Instytut Matematyczny

Uniwersytet Wrocławski

 

 

Krzysztof   Dębicki   &  Zbigniew    Palmowski

 

 

Studia  Aktuarialne

na

 Uniwersytecie  w  Kopenhadze

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Maj 2000

 

1 Wstęp

 

Celem niniejszego raportu jest opis i analiza programu studiów na kierunku matematyka aktuarialna na Uniwersytecie w Kopenhadze.

Raport składa się z następujących części:

Ø      Plan studiów

Ø      Przedmioty obowiązkowe

Ø      Przedmioty do wyboru

Ponadto, w celu rozszerzenia raportu, załączone zostały następujące dodatki:

Ø      Opis studiów na kierunku Matematyka Aktuarialna na Uniwersytecie w Kopenhadze (po Duńsku)

Ø      Lecture Notes do wykładu Fm0L (Basic Life Insurance Mathematics)

Ø      Lecture Notes do wykładu Fm0S (Mathematical Methods in the Ruin Probability Theory)

Ø      Lecture Notes do wykładu FM1 (Matematyka Ubezpieczeń na Życie)

Ø      Ćwiczenia do wykładu FM1

Ø      Lecture Notes do wykładu FM2 (Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych)

Ø      Ćwiczenia do wykładu FM2

Ø      Lecture Notes on Risk Processes and Ruin Theory (alternatywny wykład FM2 prowadzony przez H. Schmidli'egow roku akademickim 1997/98)

Ø      Przykładowe raporty studenckie

Ø      Lecture Notes on Dynamic Economics (wykład do wyboru)

Raport jest wynikiem wizyty Krzysztofa Dębickiego i Zbigniewa Palmowskiego w Centrum Nauk Aktuarialnych na Uniwersytecie w Kopenhadze w lutym 2000.

Autorzy pragną podziękować profesorowi V. Kalashnikowowi za ciepłe przyjęcie oraz nieocenioną pomoc w zgromadzeniu materiałów wykorzystanych w niniejszym raporcie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Program studiów

 

Studia na kierunku matematyka aktuarialna na Uniwersytecie w Kopenhadze składają się z dwóch etapów nauczania:

a)      Etap I - sześć semestrów studiów licencjackich

b)      Etap II - cztery semestry studiów magisterskich

 

W poniższej tabelce przedstawiona została struktura przedmiotów wykładanych w ramach kierunku matematyki aktuarialnej w Kopenhadze:

 

 

Semestr

Przedmiot

10

Spec                                  12p (30 ECTS)

Przedmiot do wyboru                                     12p (30 ECTS)

9

8

Fm1   6p (15 ECTS)

Fm2       8p (20 ECTS)

Przedmiot do wyboru                 10p (25 ECTS)

7

6

Fm0S    4p (10 ECTS)

Projekt                  4p (10 ECTS)

Ff                4p            (10 ECTS)

Wstęp do Ekonomii albo Stat 2B            6p (15 ECTS)

5

Fm0L                                           6p (15 ECTS)

4

Wstęp do Ekonomii         4p (10 ECTS)

Mat 2KF           2p (5 ECTS)

Stat 1                                  12p (30 ECTS)

3

Mat 2AN     4p (10 ECTS)

Mat 3MI           2p (5ECTS)

2

Mat1       8p (20 ECTS)

Inf A + Wstęp do Ekonomii albo Informatyka 0               8p (20 ECTS)                

Stat 0              8p (20ECTS)

1

 

 

 

Uwagi:

a)      W pierwszych dwóch semestrach  studenci mogą wybrać pomiędzy:

-         wstępem do informatyki (dla początkujących);

-         informatyką dla matematyków oraz wstępem do ekonomii.

Oba warianty dają po 20 ECTS - studenci wybierający drugi wariant są zwolnieni ze Wstępu do Ekonomii wykładanego na 5 i 6 semestrze.

b)      W semestrach 5 i 6 studenci zamierzający zakończyć edukację na poziomie licencjackim uczęszczają na Wstęp do Ekonomii (lub jeśli ukończyli ten przedmiot na pierwszym roku uczęszczają na wybrany przez siebie wykład dodatkowy - patrz lista wykładów dodatkowych). Pozostali studenci obligatoryjnie wybierają wykład Stat2B.

c)      Na czwartym i piątym roku studiów studenci mają prawo do wyboru wykładów dodatkowych na łączną ilość 65 ECTS, z czego 35 ECTS musi pochodzić z przedmiotów związanych z matematyką aktuarialną, a pozostałe 30 ECTS może być wybrane z kursów prowadzonych na kierunku matematycznym lub ekonomicznym Uniwersytetu w Kopenhadze.

d)      Na piątym roku gro czasu studenci spędzają na pisaniu pracy dyplomowej oraz konsultacjach z opiekunem (seminaria magisterskie), ewentualnie wizytach w firmach.. W planie zajęć zostało to uwzględnione pod hasłem Spec.  

 

Opis przedmiotów składających się na siatkę zajęć na kierunku aktuarialnym przedstawiony został w Rozdziale 3 i 4.

Szczegółowy opis struktury studiów znaleźć można w dodatku Opis studiów na kierunku Matematyka Aktuarialna na Uniwersytecie w Kopenhadze (po Duńsku).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Przedmioty obowiązkowe

 

W ramach pięcioletnich studiów na kierunku Matematyka Aktuarialna studenci są zobowiązani do ukończenia następujących przedmiotów, które podzielić można na dwie grupy:

1)      Przedmioty matematyczne:

Ø      InfA - Informatyka dla Matematyków

Ø      Inf0 - Wstęp do Informatyki

Ø      Mat1 - Algebra Liniowa i Analiza Matematyczna

Ø      Mat 2AN - Analiza Matematyczna

Ø      Mat 3MI - Teoria Całkowania

Ø      Mat 2KF - Teoria Funkcji Zespolonych

Ø      Stat 0 - Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Opisowa

Ø      Stat 1 - Statystyka matematyczna

Ø      Stat 2B - Procesy Stochastyczne

2)      Przedmioty specjalistyczne:

Ø      Fm0L - Podstawy Matematyki Ubezpieczeń na Życie

Ø      Fm0S - Podstawy Matematyki Ubezpieczeń Majątkowych ( nie na życie)

Ø      Fm1 - Matematyka Ubezpieczeń na Życie

Ø      Fm2 - Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych ( nie na życie)

Ø      Ff - Tematy związane z ubezpieczeniami: rachunkowość i prawo ubezpieczeniowe

Ø      Projekt

 

Poniżej przedstawiony został opis zakresu przedmiotów specjalistycznych.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fm0L - Podstawy Matematyki Ubezpieczeń na Życie

 

 

Celem wykładu jest danie studentom wglądu w instytucjonalną organizację oraz teoretyczne podstawy działania firm ubezpieczających na życie. Szeroko opisane są podstawowe części matematyki ubezpieczeniowej. Główny nacisk położony jest na analizę modeli ryzyka od strony ubezpieczającego zarówno dla pojedynczego ubezpieczenia jak i dla portfela ubezpieczeń.

Opis wykładu:

-         historia ubezpieczeń życiowych i ich obecna organizacja

-         przegląd najbardziej ważnych produktów ubezpieczeniowych i systemów ubezpieczeniowych dla bezpośrednich i pośrednich ubezpieczeń (reasekuracja)

-         oprocentowanie; strumienie płatności (długi, plany spłat, produkty ubezpieczeniowe)

-         podstawy matematyki ubezpieczeń na życie - teoria umieralności, procesy markowa i ich zastosowanie w ubezpieczeniach zdrowotnych

-         equivalence principle, prospective reserves

-         zarządzanie kosztami, duże składki, rezerwy

-         statystyczna analiza danych ubezpieczeniowych: konstrukcja tablic umieralności, estymacja intensywności w ciągłych łańcuchach markowa.

 

Kurs trwa jeden semestr w systemie 3 wykłady tygodniowo plus 3 godziny tygodniowo ćwiczeń.

Kompletną treść wykładu znaleźć można w dodatku Lecture Notes do wykładu Fm0L (Basic Life Insurance Mathematics)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fm0S - Podstawy Matematyki Ubezpieczeń Majątkowych ( nie na życie)

 

 

Celem wykładu jest danie studentom wglądu w instytucjonalną organizację oraz teoretyczne podstawy działania firm ubezpieczających majątek. Szeroko opisane są podstawowe działy matematyki ubezpieczeniowej. Główny nacisk położony jest na analizę modeli ryzyka od strony ubezpieczającego dla pojedynczych polis oraz portfela ubezpieczeń.

Opis wykładu:

-         historia ubezpieczeń majątkowych i ich obecna organizacja

-         przegląd najbardziej ważnych produktów ubezpieczeniowych i systemów ubezpieczeniowych dla bezpośrednich i pośrednich ubezpieczeń (reasekuracja)

-         podstawy matematyki ubezpieczeń majątkowych: stochastyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego, proces ryzyka, wstęp do modeli niejednorodnych, "individual experience rating"

-         ogólna teoria ryzyka, obliczanie zagregowanych procesów żądań

-         statystyczna analiza danych ubezpieczeniowych: estymacja intensywności żądań i rozkładów żądań w poissonowskim procesie ryzyka

 

Kurs trwa jeden semestr w systemie 2 wykłady tygodniowo plus 3 godziny tygodniowo ćwiczeń.

Kompletną treść wykładu znaleźć można w dodatku Lecture Notes do wykładu Fm0S (Mathematical Methods in the Ruin Probability Theory).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fm1 - Matematyka Ubezpieczeń na Życie

 

 

Celem kursu jest zapoznanie studentów z ogólnymi teoretycznymi podstawami technik wyłożonych w wykładzie Podstawy Matematyki Ubezpieczeń na Życie, oraz wprowadzenie do rozwiązywania różnych statystycznych i ubezpieczeniowych problemów związanych z ubezpieczeniami życiowymi i rentami. W wykładzie przedstawiony jest przegląd nowoczesnych probabilistycznych modeli opisujących produkty ubezpieczeniowe związane ze śmiercią, przeżyciem, "nie zdolnościami" (np. do pracy) oraz wstęp do metod statystycznych estymacji parametrów modeli.

Opis wykładu:

-         zaawansowana teoria ubezpieczeń na życie, strumienie płatności (deterministyczne i stochastyczne), aksjomatyczna teoria dyskontowania i oprocentowania strumieni płatności

-         procesy stochastyczne w ubezpieczeniach na życie

-         istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych dla prawdopodobieństw przejść

-         nie różniczkowalna umieralność

-         rezerwy retrospektywne i związane z nimi równania różniczkowe

-         modele niejednorodne opisujące indywidualne zmienności względem umieralności

-         specyficzne typy ubezpieczeń: grupowe ubezpieczenia na życie, zbiorowe ubezpieczenia rentowe

-         safety loading, surplus, bonus.

-         schematy ubezpieczeniowe, "equivalence principle", "pay-as-you-go"

-         metody statystyczne (w szczególności metody estymacji) istotne w matematyce ubezpieczeń, demografii, medycynie społecznej, estymacja, testowanie hipotez i intensywności w niejednorodnych łańcuchach markowa, metody parametryczne, semi-parametryczne i nieparametryczne, modele z niekompletnymi obserwacjami, model Cox'a

 

 

Kurs trwa dwa semestry w systemie 2 wykłady tygodniowo plus 3 godziny tygodniowo ćwiczeń.

Kompletną treść wykładu znaleźć można w dodatku Lecture Notes do wykładu FM1 (Matematyka Ubezpieczeń na Życie) ponadto w dodatku Ćwiczenia do wykładu FM1 znajdują się zadania związane z wykładem.

 

 

 

 

Fm2 - Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych ( nie na życie)

 

 

            Celem wykładu jest danie studentom wiedzy o najważniejszych modelach i metodach stosowanych w matematyce ubezpieczeń majątkowych i ogólnej teorii ryzyka oraz danie narzędzi do analizy problemów związanych ze specyfiką ubezpieczeń majątkowych.

Opis wykładu:

-         teoria użyteczności w powiązaniu z teorią ryzyka

-         "optimal insurance arrangements" z punktu widzenia ubezpieczonego i ubezpieczającego

-         optymalna reasekuracja

-         "Pareto optimal exchange of risk"

-         zaawansowana teoria ryzyka, prawdopodobieństwo ruiny

-         modele niejednorodne

-         empiryczna i liniowa teoria Bayes'a

-         modele hierarchiczne i inne metody klasyfikacji ryzyka

-         system bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych

-         rezerwy na odstające żądania

 

Kurs trwa dwa semestry w systemie 2 wykłady tygodniowo plus 3 godziny tygodniowo ćwiczeń.

Kompletną treść wykładu znaleźć można w dodatku Lecture Notes do wykładu FM2 (Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych) ponadto w dodatku Ćwiczenia do wykładu FM2 znajdują się zadania związane z wykładem.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ff - Tematy związane z ubezpieczeniami: księgowość i prawo ubezpieczeniowe

 

 

            Celem wykładu jest danie studentom  podstawy wiedzy wspierającej zrozumienie matematyki ubezpieczeniowej oraz praktycznych problemów aktuarialnych.

Opis wykładu:

-         opis aktów prawnych i regulacji związanych z prowadzeniem firmy ubezpieczeniowej

-         wstęp do księgowości, w szczególności w firmach ubezpieczeniowych,

-         krótki wstęp do "accounts analysis"

Kurs trwa dwa semestry w systemie 2 wykłady tygodniowo plus 3 godziny tygodniowo ćwiczeń.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Projekt

 

 

Projekt polega na przygotowaniu indywidualnego raportu związanego z tematyką wykładów Fm0L lub Fm0S, którą zastosować można w praktycznych problemach ubezpieczeniowych. Zazwyczaj w projekcie wykonuje się numeryczną obróbkę i obliczenia, a następnie analizę rzeczywistych lub symulacyjnych danych .

Opis i struktura raportu:

-         Wstęp i podsumowanie: szkic problemu do rozwiązania, cel rozwiązania problemu, krótki przegląd wykonanych czynności w celu rozwiązania problemu, podsumowanie i wnioski

-         Opis problemu: niematematyczny opis problemu służący czytelnikowi nie znającemu terminologii aktuarialnych, wyjaśnienie pojęć używanych w raporcie

-         Analiza danych: jaki dane były wykorzystane i skąd pochodziły

-         Symulacje: opis sposobu otrzymania wyników (np. zagregowanych rozkładów żądań) i dyskusja optymalności wybranej metody. Matematyczne i numeryczne szczegóły - dokumentacja musi być na tyle szczegółowa, by czytający mógł sprawdzić wyniki

-         Analiza i propozycja optymalnego wariantu: podanie 1 lub 2 alternatywnych rozwiązań, w zależności od przyjętych założeń ekonomicznych

-         Ograniczenia i założenia: opis ograniczeń i założeń przyjętych w analizie.

-         Dodatki: wykorzystane dane, używane metody analityczne, wyniki numeryczne

Projekt trwa jeden semestr.

W dodatku Przykładowe raporty studenckie znajduje się opis zawartości wzorcowego raportu oraz przykładowe raporty.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Przedmioty do wyboru

 

W ramach pięcioletnich studiów na kierunku Matematyka Aktuarialna studenci mają możliwość ukończenia licznych kursów związanych zarówno z ubezpieczeniami jak i rynkiem finansowym. poniżej przedstawiona została lista wykładów do wyboru oferowanych w roku akademickim 1999/2000. Kompletną listę wykładów z innych lat znaleźć można na stronie internetowej: www.act.ku.dk.

Lista wykładów do wyboru w roku akademickim 1999/2000:

-         kierunki rozwoju matematyki ubezpieczeniowej

-         zastosowania technik wielkich odchyleń w  ubezpieczeniach i finansach

-         bond matket theory

-         sekularyzacja ryzyka ubezpieczeniowego

-         reasekuracja

-         insurance taxation