Wste‘p

Dobrze znana jest dualność dla krzywych w RP^{2}: krzywej zostaje przypisana krzywa dualna złożona z prostych stycznych do krzywej oryginalnej; krzywa dualna przyjmuje wartości w przestrzeni prostych w RP^{2}, czyli także w płaszczyźnie rzutowej. Jeśli krzywa oryginalna ma punkt przegie‘cia, to krzywa dualna ma w odpowiednim punkcie osobliwość (cusp).

Podobnie, krzywej w R^{2} lub S^{2} przyporza‘dkowuje sie‘ krzywa‘ środków okre‘gów ściśle stycznych (ewolute‘ krzywej oryginalnej zwanej ewolwenta‘). Ekstrema krzywizny ewolwenty ujawniaja‘ sie‘ jako osobliwości (cuspy) ewoluty. Jeśli brać okre‘gi ściśle styczne (nie zaś ich środki) to uzyskuje sie‘ krzywa‘ dualna‘ o wartościach w przestrzeni okre‘gów, kontrolowana‘ przez strukture‘ stożków świetlnych pewnej metryki lorentzowskiej.

W niniejszej pracy rozważa sie‘ analogiczna‘ dualność generowana‘ przez aproksymacje‘ krzywej w RP^{2} konikami ściśle stycznymi. Dualność ta jest zwia‘zana z geometria‘ ekwiafiniczna‘: koniki to krzywe o stałej krzywiźnie ekwiafinicznej; ekstrema krzywizny ekwiafinicznej objawiaja‘ sie‘ jako osobliwości krzywej dualnej. Z drugiej strony cała konstrukcja jest P GL(3)–niezmiennicza (sta‘d wynika np. rzutowa niezmienniczość ekstremów krzywizny ekwiafinicznej).

§1 zawiera definicje‘ styczności wyższego rze‘du i podstawowy lemat techniczny o styczności krzywej zadanej w sposób uwikłany i krzywej zadanej w sposób parametryczny. W §2 określona zostaje podstawowa transformata dualności: krzywej w RP^{2} przyporza‘dkowuje sie‘ krzywa‘ dualna‘ konik ściśle (ie rze‘du 4) stycznych. Krzywa dualna przyjmuje wartości w przestrzeni konik, która jest projektywizacja‘ przestrzeni macierzy symetrycznych rzeczywistych 3×3 P(SM_{3}). Już choćby wymiar P(SM_{3}), wie‘kszy niż wymiar RP^{2}, sugeruje, że krzywe dualne musza‘ spełniać pewne warunki. Podstawowy z tych warunków zostaje wyprowadzony w §3: konika zadana przez pochodna‘ krzywej dualnej musi być styczna rze‘du 3 do krzywej oryginalnej. Warunek ten prowadzi do struktury geometrycznej na przestrzeni konik: dla C ∈ P(SM_{3}) w T_{C}P(SM_{3}) wyróżnia sie‘ wektory odpowiadaja‘ce konikom stycznym rze‘du 3 do C—daje to pewien dwuwymiarowy stożek w T_{C}P(SM_{3}). §4 zawiera opis tej struktury stożków w terminach orbit działania P GL(3) na P(SM_{3}) (indukowanego z RP^{2}) i struktury rzutowej P(SM_{3}). W §5 dowodzi sie‘ głównego twierdzenia o dualności: dowolna krzywa w P(SM_{3}) spełniaja‘ca warunek wyprowadzony w §3 i pewne założenia o regularności jest dualna do jedynej krzywej w RP^{2}. Dowód jest oparty na interpretacji rozmaitości incydencyjnej I ⊆ RP^{2} × P(SM_{3}) jako przestrzeni dżetów krzywych w RP^{2} oraz jako przestrzeni dżetów krzywych w P(SM_{3}), a naste‘pnie pokazaniu równości pojawiaja‘cych sie‘ w powyższych dwóch kontekstach dystrybucji holonomii (poje‘cie dżetu nie jest explicite użyte). W §6 dowodzi sie‘, że koniki ściśle styczne do krzywej bez ekstremum krzywizny ekwiafinicznej tworza‘ rodzine‘ zagnieżdżona‘ (w przypadku rodziny okre‘gów ściśle stycznych wynik ten jest nazywany lematem Knesera).

Bardzo dzie‘kuje‘ prof. Tadeuszowi Januszkiewiczowi oraz prof. Pierre Pansu i dr Jackowi Świa‘tkowskiemu za owocne rozmowy.

§1 Podstawowe własności relacji styczności wyższego rzedu

Definicja 1 Krzywe γ_{1}, γ_{2}: (−ϵ, ϵ) → R^{2} o nie znikaja‘cej pochodnej nazywamy stycznymi rze‘du

n (w punkcie γ_{1}(0)) jeśli istnieja‘ reparametryzacje s_{1}, s_{2}: (−δ, δ) → (−ϵ, ϵ) takie, że s′_{1} ≠ 0, s′_{2} ≠ 0, s_{1}(0) = s_{2}(0) = 0 oraz dla 0 ≤ k ≤ n

(1.1)  \frac{d^{k}}{dt^{k}} [γ_{1} ∘ s_{1}(t)]|_{t=0} = \frac{d^{k}}{dt^{k}} [γ_{2} ∘ s_{2}(t)]|_{t=0} .

Z reguły łańcucha wynika, że obrazy krzywych stycznych rze‘du n przez dyfeomorfizm R^{2} sa‘ także styczne rze‘du n.

Lemat 1 Niech dane be‘da‘ krzywe γ, η: (−ϵ, ϵ) → R^{2} o nie znikaja‘cej pochodnej, γ(0) = η(0),

oraz funkcja F: R^{2} → R, taka że F ∘ η ≡ 0 i dF_{p} ≠ 0 dla p leża‘cych w obrazie η. Wówczas γ jest styczne rze‘du n do η w γ(0) = η(0) wtedy i tylko wtedy gdy

(1.2)  \frac{d^{k}}{dt^{k}} [F ∘ γ(t)]|_{t=0} = 0 dla 0 ≤ k ≤ n.

Dowód: (⇒) Z reguły łańcucha wynika, że prawdziwość równości (1.2) nie zależy od wyboru para-

metryzacji krzywej γ. Ustalmy wie‘c parametryzacje krzywych γ,η o ktorych mówi definicja 1. Jeśli teraz rozpiszemy (używaja‘c reguły łańcucha) wyrażenie \frac{d^{k}}{dt^{k}} [F ∘ γ(t)]|_{t=0}, to otrzymamy wyrażenie zawieraja‘ce pochodne F i pochodne γ w 0 rze‘du nie wie‘kszego niż k. Ale dla l ≤ n mamy \frac{d^{l}γ}{dt^{l}} (0) = \frac{d^{l}η}{dt^{l}} (0), zatem \frac{d^{k}}{dt^{k}} [F ∘ γ(t)]|_{t=0} = \frac{d^{k}}{dt^{k}} [F ∘ η(t)]|_{t=0} = 0.

(⇐) Wybierzmy układ współrze‘dnych prostuja‘cy funkcje‘ F i krzywa‘ η, ie taki, że F (x, y) =

y, η(t) = (t, 0) dla t z pewnego przedziału zawieraja‘cego 0. Be‘dziemy stopniowo zmieniać parametryzacje‘ γ, uzgadniaja‘c coraz wyższe jej pochodne (w 0) z pochodnymi η.

1) (F ∘γ)′(0) = 0 jest równoważne γ′_{2}(0) = (β, 0) dla pewnego β ∈ R. Połóżmy s(t) = t/β

(β ≠ 0 gdyż γ′(0) ≠ 0). Wtedy (γ ∘ s)′(0) = (1, 0) = η′(0).

2) Załóżmy, że γ^{(l)}(0) = 0 = η^{(l)}(0) dla 1 < l < k. Ponieważ (F ∘ γ)^{(k)}(0) = 0, wie‘c

γ_{2}^{(k)}(0) = 0, czyli γ^{(k)}(0) = (β, 0). Niech s(t) = t − \frac{β}{k!}t^{k}; wówczas (γ ∘ s)^{(l)}(0) = 0 dla l ≤ k.

QED

§2 Dualna krzywa konik

Niech γ: (−ϵ, ϵ) → RP^{2} be‘dzie gładka‘ krzywa‘ o nie znikaja‘cej pochodnej spełniaja‘ca‘ w pewnym układzie współrze‘dnych niejednorodnych warunek det(γ′, γ′′) ≠ 0.

Lemat 2

Warunek det(γ′, γ′′) ≠ 0 nie zależy od wyboru układu współrze‘dnych niejednorodnych. Dowód: Z układem współrze‘dnych niejednorodnych zwia‘zać można podniesienie krzywej γ do

R^{3}\{0} :

(2.1)  ξ(t) = (γ_{1}(t), γ_{2}(t), 1)

(zapisane w odpowiadaja‘cym mu układzie wspólrze‘dnych w R^{3} ). Podniesienie ζ krzywej γ zwia‘zane z innym układem współrzednych wyraża sie‘ przez ξ

(2.2)  ξ(t) = f(t)ξ(t)

gdzie f: (−ϵ, ϵ) → R\{0}. Różniczkuja‘c (2.2) dostajemy

(2.3)  det(ζ, ζ′, ζ′′) = f^{3}det(ξ, ξ′, ξ′′).

Zatem det(ζ, ζ′, ζ′′) ≠ 0 wtedy i tylko wtedy gdy det(ξ, ξ′, ξ′′) ≠ 0 QED

Pracujmy w pewnym układzie współrze‘dnych niejednorodnych. Krzywa‘ γ można zreparametryzować tak, by det(γ′, γ′′) = 1 (parametryzacje‘ taka‘ nazywamy ekwiafiniczna‘). Wtedy γ′′′(t) = k(t)γ(t) Funkcje‘ k nazywamy krzywizna‘ ekwiafiniczna‘ krzywej γ.

Lemat 3

Niech det(γ′, γ′′) = 1. Wtedy dla każdego t ∈ (−ϵ, ϵ) istnieje jedyna niezdegenerowana konika Γ(t) styczna rze‘du 4 do γ w γ(t) (tzw. ściśle styczna lub oskuluja‘ca). Przyporza‘dkowanie t ↦ Γ(t) jest gładkie. Γ(t) jest styczna rze‘du 5 do γ w γ(t) wtedy i tylko wtedy gdy k′_{γ}(t) = 0.

Dowód:

Kosztem zmiany parametryzacji możemy założyć że t = 0. Rozwińmy γ w szereg Taylora w otoczeniu γ(0):

(2.4)  γ(s) = sγ′(0) + \frac{1}{2}s^{2}γ′′(0) + \frac{1}{6}s^{3}γ′′′(0) + ...

Załóżmy, że nasza parametryzacja jest ekwiafiniczna. Wtedy

(2.5)  \begin{aligned}γ′′′ & = kγ′ \\ γ^{′ν} & = k′γ′ + kγ′′ \\ γ^{ν} & = (k′ + k^{2})γ′ + 2k′γ′′ \end{aligned}

Wstawiaja‘c (2.5) do (2.4) dostajemy

(2.6) γ(s) = (s + k(0)\frac{s^{3}}{6} + k′(0)\frac{s^{4}}{24})γ′(0) + (\frac{s^{2}}{2} + k(0)\frac{s^{4}}{24} + k′(0)\frac{s^{5}}{120})γ′′(0) + O(s^{6})

W układzie współrze‘dnych takim, że γ′(0) = (1, 0), γ′′(0) = (0, 1) rozważmy konike‘ zadana‘ równaniem

(2.7)  F_{0}(x, y) = x^{2} − 2y − k(0)y^{2}

Podstawiaja‘c (2.6) do (2.7) dostajemy

(2.8)  F_{0}(x(s), y(s)) = k′(0)\frac{s^{5}}{120} + O(s^{6})

F_{0} zadaje wie‘c (w myśl lematu 1) konike‘ Γ(0). Jedyność Γ(0) wynika z naste‘puja‘cego lematu, który be‘dzie udowodniony w §4 :

Lemat 4

Jeśli dwie koniki sa‘ styczne rze‘du 4 w pewnym punkcie, to sa‘ one równe.

Zauważmy, że konika zadana równaniem (2.7) w gładki sposób zależy od γ(0), γ′(0), γ′′(0) i k(0). Ale γ(t), γ′(t), γ′′(t) i k(t) sa‘ gładkimi funkcjami t, zatem Γ(t) gładko zależy od t.

Ostatnia teza lematu jest natychmiastowa‘ konsekwencja‘ wzoru (2.8).

QED

Uwagi

1. Z lematu wynika, że warunek k′ ≠ 0 jest rzutowo niezmienniczy (ponieważ konika ściśle styczna i rza‘d styczności sa‘ rzutowo niezmiennicze).

2. Γ(t) zależy tylko od 4–dżetu krzywej γ w γ(t).

Przyporza‘dkowaliśmy wie‘c krzywej γ w RP^{2} krzywa‘ Γ w przestrzeni konik. Zajmiemy sie‘ teraz własnościami krzywej Γ i zwia‘zanymi z nimi własnościami przestrzeni konik.

§3 Krzywe dualne nie sa‘ dowolne

Przestrzeń konik jest projektywizacja‘ P(SM_{3}) przestrzeni macierzy symetrycznych 3×3 o współczynnikach rzeczywistych; macierzy

( \begin{matrix}a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{matrix} )

odpowiada konika ax^{2} + 2bxy + cy^{2} + 2dx + 2ey + f = 0. Każdej krzywej γ(t) w RP^{2} spełniaja‘cej warunek det(γ′, γ′′) ≠ 0 można przyporza‘dkować krzywa‘ Γ(t) w P(SM_{3}) – krzywa‘ konik ściśle stycznych do γ.

Rozważmy pewne podniesienia γ i Γ do krzywych w R^{3}\{0} i SM_{3}\{0}; te podniesienia nazwijmy również γ i Γ.

Ścisła styczność oznacza

(3.1)  \frac{d^{k}}{ds^{k}} [^{t}γ(s)Γ(t)γ(s)]|_{s=t} = 0 dla k = 0, 1, 2, 3, 4

dla wszystkich t z dziedziny γ. Rozpiszmy wszystkie te pochodne:

w_{0}(Γ, γ) = ^{t}γΓγ
w_{1}(Γ, γ) = ^{t}γ′Γγ +^{t}γΓγ′
w_{2}(Γ, γ) = ^{t}γ′′Γγ + 2 ^{t}γ′Γγ′ +^{t}γΓγ′′
w_{3}(Γ, γ) = ^{t}γ′′′Γγ + 3 ^{t}γ′′Γγ′ + 3 ^{t}γ′Γγ′′ +^{t}γΓγ′′′
w_{4}(Γ, γ) = ^{t}γ^{′ν}Γγ + 4 ^{t}γ′′′Γγ′ + 6 ^{t}γ′′Γγ′′ + 4 ^{t}γ′Γγ′′′ +^{t}γΓγ^{′ν}

Każde w_{k}(γ, Γ) jest tożsamościowo równa‘ 0 funkcja‘ t. Zróżniczkujmy teraz w_{0}, w_{1}, w_{2} i w_{3} wzgle‘dem t:

0 = w′_{0}(Γ, γ) = w_{0}(Γ′, γ) + w_{1}(Γ, γ)
0 = w′_{1}(Γ, γ) = w_{1}(Γ′, γ) + w_{2}(Γ, γ)
0 = w′_{2}(Γ, γ) = w_{2}(Γ′, γ) + w_{3}(Γ, γ)
0 = w′_{3}(Γ, γ) = w_{3}(Γ′, γ) + w_{4}(Γ, γ)

Sta‘d mamy w_{0}(Γ′, γ) = w_{1}(Γ′, γ) = w_{2}(Γ′, γ) = w_{4}(Γ′, γ) = 0. To jednak oznacza, że

(3.2)  \frac{d^{k}}{ds^{k}} [^{t}γ(s)Γ′(t)γ(s)]|_{s=t} = 0 dla k = 0, 1, 2, 3

Na poziomie krzywych w RP^{2} (nie podniesionych) znaczy to, że Γ′(t) jest styczna rze‘du 3 do γ w punkcie γ(t). Można też wyrazić to naste‘puja‘co: koniki Γ(t) i Γ′(t) sa‘ styczne rze‘du 3 w punkcie γ(t).

§4 Przestrzeń konik

Relacja styczności wyższego rze‘du mie‘dzy konikami jest ściśle zwia‘zana z geometria‘ działania P GL(3) na przestrzeni konik P(SM_{3}) (indukowanego przez działanie P GL(3) na RP^{2}). Opiszemy wie‘c najpierw orbity tego działania.

A) Macierze (ie klasy macierzy modulo skalowanie) zadaja‘ce formy sygnatury (2,1) lub (1,2). Wszystkie one sa‘ równoważne przez działanie P GL(3) macierzy

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Macierze takie zadaja‘ niezdegenerowane niepuste koniki w RP^{2}. W tej orbicie przyjmuja‘ swe wartości krzywe dualne Γ. Orbite‘ ta‘ be‘dziemy oznaczać przez OK.

B) Macierze określone (sygnatury (3,0) lub (0,3)), równoważne macierzy

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

zadaja‘ koniki puste. Oznaczenie: Z.

Zbiór D = {A | detA = 0} macierzy zdegenerowanych, czyli sprowadzalnych do postaci

( \begin{matrix}a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

rozpada sie‘ na trzy orbity.

C) V = {A | rza‘d A = 0} (rozmaitość Veronese). Takie macierze zadaja‘ podwójne proste w RP^{2}.

D) V_{+} = {A | sygnatura A = (1, 1)}. Takie macierze zadaja‘ w RP^{2} pary prostych. E) V_{−} = {A | sygnatura A = (2, 0) lub (0, 2)}. Takie macierze zadaja‘ punkty w RP^{2}

(ze struktura‘ konforemna‘ na przestrzeni stycznej).

Uwaga

V jest włożona‘ podrozmaitościa‘ P(SM_{3}), dyfeomorficzna‘ z RP^{2}. D jest suma‘ wszystkich prostych w P(SM_{3}) które można poprowadzić przez dwa punkty V (lub które sa‘ styczne do V). Z jest otwarta‘ kula‘, której brzegiem jest V_{+} ∪ V_{−}.

Powyższe własności orbit dobrze ilustruje naste‘puja‘cy dwuwymiarowy rysunek:

Interesować nas be‘dzie zbiór konik stycznych ustalonego rze‘du do pewnej koniki C ∈ OK w punkcie p ∈ C. Ponieważ P GL(3) działa tranzytywnie na parach (C, p) (p ∈ C ∈ OK), wie‘c możemy wybrać do rachunku dowolna‘ konike‘ i dowolny punkt na niej. Wybierzmy C = {x^{2} + y^{2} = 1} i p = (1, 0) (w pewnym układzie współrze‘dnych niejednorodnych). Sparametryzujmy C przez ϕ: s ↦ (sin(s), cos(s)). Rozważmy konike‘

(4.1)  A(x, y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2} + 2dx + 2ey + f

Aby wyliczyć jej rza‘d styczności z C w p należy stwierdzić ile kolejnych pochodnych \frac{d^{n}}{ds^{n}} [A(ϕ(s))]|_{s=0} zeruje sie‘. Ze wzoru (4.1) łatwo rachujemy:

(4.2)  \begin{aligned}\frac{d^{0}}{ds^{0}} A(ϕ(s))|_{s=0} & = a + 2d + f \\ \frac{d}{ds} A(ϕ(s))|_{s=0} & = 2b + 2e \\ \frac{d^{2}}{ds^{2}} A(ϕ(s))|_{s=0} & = −2a + 2c − 2d \\ \frac{d^{3}}{ds^{3}} A(ϕ(s))|_{s=0} & = −8b − 2e \\ \frac{d^{4}}{ds^{4}} A(ϕ(s))|_{s=0} & = 8a − 8c + 2d \end{aligned}

Niech Si_{p}(A) = {A | A jest styczne rze‘du i do C w p}. Z (4.2) wynika natychmiast, że

(4.3)  \begin{aligned}S0_{p}(C) & = \{( \begin{matrix}a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & −a − 2d \end{matrix} )\} \\ S1_{p}(C) & = \{( \begin{matrix}a & b & d \\ b & c & −b \\ d & −b & −a − 2d \end{matrix} )\} \\ S2_{p}(C) & = \{( \begin{matrix}a & b & d \\ b & a + d & −b \\ d & −b & −a − 2d \end{matrix} )\} \\ S3_{p}(C) & = \{( \begin{matrix}a & 0 & d \\ 0 & a + d & 0 \\ d & 0 & −a − 2d \end{matrix} )\} \\ S4_{p}(C) & = \{( \begin{matrix}a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & −a \end{matrix} )\} \end{aligned}

Uwaga Z ostatniej równości wynika lemat 4.

Niech Si(C) = ⋃{Si_{p}(C) | p ∈ C}.Naszym najbliższym celem jest opis

• S3_{p}(C) w sposób jawnie P GL(3)–niezmienniczy — bez użycia układu współrze‘dnych,

• S3(C) w terminach działania P GL(3) na P(SM_{3}), bez odwoływania sie do RP^{2}.

Fakt 1

S3_{p}(C) to pe‘k konik (ie prosta w P(SM_{3})) zawieraja‘cy C i podwójna‘ prosta‘ styczna‘ do C w p. Ta podwójna prosta jest jedyna‘ konika‘ zdegenerowana‘ w S3_{p}(C).

Dowód:

Teza jest P GL(3)–niezmiennicza, wie‘c wystarczy rozważyć przypadek C = {x^{2} +y^{2} = 1} i p = (1, 0). Z (4.3) widać, że S3_{p}(C) jest pe‘kiem, i oczywiście C ∈ S3_{p}(C). Policzmy wyznacznik macierzy z (4.3):

(4.4)  det ( \begin{matrix}a & 0 & d \\ 0 & a + d & 0 \\ d & 0 & −a − 2d \end{matrix} ) = −(a + d)^{3}

Zatem w pe‘ku jest jedyna konika zdegenerowana (dla a = −d) i jest nia‘ podwójna prosta styczna do C w p:

(4.5)  ( \begin{matrix}−d & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 \\ d & 0 & d \end{matrix} ) ↔ −d(x − 1)^{2}

QED Fakt 2 By otrzymać zbiór S3(C) należy w zbiorze V wszystkich podwójnych prostych znaleźć

brzeg zbioru {P ∈ V | pe‘k zawieraja‘cy P i C przecina Z}, a naste‘pnie wzia‘ć stożek nad tym brzegiem o wierzchołku w C.

Dowód: Rozważmy zbiór wszystkich pe‘ków przez C i podwójne proste. Jeśli podwójna prosta przecina C, to w pe‘ku zawieraja‘cym ja‘ i C nie ma konik pustych

(każdy element tego pe‘ku zeruje sie‘ w punktach przecie‘cia podwójnej prostej i C).

Jeśli podwójna prosta jest rozła‘czna z C, to można znaleźć w pe‘ku zawieraja‘cym ja‘ i C element zadaja‘cy konike‘ pusta‘ (można tak wybrać przekształcenie rzutowe, by podwójna prosta leżała w nieskończoności a C = {x^{2} + y^{2} = 1}; wtedy konika x^{2} + y^{2} + 1 = 0 leży w pe‘ku i jest pusta).

S3(C) powstaje jako stożek nad zbiorem podwójnych prostych stycznych do C — zbiór ten jest wspólnym brzegiem wyróżnionych wyżej zbiorów: {P ∈ V | P ∩ C ≠ ∅} oraz {P ∈ V | P ∩ C = ∅} = {P ∈ V | pe‘k zawieraja‘cy P i C przecina Z}

QED

§5 Dualność

Zdefiniujmy rozmaitość incydencyjna‘

I = {(p, C) ∈ RP^{2} × OK | p ∈ C}.

Niech p_{1}: I → RP^{2} i p_{2}: I → OK be‘da‘ rzutami. Zdefiniujmy dwuwymiarowa‘ dystrybucje‘ F na I. Podprzestrzeń F_{(p,C)} w T_{(p,C)}I jest rozpie‘ta przez wektory styczne do naste‘puja‘cych krzywych:

• (p_{t}, C), gdzie p_{t} przebiega konike‘ C, p_{0} = p

• (p, C_{t}), gdzie C_{t} przebiega pe‘k konik stycznych rze‘du 3 do C w p, C_{0} = C. Każdej krzywej niezdegenerowanej γ w RP^{2} można przyporza‘dkować “podniesienie”

be‘da‘ce krzywa‘ γ̃ w I: γ̃(t) = (γ(t), konika styczna rze‘du 4 do γ w γ(t))

Podobnie, każdej krzywej Γ w OK, takiej że Γ′(t) ∈ S3(Γ(t))\{0}, można przyporza‘dkować Γ̃ w I, Γ̃(t) = (p | Γ′(t) ∈ S3_{p}(Γ(t)), Γ(t)).

Kluczowe dla zagadnienia dualności sa‘ punkty A i C naste‘puja‘cego lematu:

Lemat 5 A) Jeśli η jest krzywa‘ w I, taka‘ że \frac{d}{dt}(p_{1} ∘ η) ≠ 0, to

η = p̃_{1} ∘ η ⟺ η jest kontrolowana przez F.

B) Jeśli γ jest niezdegenerowana‘ krzywa‘ w RP^{2}, to

\frac{d}{dt}(p_{2} ∘ γ̃)(t) ≠ 0 ⟺ k′(t) ≠ 0

(k jest krzywizna‘ ekwiafiniczna‘ w dowolnym układzie współrze‘dnych).

C) Jeśli η jest krzywa‘ w I, taka‘ że \frac{d}{dt}(p_{2} ∘ η) ≠ 0, to

η = p̃_{2} ∘ η ⟺ η jest kontrolowana przez F

.

D) Jeśli Γ jest krzywa‘ w OK o nie znikaja‘cym wektorze stycznym, kontrolowana‘ przez S3, to

\frac{d}{dt}(p_{1} ∘ Γ̃)(t) ≠ 0 ⟺ Γ′(t) i Γ′′(t) sa‘ liniowo niezależne

.

Uwaga

Punkty A i C można interpretować tak:

I można interpretować jako przestrzeń niesparametryzowanych niezdegenerowanych 4–dżetów krzywychw RP^{2}, ba‘dź jako przestrzeń niesparametryzowanych niezerowych 1– dżetów krzywych w OK; na tych przestrzeniach dżetów sa‘ określone dystrybucje holonomii, które przy utożsamieniu z I obie identyfikuja‘ sie‘ z F.

Dowód lematu 5:

5.A) η–krzywa w I, \frac{d}{dt}(p_{1} ∘ η) ≠ 0. Ustalmy pewien układ współrze‘dnych w RP^{2}. Zadanie pary (p, C) ∈ I jest równoważne zadaniu pierwszych dwóch pochodnych koniki C w p (w parametryzacji ekwiafinicznej) i jej krzywizny ekwiafinicznej. Tak wie‘c krzywa‘ η można reprezentować (lokalnie) jako (γ, v_{1}, v_{2}, k), gdzie γ = p_{1} ∘ η, v_{1}, v_{2} sa‘ polami wektorowymi wzdłuż γ, k : (−ϵ, ϵ) → R. Zmieńmy parametryzacje‘ η tak, by γ była sparametryzowana ekwiafinicznie. Wtedy warunek η = γ̃ można zapisać równaniami:

(5.1)  \{ \begin{matrix}γ′ = v_{1} \\ v′_{1} = v_{2} \\ v′_{2} = kv_{1} \end{matrix}

Jeśli powrócić do dowolnej parametryzacji to (5.1) można zapisać jako

(5.2)  η′ = (γ′, v′_{1}, v′_{2}, k′) = t(v_{1}, v_{2}, kv_{1}, 0) + s(0, 0, 0, 1)

dla pewnych t, s ∈ R.

Ale wektory (v_{1}, v_{2}, kv_{1}, 0) i (0, 0, 0, 1) sa‘ dokładnie wektorami stycznymi do krzywych rozpinaja‘cych F_{(γ,v_{1},v_{2},k)} wymienionych w definicji F. Zatem η = γ̃ ⟺ η′ ∈ F_{η}. QED

5.B) Sparametryzujmy γ ekwiafinicznie. Wówczas γ̃′ = 1(v_{1}, v_{2}, kv_{1}, 0) + k′(0, 0, 0, 1) [oznaczenia z dowodu 5.A]. Zauważmy, że Dp_{2}(v_{1}, v_{2}, kv_{1}, 0) = 0, zaś Dp_{2}(0, 0, 0, 1) ≠ 0. Zatem Dp_{2}(γ̃′) ≠ 0 ⟺ k′ ≠ 0.

QED

5.C) η–krzywa w I, \frac{d}{dt}(p_{2} ∘η) ≠ 0. Ustalmy pewien układ współrze‘dnych niejednorodnych w P(SM_{3}). Zadanie pary (p, C) ∈ I jest równoważne zadaniu pe‘ku konik stycznych rze‘du 3 do C w p, do czego wystarcza wektor styczny do tego pe‘ku zaczepiony w C. Tak wie‘c krzywa‘ η można reprezentować (lokalnie) jako (Γ, v), gdzie Γ = p_{2} ∘ η a v jest jednostkowym polem wektorowym wzdłuż Γ, v(t) ∈ S3(Γ(t)). Sparametryzujmy η tak, by |Γ′| = 1. Wtedy η = Γ̃ można zapisać równaniem Γ′ = v, które w dowolnej parametryzacji jest równoważne warunkowi

(5.3)  η′ = (Γ′, v′) = t(v, 0) + s(0, v^{⊥})

gdzie v^{⊥} jest wektorem stycznym do {v ∈ S3(Γ(t)) | |v| = 1}. Ale wektory (0, v^{⊥}) i (v, 0) sa‘ dokładnie wektorami stycznymi do krzywych rozpinaja‘cych F_{(Γ,v)} wymienionych w definicji F.

Zatem η = Γ̃ ⟺ η′ ∈ F_{η} QED

5.D) W oznaczeniach z dowodu 5.C: Γ̃′ = t(Γ′, 0) + s(0, Γ^{′⊥}), Dp_{1}(v, 0) = 0,

Dp_{1}(0, v^{⊥}) ≠ 0. Zatem Dp_{1}(Γ̃′) ≠ 0 ⟺ s ≠ 0 ⟺ Γ′, Γ′′ sa‘ liniowo niezależne. QED

Zauważmy, że γ ↦ Γ = p_{2} ∘ γ̃ przypisuje krzywej γ krzywa‘ konik ściśle stycznych. Z lenatu 5 wynika, że Γ ↦ γ = p_{1} ∘ Γ̃ jest transformata‘ odwrotna‘, jeśli ograniczyć sie‘ do pewnych klas krzywych γ, Γ. Opiszemy jeden (“najmniejszy sensowny”) z możliwych wyborów tych klas.

Niech

K = \{η: (−ϵ, ϵ) → I | \frac{d}{dt}(p_{1} ∘ η)(t) ≠ 0, \frac{d}{dt}(p_{2} ∘ η)(t) ≠ 0, η jest kontrolowana przez F\}.

Wtedy γ ↦ Γ i Γ ↦ γ sa‘ wzajemnie odwrotnymi bijekcjami mie‘dzy K_{1} = {p_{1} ∘ η | η ∈ K} a K_{2} = {p_{2} ∘ η | η ∈ K}. K_{1} i K_{2} można zapisać naste‘puja‘co:

K_{1} = \{γ: (−ϵ, ϵ) → RP^{2} | γ′ ≠ 0, γ niezdegenerowana, \frac{d}{dt}(p_{2} ∘ γ̃)(t) ≠ 0\}
K_{2} = \{Γ: (−ϵ, ϵ) → OK | Γ′ ≠ 0, Γ kontrolowana przez S3, \frac{d}{dt}(p_{1} ∘ Γ̃)(t) ≠ 0\}

Używaja‘c lematu 5.B,D możemy zapisać K_{1} i K_{2} w sposób całkowicie wewne‘trzny (nie odwołuja‘cy sie‘ do I oraz podniesień), otrzymuja‘c naste‘puja‘ce

Twierdzenie (o dualności)

Transformaty γ ↦ p_{2} ∘ γ̃ i Γ ↦ p_{1} ∘ Γ̃ sa‘ wzajemnie odwroj3tnymi bijekcjami mie‘dzy naste‘puja‘cymi klasami krzywych:

K_{1} = {γ: (−ϵ, ϵ) → RP^{2} | det(γ′, γ′′) ≠ 0, k′_{γ} ≠ 0}
K_{2} = {Γ: (−ϵ, ϵ) → OK | Γ kontrolowana przez S3, Γ′, Γ′′ sa‘ liniowo niezależne }

.

§6 Lemat Knesera

Niech Z̄ be‘dzie zwartym zbiorem wypukłym w R^{n}, 0 ∈ intZ̄. Dla x ∈ R^{n} niech C_{x} oznacza zbiór takich wektorow v ∈ R^{n}, że półprosta poprowadzona z x w kierunku v zahacza o zbiór Z̄:

(5.1)  C_{x} = {v ∈ R^{n} | (∃t ∈ R^{+})(x + tv ∈ Z̄)}.

Niech też

(5.2)  C_{x}^{a} = {x} ∪ (x + C_{x} \ Z̄ + C_{x}).

Lemat 6 (oczywisty)

y ∈ C_{x}^{a} ⇒ C_{y}^{a} ⊆ C_{x}^{a}, C_{x} ⊆ C_{y}

Lemat 7

Niech Γ: (−L, L) → R^{n}\Z̄ be‘dzie krzywa‘ klasy C^{1} o nie znikaja‘cej pochodnej, taka‘ że Γ′(t) ∈ C_{Γ(t)} dla każdego t. Wtedy z t > t_{0} wynika Γ(t) ∈ C_{Γ(t_{0})}^{a}.

Dowód:

1) Załóżmy, że dla każdego t Γ′(t) ∈ intC_{Γ(t)}.

Wtedy dla każdego t istnieje takie δ, że

(6.3)  Γ([t, t + δ)) ⊆ C_{Γ(t)}^{a}.

Dla t = t_{0} wybierzmy δ = δ_{0} najwie‘ksze spełniaja‘ce (6.3). Jeśli t_{0} + δ_{0} < L, to Γ(t_{0} + δ_{0}) leży w brzegu C_{Γ(t_{0})}^{a} (liczonym w przestrzeni R^{n}\Z̄). Wtedy jednak, na mocy warunku (6.3) dla t = t_{0} + δ_{0}, istnieje δ_{1}, takie że

(6.4)  Γ([t_{0} + δ_{0}, t_{0} + δ_{0} + δ_{1})) ⊆ C_{Γ(t_{0}+δ_{0})}^{a} ⊆ C_{Γ(t_{0})}^{a}

(ostatnie zawieranie wynika z lematu 6). Wówczas δ_{0} można zwie‘kszyć — sprzeczność. Zatem t_{0} + δ_{0} = L

2) Bez dodatkowych założeń:

Możemy przyja‘ć t_{0} = 0. Niech v be‘dzie otwartym otoczeniem 0 zawartym w Z̄. Połóżmy

(6.5)  r_{ϵ} = −ϵ\frac{Γ(0)}{|Γ(0)|} , Γ_{ϵ}(t) = Γ(t) + tr_{ϵ}.

Ustalmy ϵ_{0}, l > 0 tak, by dla ϵ < ϵ_{0}, 0 ≤ t ≤ l zachodziło Γ_{ϵ}(t) ∈ Γ(0) + V. Wtedy

(6.6)  Γ_{ϵ}(t) = Γ(t) + tr_{ϵ} ∈ C_{Γ(t)}^{a}

Dalej, Γ′(t) ∈ C_{Γ(t)} implikuje

(6.7)  Γ′_{ϵ}(t) = Γ′(t) + r_{ϵ} ∈ intC_{Γ(t)} ⊆ intC_{Γ(t)+tr_{ϵ}} = intC_{Γ_{ϵ}(t)}

Teraz możemy zastosować pierwsza‘ cze‘ść dowodu do krzywej Γ_{ϵ}(t) i dostać

(6.8)  Γ_{ϵ}(t) ∈ C_{Γ(0)}^{a}

dla ϵ < ϵ_{0}, 0 ≤ t ≤ l. Przechodza‘c z ϵ do 0 dostajemy

(6.9)  Γ(t) ∈ C_{Γ(0)}^{a}

dla 0 ≤ t ≤ l. Pokazaliśmy w ten sposób, że dla każdego t istnieje δ(= l), takie że zachodzi (6.3). Dalej argument jest dokładnie taki sam jak w pierwszej cze‘ści dowodu. QED

Stosuja‘c lemat 7 do krzywych dualnych w przestrzeni konik udowodnimy teraz naste‘- puja‘cy

Lemat Knesera

Koniki ściśle styczne do niezdegenerowanej krzywej w RP^{2} bez ekstremów krzywizny ekwiafinicznej tworza‘ zagnieżdżona‘ rodzine‘ rozła‘cznych krzywych.

Uwaga

Rodzina konik Γ(s) jest zagnieżdżona jeśli dla s_{0} < s_{1} obszar ścia‘galny ograniczany przez Γ(s_{0}) (w RP^{2}) jest zawarty w ścia‘galnym obszarze ograniczanym przez Γ(s_{1}).

Dowód (lematu Knesera):

W dowodzie używać be‘dziemy oznaczeń wprowadzonych w §4.

Rozważmy funkcjonał śladu tr: SM_{3} → R.

Lemat 8

P(tr^{−1}(0)) ∩ (Z ∪ V ∪ V_{−}) = ∅

Dowód:

Ślad macierzy symetrycznej można liczyć w bazie diagonalizuja‘cej macierz. Macierze reprezentuja‘ce elementy Z∪V ∪V_{−} sa‘ półokreślone i niezerowe, zatem ich ślady sa‘ dodatnie. QED

Zauważmy, że we współrze‘dnych niejednorodnych, w których P(tr^{−1}(0)) jest hiperpłaszczyzna‘ w nieskończoności, Z ∪ V ∪ V_{−} jest wypukłym zbiorem zwartym o niepustym wne‘trzu (Z jest wypukły otwarty, a V ∪V_{−} to jego brzeg). Dokonuja‘c, być może, translacji, możemy założyć że 0 ∈ Z. Be‘dziemy używać oznaczeń (6.1) i (6.2) rozumieja‘c je w tym układzie współrze‘dnych.

Rozważmy teraz krzywa‘ Γ(t) w P(SM_{3}) dualna‘ do pewnej krzywej niezdegenerowanej γ(t) w RP^{2}. Możemy przyja‘ć, że tr(Γ(t)) > 0 dla t ∈ (−ϵ, ϵ)(Jeśli nie, to zmieniamy hiperpłaszczyzne‘ wysyłana‘ do nieskończoności; można to łatwo zrobić, gdyż Z̄ jest zwarty). Z twierdzenia o dualności i faktu 2 (z §4) wiemy, że Γ′(t) ma kierunek taki jak prosta ła‘cza‘ca Γ(t) z pewnym punktem z V ⊂ ∂Z̄. W szczególności Γ′(t) ∈ C_{Γ(t)}, i, w myśl lematu 7, Γ(t) ∈ C_{Γ(t_{0})}^{a} dla t > t_{0}. Teraz z niezdegenerowania γ wywnioskujemy warunek mocniejszy:

Lemat 9 Γ(t) ∈ intC_{Γ(t_{0})}^{a}

Dowód:

Załóżmy nie wprost, że Γ(t) ∈ ∂C_{Γ(t_{0})}^{a} dla pewnych t > t_{0}. Wtedy dla s ∈ [t, t_{0}] mamy Γ(t) ∈ ∂C_{Γ(s)}^{a}, ska‘d też Γ(s) ∈ ∂C_{Γ(t_{0})}^{a} (inaczej byłoby C_{Γ(s)}^{a} ⊆ intC_{Γ(t_{0})}^{a}. Co wie‘cej, dla każdej pary s_{0} < s_{1} z przedziału [t_{0}, t] mamy Γ(s_{1}) ∈ ∂C_{Γ(s_{0})}^{a},co oznacza, że Γ(s_{0}) i Γ(s_{1}) sa‘ styczne w pewnym punkcie i nie maja‘ transwersalnych punktów przecie‘cia (mała deformacja wsuwaja‘ca Γ(s_{1}) do wne‘trza C_{Γ(s_{0})} usuwa wszelkie punkty wspólne Γ(s_{0}) i Γ(s_{1})). W stosownym układzie współrze‘dnych na RP^{2} {Γ(s)} tworzy rodzine‘ elips w cia‘gły sposób zależnych od parametru s i taka‘, że każde dwa jej elementy sa‘ styczne do siebie. W otoczeniu punktu styczności elips każda z nich leży po jednej stronie drugiej; sta‘d

s_{0} < s_{1} ⟺ Γ(s_{0}) jest zawarta w domknie‘ciu obszaru ograniczonego przez Γ(s_{1}).

W szczególności wszystkie elipsy Γ(s) sa‘ zawarte pomie‘dzy Γ(t) i Γ(t_{0}), wie‘c musza‘ być wszystkie styczne do pewnej podwójnej prostej B przechodza‘cej przez punkt p styczności Γ(t) i Γ(t_{0}) (w tymże punkcie). Wówczas jednak Γ|_{[t_{0},t]} przyjmuje wartości w

W = {C ∈ SM_{3} | C jest styczne do B w p}.

W jest trójwymiarowa‘ rzutowa‘ podprzestrzenia‘ SM_{3}, wie‘c mamy też Γ′ ∈ W. Ale Γ i Γ′ zadaja‘ pe‘k, który przechodzi przez podwójna‘ prosta‘ styczna‘ do Γ i leża‘ca‘ w W. Podwójne proste leża‘ce w W to podwójne proste przechodza‘ce przez p; spośród nich jedynie B jest styczna do nieosobliwych konik z W, w szczególności do Γ. Zatem Γ′ i Γ zadaja‘ pe‘k zawieraja‘cy B, a sta‘d wynika, że Γ|_{[t_{0},t]} porusza sie‘ (w SM_{3}) po pe‘ku wyznaczonym przez Γ(t_{0}) i B. To oznacza, że γ|_{[t_{0},t]} ≡ p, co jest sprzeczne z γ′ ≠ 0. QED

Z lematu 9 wynika, że pe‘k poprowadzony przez Γ(t) i Γ(t_{0}) przecina Z, czyli że koniki Γ(t) i Γ(t_{0}) sa‘ rozła‘czne. QED