. Z praktycznych powodów, aby uzyskać podobne jak w przypadku przestrzeni zwartych metrycznych własności, zakłada sie‘ wtedy zwykle dodatkowo, że rozważane przestrzenie sa‘ Hausdorffa i wybiera sie‘ za definicje‘ warunek pokryciowy Borela-Lebesgue’a.

Definicja 10.4. Przestrzeń topologiczna Hausdorffa jest zwarta, gdy spełnia warunek Borela-Lebesgue’a: każde pokrycie otwarte tej przestrzeni zawiera podpokrycie skończone.

Intuicja zwartości pokryciowej mówi, że istnieja‘ dowolnie “małe” skończone pokrycia otwarte przestrzeni.

Ćwiczenia

(1) Uzasadnić dokładnie prawdziwość stwierdzeń (1)–(3) w przykładzie 10.1.

(2) Zbadać zwartość domknie‘ć kul na płaszczyźnie z metryka‘ “rzeka”.

(3) Zbadać zwartość przestrzeni C(I, I) oraz B(I, I), gdzie I = [0, 1] z metryka‘ zbieżności jednostajnej (zob. przykład 1.10).

(4) Sprawdzić zwartość kwadratu [0, 1]×[0, 1] z metrykami ρ_{c}, ρ_{r}, ρ_{m}, ρ_{01}.

(5) Pokazać, że przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja cia‘gła f : X → (ℝ, ρ_{e}) jest ograniczona.

(6) Pokazać, że jeśli niepusty zbiór A ⊂ (X, ρ_{e}) jest zwarty, to dla każdego x ∈ X istnieje punkt a_{0} ∈ A taki, że d_{A}(x) = ρ(a_{0}, x), gdzie d_{A}(x) = inf{ρ(a, x) : a ∈ A} (czyli odległość punktu od zbioru A jest realizowana).

(7) Udowodnić, że każda zwarta podprzestrzeń przestrzeni X liczb niewymiernych z metryka‘ euklidesowa‘ jest brzegowa w X.

(8) Dla których podanych niżej przestrzeni X i Y istnieje przekształcenie cia‘głe (homeomorfizm) z X na Y?

(a) X, Y ∈ { ([a, b] × [c, d], ρ_{e}), ([a, b) × [c, d), ρ_{e}), (ℝ^{2}, ρ_{c}) }

(b) X, Y ∈ \{ [a, b], [a, b), (a, b), ℝ, ℚ, ℕ, cl\{ \frac{1}{n} : n = 1, 2, … \}, S^{1} \} z metrykami euklidesowymi.

(c) X, Y ∈ { [a, b], cl { (x, sin x) ∈ ℝ^{2} 0 < x ≤ 1 } } z metrykami euklidesowymi.

(d) X, Y ∈ { [a, b], (F, ρ_{e}), (F, ρ_{c}) }, gdzie F = suma odcinków o końcach (0, 0) i (cos α, sin α), α = 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … Czy (ℝ^{2}, ρ_{e}) jest homeomorficzna z (R^{2} \ ℚ × ℚ, ρ_{e})? Podać przekształcenia lub uzasadnić ich brak w oparciu o po-

znane własności zachowywane przez przekształcenia cia‘głe, jak zwartość, spójność, itp.

(9) Uzwarceniem przestrzeni metrycznej X nazywamy przestrzeń metryczna‘ zwarta‘ X̄ zawieraja‘ca‘ zbiór ge‘sty X′ homeomorficzny z X. Zbiór X̄ \ X′ nazywamy narostem uzwarcenia.

Znaleźć uzwarcenie prostej o naroście be‘da‘cym

(a) zbiorem 1-punktowym;

(b) zbiorem 2-punktowym;

(c) odcinkiem domknie‘tym;

(d) dwoma rozła‘cznymi odcinkami domknie‘tymi na płaszczyźnie euklidesowej;

(e) okre‘giem.

ROZDZIAł 11 Przestrzenie zupełne

Definicja 11.1. Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} w przestrzeni metrycznej (X, ρ) nazywa sie‘ cia‘giem Cauchy’ego w X, gdy spełniony jest

warunek Cauchy’ego: dla każdej liczby ϵ > 0 istnieje liczba

naturalna k taka, że ρ(x_{n}, x_{m}) < ϵ dla wszystkich m, n ≥ k. Przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zupełna, gdy każdy cia‘g Cauchy’ego

w X jest zbieżny w X. Metryka w przestrzeni zupełnej nazywana jest metryka‘ zupełna‘.

Poje‘cie cia‘gu Cauchy’ego jest dobrze znane z analizy matematycznej. Podstawowe własności cia‘gów Cauchy’ego w ogólnych przestrzeniach metrycznych sa‘ takie same jak na prostej euklidesowej. W szczególności wymieńmy trzy stwierdzenia.

Stwierdzenie 11.1. Każdy cia‘g zbieżny jest Cauchy’ego.

Stwierdzenie 11.2. Każdy cia‘g Cauchy’ego jest ograniczony.

Stwierdzenie 11.3. Jeśli cia‘g Cauchy’ego zawiera podcia‘g zbieżny, to jest on zbieżny do tego samego punktu, co ten podcia‘g.

Dowód. Załóżmy, że cia‘g Cauchy’ego (x_{n})_{n∈ℕ} w przestrzeni metrycznej (X, ρ) ma podcia‘g (x_{k_{n}})_{n∈ℕ} zbieżny do punktu x ∈ X. Przypomnijmy, że wskaźniki podcia‘gu tworza‘ cia‘g rosna‘cy k_{1} < k_{2} < …, sta‘d n ≤ k_{n} dla każdego n ∈ ℕ. Niech ϵ > 0. Istnieje wskaźnik m taki, że dla i, j ≥ m

ρ(x, x_{k_{i}}) < \frac{ϵ}{2},

ρ(x_{i}, x_{j}) < \frac{ϵ}{2}.

Wtedy

ρ(x_{k_{i}}, x_{k_{j}}) < \frac{ϵ}{2}

i

ρ(x, x_{i}) ≤ ρ(x, x_{k_{i}}) + ρ(x_{k_{i}}, x_{i}) < ϵ,

zatem cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest zbieżny do x. □

Ze stwierdzenia 11.3 otrzymujemy Wniosek 11.1. Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna.

Spośród przestrzeni zupełnych niezwartych najważniejszymi przykładami sa‘ przestrzenie euklidesowe.

Przykład 11.1. Przestrzenie euklidesowe sa‘ zupełne.

Zupełność prostej euklidesowej, to jeden z podstawowych faktów, o których jest mowa na pierwszych wykładach analizy. Wyrażony jest on zwykle w postaci twierdzenia, że cia‘g liczbowy spełniaja‘cy warunek Cauchy’ego jest zbieżny. Zupełność wyżej wymiarowych przestrzeni euklidesowych można uzasadnić, korzystaja‘c ze stwierdzenia 11.2, twierdzenia 10.2 i wniosku 11.1: cia‘g Cauchy’ego jest ograniczony, wie‘c zbiór jego punktów zawiera sie‘ w pewnej kuli, której domknie‘cie w przestrzeni euklidesowej jest podprzestrzenia‘ zwarta‘, a wie‘c cia‘g jest w niej zbieżny.

Można też oprzeć sie‘ na naste‘puja‘cym fakcie ogólnym.

Stwierdzenie 11.4. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy każda z tych przestrzeni jest zupełna (w przypadku nieskończenie wielu przestrzeni w ich iloczynie rozważamy która‘kolwiek z metryk opisanych w rozdziale 6 wzorami 6.2, 6.3, 6.4).

Dowód. Zasadnicza‘ role‘ w dowodzie odgrywa postać odległości w iloczynie. Niech (X, ρ) = (X_{1}, ρ_{1}) × (X_{2}, ρ_{2}) × . . .. Przypomnijmy, że jeśli osi jest skończenie wiele, np. n, to zachodzi

ρ_{i}(x_{i}, y_{i}) ≤ ρ((x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), (y_{1}, y_{2}, …, y_{n})),

a jeśli nieskończenie wiele, to, w zależności od wybranej metryki w iloczynie, mamy

ρ_{i}(x_{i}, y_{i}) ≤ ρ((x_{1}, x_{2}, …), (y_{1}, y_{2}, …))

lub

ρ_{i}(x_{i}, y_{i}) ≤ 2^{i}ρ((x_{1}, x_{2}, …), (y_{1}, y_{2}, …))

lub

min(1, ρ_{i}(x_{i}, y_{i})) ≤ 2^{i}ρ((x_{1}, x_{2}, …), (y_{1}, y_{2}, …)).

Załóżmy, że wszystkie osie sa‘ zupełne i rozważmy cia‘g Cauchy’ego w iloczynie X. Z powyższych nierówności wynika w każdym przypadku, że i-te współrze‘dne punktów tego cia‘gu tworza‘ cia‘g Cauchy’ego na osi X_{i} dla każdego i ∈ ℕ, wie‘c sa‘ zbieżne w X_{i}. Z twierdzenia 6.1 o zbieżności po współrze‘dnych wnioskujemy, że nasz cia‘g w iloczynie jest zbieżny.

Na odwrót, załóżmy, że iloczyn X jest zupełny i dany jest cia‘g Cauchy’ego (x_{n})_{n∈ℕ} na osi X_{i}. Dla każdego j ≠ i wybierzmy punkt p_{j} ∈ X_{j}. Punkty iloczynu X postaci

p_{n} = (p_{1}, …, x_{n}, p_{i+1}, …),

tzn. punkty, których i-ta współrze‘dna jest równa x_{n}, a j-ta równa sie‘ p_{j} dla każdego n i j ≠ i, tworza‘ cia‘g Cauchy’ego w X, bo

ρ(p_{m}, p_{n}) = ρ_{i}(x_{m}, x_{n}),

ρ(p_{m}, p_{n}) = \frac{1}{2^{i}} ρ_{i}(x_{m}, x_{n})

lub

ρ(p_{m}, p_{n}) = \frac{1}{2^{i}} min(1, ρ_{i}(x_{m}, x_{n})),

w zależności od metryki w X. Wobec tego cia‘g (p_{n})_{n∈ℕ} jest zbieżny w X i z twierdzenia 6.1 wnosimy, że cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest zbieżny w X_{i}. □

Stwierdzenie 11.5. Podprzestrzeń przestrzeni zupełnej X jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem domknie‘ tym w X.

Posługuja‘c sie‘ powyższym stwierdzeniem można cze‘sto rozpoznać, czy dana przestrzeń metryczna jest zupełna. Na przykład wszystkie podzbiory domknie‘te przestrzeni euklidesowych sa‘ zupełne, a przedział otwarty, zbiór liczb niewymiernych (wymiernych) na prostej euklidesowej nie sa‘ zupełne.

Uwaga 11.1. Zupełność jest niezmiennikiem izometrii, tzn. przestrzeń metryczna izometryczna z przestrzenia‘ zupełna‘ jest zupełna.

Jak wskazuje przykład prostej euklidesowej i jej przedziału otwartego, zupełność przestrzeni nie jest własnościa‘ topologiczna‘, tzn. nie jest niezmiennikiem homeomorfizmów. Pomimo tego, zachodzi naste‘- puja‘cy fakt, be‘da‘cy konsekwencja‘ stwierdzenia 5.2 i uwagi 11.1.

Stwierdzenie 11.6. Jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ_{X}) jest homeomorficzna z przestrzenia‘ zupełna‘, to w X istnieje metryka zupełna równoważna z metryka‘ ρ_{X} (określona w dowodzie stwierdzenia 5.2).

Definicja 11.2. Przestrzeń topologiczna X jest metryzowalna w sposób zupełny, gdy w X istnieje metryka zupełna, generuja‘ca topologie‘ przestrzeni X.

Można wie‘c powiedzieć, że przedział otwarty prostej jest metryzowalny w sposób zupełny, ale nie jest na razie jasne, czy zbiór liczb niewymiernych lub zbiór liczb wymiernych sa‘ metryzowalne w sposób zupełny.

Przykład 11.2.

Przestrzeń B(X, Y) funkcji ograniczonych ze zbioru X w przestrzeń zupełna‘ (Y, ρ) z metryka‘ ρ_{sup} (zob. przykład 1.10) jest zupełna.

Rzeczywiście, niech (f_{n})_{n∈ℕ} be‘dzie cia‘giem Cauchy’ego w B(X, Y). Dla każdego x ∈ X cia‘g wartości f_{n}(x) jest Cauchy’ego w Y, gdyż ρ(f_{n}(x), f_{m}(x)) ≤ ρ_{sup}(f_{n}, f_{m}). Oznaczmy

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x).

Otrzymana w ten sposób funkcja f : X → Y jest ograniczona (sprawdź!) i jest granica‘ funkcji f_{n} w przestrzeni B(X, Y): dla ϵ > 0 istnieje k ∈ ℕ takie, że ρ(f_{m}(x), f_{n}(x)) < \frac{ϵ}{2} dla każdego x ∈ X i m, n ≥ k. Dla każdego x przyjmijmy m(x) ≥ k tak duże, by ρ(f(x), f_{m(x)}(x)) < \frac{ϵ}{2}. Wtedy dla każdego x i n ≥ k

ρ(f(x), f_{n}(x)) ≤ ρ(f(x), f_{m(x)}(x)) + ρ(f_{m(x)}(x), f_{n}(x)) < ϵ,

wie‘c

ρ_{sup}(f, f_{n}) ≤ ϵ.

Przykład 11.3.

Podprzestrzeń C(X, Y) ⊂ B(X, Y) złożona z przekształceń cia‘głych ograniczonych przestrzeni metrycznej X w przestrzeń zupełna‘ Y jest zupełna.

Jest to konsekwencja zupełności B(X, Y) oraz stwierdzeń 4.5 i 11.5.

Ważnym poje‘ciem jest uzupełnienie przestrzeni metrycznej.

Definicja 11.3. Przestrzeń zupełna Y jest uzupełnieniem przestrzeni metrycznej X, gdy X jest izometryczna z ge‘sta‘ podprzestrzenia‘ przestrzeni Y.

Oto pewne przykłady.

Przykład 11.4.

(1) Jeśli X jest już zupełna, to jedynymi jej uzupełnieniami sa‘ przestrzenie izometryczne z X.

(2) Uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych, jak również zbioru liczb niewymiernych jest prosta euklidesowa.

Klasyczna w arytmetyce konstrukcja liczb rzeczywistych z liczb wymiernych polega właśnie na uzupełnianiu liczb wymiernych, tzn. konstruowaniu przestrzeni zupełnej, w której liczby wymierne sa‘ ge‘ste.

Okazuje sie‘, że każda‘ przestrzeń metryczna‘ można uzupełnić.

Twierdzenie 11.1. Każda przestrzeń metryczna ma uzupełnienie.

Dowód. Wygodnym “światem”, w którym można uzupełnić dana‘ przestrzeń (X, ρ) jest przestrzeń funkcyjna C(X, ℝ) z metryka‘ zbieżności jednostajnej

ρ_{sup}(f, g) = sup_{x∈X} |f(x) − g(x)|,

która jest zupełna (przykład 11.3).

Aby określić izometrie‘ mie‘dzy przestrzenia‘ X, a podprzestrzenia‘ przestrzeni C(X, Y), ustalmy najpierw punkt a ∈ X i rozpatrzmy dla każdego x ∈ X przekształcenie

f_{x} : X → ℝ f_{x}(z) = ρ(z, x) − ρ(z, a),

które jest cia‘głe (bo metryka ρ jest cia‘gła) i ograniczone (bo |f_{x}(z)| = |ρ(z, x) − ρ(z, a)| ≤ ρ(a, x) dla każdego z ∈ X).

Szukana‘ izometria‘ jest przekształcenie

T : X → T (X) ⊂ C(X, Y) T (x) = f_{x}.

Sprawdzić trzeba równość

ρ_{sup}(f_{x}, f_{y}) = ρ(x, y)

dla dowolnych x, y ∈ X, co pozostawiam jako ćwiczenie.

Domknie‘cie Y = cl T (X) w przestrzeni C(X, Y) jest podprzestrzenia‘ zupełna‘, w której zbiór T (X) jest ge‘sty. To znaczy, że Y jest uzupełnieniem przestrzeni X. □

Naste‘puja‘ce twierdzenie jest odpowiednikiem lematu 10.3.

Twierdzenie 11.2. Jeśli przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zupełna i podzbiory F_{1}, F_{2}, … sa‘ niepuste, domknie‘ te w X i takie, że

F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ … i lim_{n→∞} diam F_{n} = 0,

to przekrój ∩_{n=1}^{∞}F_{n} jest jednopunktowy.

Dowód. Pokażemy najpierw, że ∩_{n=1}^{∞}F_{n} ≠ ∅. Wybierzmy punkt x_{n} ze zbioru F_{n}, dla każdego n. Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest Cauchy’ego. Rzeczywiście, niech ϵ > 0 be‘dzie dowolna‘ liczba‘, a k be‘dzie takie, że diam F_{n} < ϵ dla każdego n ≥ k. Jeśli m, n ≥ k, to przyjmuja‘c, że np. m ≥ n, mamy

x_{m} ∈ F_{m} ⊂ F_{n},

wie‘c

ρ(x_{m}, x_{n}) ≤ diam F_{n} < ϵ dla m, n ≥ k.

Niech x oznacza granice‘ ciagu (x_{n})_{n∈ℕ} i k ∈ ℕ. Ponieważ dla każdego n ≥ k zbiór F_{n} zawiera sie‘ w F_{k}, wie‘c x_{n} ∈ F_{n}. Z domknie‘tości zbioru F_{k} wynika, że granica x cia‘gu punktów x_{n}, n ≥ k, tego zbioru należy do F_{k}. Zatem x ∈ ∩_{n=1}^{∞}F_{n}.

Gdyby w zbiorze ∩_{n=1}^{∞}F_{n} był jeszcze inny punkt y, to

0 < ρ(x, y) ≤ diam F_{n} dla każdego n,

co jest niemożliwe, bo lim_{n→∞} diam F_{n} = 0. □

Jednym z ważniejszych twierdzeń, maja‘cym liczne zastosowania w matematyce, jest twierdzenie Baire’a.

Twierdzenie 11.3. (Baire’a) W przestrzeni metryzowalnej w sposób zupełny suma przeliczalnej ilości zbiorów nigdziege‘ stych jest zbiorem brzegowym.

Dowód. Załóżmy, że metryka ρ w X jest zupełna i wyznacza topologie‘ w X. Niech F_{1}, F_{2}, … be‘da‘ podzbiorami nigdziege‘stymi w X. Aby stwierdzić brzegowość ich sumy, sprawdzimy, że nie zawiera ona żadnego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X.

Istnieje

x_{1} ∈ U \ cl F_{1},

bo F_{1} jest nigdziege‘sty, i istnieje kula

K(x_{1}; r_{1}) ⊂ cl K(x_{1}; r_{1}) ⊂ U \ cl F_{1}

o promieniu r_{1} < 1, bo U \ cl F_{1} jest otwarty.

Podobnie istnieja‘

x_{2} ∈ K(x_{1}; r_{1}) \ cl F_{2}

oraz kula

K(x_{2}; r_{2}) ⊂ cl K(x_{2}; r_{2}) ⊂ K(x_{1}; r_{1}) \ cl F_{2},

o promieniu r_{2} < \frac{1}{2}.

Kontynuuja‘c indukcyjnie, znajdziemy dla każdej liczby naturalnej n punkt x_{n} i kule‘ K(x_{n}; r_{n}) takie, że

x_{n+1} ∈ K(x_{n}; r_{n}) \ cl F_{n+1},

K(x_{n+1}; r_{n+1}) ⊂ cl K(x_{n+1}; r_{n+1}) ⊂ K(x_{n}; r_{n}) \ cl F_{n+1}

oraz

r_{n} < \frac{1}{n}.

Widać, że domknie‘cia wybieranych kul tworza‘ cia‘g zste‘puja‘cy

U ⊃ cl K(x_{1}; r_{1}) ⊃ cl K(x_{2}; r_{2}) ⊃ …,

przy czym

diam cl K(x_{n}; r_{n}) ≤ \frac{1}{2n},

ska‘d

lim_{n→∞} diam cl K(x_{n}; r_{n}) = 0.

Z twierdzenia 11.2 wynika, że

∩_{n=1}^{∞} cl K(x_{n}; r_{n}) ≠ ∅.

Ponadto

∩_{n=1}^{∞} cl K(x_{n}; r_{n}) ⊂ U \ ∪_{n=1}^{∞}F_{n},

wie‘c zbiór U nie zawiera sie‘ w sumie ∪_{n=1}^{∞}F_{n}.

□

Twierdzenie Baire’a formułuje sie‘ cze‘sto w równoważnej (dualnej) postaci:

Twierdzenie 11.4. W przestrzeni metryzowalnej w sposób zupełny przekrój przeliczalnej ilości ge‘ stych zbiorów otwartych jest zbiorem ge‘ - stym.

Twierdzenie Baire’a daje negatywna‘ odpowiedź na pytanie o metryzowalność zupełna‘ przestrzeni liczb wymiernych ze zwykła‘ metryka‘ euklidesowa‘.

Przykład 11.5. Przestrzeń liczb wymiernych (ℚ, ρ_{e}) nie jest metryzowalna w sposób zupełny.

Gdyby była, to

ℚ = {q_{1}, q_{2}, … } = ∪_{n=1}^{∞}{q_{n}},

gdzie zbiory jednopunktowe {q_{n}} sa‘ domknie‘te i brzegowe w ℚ, a wie‘c na mocy twierdzenia Baire’a 11.3, ich suma ℚ jest brzegowa w ℚ, co jest niemożliwe.

Twierdzenia Baire’a w wersji 11.3 lub 11.4 używa sie‘ cze‘sto w dowodach egzystencjalnych, tzn. w niekonstruktywnych dowodach istnienia pewnych obiektów matematycznych. Jeśli mianowicie uda sie‘ potraktować zbiór takich obiektów jako podzbiór pewnej przestrzeni zupełnej, be‘da‘cy przekrojem przeliczalnej ilości jej podzbiorów otwartych i ge‘stych, to, jako podzbiór ge‘sty, jest on w szczególności niepusty (czyli takie obiekty istnieja‘ i jest ich “wie‘kszość”).

W taki sposób, opieraja‘c sie‘ na zupełności przestrzeni funkcyjnych B(X, Y) lub C(X, Y)) (zob. przykłady 11.2 i 11.3), można stwierdzić np. istnienie funkcji nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie prostej; co wie‘cej wie‘kszość funkcji cia‘głych rzeczywistych jest tego typu.

Podobnie w przestrzeni wszystkich podzbiorów spójnych i zwartych płaszczyzny euklidesowej, zupełnej w pewnej naturalnej metryce, zbiory bez łuków stanowia‘ ge‘sta‘ “wie‘kszość”.

Zazwyczaj w “naturze” wie‘kszość stanowia‘ obiekty o skomplikowanej strukturze, które trudno jest skonstruować. Twierdzenie Baire’a potrafi je ujawnić.

Przykład 11.5 może też ilustrować metode‘ (raczej sztuczna‘) dowodu istnienia liczb niewymiernych, albo nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jeśli przyjmiemy za znany ska‘dina‘d fakt zupełności prostej euklidesowej.

Twierdzenie Baire’a nie daje odpowiedzi na pytanie o zupełna‘ metryzowalność zbioru liczb niewymiernych. Rozstrzyga to naste‘pne twierdzenie.

Twierdzenie 11.5. Podprzestrzeń przestrzeni zupełnej X, be‘ da‘ca zbiorem typu G_{δ} w X, jest metryzowalna w sposób zupełny.

Dowód. Niech Y = ∩_{n=1}^{∞}G_{n}, gdzie G_{n} jest otwartym podzbiorem w X dla każdego n ∈ ℕ. Udowodnimy, że podprzestrzeń Y jest homeomorficzna z przestrzenia‘ zupełna‘ (zob. stwierdzenie 11.6).

Dla dowolnego punktu y ∈ Y rozważmy jego odległości d_{F_{n}}(y) od zbiorów domknie‘tych F_{n} = X \ G_{n}, n ∈ ℕ. Ponieważ przekształcenia d_{F_{n}} : Y → ℝ sa‘ cia‘głe (zob. przykład 4.1), wie‘c cia‘głe sa‘ przekształcenia

f_{n} : Y → ℝ f_{n}(y) = \frac{1}{d_{F_{n}}(y)}

(zauważmy, że f_{n} jest dobrze określone, bo d_{F_{n}}(y) ≠ 0) oraz przekształcenie

f : Y → ℝ × ℝ × … f(y) = (f_{1}(y), f_{2}(y), …)

(zob. wniosek 6.1).

Okazuje sie‘, że wykres

W = {(y, f(y)) ∈ Y × ℝ × ℝ × ⋯: y ∈ Y }

przekształcenia f, jest podzbiorem domknie‘tym iloczynu kartezjańskiego Z = X × ℝ × ℝ × . . .. Rzeczywiście, załóżmy, że cia‘g punktów (y_{k}, f(y_{k})) ∈ W jest zbieżny do punktu (y, x_{1}, x_{2}, …) ∈ Z, o którym trzeba udowodnić, że należy również do W. Z twierdzenia 6.1 o zbieżności po współrze‘dnych mamy

lim_{k→∞} y_{k} = y, lim_{k→∞} \frac{1}{d_{F_{n}}(y_{k})} = x_{n}

dla każdego n ∈ ℕ. Z cia‘głości d_{F_{n}} i zbieżności ułamków \frac{1}{d_{Fn}(y_{k})} do (skończonej) liczby x_{n}, gdy k → ∞, wynika, że

lim_{k→∞} d_{F_{n}}(y_{k}) = d_{F_{n}}(y) ≠ 0.

Korzystaja‘c z równoważności (4.1) z przykładu 4.1 i domknie‘tości zbiorów F_{n}, stwierdzamy, że y ∉ F_{n}, czyli y ∈ G_{n} dla każdego n, co oznacza, że y ∈ Y. Ponadto

lim_{k→∞} \frac{1}{d_{F_{n}}(y_{k})} = \frac{1}{d_{F_{n}}(y)} = x_{n}.

Wynika sta‘d, że

(y, x_{1}, x_{2}, …) = (y, \frac{1}{d_{F_{1}}(y)}, \frac{1}{d_{F_{2}}(y)}, …) = (y, f(y)) ∈ W.

Przestrzeń Z jest zupełna, jako iloczyn kartezja‘nski przestrzeni zupełnych (stwierdzenie 11.4), a jej podzbiór domknie‘ty W jest podprzestrzenia‘ zupełna‘ (stwierdzenie 11.5), która—jako wykres przekształcenia cia‘głego f— jest homeomorficzna z dziedzina‘ Y (stwierdzenie 6.1). □

Ponieważ zbiór liczb wymiernych ℚ jest F_{σ} (suma przeliczalnej ilości zbiorów jednopunktowych), to zbiór liczb niewymiernych, jako dopełnienie ℚ, jest G_{δ} na prostej euklidesowej. Sta‘d otrzymujemy niebanalny

Wniosek 11.2. Zbiór liczb niewymiernych z metryka‘ euklidesowa‘ jest przestrzenia‘ metryzowalna‘ w sposób zupełny.

Uwaga 11.2. Zachodzi interesuja‘ce twierdzenie odwrotne do twierdzenia 11.5:

Jeśli przestrzeń metryzowalna w sposób zupełny Y jest podprzestrzenia‘ przestrzeni metrycznej X, to Y jest typu G_{δ} w X (zob. np. [O])

Dlatego mówi sie‘ o przestrzeniach zupełnych, że sa‘ absolutnymi zbiorami G_{δ}.

Przypomnijmy (zob. ćwiczenia 8 i 9 z rozdziału 8) że punkt x przestrzeni topologicznej X nazywa sie‘ punktem stałym, przekształcenia f : X → X, gdy f(x) = x. Twierdzenia o istnieniu i położeniu punktów stałych odgrywaja‘ znaczna‘ role‘ w całej matematyce. Jednym z nich, o prostym dowodzie i licznych zastosowaniach (np. przy dowodzeniu istnienia rozwia‘zań pewnych równań różniczkowych) jest naste‘puja‘ce twierdzenie Banacha o punkcie stałym dla przekształceń ściśle zwe‘żaja‘cych.

Twierdzenie 11.6. (Banacha) Jeśli (X, ρ) jest przestrzenia‘ zupełna‘, a przekształcenie f : X → X jest ściśle zwe‘ żaja‘ce, to f ma dokładnie jeden punkt stały.

Dowód pokaże zadziwiaja‘ce zjawisko: startuja‘c od dowolnego punktu x_{0} ∈ X i rozpatruja‘c jego kolejne obrazy przez f (czyli orbite‘ punktu x_{0} tworzona‘ przez f) da‘żymy w granicy do tego jedynego punktu stałego. Mówimy, że jest on punktem przycia‘gaja‘cym przy przekształceniu f.

Dowód. Ponieważ f jest ściśle zwe‘żaja‘ce, wie‘c istnieje liczba dodatnia c < 1 taka, że dla wszystkich x, y ∈ X zachodzi nierówność

ρ(f(x), f(y)) ≤ cρ(x, y).

Pokażemy najpierw, że f ma punkt stały. Niech

x_{0} ∈ X i x_{n} = f(x_{n−1})

dla n ∈ ℕ.

Jeśli x_{0} = x_{1}, to x_{0} jest punktem stałym przekształcenia f, wie‘c załóżmy, że x_{0} ≠ x_{1}. Sprawdzimy, że cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest Cauchy’ego. Niech ϵ > 0 i m > n. Szacujemy odległość

ρ(x_{m}, x_{n}) = ρ(f(x_{m−1}, f(x_{n−1})) ≤ cρ(x_{m−1}, x_{n−1}) ≤ … c^{n}ρ(x_{m−n}, x_{0}) ≤ c^{n} (ρ(x_{0}, x_{1}) + ρ(x_{1}, x_{2}) + ⋯ + ρ(x_{m−n−1}, x_{m−n})) ≤

c^{n} (ρ(x_{0}, x_{1}) + cρ(x_{0}, x_{1}) + ⋯ + c^{m−n−1}ρ(x_{0}, x_{1})) =

c^{n}ρ(x_{0}, x_{1}) (1 + c + ⋯ + c^{m−n−1}) ≤ ρ(x_{0}, x_{1})\frac{c^{n}}{1 − c} < ϵ,

gdy tylko n jest tak duże, by liczba c^{n} była mniejsza od liczby \frac{ϵ(1−c)}{ρ(x_{0},x_{1}} , zależnej wyłacznie od x_{0} i f. Taki wybór n jest oczywiście możliwy, bo cia‘g c^{n} da‘ży do 0, gdy n → ∞.

Cia‘g (x_{n})_{n∈ℕ} jest wie‘c zbieżny w przestrzeni zupełnej X. Oznaczmy jego granice‘ przez p. Punkt p jest właśnie szukanym punktem stałym przekształcenia f, bo

f(p) = f(lim_{n→∞} x_{n}) = lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} x_{n+1} = p.

Pozostaje uzasadnić jedyność punktu stałego. Załóżmy wie‘c, że oprócz p istnieje jeszcze inny punkt stały p′ przekształcenia f. Wtedy otrzymujemy naste‘puja‘ca‘ sprzeczność:

ρ(p, p′) = ρ(f(p), f(p′)) ≤ cρ(p, p′) < ρ(p, p′).
□

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić prawdziwość stwierdzeń 11.1 i 11.2.

(2) Udowodnić stwierdzenie 11.5.

(3) Udowodnić uwage‘ 11.1.

(4) Udowodnić stwierdzenie 11.6.

(5) Sprawdzić równość

ρ_{sup}(f_{x}, f_{y}) = ρ(x, y)

dla dowolnych x, y ∈ X z dowodu twierdzenia 11.1.

(6) Uzasadnić dualne sformułowanie twierdzenia Baire’a 11.4.

(7) Zbadać zupełność płaszczyzny z metrykami ρ_{m}, ρ_{s}, “rzeka” i “centrum”.

(8) Kiedy przestrzeń dyskretna jest zupełna?

(9) Sprawdzić, że jeśli f : X → Y jest przekształceniem Lipschitza i cia‘g (x_{n}) ⊂ X jest Cauchy’ego, to (f(x_{n})) jest cia‘giem Cauchy’ego w Y.

(10) Niech X = \{\frac{1}{n} : n = 1, 2, … \} z metryka‘ euklidesowa‘, a f : X → ℕ bȩdzie określone wzorem f(\frac{1}{n}) = n. Sprawdzić, czy f jest homeomorfizmem i czy f przeprowadza cia‘gi Cauchy’ego w X na cia‘gi Cauchy’ego w (ℕ, ρ_{e}). Czy przestrzenie X i ℕ sa‘ zupełne?

(11) Wywnioskować bezpośrednio z twierdzenia Baire’a, że zbiór liczb niewymiernych nie jest zbiorem typu F_{σ} , a zbiór liczb wymiernych nie jest typu G_{δ} na prostej euklidesowej.

(12) Podać przykład na istotność założenia, że średnice zbiorów domknie‘tych da‘ża‘ do 0 w twierdzeniu Cantora 11.2. Udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cantora.

ROZDZIAł 12 Przestrzenie ośrodkowe

Definicja 12.1. Przestrzeń topologiczna nazywa sie‘ ośrodkowa, gdy zawiera podzbiór przeliczalny i ge‘sty zwany ośrodkiem.

Przykład 12.1. Przestrzenie euklidesowe sa‘ ośrodkowe. Ośrodkiem jest w nich, np. zbiór wszystkich punktów o współrze‘dnych wymiernych.

Przykład 12.2. Ze znanego z kursu analizy twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji funkcji cia‘głych prze wielomiany wynika, że wielomiany o współczynnikach wymiernych tworza‘ ośrodek w przestrzeni funkcyjnej C(I, ℝ).

Naste‘puja‘ce stwierdzenie przydaje sie‘ cze‘sto do uzasadnienia nieośrodkowości przestrzeni, w której potrafimy wskazać nieprzeliczalnie wiele rozła‘cznych podzbiorów otwartych.

Stwierdzenie 12.1. W przestrzeni topologicznej ośrodkowej nie istnieje nieprzeliczalnie wiele wzajemnie rozła‘cznych niepustych podzbiorów otwartych.

Dowód. Gdyby taka rodzina istniała, to każdy z jej zbiorów zawierałby punkt z ge‘stego ośrodka, co jest niemożliwe wobec jego przeliczalności. □

Stwierdzenie 12.2. Jeśli przestrzeń topologiczna X jest ośrodkowa i f jest przekształceniem cia‘głym X na przestrzeń topologiczna‘ Y, to Y jest też ośrodkowa.

Dowód. Niech D be‘dzie ośrodkiem w X. Zbiór f(D) jest wtedy przeliczalny, a ponieważ z cia‘głości f wynika

Y = f(X) = f(cl D) ⊂ cl f(D),

wie‘c f(D) jest również ge‘sty w Y. □

Szczególne znaczenie ma własność ośrodkowości dla przestrzeni metrycznych.

Twierdzenie 12.1. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa.

Dowód. Niech (X, ρ) be‘dzie przestrzenia‘ ośrodkowa‘ z ośrodkiem D = {d_{1}, d_{2}, … }, a Y jej podprzestrzenia‘. Rozważmy przeliczalna‘ rodzine‘ kul

K = \{K(d_{i}; \frac{1}{n}) : i, n = 1, 2, … \}.

Ośrodek E w Y definiujemy naste‘puja‘co: rozpatrujemy wszystkie kule z K, które maja‘ niepusty przekrój z Y i z tego przekroju wybieramy punkt; zbiór E składa sie‘ z tak wybranych punktów. Aby udowodnić, że E jest ge‘sty w Y, pokażemy, że dla każdej kuli K(y; ϵ) przekrój K(y; ϵ) ∩ E jest niepusty. Niech n be‘dzie takie, że \frac{2}{n} < ϵ. Ponieważ D jest ge‘sty w X, wie‘c istnieje punkt d_{i} taki, że ρ(y, d_{i}) < \frac{1}{n}, co oznacza, że y ∈ K(d_{i}; \frac{1}{n}), zatem przekrój K(d_{i}; \frac{1}{n}) ∩ Y jest niepusty. Z tego przekroju został wie‘c wybrany pewien punkt e ∈ E. Zachodzi oczywiście nierówność

ρ(y, e) ≤ ρ(y, d_{i}) + ρ(d_{i}, e) ≤ \frac{2}{n} < ϵ,

z której wnioskujemy, że e ∈ K(y; ϵ) ∩ E. □

Twierdzenie 12.2. Przestrzenie metryczne zwarte sa‘ ośrodkowe.

Dowód. Niech przestrzeń (X, ρ) be‘dzie zwarta. Skorzystamy z lematu 10.1. Dla każdej liczby naturalnej n wybierzmy skończone pokrycie przestrzeni X kulami o promieniach \frac{1}{n}:

K(x_{1}^{n}; \frac{1}{n}), …, K(x_{k_{n}}^{n}; \frac{1}{n}).

Okazuje sie‘, że zbiór

D = { x_{i}^{n} : i = 1, …, k_{n}, n ∈ ℕ }

wszystkich środków tak wybranych kul stanowi ośrodek w X. Rzeczywiście, D jest przeliczalny. Aby pokazać jego ge‘stość, niech x be‘dzie dowolnym punktem przestrzeni X i ϵ dowolna‘ liczba‘ dodatnia‘. Istnieje n ∈ ℕ takie, że \frac{1}{n} < ϵ. Punkt x należy do pewnej kuli K(x_{i}^{n}; \frac{1}{n}) (bo takie kule tworza‘ pokrycie X), wie‘c ρ(x, x_{i}^{n}) < \frac{1}{n} < ϵ, zatem x_{i}^{n} ∈ K(x; ϵ). □

Na zakończenie udowodnimy ważne twierdzenie o uniwersalności kostki Hilberta.

Definicja 12.2. Mówimy, że przestrzeń topologiczna‘ X można zanurzyć w przestrzeń Y, gdy X jest homeomorficzna z pewna‘ podprzestrzenia‘ przestrzeni Y, tzn. gdy istnieje homeomorfizm h : X → h(X) ⊂ Y, zwany zanurzeniem przestrzeni X w Y.

Twierdzenie 12.3. Każda‘ przestrzeń metryczna‘ ośrodkowa‘ można zanurzyć w kostke‘ Hilberta.

Dowód. Niech (X, ρ) be‘dzie przestrzenia‘ metryczna‘ ośrodkowa‘ z ośrodkiem D = {d_{1}, d_{2}, … }. Przypomnijmy, że kostka Hilberta Q jest zbiorem cia‘gów liczb rzeczywistych (t_{1}, t_{2}, …) takich, że |t_{n}| ≤ \frac{1}{n} z metryka‘

ρ_{H}((t_{1}, t_{2}, …), (t′_{1}, t′_{2}, …)) = \sqrt{∑_{n=1}^{∞}(t_{n} − t_{n})^{2}}.

Dla każdego punktu x ∈ X niech f_{n} : X → [−1, 1] be‘dzie przekształceniem określonym naste‘puja‘co:

f_{n}(x) = \frac{1}{n} min(1, ρ(x, d_{n})).

Oczywiście f_{n} jest cia‘głe.

Określamy przekształcenie f : X → f(X) ⊂ Q wzorem

f(x) = (f_{1}(x), f_{2}(x), …).

Funkcja f jest różnowartościowa, bo jeśli x ≠ y, to istnieje d_{n} taki, że ρ(x, d_{n}) < \frac{1}{2}ρ(x, y) oraz ρ(x, d_{n}) < 1; wtedy ρ(x, d_{n}) ≠ ρ(y, d_{n}) (w przeciwnym razie ρ(x, y) ≤ ρ(x, d_{n}) + ρ(d_{n}, y) = 2ρ(x, d_{n}), co jest sprzeczne z wyborem d_{n}). Ponieważ dodatkowo ρ(x, d_{n}) < 1, wie‘c

ρ(x, d_{n}) = min(1, ρ(x, d_{n})) ≠ min(1, ρ(y, d_{n})),

a wie‘c również f_{n}(x) ≠ f_{n}(y), ska‘d f(x) ≠ f(y).

Ponieważ dla każdego n przekształcenie f_{n} jest cia‘głe, wie‘c również f jest cia‘głe (zob. wniosek 6.1). Pozostaje do uzasadnienia cia‘głość przekształcenia odwrotnego f^{−1} : f(X) → X. Niech wie‘c cia‘g (p_{k})_{k∈ℕ} ∈ f(X) be‘dzie zbieżny do punktu p ∈ f(X). Przyjmijmy

p_{k} = (f_{1}(x_{k}), f_{2}(x_{k}), …), p = (f_{1}(x), f_{2}(x), …).

Ponieważ w kostce Hilberta Q zbieżność punktów jest “po współrze‘dnych” (zob. ćwiczenie 3, rozdział 6), wie‘c dla każdego n mamy

lim_{k→∞} \frac{1}{n} min(1, ρ(x_{k}, d_{n})) = lim_{k→∞} f_{n}(x_{k}) = f_{n}(x) = \frac{1}{n} min(1, ρ(x, d_{n})),

czyli

(12.1)  lim_{k→∞} min(1, ρ(x_{k}, d_{n}) = min(1, ρ(x, d_{n}).

Niech ϵ be‘dzie dowolna‘ liczba‘ dodatnia‘ mniejsza‘ od 1. Z ge‘stości zbioru D wnosimy, że istnieje punkt d_{n} taki, że ρ(x, d_{n}) < \frac{ϵ}{3}, a z (12.1)—że

90 12. PRZESTRZENIE OŚRODKOWE

istnieje k_{0} takie, że jeśli k ≥ k_{0}, to

min(1, ρ(x_{k}, d_{n})) < min(1, ρ(x, d_{n})) + \frac{ϵ}{3};

ponieważ ϵ < 1, to min(1, ρ(x, d_{n})) = ρ(x, d_{n}) i w rezultacie

ρ(x_{k}, d_{n}) < ρ(x, d_{n}) + \frac{ϵ}{3}.

Sta‘d

ρ(x, x_{k}) ≤ ρ(x, d_{n}) + ρ(d_{n}, x_{k}) < 2ρ(x, d_{n}) + \frac{ϵ}{3} < \frac{2ϵ}{3} + \frac{ϵ}{3} = ϵ,

dla k ≥ k_{0}, zatem lim_{k→∞} x_{k} = x, co dowodzi cia‘głości przekształcenia odwrotnego f^{−1}. □

Ćwiczenia

(1) Sprawdzić, czy w przestrzeniach euklidesowych i w l_{2} zbiór wszystkich punktów o współrze‘dnych wymiernych jest ośrodkiem.

(2) Kiedy przestrzeń dyskretna jest ośrodkowa?

(3) Znajdź ośrodek w iloczynie kartezjańskim P ×P, gdzie P jest zbiorem liczb niewymiernych z metryka‘ euklidesowa‘.

(4) Sprawdzić ośrodkowość płaszczyzny z metrykami “rzeka” i “centrum” oraz ośrodkowość domknie‘ć różnych kul w tych metrykach.

(5) Czy przestrzeń zupełna musi być ośrodkowa?

(6) Udowodnić, że iloczyn kartezjański skończenie (przeliczalnie) wielu przestrzeni metrycznych ośrodkowych jest przestrzenia‘ ośrodkowa‘.

(7) Czy naste‘puja‘ce przestrzenie można zanurzyć w kostke‘ Hilberta: łuk, prosta euklidesowa, prosta z metryka‘ ρ_{01}, zbiór przeliczalny z metryka‘ ρ_{01}, kwadrat z metrykami “rzeka” i “centrum”?

ROZDZIAł 13 Zbiór Cantora

Jednym z najciekawszych i najcze‘ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora. W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe własności topologiczne. Najprościej można go zdefiniować analitycznie.

Definicja 13.1. Zbiorem Cantora nazywamy zbiór

C = \{∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{3^{n}} : c_{n} = 0, 2\} .

Innymi słowy, zbiór C składa sie‘ z liczb przedziału euklidesowego I = [0, 1], które w systemie trójkowym zapisuja‘ sie‘ przy użyciu tylko cyfr 0 i 2, a wie‘c maja‘ postać

c = (0.c_{1}c_{2}c_{3} …)_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3}, ⋯ = 0, 2.

Nietrudno sprawdzić, że jeśli pierwsza cyfra c_{1} = 0, to c ∈ [0, \frac{1}{3}], a gdy c_{1} = 2, to c ∈ [\frac{2}{3}, 1]. Podobnie, jeśli c_{2} = 0, to w zależności od tego, czy c_{1} = 0, czy c_{1} = 2, mamy c ∈ [0, \frac{1}{9}] lub c ∈ [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}], a w przypadku c_{2} = 2, otrzymamy, odpowiednio do wartości pierwszej cyfry, c ∈ [\frac{2}{9}, \frac{3}{9}] lub c ∈ [\frac{8}{9}, 1].

Kontynuuja‘c w ten sposób badanie położenia w przedziale I danej liczby c = (0.c_{1}c_{2}c_{3} …)_{3} ∈ C, w zależności od wartości jej kolejnych cyfr, możemy stwierdzić, że dla każdego n ∈ ℕ, c należy do przedziału postaci

I_{c_{1}c_{2}...c_{n}} = [\frac{i_{n}}{3^{n}} , \frac{i_{n} + 1}{3^{n}}] ,

dla pewnej liczby naturalnej i_{n} < 3^{n}, przy czym położenie to jest zdeterminowane cyframi c_{1}, …, c_{n} w naste‘puja‘cy, indukcyjny sposób dla n > 1:

jeśli

c ∈ I_{c_{1}...c_{n−1}} = [\frac{i_{n−1}}{3^{n−1}} , \frac{i_{n−1} + 1}{3^{n−1}}]

i c_{n} = 0, to

c ∈ I_{c_{1}...c_{n−1}c_{n}} = [\frac{3i_{n−1}}{3^{n}} , \frac{3i_{n−1} + 1}{3^{n}}] ,

a gdy c_{n} = 2, to

c ∈ I_{c_{1}...c_{n−1}c_{n}} = [\frac{3i_{n−1} + 2}{3^{n}}, \frac{3i_{n−1} + 3}{3^{n}}] .

Dla wygody, przedstawia sie‘ położenie punktu c ∈ C w przedziale I w postaci naste‘puja‘cego schematu-drzewa.

[figure: 0; 1; 0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 1; 0; \frac{1}{9}; \frac{2}{9}; \frac{3}{9}; \frac{6}{9}; \frac{7}{9}; \frac{8}{9}; 1; 0; 2; 00; 02; 20; 22; 000; 002; 020; 022; 200; 202; 220; 222; I; I_{1}; I_{2}; I_{3}; ⋮]

Z powyższych uwag wynika naste‘puja‘ce stwierdzenie.

Stwierdzenie 13.1. Każdy punkt c = (0.c_{1}c_{2}c_{3} …)_{3} ∈ C wyznaczony jest jednoznacznie przez przez cia‘g cyfr c_{1}, c_{2}, ⋯ ∈ {0, 2}.

Ponieważ opisane wyżej przedziały I_{c_{1}c_{2}...c_{n}} maja‘ długości \frac{1}{3^{n}} da‘ża‘ce do 0, to można również stwierdzić, że każdy punkt c = (0.c_{1}c_{2}c_{3} …)_{3} ∈ C wyznacza jednoznacznie cia‘g takich przedziałów, których jest jedynym punktem wspólnym. Otrzymujemy sta‘d naste‘puja‘cy geometryczny, indukcyjny opis zbioru Cantora, przyjmowany cze‘sto za jego definicje‘. Wyste‘puja‘ce w nim przedziały, to właśnie przedziały I_{c_{1}c_{2}...c_{n}}.

Stwierdzenie 13.2. Niech I_{n} be‘ dzie suma‘ 2^{n} składowych, be‘ da‘- cych przedziałami domknie‘ tymi, powstałymi z podziału każdej składowej zbioru I_{n−1} na 3 przystaja‘ce przedziały długości \frac{1}{3^{n}} każdy i usunie‘ cia wne‘ trza środkowego z nich. Wtedy

C = ⋂_{n=1}^{∞} I_{n}.

Warto zanotować naste‘puja‘ce przydatne spostrzeżenie, które łatwo wynika ze stwierdzenia 13.2.

Lemat 13.1. Jeśli c = (0.c_{1}c_{2}c_{3} …)_{3} i c′ = (0.c′_{1}c′_{2}c′_{3} …)_{3} sa‘ punktami zbioru Cantora C, to nierówność |c − c′| < \frac{1}{3^{n}} implikuje c_{i} = c′_{i} dla i ≤ n; na odwrót, jeśli dla każdego i ≤ n zachodzi c_{i} = c′_{i}, to |c − c′| ≤ \frac{1}{3^{n}}

Przejdźmy teraz do omówienia podstawowych własności topologicznych zbioru Cantora, rozumianego jako podprzestrzeń prostej euklidesowej.

Bezpośrednio z definicji 13.1 i określenia szeregu zbieżnego wynika naste‘puja‘cy fakt.

Stwierdzenie 13.3. Zbiór {(0.c_{1} … c_{n}) : c_{1}, …, c_{n} = 0, 2, n ∈ ℕ} jest podzbiorem przeliczalnym i ge‘ stym w C.

Stwierdzenie 13.4. Zbiór Cantora jest w sobie ge‘ sty.

Dowód. Niech c = ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{3^{n}}, gdzie c_{n} = 0, 2. Oznaczmy

x_{k} = ∑_{n=1}^{k} \frac{c_{n}}{3^{n}} , y_{k} = ∑_{n=1}^{k} \frac{c_{n}}{3^{n}} + ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{2}{3^{n}} .

Wtedy x_{k}, y_{k} ∈ C, x_{k} ≠ y_{k} i oczywiście

lim_{k→∞} x_{k} = lim_{k→∞} y_{k} = c.
□

Stwierdzenie 13.5. Zbiór Cantora C jest przestrzenia‘ zwarta‘.

Dowód. Jest to konsekwencja stwierdzenia 13.2, gdyż C, jako przekrój podzbiorów I_{n} domknie‘tych w przedziale I jest podzbiorem domknie‘tym przestrzeni zwartej I, wie‘c jest podprzestrzenia‘ zwarta‘ na mocy stwierdzenia 10.1. □

Stwierdzenie 13.6. Jedynymi podprzestrzeniami spójnymi zbioru Cantora sa‘ podzbiory jednopunktowe.

Dowód. Niejedopunktowymi podprzestrzeniami spójnymi prostej euklidesowej moga‘ być wyła‘cznie różnego typu przedziały. Przypuśćmy wie‘c, że jakiś przedział [a, b], gdzie b > a, zawiera sie‘ w C = ⋂_{n=1}^{∞} I_{n}. Wtedy [a, b] ⊂ I_{n}, wie‘c istnieje składowa I_{c_{1}c_{2}...c_{n}} zbioru I_{n}, zawieraja‘ca przedział [a, b] dla każdego n. Wynika sta‘d, że 0 < |b − a| ≤ \frac{1}{3^{n}} dla każdego n, co jest niemożliwe. □

Uwaga 13.1. Własność przestrzeni C opisana w stwierdzeniu 13.6 nazywa sie‘ całkowita‘ niespójnościa‘ tej przestrzeni.

Kolejne własności zbioru Cantora nie sa‘ już tak oczywiste—można je nawet uznać za zaskakuja‘ce.

Stwierdzenie 13.7. Iloczyn kartezjański C × C jest homeomorficzny z C.

Dowód. Określimy naturalny homeomorfizm h : C × C → C wzorem

h(c, c′) = (0.c_{1}c′_{1}c_{2}c′_{2} …)_{3},

gdzie c = (0.c_{1}c_{2} …)_{3}, c′ = (0.c′_{1}c′_{2} …)_{3}.

Łatwo widać, że h jest funkcja‘ wzajemnie jednoznaczna‘. Pozostaje sprawdzić cia‘głość h (zob. wniosek 10.2). Wygodnie jest w tym wypadku sprawdzać jednostajna‘ cia‘głość h. Niech ϵ > 0 i n be‘dzie taka‘ liczba‘ naturalna‘, że \frac{1}{3^{2n}} < ϵ. Załóżmy,że

ρ((c, c′), (d, d′)) = \sqrt{|c − d|^{2} + |c′ − d′|^{2}} < \frac{1}{3^{2n}} ,

gdzie ρ jest metryka‘ w iloczynie C × C.

Wtedy |c − d| < \frac{1}{3^{2n}} oraz |c′ − d′| < \frac{1}{3^{2n}}. Na podstawie lematu 13.1 liczby c i d maja‘ takie same pierwsze n cyfr, tzn. jeśli c = (0.c_{1}c_{2} …)_{3} i d = (0.d_{1}d_{2} …)_{3}, to c_{i} = d_{i} dla i ≤ n; podobnie jeśli c′ = (0.c′_{1}c′_{2} …)_{3} i d′ = (0.d′_{1}d′_{2} …)_{3}, to c′_{i} = d′_{i} dla i ≤ n. Wynika sta‘d, znów na podstawie lematu 13.1, że

|h(c, c′)−h(d, d′)| = |(0.c_{1}c′_{1}c_{2}c′_{2} … c_{n}c′_{n} …)_{3}−(0.d_{1}d′_{1} … d_{n}d′_{n} …)_{3}| ≤

\frac{1}{3^{2n}} < ϵ.

□

Stosuja‘c prosta‘ indukcje‘, otrzymujemy naste‘puja‘cy wniosek.

Wniosek 13.1. Iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów Cantora przez siebie jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora.

Uwaga 13.2. Podobny fakt zachodzi również dla iloczynu nieskończonego: iloczyn kartezjański przeliczalnej ilości zbiorów Cantora przez siebie jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora. Dowodzić tego można w sposób podobny do dowodu stwierdzenia 13.7.

Twierdzenie 13.1. Istnieje przekształcenie cia‘głe zbioru Cantora C na przedział euklidesowy I = [0, 1]. Przekształcenie takie można określić wzorem

s((0.c_{1}c_{2} …)_{3}) = \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{2^{n}} .

Dowód. Zauważmy najpierw, że przekształcenie s przyjmuje wartości w przedziale I. Widać to z oszacowania

0 ≤ \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{2^{n}} ≤ \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{2}{2^{n}} ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} = 1.

Naste‘pnie sprawdzimy, że jest to przekształcenie “na”. W tym celu przedstawmy dowolna‘ liczbe‘ x ∈ I w zapisie dwójkowym

x = (0.b_{1}b_{2} …)_{2}, gdzie b_{1}, b_{2}, ⋯ ∈ {0, 1};

oznacza to, jak wiadomo, że x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{b_{n}}{2^{n}}. Przyjmuja‘c c_{n} = 2b_{n}, dla każdego n, otrzymujemy równość

s(0.c_{1}c_{2} …)_{3}) = \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{2^{n}} = \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{2b_{n}}{2^{n}} = x.

Pozostaje do uzasadnienia cia‘głość przekształcenia s. Wygodnie jest sprawdzać od razu jego jednostajna‘ cia‘głość. Niech wie‘c ϵ > 0. Wybieramy liczbe‘ naturalna‘ N tak duża‘, by ∑_{n=N}^{∞} \frac{1}{2^{n}} < ϵ ( szereg jest zbieżny, wie‘c takie N istnieje!). Przyjmuja‘c δ = \frac{1}{3^{N}}, wnosimy na podstawie lematu 13.1, że jeśli c = (0.c_{1}c_{2} …)_{3}, c′ = (0.c′_{1}c′_{2} …)_{3} oraz |c − c′| < δ, to c_{n} = c′_{n} dla n < N. Sta‘d

|s(c) − s(c′)| = |\frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{c_{n}}{2^{n}} − \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{∞} \frac{c′_{n}}{2^{n}} | = |\frac{1}{2} ∑_{n=N}^{∞} \frac{c_{n} − c′_{n}}{2^{n}} | ≤

\frac{1}{2} ∑_{n=N}^{∞} \frac{|c_{n} − c′_{n}|}{2^{n}} ≤ \frac{1}{2} ∑_{n=N}^{∞} \frac{2}{2^{n}} = ∑_{n=N}^{∞} \frac{1}{2^{n}} < ϵ.

□

Definicja 13.2. Przekształcenie s : C → I, opisane w twierdzeniu 13.1, nazywamy funkcja‘ schodkowa‘.

Wniosek 13.2. Zbiór Cantora ma moc continuum 𝔠.

Dowód. Moc C nie jest mniejsza niż moc obrazu s(C) = I, która wynosi 𝔠, a z drugiej strony C jest podzbiorem przedziału I, wie‘c moc C nie jest wie‘ksza od 𝔠. □

Uwaga 13.3. Warto zwrócić uwage‘ na wniosek 13.2. W geometrycznym opisie i przy próbie rysowania przybliżeń zbioru Cantora, zauważamy jedynie jego punkty trójkowo-wymierne (postaci c = \frac{k}{3^{n}} = (0.c_{1}, … c_{n}), dla pewnych k ≤ 3^{n}), których jest oczywiście przeliczalnie wiele (stwierdzenie 13.3). Wie‘kszość punktów zbioru Cantora jest dla nas niewidoczna!

Wniosek 13.3. Istnieja‘ przekształcenia cia‘głe zbioru Cantora na kostki euklidesowe I^{n} dowolnego wymiaru skończonego n oraz na kostke‘ Hilberta I^{ℵ_{0}}.

Dowód. Jeśli s : C → I jest funkcja‘ schodkowa‘ i C^{n} oznacza iloczyn kartezjański n egzemplarzy zbiorów Cantora przez siebie, to przekształcenie s^{n} : C^{n} → I^{n} określone wzorem

s^{n}(c^{1}, c^{2}, …, c^{n}) = (s(c^{1}), s(c^{2}), … s(c^{n}))

jest przekształceniem cia‘głym i “na”. Ponadto, z wniosku 13.1 wiemy, że istnieje homeomorfizm h : C → C^{n}, wie‘c złożenie s^{n}h : C → I^{n} jest przekształceniem cia‘głym zbioru C na kostke‘ I^{n}. W przypadku kostki Hilberta argumentacja jest podobna. □

Uwaga 13.4. Zachodzi znacznie ogólniejszy fakt, który podajemy tylko informacyjnie : każda przestrzeń metryczna zwarta jest obrazem cia‘głym zbioru Cantora! (zob. [ES]).

Wniosek 13.4. Istnieja‘ przekształcenia cia‘głe przedziału euklidesowego I = [0, 1] na kostki euklidesowe I^{n} dowolnego wymiaru n i na kostke‘ Hilberta.

Dowód. Jeśli Y jest jedna‘ z tych kostek, to istnieje przekształcenie cia‘głe f zbioru Cantora C na Y. Ponieważ C jest domknie‘tym podzbiorem w I, to można skorzystać z twierdzenia Tietzego 4.1, które gwarantuje istnienie przedłużenia cia‘głego f^{∗} : I → Y przekształcenia f.

Można też skonstruować takie przedłużenie bezpośrednio, nie korzystaja‘c z twierdzenia Tietzego. W tym celu skorzystamy z opisu geometrycznego zbioru C zawartego w stwierdzeniu 13.2. Oznaczmy przez a i b końce dowolnie ustalonej składowej dopełnienia w I zbioru I_{n} (te składowe sa‘ przedziałami otwartymi usuwanymi w konstrukcji geometrycznej zbioru C). Ponieważ przedziały otwarte (a, b) sa‘ rozła‘czne z C, wie‘c na nie trzeba przedłużyć przekształcenie f.

Jeśli f(a) = f(b), to kładziemy f^{∗}(x) = f(a) dla wszystkich x ∈ (a, b); w przeciwnym razie, odcinek prostoliniowy f(a)f(b) o końcach f(a), f(b) zawiera sie‘ w kostce Y i można go sparametryzować funkcja‘ α : [a, b] → f(a)f(b) (zależna‘ oczywiście, tak jak i punkty a, b, od cia‘gu cyfr c_{1}, …, c_{n}) w standardowy sposób:

α(x) = \frac{x − a}{b − a}f(b) + (1 − \frac{x − a}{b − a})f(a).

Teraz możemy określić przedłużenie f^{∗} na punktach x ∈ [a, b] wzorem

f^{∗}(x) = α(x).

Cia‘głość f^{∗} w punktach odcinków otwartych postaci (a, b) wynika wprost z cia‘głości parametryzacji α.

Uzasadnimy cia‘głość f^{∗} w punktach zbioru Cantora. Niech ϵ > 0. Z jednostajnej cia‘głości przekształcenia f (zob. stwierdzenie 10.5) wynika istnienie liczby δ > 0 takiej, że jeśli x, x′ ∈ C oraz |x − x′| < δ, to ∥f(x) − f(x′)∥ < \frac{ϵ}{2}. Niech c ∈ C. Istnieje składowa I_{c_{1}...c_{n}} zbioru I_{n} zawieraja‘ca c o średnicy mniejszej od δ. Przedział I_{c_{1}...c_{n}} może mieć wspólne końce z co najwyżej dwiema składowymi dopełnienia I \ C, czyli przedziałami otwartymi postaci (a, b), (a′, b′), rozważanymi wyżej przy określaniu przedłużenia f^{∗}. Na przedziałach [a, b], [a′b′] określone sa‘ parametryzacje α i α′, które, oczywiście, też sa‘ jednostajnie cia‘głe, wie‘c istnieje liczba θ > 0 taka, że jeśli x, x′ ∈ [a, b] (x, x′ ∈ [a′, b′]) oraz |x−x′| < θ, to ∥α(x)−α(x′)∥ < \frac{ϵ}{2} (∥α′(x)−α′(x′)∥ < \frac{ϵ}{2}, odpowiednio). Przyjmijmy δ′ = min{δ, θ} i załóżmy, że x ∈ I \ C oraz |x − c| < δ′. W przypadku, gdy x ∈ I_{c_{1}...c_{n}}, istnieje składowa dopełnienia I \ C postaci (a_{x}, b_{x}), zawieraja‘ca punkt x i zawarta wraz z końcami a_{x}, b_{x} w I_{c_{1}...c_{n}} (przypomnijmy przy tym , że te końce należa‘ do zbioru Cantora C). Wtedy otrzymujemy oszacowanie odległości

∥f^{∗}(x) − f^{∗}(c)∥ ≤ ∥f^{∗}(x) − f^{∗}(a_{x})∥ + ∥f^{∗}(a_{x}) − f^{∗}(c)∥ ≤ ∥f^{∗}(b_{x}) − f^{∗}(a_{x})∥ + ∥f(a_{x}) − f(c)∥ = ∥f(b_{x}) − f(a_{x})∥+

∥f(a_{x}) − f(c)∥ < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Gdy x ∉ I_{c_{1}...c_{n}}, to x ∈ (a, b) lub x ∈ (a′, b′). Załóżmy, że x ∈ (a, b) i przyjmijmy, że przedział (a, b) leży na prawo od przedziału I_{c_{1}...c_{n}} (dla drugiego przypadku rozumowanie jest analogiczne). Wtedy

∥f^{∗}(x) − f^{∗}(c)∥ ≤ ∥f^{∗}(x) − f^{∗}(a)∥ + ∥f^{∗}(a) − f^{∗}(c)∥ = ∥α(x) − α(a)∥ + ∥f(a) − f(c)∥ < ϵ.

Wreszcie, jeśli x ∈ C i |x − c| < δ′, to oczywiście

∥f^{∗}(x) − f^{∗}(c)∥ = ∥f(x) − f(c)∥ < ϵ.
□

Uwaga 13.5. Przekształcenia cia‘głe przedziału I na kwadrat I^{2} zwa‘ sie‘ tradycyjnie przekształceniami Peana . Opis geometryczny takiego przekształcenia zamieszczaja‘ podre‘czniki [ES] i [Ku].

Na zakończenie warto wymienić jeszcze kilka ważnych własności zbioru Cantora, których dowody (lub wskazówki do nich) można znaleźć np. w [ES] i [Ku].

• Przestrzeń topologiczna X jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenia‘ metryczna‘ zwarta‘, w sobie ge‘sta‘, której jedynymi podprzestrzeniami spójnymi sa‘ podzbiory jednopunktowe.

• Każda przestrzeń metryzowalna w sposób zupełny i w sobie ge‘sta zawiera podprzestrzeń homeomorficzna‘ ze zbiorem Cantora.

• Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa której każdy punkt ma otoczenia otwarto-domknie‘te dowolnie małej średnicy (taka przestrzeń nazywa sie‘ zero-wymiarowa) jest homeomorficzna z podzbiorem zbioru Cantora.

Ćwiczenia

(1) Sprawdź, czy zbiór końców usuwanych przedziałów w konstrukcji zbioru Cantora C (tzn. zbiór końców składowych zbiorów I_{n} dla wszystkich n ∈ ℕ) jest przeliczalny i ge‘sty w C i czy jest zwarty.

(2) Wskaż kilka podzbiorów otwarto-domknie‘tych w C.

Wykaż, że zbiór C jest podobny do swych podzbiorów C ∩[0, \frac{1}{3}], C ∩ [\frac{2}{3}, 1], C ∩ [0, \frac{1}{9}], C ∩ [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}], itd.

(3) Niech X = {0, 1} × {0, 1} × … z metryka‘

ρ ((s_{1}, s_{2}, …), (t_{1}, t_{2}, …)) = \frac{1}{min\{n : s_{n} ≠ t_{n}\}}

lub 0, gdy (s_{1}, s_{2}, …) = (t_{1}, t_{2}, …).

Sprawdź, że ρ jest metryka‘ w X.

Wykaż, że przekształcenie f : C → X określone wzorem

f (\frac{t_{1}}{3} + \frac{t_{2}}{3^{2}} + …) = (\frac{t_{1}}{2} , \frac{t_{2}}{2} , …) gdzie t_{n} ∈ \{0, 2\} dla każdego n,

jest homeomorfizmem.

(4) Skonstruuj zbiór homeomorficzny ze zbiorem Cantora C zawarty w zbiorze liczb niewymiernych z metryka‘ euklidesowa‘ (zob. [Ku]).

(5) Przestrzeń metryczna X jest grupa‘ topologiczna‘, gdy w X jest określone działanie grupowe, które jest cia‘głe jako przekształcenie X × X → X i w którym branie elementu odwrotnego x ↦ x^{−1} też jest przekształceniem cia‘głym X → X. Sprawdzić, czy przestrzenie euklidesowe, przestrzeń Hilberta l_{2}, ℝ^{ℵ_{0}}, okra‘g S^{1} = {z ∈ (ℝ^{2}, ρ_{e}) : ∥z∥ = 1}, torus n-wymiarowy (S^{1})^{n} sa‘ grupami topologicznymi (z jakimi działaniami ?).

Korzystaja‘c z zadania 3 pokazać, że zbiór Cantora jest grupa‘ topologiczna‘.

(6) Czy istnieja‘ przekształcenia cia‘głe (homeomorfizmy) z:

C na C^{3}, C na ℚ, C na ℝ \ ℚ, C na I^{3}, C na ℝ^{2}, C na okra‘g S^{1}, C na sfere‘ S^{2}, C na C × I, C na X = \{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … \}, C na X × I, I na C, X × I na C, ℝ na C, ℚ na C, Q × I na C, S^{2} na C ?

Podaj przekształcenia (wykorzystuj, m. in. funkcje‘ z C na I) lub przyczyne‘ ich braku (np. zwartość, spójność).

(7) Czy zbiór Cantora jest ścia‘galny?

Czy przestrzeń X= suma odcinków ła‘cza‘cych punkt (\frac{1}{2}, 1) z punktami zbioru C na osi x na płaszczyźnie euklidesowej jest ścia‘- galna?

Bibliografia

[D] R. Duda, Wprowadzenie do topologii, PWN, Warszawa 1984.

[E] R. Engelking, Topologia ogólna, wyd. 2, PWN, Warszawa 1989.

[ES] i K. Sieklucki, Wste‘ p do topologii, PWN, Warszawa 1986

[Ku] K. Kuratowski, Wste‘ p do topologii i teorii mnogości, wyd. 8, PWN, Warszawa, 1980.

[O] J. C. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.

Indeks

K(A; r), 7 K(p; r), 7 T_{2}, 44 ω_{1}, 45 ρ_{c}, 2 ρ_{e}, 2 ρ_{m}, 2 ρ_{r}, 3 ρ_{s}, 2 d_{A}, 25

iloczyn kartezjański przestrzeni metry-

cznych, 36 przestrzeń metryzowalna, 44

absolutna domkniȩtość przestrzeni, 63 absolutny zbiór G_{δ}, 83 aksjomat Hausdorffa, 44 aksjomaty oddzielania, 44

baza przeliczalna w punkcie, 45 brzeg zbioru, 15

C(X,Y), 24 cia̧g, 8 cia̧g Cauchy’ego, 75 cia̧g prawie stały, 8 cia̧g zbieżny, 8

definicja Cauchy’ego cia̧głości, 21 definicja Heinego cia̧głości, 21 domkniȩcie, 12

funkcja schodkowa, 97

granica cia̧gu, 8 grupa topologiczna, 101

hiperpłaszczyzna, 26 homeomorfizm, 26 homotopia, 39

izometria, 25

koniec łuku, 55 kostka Hilberta, 3 kula, 7 kula uogólniona, 7

łuk, 55

metryka, 1 metryka centrum, 2 metryka jeża, 2 metryka rzeka, 3 metryka standardowa iloczynu, 36 metryka zbieżności jednostajnej, 3 metryka zupełna, 75 metryki równoważne, 31

narost uzwarcenia, 74 nierówność trójka̧ta, 1 norma, 1 norma euklidesowa, 2

oś iloczynu kartezjańskiego, 36 ośrodek, 87 obszar, 57 odcinek, 25 odległość, 1 odległość geodezyjna, 3 odległość punktu od zbioru, 24 ograniczony zbiór, 1 orbita punktu, 68, 84 otoczenie, 11

parametryzacja łuku, 55 pierwszy aksjomat przeliczalności, 45 pochodna zbioru, 15 podcia̧g, 8 podobieństwo o skali c, 25 podpokrycie, 70 podprzestrzeń, 15 podzbiór rozspajaja̧cy, 52 podzbiór typu F_{σ}, 14 podzbiór typu G_{δ}, 14 pokrycie otwarte, 70 pokrycie przestrzeni topologicznej, 70 powierzchnia śrubowa, 38 prawie wszystkie punkty, 8 przedłużenie cia̧głe, 22 przeka̧tna, 45 przekształcenia homotopijne, 39 przekształcenie ściśle zwȩżaja̧ce, 24 przekształcenie cia̧głe, 21 przekształcenie cia̧głe w punkcie, 21 przekształcenie domkniȩte, 27 przekształcenie jednostajnie cia̧głe, 24 przekształcenie Lipschitza, 24 przekształcenie otwarte, 27 przekształcenie Peana, 100 przekształcenie rozszerzaja̧ce, 68 przekształcenie zwȩżaja̧ce, 24 przestrzeń B(X, Y), 3 przestrzeń C_{1}, 4 przestrzeń ścia̧galna, 40 przestrzeń łukowo spójna, 55 przestrzeń całkowicie niespójna, 96 przestrzeń dyskretna, 1 przestrzeń euklidesowa, 2 przestrzeń Hausdorffa, 44 przestrzeń Hilberta l_{2}, 3 przestrzeń lokalnie wypukła, 57 przestrzeń metryczna, 1 przestrzeń metryzowalna w sposób zu-

pełny, 77 przestrzeń ośrodkowa, 27, 87 przestrzeń spójna, 47 przestrzeń topologiczna, 43 przestrzeń unormowana, 1 przestrzeń zero-wymiarowa, 100 przestrzeń zmiennych losowych, 4 przestrzeń zupełna, 75 przestrzeń zwarta, 27, 63 przestrzeń zwarta Hausdorffa, 73 przestrzenie homeomorficzne, 26 przestrzenie izometryczne, 25 przestrzenie podobne, 25 punkt skupienia, 8 punkt stały, 54, 83

rzut stereograficzny, 26

rzutowanie, 36

sfera, 15

składowa łukowa, 58 składowa przestrzeni, 50 skala podobieństwa, 25 stała Lipschitza, 24 średnica zbioru, 1

topologia, 11, 43 topologia ogólna, 44 topologia porza̧dkowa, 45 torus n-wymiarowy, 101 twierdzenie Aleksandrowa, 82 twierdzenie Baire’a, 80 twierdzenie Banacha, 83 twierdzenie Bolzano-Weierstrassa, 63 twierdzenie Darboux, 54 twierdzenie o domkniȩciu, 49 twierdzenie o spójnym obrazie, 49 twierdzenie o sumie, 48 twierdzenie o zbieżności po współrzȩd-

nych , 36 twierdzenie Tietzego, 23 twierdzenie Weierstrassa, 87

uniwersalność kostki Hilberta, 88 uzupełnienie przestrzeni, 78 uzwarcenie, 74

własność topologiczna, 27 warunek Borela-Lebesgue’a, 71 warunek Cantora, 72 wnȩtrze, 12 współczynnik Lebesgue’a, 71 współrzȩdne przekształcenia, 38

złożenie przekształceń, 23

zanurzenie, 88 zbiór brzegowy, 12 zbiór Cantora, 93 zbiór domkniȩty, 11 zbiór gȩsty, 13 zbiór nigdziegȩsty, 14 zbiór otwarty, 11 zbiór otwarty przestrzeni topologicz-

nej, 43 zbiór w sobie gȩsty, 15 zbiór wypukły, 49 zwartość cia̧gowa, 70