INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO

Tadeusz Pytlik

ANALIZA FUNKCJONALNA

Wrocław 2000

Wstęp

Analiza funkcjonalna, to dziedzina matematyki, która już od początku lat 30-tych, gdy powstawała, była entuzjastycznie przyjmowana przez matematyków. Wielbicielom dawała nowy język matematyczny i nowe, atrakcyjne narzędzie pracy. Dawała im też nową perspektywę patrzenia na matematykę.

Dziś stale jeszcze jest atrakcyjna, choć została już nieco nadwątlona przez upływający czas. Przyjęła też tytuł dziedziny �klasycznej”. Osobiście uważam, że po drobnych korektach urody i przy dobrym makijażu może być jeszcze bardzo pociągająca — szczególnie dla studentów, którzy jej wcześniej nie znali.

Skrypt niniejszy został opracowany na podstawie materiałów i notatek z wykładów analizy funkcjonalnej, które prowadziłem przez wiele lat na Uniwersytecie Wrocławskim. Został on uzupełniony o zadania i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązywania. Wskazówki do zadań i ich rozwiązania można znaleźć na końcu skryptu. Niestety w trakcie opracowywania przypadkowo uległy przetasowaniu i mimo prób nie udało mi się ustawić ich w kolejności numerów, za co bardzo serdecznie przepraszam.

Zakres materiału i poruszanych zagadnień w zasadzie odpowiada programowi typowego wykładu analizy funkcjonalnej. Potocznie mówiąc jest to �Elementarz” i �pół podręcznika do drugiej klasy”. Tych, którym nie wystarczy ta dodatkowa �połówka” odsyłam od razu do innych, lepszych podręczników analizy funkcjonalnej. Spis takich podręczników zamieściłem na końcu skryptu.

Ponieważ do śledzenia rozumowań i rozwiązywania zadań potrzebna jest pewna wiedza z innych dziedzin matematyki, analizy matematycznej, algebry liniowej, teorii funkcji zmiennej zespolonej, topologii oraz teorii miary i funkcji rzeczywistych, dodatek na końcu skryptu zawiera zestaw koniecznych faktów i twierdzeń, podanych z dowodami lub odsyłaczami do literatury.

Tadeusz Pytlik

Wrocław, grudzień 2000

ROZDZIAŁ I

PRZESTRZENIE BANACHA

Przestrzenie unormowane

Podstawowe własności

Funkcję rzeczywistą ∥ ∥ na przestrzeni liniowej X nazywamy normą, jeżeli 1. ∥0∥ = 0 i ∥x∥ > 0 gdy x ≠ 0,

2. ∥x + y∥ ∥x∥ + ∥y∥ (podaddytywność),

3. ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ (jednorodność). Przestrzeń liniową, w której określona jest norma nazywamy przestrzenią liniową unormowaną (lub krótko przestrzenią unormowaną). Często dla podkreślenia, co jest normą w przestrzeni liniowej X, będziemy pisać (X, ∥ ∥).

Norma w przestrzeni liniowej X wyznacza metrykę wzorem

ρ(x, y) = ∥x − y∥.

W ten sposób przestrzeń unormowana staje się przestrzenią topologiczną metryczną. Ilekroć będzie mowa o własnościach topologicznych przestrzeni unormowanej (X, ∥ ∥), chodzi o topologię zadaną metryką ρ.

Przestrzeń unormowana zupełna nosi nazwę przestrzeni Banacha.

Z określenia normy wynika, że dodawanie wektorów w przestrzeni unormowanej i mnożenie ich przez skalary są operacjami ciągłymi. Ponadto:

1.1. Fakt. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni unormowanej jest podprzestrzenią liniową a domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.

Głównym obiektem naszych zainteresowań będą przestrzenie Banacha. Zupełność przestrzeni pozwala przy badaniu zbieżności ciągu sprawdzać tylko warunek Cauchy’ego.

1.2. Twierdzenie. Każdą przestrzeń unormowaną można uzupełnić do przestrzeni Banacha.

Dowód: Niech X będzie przestrzenią unormowaną a X̃ jej uzupełnieniem metrycznym (patrz ??), tzn. zbiorem klas równoważności ciągów Cauchy’ego. W X̃ można określić strukturę liniową kładąc

[{x_{n}}] + [{y_{n}}] = [{x_{n} + y_{n}}], λ[{x_{n}}] = [{λx_{n}}]

i normę

∥[{x_{n}}]∥ = lim_{n→∞} ∥x_{n}∥.

Uwaga. Udowodnimy później (wniosek ??), że w przestrzeni liniowej s_{0} ciągów, dla których tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera, nie da się wprowadzić normy tak, by była w niej przestrzenią zupełmą.

Szereg ∑_{n=1}^{∞} x_{n} wektorów przestrzeni unormowanej nazywa się zbieżny, jeżeli zbieżny jest ciąg jego sum częściowych s_{n} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n} i nazywa się bezwzględnie zbieżny, jeżeli ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞.

1.3. Zadanie. Na to, by przestrzeń unormowana X była zupełna potrzeba i wystarcza, by każdy szereg bezwzględnie zbieżny był zbieżny.

1.4. Ćwiczenia.

1. W każdej przestrzeni liniowej można określić normę.

2. Każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni unormowanej jest ograniczony.

3. W każdej niezerowej przestrzeni unormowanej istnieje szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny.

Przykłady przestrzeni Banacha

Podamy tu kilka przykładów typowych przestrzeni Banacha.

1.5. Przykład. Zbiór b wszystkich ograniczonych ciągów liczb zespolonych {x_{n}}_{n=1}^{∞} ze zwykłym dodawaniem ciągów i mnożeniem ich przez skalary oraz normą

∥{x_{n}}∥_{∞} = sup_{n} |x_{n}|

tworzy przestrzeń Banacha.

Jest oczywiste, że b jest przestrzenią liniową oraz, że ∥ ∥_{∞} jest normą. Uzasadnienia wymaga jedynie zupełność przestrzeni b. Jeżeli {x_{n}^{1}}, {x_{n}^{2}}, … jest ciągiem Cauchy’ego w b, tzn. dla każdego ε > 0 istnieje takie k_{0}, że

(1. 1)  sup_{n} |x_{n}^{k} − x_{n}^{m}| < ε

dla wszystkich k, m k_{0}, to dla każdego n = 1, 2, 3, … ciąg x_{n}^{1}, x_{n}^{2}, x_{n}^{3}, … jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego, jest zatem zbieżny do pewnej liczby zespolonej x_{n}. Przechodząc w nierówności (1. 1) do granicy przy m → ∞ otrzymujemy

(1. 2)  sup_{n} |x_{n}^{k} − x_{n}| ε.

Wnioskujemy stąd, że {x_{n}} jest ciągiem ograniczonym i że jest granicą ciągu {x_{n}^{1}}, {x_{n}^{2}}, … w normie przestrzeni b.

1.6. Zadanie. Pokazać, że zbiory c wszystkich ciągów zbieżnych oraz c_{0} wszystkich ciągów zbieżnych do zera są domkniętymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni b, są zatem przestrzeniami Banacha w normie odziedziczonej z b.

1.7. Przykład. Zbiór ℓ^{1} wszystkich absolutnie sumowalnych ciągów liczb zespolonych z normą

∥{x_{n}}∥_{1} = ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|

także tworzy przestrzeń Banacha.

Zupełność przestrzeni ℓ^{1} można dowieść podobnie jak zupełność przestrzeni b, należy tylko symbol sup_{n} zastąpić przez ∑_{n=1}^{∞} .

1.8. Przykład. Niech 1 < p < ∞. Oznaczmy przez ℓ^{p} zbiór tych ciągów zespolonych {x_{n}}, dla których ∑ |x_{n}|^{p} < ∞ i oznaczmy

∥{x_{n}}∥_{p} = ( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p}.

Pokażemy, że ℓ^{p} jest przestrzenią liniową a ∥ ∥_{p} normą zupełną. Udowodnimy w tym celu dwie ważne nierówności:

1.9. Nierówność Höldera. Jeśli {x_{n}} ∈ ℓ^{p}, {y_{n}} ∈ ℓ^{q}, gdzie p, q > 1 oraz 1/p + 1/q = 1, to {x_{n}y_{n}} należy do ℓ^{1} i zachodzi nierówność

∑_{n=1}^{∞}|x_{n}y_{n}| ( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p}( ∑_{n=1}^{∞}|y_{n}|^{q})^{1/q}.

Dla dowodu zauważmy najpierw, że

ab \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{q}b^{q} dla dowolnych a, b 0.

Można to łatwo odczytać z rysunku obok, bo

\frac{1}{p}a^{p} = ∫_{0}^{a} s^{p−1} ds oraz \frac{1}{q}b^{q} = ∫_{0}^{b} t^{q−1} dt,

a funkcje t = s^{p−1} oraz s = t^{q−1} są wzajemnie odwrotne.

Jeżeli jedna z sum po prawej stronie nierówności Höldera jest równa zeru, to nierówność oczywiście zachodzi. Jeśli zaś obie sumy, które oznaczymy odpowiednio x^{p} i y^{p}, są różne od zera, to nierówność też jest spełniona, bo mamy

\frac{1}{xy} ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}y_{n}| = ∑_{n=1}^{∞} \frac{|x_{n}|}{x} \frac{|y_{n}|}{y} \frac{1}{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{|x_{n}|^{p}}{x^{p}} + \frac{1}{q} ∑_{n=1}^{∞} \frac{|y_{n}|^{q}}{y^{q}} = 1.

1.10. Nierówność Minkowskiego. Niech p > 1. Jeżeli {x_{n}}, {y_{n}} ∈ ℓ^{p}, to

( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{p})^{1/p} ( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p} + ( ∑_{n=1}^{∞}|y_{n}|^{p})^{1/p}.

Istotnie, stosując nierówność Höldera otrzymujemy

∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{p}  ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{p−1} |x_{n}| + ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{p−1} |y_{n}|

( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p}( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{(p−1)q} )^{1/q}+

+ ( ∑_{n=1}^{∞}|y_{n}|^{p})^{1/p}( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{(p−1)q} )^{1/q} =

= [( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p} + ( ∑_{n=1}^{∞}|y_{n}|^{p})^{1/p}]( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n} + y_{n}|^{p})^{1/q},

gdyż (p − 1)q = p. To daje nierówność Minkowskiego.

Nierówności Minkowskiego oznacza podaddytywność funkcji ∥ ∥_{p}, a to jest jedyna nieoczywista własność normy. Wynika z niej też, że suma ciągów z ℓ^{p} także leży w ℓ^{p}, a więc, że ℓ^{p} jest przestrzenią liniową. Dowód zupełności jest taki jak dla przestrzeni ℓ^{1}.

1.11. Fakt. Jeżeli ciąg x = {x_{n}} należy do ℓ^{p_{0}} , p_{0} 1, to należy także do ℓ^{p} dla p p_{0} oraz

lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} .

Istotnie, dzięki jednorodności normy możemy przyjąć max_{n} |x_{n}| = 1. Wybierając wskaźnik n_{0} tak, aby ∑_{n>n_{0}} |x_{n}|^{p_{0}} 1 otrzymamy ∑_{n>n_{0}} |x_{n}|^{p} 1. Zatem x ∈ ℓ^{p} oraz

1 ( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p} (n_{0} + 1)^{1/p} 1 + \frac{n_{0}}{p} .

Fakt ten wyjaśnia, dlaczego dla normy �supremum” użyliśmy oznaczenia ∥ ∥_{∞} . Dodajmy, że z tego też powodu przestrzeń b często oznaczana jest symbolem ℓ^{∞} .

1.12. Zadanie. Pokazać, że gdy 0 < p < 1, to na zbiorze ℓ^{p} ciągów sumowalnych z p-tą potęgą funkcja

∥{x_{n}}∥_{p} = ( ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p})^{1/p}

nie jest normą. Czy ℓ^{p} jest przestrzenią liniową?

1.13. Przykład. Niech Ω będzie przestrzenią topologiczną z nieujemną miarą borelowską μ oraz S(Ω, μ) zbiorem wszystkich funkcji mierzalnych x : Ω → ℂ, przy czym utożsamimy ze sobą funkcje równe μ-prawie wszędzie. Zbiór ten z naturalnymi działaniami na funkcjach tworzy przestrzenią liniową.

Przez L^{p}(Ω, μ), 1 p < ∞, oznaczymy podprzestrzeń przestrzeni S(Ω, μ) złożoną z tych funkcji x, dla których całka ∫_{Ω} |x(t)|^{p} dt jest skończona. Podobnie jak w przykładzie 1.8 dowodzimy, że funkcja

∥x∥_{p} = ( ∫_{Ω} |x(t)|^{p} dt)^{1/p}

jest normą w L^{p}(Ω, μ). Dowód zupełności przestrzeni L^{1}(Ω, μ) został przedstawiony na stronie ??, zupełność pozostałych przestrzeni L^{p}(Ω, μ), 1 < p < ∞, dowodzi się tak samo.

Oznaczmy ponadto przez L^{∞} (Ω, μ) podprzestrzeń przestrzeni S(Ω, μ), złożoną z funkcji istotnie ograniczonych, tj. funkcji x, dla których wielkość

inf_{{A⊂Ω \atop μ(A)=0}} sup_{t∈Ω\A} |x(t)|

jest skończona. Wielkość tą oznaczany ess sup_{t∈Ω} |x(t)| lub ∥x∥_{∞} i nazywamy supremum istotnym funkcji x. Funkcja ∥ ∥_{∞} jest normą a L^{∞} (Ω, μ) w tej normie przestrzenią zupełną.

Utworzyliśmy w ten sposób całą nową klasę przykładów przestrzeni Banacha, uogólniających przestrzenie ℓ^{p}, 1 p ∞.

Jako modelu przestrzeni (Ω, μ) będziemy używać na ogól prostej rzeczywistej ℝ lub przedziałów (a, b) z miarą Lebesgue’a, płaszczyzny zespolonej ℂ z miarą płaską Lebesgue’a bądź zbioru liczb naturalnych ℕ z miarą �liczącą”, dla której miara zbioru jest jego licznością. Pisanie symbolu (Ω, μ) ma ustrzec przed uciążliwym rozpatrywaniem przypadków oraz wykorzystywaniem dodatkowych własności konkretnych przestrzeni, np. zwartości przestrzeni czy skończoności miary.

1.14. Przykład. Niech T będzie dowolnym zbiorem niepustym. Zbiór B(T) wszystkich funkcji ograniczonych x : T → ℂ jest przestrzenią Banacha w normie ∥x∥_{∞} = sup_{t∈T} |x(t)|.

Gdy za T przyjmiemy zbiór liczb naturalnych ℕ, to przestrzeń B(T) stanie się identyczna z wcześniej wprowadzoną przestrzenią b ciągów ograniczonych.

1.15. Przykład. Niech S będzie przestrzenią topologiczną. Oznaczmy przez C(S) podprzestrzeń przestrzeni B(S) złożoną z wszystkich funkcji ciągłych. Jest to przestrzeń zupełna, bo granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Dla uniknięcia patologicznych przykładów będziemy zawsze zakładali, że S jest przestrzenią topologiczną całkowicie regularną. Typowymi przykładami, do których praktycznie wystarczy się ograniczyć, są przestrzenie C([a, b]) oraz C(ℝ).

Załóżmy, że przestrzeń topologiczna S jest lokalnie zwarta, tzn. każdy punkt w S posiada bazę otoczeń złożoną ze zbiorów zwartych. Oznaczmy przez C_{0}(S) podprzestrzeń C(S) złożoną z tych funkcji x, że dla każdego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K ⊂ S o własności |x(s)| < ε dla s ∉ K. Jest to domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni C(S), jest zatem przestrzenią Banacha. O funkcjach x ∈ C_{0}(S) mówi się czasem, że �znikają w nieskończoności”.

Przestrzenie Banacha c oraz c_{0} opisane w zadaniu 1.6 są szczególnymi przykładami odpowiednio przestrzeni C(S) oraz C_{0}(S). Można je otrzymać np. biorąc za S zbiór \{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …\} z topologią odziedziczoną z prostej ℝ (jest to przestrzeń topologiczna normalna, lokalnie zwarta) i utożsamiając funkcje x na S z ciągami \{x(\frac{1}{n})\}.

Izomorfizm. Równoważność norm

Powiemy, że przestrzenie unormowane X i Y są izomorficzne topologicznie, jeśli istnieje izomorfizm algebraiczny T : X → Y , ciągły jako funkcja z przestrzeni topologicznej X do przestrzeni topologicznej Y i taki, że T^{−1} : Y → X jest także funkcją ciągłą. Izomorfizm nazwiemy izometrycznym (lub krótko izometrią), jeżeli ∥T x∥ = ∥x∥ dla wszystkich x ∈ X.

1.16. Przykład. Rozpatrzmy w przestrzeni ℝ^{2} dwie normy

∥(x_{1}, x_{2})∥_{1} = |x_{1}| + |x_{2}|, ∥(x_{1}, x_{2})∥_{∞} = max{|x_{1}|, |x_{2}|}.

Twierdzimy, choć na pierwszy rzut oka może się to wydać nieprawdopodobne, że przestrzenie (ℝ^{2}, ∥ ∥_{1}) i (ℝ^{2}, ∥ ∥_{∞} ) są izometrycznie izomorficzne. Odwzorowanie identycznościowe izometrią oczywiście nie jest, jest nią za to odwzorowanie (x_{1}, x_{2}) → (x_{1} + x_{2}, x_{1} − x_{2}). Wynika to z równości

max{|x_{1} + x_{2}|, |x_{1} − x_{2}|} = |x_{1}| + |x_{2}|,

którą łatwo sprawdzamy rozpatrując przypadki, gdy liczby x_{1} i x_{2} są tego samego i przeciwnego znaku.

W przestrzeni ℝ^{3} sytuacja jest odmienna, kulą jednostkową w normie ∥ ∥_{1} jest ośmiościan, a w normie ∥ ∥_{∞} sześcian, nie ma zatem odwzorowania liniowego przeprowadzającego jedną z figur na drugą. W przestrzeni ℝ^{n}, n > 3, jest jeszcze gorzej, pierwszą z kul jednostkowych jest wielościan o 2n wierzchołkach, a drugą wielościan o 2^{n} wierzchołkach.

1.17. Przykład. Pokażemy, że przestrzenie c_{0} i c są izomorficznie topologicznie. Pokażemy też, że izometrycznie izomorficzne nie są.

Jest rzeczą jasną, że odwzorowanie T : c_{0} → c , określone wzorem

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{3}, x_{1} + x_{4}, …)

jest algebraicznym izomorfizmem tych przestrzeni a jego odwzorowanie odwrotne T^{−1} : c → c_{0} ma postać

T^{−1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{0}, x_{1} − x_{0}, x_{2} − x_{0}, x_{3} − x_{0}, …),

gdzie x_{0} = lim_{n→∞} x_{n}. Ponieważ ∥T x∥ 2 ∥x∥ dla x ∈ c_{0} i ∥T^{−1} x∥ 2 ∥x∥ dla x ∈ c , więc oba odwzorowania są ciągłe.

Dowód drugiego ze stwierdzeń jest znacznie trudniejszy. Należy wykazać, że żaden z algebraicznych izomorfizmów tych przestrzeni izometrią nie jest. Dla każdego konkretnego izomorfizmu T można zapewne nietrudno wskazać taki element x, że ∥T x∥ ≠ ∥x∥, ale dla wszystkich izomorfizmów takiego uniwersalnego elementu nie ma. Uciekniemy się wobec tego do podobnego rozumowania jak poprzednim przykładzie, pokażemy mianowicie, że domknięta kula jednostkowa K przestrzeni c ma bardzo wiele wierzchołków, a domknięta kula jednostkowa K_{0} przestrzeni c_{0} nie ma ich wcale, nie można zatem w sposób izometryczny przeprowadzić jednej na drugą.

Hasło �wierzchołek kuli K ” zastąpimy jednak bardziej precyzyjnym �punkt ekstremalny kuli K ”. Z definicji jest to każdy punkt x ∈ K, którego nie można przedstawić w postaci x = λy+(1−λ)z dla pewnych y, z ∈ K, y ≠ z i 0 < λ < 1, tj. punkt, który nie leży wewnątrz żadnego odcinka

{λy + (1 − λ)z : 0 λ 1}

łączącego dwa różne punkty y i z kuli K. Jest jasne, że każda izometria przeprowadza punkty ekstremalne jednej kuli na punkty ekstremalne drugiej kuli.

W domkniętej kuli jednostkowej K przestrzeni c punktami ekstremalnymi są wszystkie te punkty x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …), dla których |x_{n}| = 1, n = 1, 2, 3, . . ..

1.18. Fakt. Domknięta kula jednostkowa przestrzeni c_{0} nie ma punktów ekstremalnych.

Dowód: Pokażemy, że każdy element x kuli K_{0} = {x ∈ c_{0} : ∥x∥ 1} jest środkiem pewnego odcinka leżącego całkowicie w K_{0}, tj., że x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z dla pewnych dwóch różnych elementów y i z tej kuli. Jeżeli x ma postać x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …), to |x_{n}| 1 dla n = 1, 2, 3 … oraz x_{n} → 0 przy n → ∞. Wybierzmy wskaźnik n_{0} tak, by |x_{n_{0}}| < 1 i określmy elementy y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, …) i z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}, …) kładąc y_{n} = z_{n} = x_{n} dla n ≠ n_{0} i przyjmując za y_{n_{0}} i z_{n_{0}} takie liczby, by były różne, by |y_{n_{0}}| 1, |z_{n_{0}}| 1 oraz, by x_{n_{0}} = \frac{1}{2}y_{n_{0}} + \frac{1}{2}z_{n_{0}} . Wtedy y, z ∈ K_{0}, y ≠ z oraz x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z.

Definicja. Załóżmy, że w przestrzeni liniowej X dane są dwie normy ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2}. Powiemy, że normy te są równoważne, gdy istnieją takie liczby C_{1} i C_{2}, że

∥x∥_{1} C_{1}∥x∥_{2} oraz ∥x∥_{2} C_{2}∥x∥_{2}

dla wszystkich x ∈ X.

1.19. Twierdzenie. W przestrzeni liniowej X normy ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżność ciągów w normie ∥ ∥_{1} jest równoważne ich zbieżności w normie ∥ ∥_{2}, czyli gdy odwzorowanie tożsamościowe T x = x jest izomorfizmem przestrzeni (X, ∥ ∥_{1}) na przestrzeń (X, ∥ ∥_{2}).

Dowód: Jest jasne, że warunek

∥x∥_{1} C ∥x∥_{2} dla x ∈ X

wystarcza na to, by każdy ciąg zbieżny w normie ∥ ∥_{2} był zbieżny w normie ∥ ∥_{1}. Pokażemy, że warunek ten jest także konieczny.

Jeżeli nierówność

∥x∥_{1} C ∥x∥_{2} dla x ∈ X

nie zachodzi przy żadnej stałej C, to w X istnieje taki ciąg {x_{n}}, że

∥x∥_{1} > n ∥x_{n}∥_{2}, n = 1, 2, 3, ….

Wtedy dla ciągu

y_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}∥x_{n}∥_{2}}x_{n}, n = 1, 2, 3, …

zachodzą nierówności

\begin{matrix}∥y_{n}∥_{1} & = \frac{∥x_{n}∥_{1}}{\sqrt{n}∥x_{n}∥_{2}} > \sqrt{n}, \\ ∥y_{n}∥_{2} & \frac{1}{\sqrt{n}}. \end{matrix}

Wynika z nich, że ciąg {y_{n}} jest zbieżny (do zera) w normie ∥ ∥_{2}, a nie jest zbieżny w normie ∥ ∥_{1} (nie jest nawet ograniczony).

Z powyższego twierdzenia wynika, że algebraiczny izomorfizm T przestrzeni unormowanej (X, ∥ ∥_{X}) na przestrzeń unormowaną (Y, ∥ ∥_{Y} ) jest izomorfizmem topologicznym wtedy i tylko wtedy, gdy w przestrzeni X norma ∥ ∥_{1} = ∥ ∥_{X} i norma ∥ ∥_{2} określona wzorem ∥x∥_{2} = ∥T x∥_{Y} są równoważne.

1.20. Przykład. W przestrzeni C^{1}[0, 1] funkcji mających ciągłą pochodną na przedziale [0, 1] normy

∥x∥_{1} = max_{t∈[0,1]} |x(t)| + max_{t∈[0,1]} |x′(t)|
∥x∥_{2} = |x(0)| + max_{t∈[0,1]} |x′(t)|

są równoważne. Nierówność ∥x∥_{2} ∥x∥_{1} jest oczywista. Z drugiej strony x(t) = x(0) + ∫_{0}^{t} x′(s) ds, więc

max_{t∈[0,1]} |x(t)| |x(0)| + max_{s∈[0,1]} |x′(s)| = ∥x∥_{2},

stąd ∥x∥_{1} 2 ∥x∥_{2}.

1.21. Zadanie. Pokazać, że w przestrzeni C[0, 1] normy

∥x∥_{1} = ∫_{0}^{1} |x(t)| dt, ∥x∥_{2} = max_{t∈[0,1]} |x(t)|

nie są równoważne.

1.22. Twierdzenie. W przestrzeni skończenie wymiarowej każde dwie normy są równoważne. Unormowana przestrzeń skończenie wymiarowa jest zupełna.

Dowód: Określimy w przestrzeni skończenie wymiarowej X pewną normę ∥ ∥_{1} i pokażemy, że każda inna norma ∥ ∥ jest z nią równoważna.

Ustalmy w tym celu bazę Hamela e_{1}, e_{2}, …, e_{m} przestrzeni X i dla elementu x ∈ X postaci

x = ∑_{k=1}^{m}x_{k} e_{k}

połóżmy

∥x∥_{1} = max_{1 k m} |x_{k}|.

Jasne jest, że funkcja ∥ ∥_{1} jest normą na X oraz, że dla dowolnej normy ∥ ∥ na X zachodzi nierówność

∥x∥ C ∥x∥_{1}, x ∈ X.

Wynika to z nierówności

∥x∥ = ∥ ∑_{k=1}^{m}x_{k} e_{k}∥ ∑_{k=1}^{m}|x_{k}|∥e_{k}∥ max_{1 k m} |x_{k}| · ∑_{k=1}^{m}∥e_{k}∥.

Załóżmy, nie wprost, że normy ∥ ∥_{1} i ∥ ∥ nie są równoważne. Możemy więc dla każdej liczby naturalnej n znaleźć taki element x_{n} ∈ X, że

∥x_{n}∥_{1} > n ∥x_{n}∥.

Stąd dla y_{n} = \frac{1}{∥x_{n}∥} x_{n} otrzymamy ∥y_{n}∥_{1} = 1 oraz ∥y_{n}∥ → 0 przy n → ∞. Ciąg {y_{n}} jest zatem zbieżny do zera w normie ∥ ∥. Ciąg ten nie musi być zbieżny w normie ∥ ∥_{1}, ale jako ograniczony, zawiera (na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstras-sa) pewien podciąg zbieżny {y_{n_{k}}}. Dla jego granicy y z jednej strony mamy y ≠ 0, bo ∥y∥_{1} = lim_{k→∞} ∥y_{n_{k}}∥ = 1, a z drugiej y = 0, bo zbieżność w normie ∥ ∥_{1} pociąga zbieżność w normie ∥ ∥. Tu sprzeczność.

Zupełność przestrzeni X w normie ∥ ∥ wynika z twierdzenia 1.19 i oczywistej zupełności X w normie ∥ ∥_{1}.

Ośrodkowość. Bazy topologiczne

Jeżeli przestrzeń unormowana ma podzbiór przeliczalny gęsty, to mówimy, że jest ośrodkowa, a sam podzbiór nazywamy ośrodkiem.

1.23. Fakt. Przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera przeliczalny podzbiór liniowo gęsty P, tzn. \overline{linP} = X.

Istotnie, jeśli zbiór P = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, …} jest liniowo gęsty w X, to kombinacje liniowe postaci λ_{1}x_{1}+ λ_{2}x_{2}+ … + λ_{n}x_{n}, λ_{k} ∈ 𝕎 + i 𝕎, tworzą zbiór przeliczalny gęsty w X.

Każda z przestrzeni ℓ^{p}, 1 p < ∞, jest ośrodkowa, podzbiór przeliczalny gęsty tworzą tu ciągi z jedynką w dokładnie jednym miejscu. Przestrzeń ℓ^{∞} nie jest ośrodkowa, każde dwa różne ciągi zero-jedynkowe są odległe od siebie o 1, a jest ich nieprzeliczalnie wiele. Funkcje charakterystyczne zbiorów borelowskich ograniczonych na prostej ℝ tworzą przeliczalny zbiór liniowo gęsty w każdej z przestrzeni L^{p}(ℝ), 1 p < ∞. Także, jak wiemy z twierdzenia Weierstrassa, funkcje 1, t, t^{2}, t^{3}, … tworzą zbiór liniowo gęsty w przestrzeni C[a, b]. Wszystkie te przestrzenie są zatem ośrodkowe. Przestrzenie C(ℝ) i L^{∞} (ℝ) nie są ośrodkowe z tego samego powodu, co przestrzeń ℓ^{∞} Definicja. Ciąg e_{1}, e_{2}, e_{3}, … elementów przestrzeni Banacha X nazywamy bazą topologiczną tej przestrzeni, jeżeli każdy element x ∈ X ma jednoznaczne przedstawienie w postaci zbieżnego szeregu

x = ∑_{n=1}^{∞}λ_{n} e_{n}.

Jest oczywiste, że baza topologiczna jest zbiorem liniowo niezależnym i liniowo gęstym w przestrzeni. Bazę topologiczną mogą mieć więc tylko ośrodkowe przestrzenie Banacha.

Zbiór ciągów e_{1}, e_{2}, e_{3}, … postaci e_{n} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …) z jedynką na n-tym miejscu tworzy bazę topologiczną w każdej z przestrzeni c_{0}, ℓ^{p}, 1 p < ∞. Ciekawszy przykład bazy pochodzi od Schaudera.

1.24. Przykład. Baza Schaudera. Niech {t_{0}, t_{1}, t_{2}, …} będzie zbiorem gęstym w przedziale [a, b], przy czym t_{0} = a, t_{1} = b, i niech x_{0}(t) = 1, x_{1}(t) = \frac{t−a}{t−b} dla t ∈ [a, b]. Funkcję x_{n} dla n 2 określamy w sposób następujący. Punkty {t_{0}, t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} dzielą przedział [a, b] na podprzedziały, do jednego z nich wpada punkt t_{n}, oznaczmy ten przedział [α_{n}, β_{n}]. Jako x_{n} określamy funkcję równą 0 dla t ∈ [a, α_{n}]∪[β_{b}, b], równą 1 w punkcie t = t_{n} i liniową w każdym z przedziałów [α_{n}, t_{n}] i [t_{n}, β_{n}].

Pokażemy, że funkcje x_{0}, x_{1}, x_{2}, … stanowią bazę przestrzeni C[a, b]. Zauważmy w tym celu, że x_{n}(t_{i}) = 0 dla i = 0, 1, 2, …, n − 1 oraz x_{n}(t_{n}) = 1. Wynika z tego, że jeśli funkcja y przedstawia się w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu

(1. 3)  y(t) = ∑_{k=0}^{∞}λ_{k} x_{k}(t),

to y(t_{0}) = λ_{0}, y(t_{1}) = λ_{0} x_{0}(t_{1})+λ_{1}, y(t_{2}) = λ_{0} x_{0}(t_{2})+λ_{1} x(t_{2})+λ_{3}, itd. Pozwala to jednoznacznie wyznaczyć współczynniki λ_{k}. Udowodniliśmy w ten sposób, że jeżeli przedstawienie (1. 3) istnieje, to jest jedyne.

Pozostaje pokazać, że jeśli współczynniki λ_{k} określimy w wyżej opisany sposób, to ciąg {y_{n}} n-tych sum częściowych szeregu (1. 3) jest jednostajnie zbieżny do y. Z konstrukcji wynika, że wykresem funkcji y_{n} jest łamana o wierzchołkach w punktach o odciętych t_{0}, t_{1}, t_{2}, …, t_{n} i pokrywająca się z wykresem funkcji y w tych punktach. Zatem ∥y_{n} − y∥_{∞} → 0, bo funkcja y jest jednostajnie ciągła.

1.25. Zadanie. Pokazać, że układ Schaudera nie tworzy bazy topologicznej w żadnej z przestrzeni L^{p}(a, b), 1 p < ∞.

Uwaga. W roku 1932 Stanisław Mazur postawił problem, czy każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazę. Za jego rozwiązanie wyznaczył nagrodę w postaci żywej gęsi. Gęś otrzymał matematyk szwedzki Per Enflo za podanie w roku 1973 kontrprzykładu a zdjęcia z tej uroczystości zamieściła prasa.

Przestrzenie ilorazowe

Niech Y będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej X. Funkcja

dist(x, Y) = inf_{y∈Y} ∥x − y∥, x ∈ X,

ma następujące własności:

1. \{x ∈ X : dist(x, Y) = 0\} = \overline{Y} ,

2. dist(x + y, Y) dist(x, Y) + dist(y, Y),
3. dist(λ x, Y) = |λ| dist(x, Y).

Wynika stąd, że jeżeli Y jest domkniętą podprzestrzenią X oraz [x] jest warstwą przestrzeni ilorazowej X/Y , to dla każdych x_{1}, x_{2} ∈ [x] mamy dist(x_{1}, Y) = dist(x_{2}, Y), a więc funkcjonał

∥ [x] ∥ = dist(x, Y) = inf_{y∈Y} ∥x − y∥

jest normą w przestrzeni X/Y .

1.26. Zadanie. Niech x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ ℓ^{∞} . Pokazać, że w przestrzeni ilorazowej ℓ^{∞} /c_{0}

∥ [x] ∥ = lim sup_{n→∞}|x_{n}|.

1.27. Przykład. Niech Y oznacza domkniętą podprzestrzeń przestrzeni c , złożoną z ciągów stałych. Pokażemy, że przestrzeń ilorazowa c/Y jest izomorficzna z przestrzenią c_{0}.

Dla ciągu x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ c w warstwie [x] istnieje dokładnie jeden ciąg z podprzestrzeni c_{0}, mianowicie ciąg x′ = (x_{1} − x_{0}, x_{2} − x_{0}, x_{3} − x_{0}, …), gdzie x_{0} = lim_{n→∞} x_{n}. Pozwala to utożsamić przestrzeń ilorazową c/Y z przestrzenią c_{0}. Ponieważ ∥x′∥ 2∥x∥ oraz x′∈ [x], więc

∥ [x] ∥ ∥x′∥ 2 ∥ [x] ∥.

Zauważmy jeszcze, że norma w c/Y nie pokrywa się z normą w c_{0}, a w układzie powyższych nierówności każda z równości jest możliwa.

1.28. Twierdzenie. Jeżeli X jest przestrzenią Banacha a Y jej domkniętą podprzestrzenią, to X/Y jest też przestrzenią Banacha.

Dowód: Wystarczy pokazać (por. zadanie 1.3), że w X/Y każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny. Niech x_{1}, x_{2}, x_{3}, … będzie ciągiem w X, dla którego

∑_{k=1}^{∞} ∥ [x_{k}] ∥ < ∞.

Z każdej z warstw [x_{k}] wybierzmy element x′_{k} tak, by ∥x′_{k}∥ ∥ [x_{k}] ∥ + 1/2^{k}. Wtedy ∑_{k=1}^{∞} ∥x′_{k}∥ < ∞, a ponieważ przestrzeń X jest zupełna, więc szereg ∑_{k=1}^{∞} x′_{k} jest zbieżny do pewnego elementu x′∈ X. Z nierówności

∥[x′] − ∑_{k=1}^{n}[x_{k}]∥ ∥x′− ∑_{k=1}^{n}x′_{k}∥, n = 1, 2, 3, …,

wynika, że [x′] jest granicą sum częściowych szeregu ∑_{k=1}^{∞} [x_{k}].

1.29. Przykład. Niech S_{0} będzie dowolnym niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni normalnej S. Oznaczmy przez X domkniętą podprzestrzeń przestrzeni C(S) złożoną z funkcji zerujących się na S_{0}. Pokażemy, że przestrzeń C(S_{0}) jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ilorazową C(S)/X.

Odwzorowanie przyporządkowujące funkcji x ∈ C(S) jej obcięcie x|_{S_{0}} do zbioru S_{0} jest kontrakcją z przestrzeni C(S) do C(S_{0}). Jego jądrem jest zbiór X. Wzór T [x] = x|_{S_{0}} określa zatem odwzorowanie liniowe T z C(S)/X w C(S_{0}), także będące kontrakcją. Z drugiej strony z twierdzenia Tietzego-Urysohna (patrz ??) wynika, że każdą ograniczoną funkcję ciągłą x_{0} na S_{0} można przedłużyć do ograniczonej funkcji ciągłej x na S i to tak, by ∥x∥_{∞} = ∥x_{0}∥_{∞} . Oznacza to, że T odwzorowuje �na” i nie zmniejsza normy. Wobec tego jest izometrią.

Udowodnimy jeszcze twierdzenie o uniwersalności przestrzeni ℓ^{1} dla klasy wszystkich ośrodkowych przestrzeni Banacha.

1.30. Twierdzenie. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ilorazową ℓ^{1}/Y , gdzie Y jest pewną domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni ℓ^{1}.

Dowód: Niech x_{1}, x_{2}, x_{3}, … będzie dowolnym podzbiorem gęstym sfery jednostkowej {x ∈ X : ∥x∥ = 1} przestrzeni X. Określmy odwzorowanie T : ℓ^{1} → X wzorem

T (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, …) = ∑_{n=1}^{∞}λ_{n} x_{n}.

Jest oczywiste, że T jest kontrakcją liniową. Pokażemy, że obrazem T jest cała przestrzeń X. Zauważmy w tym celu, że dla każdego x ∈ X, każdej liczby naturalnej k i każdego ε > 0 istnieje taki wskaźnik n > k, że

∥x − ∥x∥ x_{n}∥ < ε.

Ustalmy dowolnie liczbę ε > 0 i wybierzmy ciąg ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, … liczb dodatnich tak, by ∑_{k=1}^{∞} ε_{k} < ε. Niech x będzie dowolnym elementem przestrzeni X. Wybierzmy wskaźnik n_{1} tak, by ∥x − λ_{n_{1}}x_{n_{1}}∥ < ε_{1}, gdzie przyjęliśmy oznaczenie λ_{n_{1}} = ∥x∥, następnie wskaźnik n_{2} > n_{1} tak, by ∥(x−λ_{n_{1}}x_{n_{1}})−λ_{n_{2}}x_{n_{2}} ∥ < ε_{2}, z oznaczeniem λ_{n_{2}} = ∥x − λ_{n_{1}}x_{n_{1}}∥, itd. W rezultacie otrzymamy ciąg λ_{n_{1}}, λ_{n_{2}}, … o własności

λ_{n_{k+1}} = ∥x − (λ_{n_{1}}x_{n_{1}} + λ_{n_{2}}x_{n_{2}} + … + λ_{n_{k}}x_{n_{k}})∥ < ε_{k}.

Uzupełnijmy go do ciągu λ = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, …) przez przyjęcie zer za brakujące składniki. Wtedy T (λ) = x oraz

∥λ∥_{1} = ∑_{k=1}^{∞}λ_{n_{k}} ∥x∥ + ∑_{k=1}^{∞}ε_{k} < ∥x∥ + ε.

Wnosimy z tej konstrukcji, że T odwzorowuje ℓ^{1} na całą przestrzeń X. Określmy podprzestrzeń Y ⊂ ℓ^{1} jako jądro

Y = {λ ∈ ℓ^{1} : T (λ) = 0}

odwzorowania T. Wtedy T staje się algebraicznym izomorfizmem ℓ^{1}/Y na X. Ciągłość odwzorowania T gwarantuje, że Y jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni ℓ^{1}. Z powyższej konstrukcji wynika, że jeżeli T (λ) = x, to dla dowolnego ε > 0 zachodzi nierówność

∥ [λ] ∥ ∥x∥ + ε,

zaś z faktu, że T jest kontrakcją, wynika nierówność przeciwna

∥x∥ ∥ [λ] ∥,

musi zatem być ∥ [λ] ∥ = ∥x∥. To dowodzi, że T jest izometrią ℓ^{1}/Y na X.

Produkt przestrzeni

Niech (X_{k}, ∥ ∥_{k}), k = 1, 2, …, n, będą przestrzeniami unormowanymi nad tym samym ciałem (ℝ lub ℂ). produktem (topologicznym) ∏_{k=1}^{n} X_{k} nazywamy produkt kartezjański zbiorów X_{k} z działaniami i normą określonymi następująco:

\begin{aligned}(x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) + (x′_{1}, x′_{2}, …, x′_{k}) & = (x_{1} + x′_{1}, x_{2} + x′_{2}, …, x_{k}+′_{k}), \\ λ (x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) & = (λx_{1}, λx_{2}, …, x_{λ}k), \\ ∥(x_{1}, x_{2}, …, x_{k})∥ & = ∑_{k=1}^{n}∥x_{k}∥_{k}. \end{aligned}

1.31. Fakt. Produkt ∏_{k=1}^{n} X_{k} przestrzeni unormowanych jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni X_{k} jest zupełna.

1.32. Przykład. Przestrzeń C^{n}[a, b] funkcji mających ciągłe pochodne do rzędu n włącznie jest izomorficzna z produktem ℂ^{n} × C[a, b]. Istotnie, funkcja f jest wyznaczona jednoznacznie przez wektor (f(a), f′(a), …, f^{(n−1)} (a)) i funkcję f^{(n)}. Można w tym celu użyć wzoru Taylora

f(t) = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (t − a)^{k} + ∫_{a}^{t} \frac{(t − a)^{n−1}}{(n − 1)!} f^{(n)}(s) ds.

Definicja. Jeżeli X jest przestrzenią liniową oraz X_{1}, X_{2}, …, X_{n} takimi jej podprzestrzeniami, że

lin ⋃_{k=1}^{n} X_{k} = X oraz X_{k} ∩ ∑_{{j=1 \atop j≠k}}^{n}X_{j} = \{0\}, k = 1, 2, …, n,

to X nazywamy algebraiczną sumą prostą podprzestrzeni X_{k}. Każdy wektor x ma wtedy jednoznaczne przedstawienie x = ∑_{k=1}^{n} x_{k}, gdzie x_{k} ∈ X_{k}, a odwzorowanie φ : (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) → ∑_{k=1}^{n} x_{k} jest algebraicznym izomorfizmem ∏_{k=1}^{n} X_{k} na X. Jeżeli założymy dodatkowo, że X jest przestrzenią unormowaną, to odwzorowanie φ jest ciągłe. Gdy jest ono izomorfizmem (topologicznym), to X nazywamy sumą prostą (topologiczną) podprzestrzeni X_{k} i piszemy X = X_{1} ⊕ X_{2} ⊕ … ⊕ X_{n}.

1.33. Zadanie. Wykazać, że przestrzeń C[−1, 1] jest sumą prostą dwóch swoich domkniętych podprzestrzeni, złożonych odpowiednio z funkcji parzystych i funkcji nieparzystych.

Zadania uzupełniające

1.34. Dowieść, że przestrzeń ℓ^{1} ma nieprzeliczalną bazę Hamela.

1.35. W przestrzeni C^{k}(ℝ) złożonej z funkcji ograniczonych mających ciągłe i ograniczone pochodne do rzędu k włącznie wprowadzić tak normę, by stała się przestrzenią Banacha.

1.36. Dowieść, że przestrzenie L^{p}(ℝ) i L^{p}(0, 1), 1 p < ∞, są izometrycznie izomorficzne.

1.37. Czy przestrzenie L^{1}(0, 1) oraz L^{1}(0, 1) × L^{1}(0, 1) są izomorficzne?

1.38. Załóżmy, że X i Y są podprzestrzeniami pewnej przestrzeni liniowej. Dowieść, że przestrzenie (X + Y)/Y oraz X/(X ∩ Y) są algebraicznie izomorficzne.

1.39. Jeżeli Y jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha X, to X/Y jest przestrzenią Banacha. Odwzorowanie kanoniczne τ : X → X/Y określone wzorem τ(x) = [x] jest ciągłe i otwarte (obraz zbioru otwartego jest otwarty).

ROZDZIAŁ II

PRZESTRZENIE FUNKCJI CIĄGŁYCH

Przestrzenie funkcji ciągłych, obok przestrzeni Hilberta i przestrzeni typu L^{p}, to podstawowe klasy przestrzeni Banacha. Szczególne miejsce zajmują w teorii aproksymacji i teorii szeregów Fouriera.

Dwa twierdzenia Weierstrassa

Oba twierdzenia mówią o możliwości jednostajnej aproksymacji na przedziale [a, b] funkcji ciągłych wielomianami, pierwsze wielomianami zwykłymi, a drugie wielomianami trygonometrycznymi.

2.1. Twierdzenie Weierstrassa. Każdą funkcję ciągłą na przedziale [a, b] można jednostajnie aproksymować wielomianami.

Dowód: Transformacja liniowa

t = \frac{s − a}{b − a} , s ∈ [a, b],

sprowadza zagadnienie do przedziału [0, 1]. Tu posłużymy się dowodem pochodzącym od Bernsteina.

Dla funkcji ciągłej x na przedziale [0, 1] niech x_{n} oznacza jej n–ty Wielomian Bernsteina

x_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x(\frac{k}{n}) t^{k}(1 − t)^{n−k} .

Pokażemy, że ciąg x_{n} zbiega do x jednostajnie na całym przedziale [0, 1].

Ustalmy ε > 0. Ponieważ funkcja x jest ciągła jednostajnie, więc dla pewnego δ > 0 nierówność |t − s| < δ pociąga |x(t) − x(s)| < ε. Korzystając z tożsamości

∑_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}(1 − t)^{n−k} = 1 łatwo otrzymujemy

|x(t) − x_{n}(t)| ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}|x(t) − x(\frac{k}{n})| t^{k}(1 − t)^{n−k} .

Jeżeli teraz osobno zsumujemy po zbiorze tych wskaźników k dla których |t− \frac{k}{n} | < δ i osobno po zbiorze pozostałych to

\begin{aligned}|x(t) − x_{n}(t)| & < ε ∑_{|t− \frac{k}{n} |<δ} \binom{n}{k}t^{k}(1 − t)^{n−k} + 2M ∑_{|t− \frac{k}{n} | δ} \binom{n}{k}t^{k}(1 − t)^{n−k} \\ & < ε + \frac{2M}{δ^{2}} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(t − \frac{k}{n})^{2}t^{k}(1 − t)^{n−k} , \end{aligned}

gdzie M = max_{0 t 1} |x(t)|. Z równości

(2. 4)  ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(t − \frac{k}{n})^{2}t^{k}(1 − t)^{n−k} = \frac{t (1 − t)}{n}

daje to oszacowanie ε + \frac{2M}{δ^{2}} \frac{1}{n} . A więc |x(t) − x_{n}(t)| < 2ε jeśli tylko n jest dostatecznie duże.

Pozostaje weryfikacja równości (2. 4). Najłatwiej można ją otrzymać ze wzorów

∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}t^{k}s^{n−k} = (t + s)^{n},

∑_{k=0}^{n} \frac{k}{n}\binom{n}{k}t^{k}s^{n−k} = t (t + s)^{n−1} ,

∑_{k=0}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2}} \binom{n}{k}t^{k}s^{n−k} = \frac{1}{n}t(t + s)^{n−1} + \frac{n − 1}{n} t^{2}(t + s)^{n−2} ,

po podstawieniu s = 1 − t, pomnożeniu kolejno stronami przez t^{2}, −2t oraz 1 i dodaniu do siebie. Pierwszy ze wzorów, to oczywiście wzór Newtona, drugi powstaje z pierwszego przez zróżniczkowanie po zmiennej t i pomnożeniu stronami przez \frac{1}{n} t, a trzeci w ten sam sposób z drugiego.

Drugie z twierdzeń Weierstrassa jest odpowiednikiem pierwszego dla wielomianów trygonometrycznych.

2.2. Drugie twierdzenie Weierstrassa. Wielomiany trygonometryczne

a_{0} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} coskt + b_{k} sinkt)

leżą gęsto w zbiorze wszystkich funkcji ciągłych okresowych o okresie 2π

Dowód: Załóżmy, że x jest funkcją ciągłą okresową o okresie 2π. Jeżeli x jest parzysta, to możemy traktować ją jako funkcję na przedziale [0, π] i zamienić na funkcję y ∈ C[−1, 1] wzorem

y(cost) = x(t), t ∈ [0, π],

a tą, na mocy twierdzenia Weierstrassa, aproksymować jednostajnie na wielomianami. Wielomian od cost można sprowadzić do postaci wielomianu trygonometrycznego parzystego. To rozumowanie dowodzi tezy dla funkcji parzystych. Jeśli x jest nieparzysta, to funkcja

x_{1}(t) = x(t) sint

jest parzysta, więc na mocy udowodnionej już części tezy, można ją jednostajnie aproksymować wielomianami trygonometrycznymi. Wynika stąd, że jeśli x jest funkcją dowolną, to możliwość jednostajnej aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi zachodzi w każdym razie dla funkcji x(t) sint, a co tym idzie, także dla funkcji

x(t) sin^{2} t.

Przyjęcie tutaj funkcji x(\frac{π}{2} − t) zamiast x(t) i zamiana zmiennej t na \frac{π}{2} − t (taka zamiana zachowuje zbiór wielomianów trygonometrycznych), daje możliwość aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi funkcji

x(t) cos^{2} t,

zatem także funkcji x(t) = x(t) sin^{2} t + x(t) cos^{2} t.

Twierdzenie Stone’a

Oba przedstawione wyżej twierdzenia Weierstrassa są szczególnymi przypadkami znacznie ogólniejszego twierdzenia Stone’a, które udowodnimy.

Niech S będzie zwartą przestrzenia Hausdorffa. Jak wiemy Zbiór C(S) jest przestrzenią Banacha w normie

∥x∥ = max_{t∈S} |x(t)|.

Zauważmy, że w istocie zbiór C(S) ma strukturę algebry, wraz z funkcjami x, y zawiera ich iloczyn xy, nadto ∥xy∥ ∥x∥ ∥y∥. W przestrzeni C_{ℝ}(S) wszystkich funkcji ciągłych na S o wartościach rzeczywistych można dodatkowo rozpatrywać działania ∨ i ∧ określone wzorami

(x ∨ y)(t) = max{x(t), y(t)}, (x ∧ y)(t) = min{x(t), y(t)}.

2.3. Lemat. Niech A będzie podzbiorem przestrzeni C_{ℝ}(S) zamkniętym na działania ∨ i ∧. Jeżeli dane są x ∈ A oraz ε > 0, a dla dowolnych s, t ∈ S istnieje taka funkcja y_{su} ∈ A, że

|x(s) − y_{su}(s)| < ε,  |x(u) − y_{su}(u)| < ε,

to w A istnieje też taka funkcja y, że

|x(t) − y(t)| < ε

dla wszystkich t ∈ S.

Dowód: Oznaczmy przez U_{su} i V_{su} zbiory tych punktów t, dla których odpowiednio y_{su}(t) < x(t) + ε i y_{su}(t) > x(t) − ε. Są to zbiory otwarte, zawierające oba punkty s, u. Przy ustalonym u zbiory U_{su} tworzą pokrycie przestrzeni zwartej S, wybierając z tego pokrycia skończone podpokrycie {U_{s_{1}u}, U_{s_{2}u}, …, U_{s_{n}u}} i kładąc y_{u} = y_{s_{1}u} ∧ y_{s_{2}u} ⋯∧ y_{s_{n}u}, otrzymamy funkcję y_{u} ∈ A, spełniającą warunki

y_{u}(t) < x(t) + ε dla wszystkich t ∈ S,

y_{u}(t) > x(t) − ε dla t ∈ V_{u} = ⋂_{k=1}^{n} V_{s_{k}u}.

Wybierzmy teraz z pokrycia przestrzeni S zbiorami V_{u} skończone podpokrycie {V_{u_{1}}, V_{u_{2}}, …, V_{u_{m}}} i połóżmy y = y_{u_{1}} ∨ y_{u_{2}} ⋯∨ y_{u_{m}}. Otrzymamy w ten sposób funkcję y ∈ A spełniającą obie nierówności x(t) − ε < y(t) < x(t) + ε, funkcję której oczekiwaliśmy.

2.4. Lemat. Jeżeli domknięta podalgebra A algebry C_{ℝ}(S) zawiera funkcję stałą 1, to jest zamknięta na działania ∨ i ∧.

Dowód: Ponieważ

x ∨ y = \frac{1}{2}(x + y + |x − y|), x ∧ y = \frac{1}{2}(x + y − |x − y|),

więc wystarczy pokazać, że wraz z funkcją x zbiór A zawiera także funkcję |x|. Możemy przy tym dodatkowo założyć, że ∥x∥ 1. Wtedy

|x(t)| = \sqrt{1 − (1 − x^{2}(t))} = 1 − ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n − 3)!!}{(2n)!!} (1 − x^{2}(t))^{n},

a szereg jest zbieżny na S jednostajnie, zatem |x| ∈ A.

Możemy teraz przystąpić do dowodu zapowiadanego twierdzenia Stone’a. Ustalmy przedtem, że o zbiorze A funkcji na S powiemy, iż rozdziela punkty przestrzeni S, gdy dla dowolnych dwóch różnych punktów s, t ∈ S istnieje pewna funkcja x ∈ A, spełniająca x(s) ≠ x(t).

2.5. Twierdzenie Stone’a. Niech S będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz A domkniętą podalgebrą algebry C(S). Jeżeli A rozdziela punkty S, zawiera funkcję stałą 1 i jest zamknięta na operację sprzężenia x → \overline{x}, to A = C(S).

Dowód: Oznaczmy przez A_{ℝ} zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych x ∈ A. Wtedy A_{ℝ} jest domkniętą podalgebrą algebry C_{ℝ}(S), zawierającą funkcję 1. Z lematu 2.4 wynika, że zbiór A_{ℝ} jest zamknięty na działania ∨ i ∧. Jeżeli s, u ∈ S, s ≠ u, to y(s) ≠ y(u) dla pewnej funkcji y ∈ A. Ponieważ obie funkcje

Rey = \frac{1}{2}(y + \overline{y}), Imy = \frac{1}{2i}(y − \overline{y})

należą do A_{ℝ}, więc Rey(s) ≠ Rey(u) lub Imy(s) ≠ Imy(u), zatem A_{ℝ} rozdziela punkty przestrzeni S. Dla każdej funkcji x ∈ C_{ℝ}(S) i każdej pary punktów s, u ∈ S istnieje taka funkcja y_{su} ∈ A_{ℝ}, że y_{su}(s) = x(s), y_{su}(u) = x(u). Wystarczy w tym celu w A_{ℝ} obrać taką funkcję y, że y(s) ≠ y(u) i położyć

y_{su}(t) = \frac{x(s) − x(u)}{y(s) − y(u)} y(t) − \frac{x(s)y(u) − x(u)y(s)}{y(s) − y(u)} .

Z lematu 2.3 wnioskujemy, że A_{ℝ} = C_{ℝ}(S), a dalej że A = C(S). Dla x ∈ C(S) mamy bowiem Rex, Imx ∈ C_{ℝ}(S) = A_{ℝ}, zatem x = Rex + i Imx ∈ A.

Uwaga. Założenie w twierdzeniu Stone’a, że podalgebra A wraz z funkcją x zawiera także funkcję sprzężoną \overline{x} jest istotne. Widać to z poniższego przykładu.

2.6. Przykład. Okrąg jednostkowy

𝕋 = {z ∈ ℂ; |z| = 1}

z topologią odziedziczoną z ℂ jest przestrzenią zwartą. Najmniejsza domknięta podalgebra A ⊂ C(𝕋) zawierająca funkcje x(z) = 1 oraz x(z) = z rozdziela punkty 𝕋. Pokażemy, że dla funkcji x_{0}(z) = \overline{z} zachodzi równość

dist(x_{0}, A) = 1.

Wielomiany w(z) = a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ⋯+ a_{n}z^{n} leżą gęsto w A oraz

∥x_{0} − w∥^{2} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |x_{0}(e^{it}) − w(e^{it})|^{2}dt = 1 + ∑_{k=0}^{n}|a_{k}|^{2} 1.

Istotnie

|x_{0}(e^{it}) − w(e^{it})|^{2} = 1 − ∑_{k=0}^{n}a_{k}e^{i(k+1)t} − ∑_{k=0}^{n}\overline{a_{k}}e^{−i(k+1)t} + ∑_{k=0}^{n} ∑_{r=0}^{n}a_{k}\overline{a_{r}}e^{i(k−r)t} ,

a całka ∫_{0}^{2π} e^{imt}dt jest równa 0, gdy m ≠ 0 oraz równa 2π, gdy m = 0. Z tego wnosimy, że dist(x_{0}, A) 1. Nierówność przeciwna jest oczywista.

Lemat Urysohna i twierdzenie Tietzego-Urysohna

Pomocnym narzędziem przy konstrukcji funkcji ciągłych na ogólnych przestrzeniach topologicznych są dwa poniższe twierdzenia. Wynika z nich w szczególności, że gdy S jest przestrzenią topologiczną normalną, to przestrzeń C(S) jest niezdegenerowana.

Pierwsze twierdzenie tradycyjnie nosi nazwę lematu Urysohna i jego dowód zamieszczony jest w rozdziale Uzupełnienia ??.

2.7. Lemat Urysohna. Jeżeli S jest przestrzenią topologiczną normalną, to dla każdej pary K_{0}, K_{1} rozłącznych podzbiorów domkniętych S istnieje taka funkcja ciągła x : S → [0, 1], że x|_{K_{0}} = 0 oraz x|_{K_{1}} = 1.

2.8. Twierdzenie Tietzego-Urysohna. Niech S_{0} będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni normalnej S. Dla każdej funkcji ciągłej x_{0} : S_{0} → [−1, 1] istnieje przedłużenie ciągłe x : S → [−1, 1].

Dowód: Załóżmy, że |x_{0}(s)| c 1 dla s ∈ S_{0}. Podamy konstrukcję takiego ciągu x_{1}, x_{2}, … funkcji ciągłych na S, że

|x_{n}(s)| \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n−1} dla s ∈ S

oraz

|x_{0}(s) − ∑_{k=1}^{n}x_{k}(s)| (\frac{2}{3})^{n} dla x ∈ S_{0}.

Ponieważ zbiory K_{0} = x_{0}^{−1} ([−c , −\frac{1}{3}c]) i K_{1} = x_{0}^{−1} ([\frac{1}{3}c , c]) są rozłączne i domknięte w S_{0}, a więc domknięte w S, to z lematu Urysohna ?? wynika istnienie takiej funkcji k : S → [−1, 1], że k|_{K_{0}} = 0 i k|_{K_{1}} = 1. Łatwo sprawdzić, że funkcja x_{1}(s) = \frac{2}{3}c (k(s) − \frac{1}{2}) spełnia żądane warunki. Funkcję x_{2} konstruujemy w podobny sposób, przyjmując x_{0} − x_{1} w miejsce x_{0} i \frac{2}{3}c w miejsce c, itd.

Szereg ∑_{k=1}^{∞} x_{k} jest jednostajnie zbieżny. Jego suma x jest więc funkcją ciągłą na S, spełnia warunek |x(t)| 1 dla s ∈ S oraz x(s) = x_{0}(s) dla s ∈ S_{0}, jest zatem poszukiwanym przedłużeniem funkcji x_{0}.

2.9. Wniosek. Niech S_{0} będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni normalnej S. Każdą ograniczoną funkcję ciągłą x_{0} : S_{0} → ℂ można przedłużyć do ograniczonej funkcji ciągłej x : S → ℂ i to tak, by ∥x∥_{∞} = ∥x_{0}∥_{∞} .

Dowód: Możemy założyć, że ∥x_{0}∥_{∞} = 1. Z twierdzenia Tietzego-Urysohna wynika, że funkcje Rex_{0} i Imx_{0} można przedłużyć do ograniczonych funkcji rzeczywistych na S. Nazwijmy je y_{1} oraz y_{2} i połóżmy y = max{1, |y_{1}+i y_{2}|}. Funkcja x = (y_{1} + i y_{2})/y ma żądaną własność, gdyż y|_{S_{0}} = 1.

Twierdzenia o najlepszej aproksymacji

2.10. Twierdzenie Kołmogorowa. Niech S będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz W domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni C(S). Ustalmy funkcje x_{0} ∈ C(S) oraz w_{0} ∈ W i oznaczmy

S_{0} = {t ∈ S : |x_{0}(t) − w_{0}(t)| = ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} }.

Funkcja w_{0} najlepiej w W aproksymuje funkcję x_{0} w normie jednostajnej wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej funkcji w ∈ W zachodzi nierówność

(2. 5)  min_{t∈S_{0}}Re \overline{(x_{0}(t) − w_{0}(t))} w(t) 0.

Dowód: Niech na razie S_{0} będzie dowolnym niepustym podzbiorem domkniętym S. Pokażemy, że własność (2. 5) pociąga

dist(x_{0}, W) min_{t∈S_{0}} |x_{0}(t) − w_{0}(t)|.

Przyjmując za S_{0} zbiór określony w twierdzeniu, otrzymamy wtedy dist(x_{0}, W) ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} , a więc, że w_{0} najlepiej w W aproksymuje x_{0}.

Załóżmy nie wprost, że dist(x_{0}, W) < min_{t∈S_{0}} |x_{0}(t) − w_{0}(t)| a więc, że

dist(x_{0}, W) < ∥x_{0} − w_{1}∥_{∞} < min_{t∈S_{0}} |x_{0}(t) − w_{0}(t)|

dla pewnej funkcji w_{1} ∈ W, wtedy

|x_{0}(t) − w_{1}(t)| < |x_{0}(t) − w_{0}(t)|

dla wszystkich t ∈ S_{0}, a przyjmując w (2. 5) za w funkcję w_{1} − w_{0} otrzymamy

Re \overline{(x_{0} − w_{0})} (w_{1} − w_{0}) = |x_{0} − w_{0}|^{2} − Re \overline{(x_{0} − w_{0})} (x_{0} − w_{1})
|x_{0} − w_{0}|^{2} − |x_{0} − w_{0}| |x_{0} − w_{1}|
= |x_{0} − w_{0}|(|x_{0} − w_{0}| − |x_{0} − w_{1}|) > 0

na S_{0}, co stoi w sprzeczności z (2. 5).

Dowód w drugą stronę także przeprowadzimy nie wprost. Załóżmy wobec tego, że

min_{t∈S_{0}}Re \overline{(x_{0}(t) − w_{0}(t))} w_{1}(t) = a > 0

dla pewnej funkcji w_{1} ∈ W. Wybierzmy w S zbiór otwarty U ⊃ S_{0} tak, aby

Re \overline{(x_{0}(t) − w_{0}(t))} w_{1}(t) > \frac{a}{2}

dla t ∈ U i oznaczmy

∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} − max_{t∈S\U} |x_{0}(t) − w_{0}(t)| = b > 0.

Jeśli przyjmiemy

δ = min\{ \frac{a}{2c^{2}} , \frac{b}{2c} \},

gdzie c = ∥w_{1}∥_{∞} , oraz w_{2} = w_{0} + δ w_{1}, to dla t ∈ U spełniona jest nierówność

\begin{aligned}|x_{0}(t) − w_{2}(t)|^{2} & ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞}^{2} − 2δ Re \overline{(x_{0}(t) − w_{0}(t))} w_{1}(t) + δ^{2} ∥w_{1}∥_{∞}^{2} \\ & ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞}^{2} − \frac{aδ}{2}, \end{aligned}

a dla t ∈ S \ U nierówność

|x_{0}(t) − w_{2}(t)| |x_{0}(t) − w_{0}(t)| + δ ∥w_{1}∥_{∞} ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} − \frac{b}{2}.

To oznacza, że

∥x_{0} − w_{2}∥_{∞} < ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞}

tj., że funkcja w_{2} daje lepszą aproksymację x_{0} niż funkcja w_{0}.

Ze względu na liczne zastosowania praktyczne, szczególnie ważnym przypadkiem twierdzeń o najlepszej aproksymacji jest ten, w którym S jest domkniętym przedziałem na prostej, zaś W zbiorem wielomianów nie przekraczających ustalonego stopnia. Udowodnimy:

2.11. Twierdzenie. Dla każdej funkcji x_{0} ∈ C[a, b] pośród wielomianów stopnia niższego niż n dokładnie jeden wielomian w_{0} leży najbliżej x_{0}. W tym przypadku zbiór

S_{0} = {t ∈ [a, b] : |x_{0}(t) − w_{0}(t)| = ∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} }

ma przynajmniej n + 1 elementów.

Dowód: Przestrzeń W wielomianów stopnia niższego niż n ma wymiar n, a wielomianu w_{0}, najbliższego x_{0}, wystarczy szukać w zbiorze

{w ∈ W : ∥w∥_{∞} 2 ∥x_{0}∥_{∞} },

który jest zwarty. Funkcja ∥x_{0} − w∥_{∞} jest ciągła, osiąga więc na nim swój kres dolny. To dowodzi istnienia w_{0}. Także zbiór S_{0} zawiera przynajmniej n + 1 elementów, w przeciwnym przypadku w zbiorze W moglibyśmy wskazać wielomian w_{1}, dla którego

w_{1}(t) = x_{0}(t) − w_{0}(t), t ∈ S_{0}

i po wstawieniu w_{1} do (2. 5) w miejsce w otrzymalibyśmy

min_{t∈S_{0}}Re \overline{(x_{0}(t) − w_{0}(t))} w_{1}(t) = min_{t∈S_{0}} |x_{0}(t) − w_{0}(t)|^{2} > 0.

Dodajmy, że jeśli S_{0} = {t_{1}, t_{2}, …, t_{m+1} } oraz m < n, to za w_{1} można wybrać m-ty wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla funkcji x_{0} − w_{0}

w_{1}(t) = ∑_{k=1}^{m+1} \frac{φ(t)(x_{0}(t_{k}) − w_{0}(t_{k}))}{(t − t_{k}) φ′(t_{k})} , gdzie φ(t) = ∏_{k=1}^{m+1}(t − t_{k}).

Do dowodu pozostaje jedyność wielomianu w_{0}. Gdy wielomiany w′_{0} i w′′_{0}ze zbioru W dają najlepszą aproksymację funkcji x_{0}, to daje ją też wielomian

(2. 6)  w_{0} = \frac{1}{2}w′_{0} + \frac{1}{2}w′′_{0}.

W zbiorze S_{0} punktów ekstremalnych funkcji x_{0} − w_{0} wybierzmy n + 1 punktów t_{1}, t_{2}, …, t_{n+1} . Mamy wtedy x_{0}(t_{k}) − w_{0}(t_{k}) = d e^{is_{k}} dla d = dist(x_{0}, W) i pewnych liczb rzeczywistych s_{1}, s_{2}, …, s_{n+1} . Ponieważ

|x_{0}(t_{k}) − w′_{0}(t_{k})| d, |x_{0}(t_{k}) − w′′_{0}(t_{k})| d

dla k = 1, 2, …, n + 1, więc z określenia (2. 6) wynika, że

x_{0}(t_{k}) − w′_{0}(t_{k}) = x_{0}(t_{k}) − w′′_{0}(t_{k}) = d e^{is_{k}},

tj. w′_{0}(t_{k}) − w′′_{0}(t_{k}) = 0 dla k = 1, 2, …, n + 1, a ponieważ niezerowy wielomian w W nie może mieć więcej niż n zer, więc musi być w′_{0} = w′′_{0}.

Mimo, że w klasie wielomianów stopnia niższego niż n, jak widać z twierdzenia 2.11, wielomian w_{0} najlepiej aproksymujący ustaloną funkcję x_{0} na przedziale [a, b] jest jedyny, nie jest znany żaden algorytm pozwalający wyznaczyć w_{0}. Jest bardzo niewiele przykładów, w których w_{0} można wskazać konkretnie. Oto jeden z nich.

2.12. Przykład. Pokażemy, że na przedziale [−1, 1] pośród wielomianów stopnia niższego niż n najlepiej aproksymującym jednomian t^{n} jest wielomian (stopnia n − 2)

(2. 7)  w_{0}(t) = t^{n} − T_{n}(t),

gdzie T_{n} jest n-tym wielomianem Czebyszewa

T_{0}(t) = 1, T_{n}(t) = \frac{1}{2^{n−1}} cos(n arccost), n = 1, 2, 3, ….

Wykresy funkcji cos(n arccost) dla n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Kolejne wielomiany Czebyszewa mają postać T_{0}(t) = 1, T_{1}(t) = t, T_{2}(t) = t^{2} − \frac{1}{2}, następne można łatwo wyznaczyć ze wzoru rekurencyjnego

T_{n}(t) = t T_{n−1} (t) − \frac{1}{4} T_{n−2} (t) dla n = 3, 4, 5, …,

zatem T_{3}(t) = t^{3} − \frac{3}{4} t, T_{4}(t) = t^{4} − \frac{5}{4} t^{2} + \frac{1}{4}, itd. Widać, że w istocie T_{n} jest wielomianem stopnia n ze współczynnikiem przy najwyższej potędze równym 1, zatem funkcja w_{0}, określona wzorem (2. 7), jest wielomianem stopnia n − 2.

Zbiór S_{0} punktów ekstremalnych funkcji x_{0} − w_{0} = T_{n} składa się z liczb

t_{k} = arccos(\frac{kπ}{n}), k = 0, 1, 2, …, n.

Gdyby w_{0} nie był wielomianem optymalnym, to na mocy twierdzenia Kołmogorowa mielibyśmy

min_{0 k n} (−1)^{k} Rew(t_{k}) > 0

dla pewnego wielomianu w stopnia niższego niż n. Wielomian Rew musiałby wtedy zmieniać znak w każdym z przedziałów (t_{k}, t_{k+1} ), a taki wielomian musi mieć stopień przynajmniej n.

2.13. Zadanie. Dowieść, że pośród wielomianów stopnia niższego niż n wielomian w_{0} najlepiej przybliża funkcję rzeczywistą x_{0} ∈ C[a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy sam jest rzeczywisty a w przedziale [a, b] można tak wybrać podzbiór t_{1} < t_{2} < ⋯< t_{n+1} , zwany alternansem, że funkcja błędu x_{0} − w_{0} przyjmuje na nim na przemian wartości ∥x_{0}− w_{0}∥_{∞} oraz −∥x_{0}− w_{0}∥_{∞} (niekoniecznie rozpoczynając od wartości dodatniej).

Przedstawimy jeszcze jeden przykład najlepszej aproksymacji funkcji przez wielomiany. Przykład ten pochodzi od Bernsteina, można go znaleźć w wielu podręcznikach i monografiach z teorii aproksymacji, wymaga jednak znajomości dość zaawansowanych technik teorii funkcji zmiennej zespolonej. Poniższa prezentacja jest dłuższa, za to elementarna.

2.14. Przykład. Znajdziemy wielomiany najlepiej aproksymujące jednostajnie na przedziale [−1, 1] funkcję x_{0}(t) = \frac{1}{a − t} , gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą, większą niż 1.

Ustalmy n = 0, 1, 2, … i rozważmy funkcję y_{n} : [−1, 1] → ℂ określoną wzorem

y_{n}(t) = z^{n} \frac{z − α}{1 − αz} ,

gdzie z = t+i \sqrt{1 − t^{2}} oraz α = a−\sqrt{a^{2} − 1} . Ponieważ |z| = 1, więc |\frac{z − α}{1 − αz} | = 1 oraz

Re \frac{z − α}{1 − αz} = \frac{(1 + α^{2})t − 2α}{1 − 2αt + α^{2}} = \frac{at − 1}{a − t} = (a^{2} − 1) x_{0}(t) − a.

Wynika stąd, że |y_{n}(t)| ≡ 1 oraz

(2. 8)  \begin{aligned}x_{0}(t)− & \frac{α^{n}}{a^{2} − 1} Rey_{n}(t) = \frac{a}{a^{2} − 1} + \frac{1}{a^{2} − 1} Re(1 − α^{n}z^{n})\frac{z − α}{1 − αz} \\ & = \frac{a}{a^{2} − 1} + \frac{1}{a^{2} − 1} Re(z − α)(1 + αz + … + α^{n−1} z^{n−1} ). \end{aligned}

Ponieważ Rez^{k} = cos(k arccost) = 2^{k−1} T_{k}(t) jest wielomianem Czebyszewa stopnia k, więc x_{0} − \frac{α^{n}}{a^{2} − 1} Rey_{n} jest wielomianem stopnia n, który oznaczymy przez

w_{n}. Ze wzoru (2. 8) otrzymujemy w_{0}(t) = \frac{a}{a^{2} − 1} oraz

(2. 9)  w_{n}(t) = \frac{(2α)^{n−1}}{a^{2} − 1} T_{n}(t) + \frac{1}{\sqrt{a^{2} − 1}} ∑_{k=0}^{n−1}(2α)^{k}T_{k}(t)

dla n = 1, 2, 3, ….

Twierdzimy, że spośród wszystkich wielomianów stopnia n to właśnie wielomian w_{n} daje najlepszą aproksymację funkcji x_{0}. By tego dowieść, wystarczy dla funkcji błędu x_{0} − w_{n} = \frac{α^{n}}{a^{2}−1} Rey_{n} wskazać alternans długości n + 2.

Dla u = argz = arccost oznaczmy

φ(u) = arg \frac{z − α}{1 − zα} = arg(e^{iu} − α) − arg(\frac{1}{α} − e^{iu}).

Widać (patrz rysunek), że φ(u) rośnie od 0 do π na przedziale [0, π]. Dlatego argy_{n}(cosu) = nu + φ(u) rośnie od 0 do (n + 1)π na tym przedziale i można wskazać takie punkty

0 = u_{0} < u_{1} < u_{2} < ⋯< u_{n+1} = π,

dla których argy_{n}(cosu_{k}) = kπ, k = 0, 1, 2, …, n + 1, tj. y_{n}(cosu_{k}) = (−1)^{k}. Stwierdzamy zatem, że układ punktów cosu_{n+1} , cosu_{n}, …, cosu_{0} jest szukanym alternansem funkcji x_{0} − w_{n}.

Kolejne funkcje błędu dla a = \frac{5}{4} i n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Zadania uzupełniające

2.15. Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 obliczyć n-ty wielomian Bernsteina funkcji x(t) = cosπt.

2.16. Czy potrafisz wskazać konkretny ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie do funkcji x(t) = cosπt na przedziale [0, 1] ?

2.17. Obliczyć n-ty wielomian Bernsteina funkcji: x(t) = t^{2}, x(t) = t^{3}.

2.18. Uogólnić wzór na n-ty wielomian Bernsteina dla funkcji określonych na dowolnym przedziale [a, b].

2.19. Dowieść, że jeżeli przestrzenie topologiczne normalne S_{1} i S_{2} są homeomorficzne, to C(S_{1}) i C(S_{2}) są izometrycznie izomorficzne. Wykazać na przykładzie, że twierdzenie odwrotne nie zawsze jest prawdziwe.

2.20. Niech X będzie najmniejszą domkniętą podprzestrzenią przestrzeni C(ℝ) zawierającą wszystkie ograniczone funkcje jednostajnie ciągłe. Czy X = C(ℝ) ?

ROZDZIAŁ III

PRZESTRZENIE HILBERTA

Przestrzenie unitarne

Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń liniową H nad ciałem ℂ liczb zespolonych wraz z zespoloną funkcją ⟨ , ⟩ określoną na H × H i mającą następujące własności:

(1) ⟨x, x⟩ 0 dla x ∈ H oraz ⟨x, x⟩ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

(2) ⟨x, x⟩ 0 dla x ∈ H.

(3) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ dla x, y, z ∈ H (addytywność).

(4) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩ dla λ ∈ ℂ, x, y ∈ H (jednorodność).

(5) ⟨y, x⟩ = \overline{⟨x, y⟩}dla x, y ∈ H (hermitowskość).

Funkcja ⟨ , ⟩ nosi nazwę iloczynu skalarnego w H. Normę w przestrzeni unitarnej H określamy wzorem

∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}.

Przestrzeń zupełną w normie ∥ ∥ nazywamy przestrzenią Hilberta.

3.1. Przykład. Na przestrzeni ℂ^{n} funkcja ⟨ , ⟩ określona wzorem

⟨x, y⟩ = ∑_{k=1}^{n}x_{k} \overline{y_{k}},

gdzie x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), y = (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}), jest iloczynem skalarnym. Przestrzeń ℂ^{n} ma skończony wymiar, jest zatem przestrzenią Hilberta. Jest to dobrze nam znana przestrzeń euklidesowa.

3.2. Przykład. Także przestrzeń ℓ^{2} z iloczynem skalarnym

⟨x, y⟩ = ∑_{k=1}^{∞}x_{k} \overline{y_{k}}

jest przestrzenią Hilberta. Zauważmy, że |x_{k} \overline{y_{k}}| \frac{1}{2} |x_{k}|^{2} + \frac{1}{2} |y_{k}|^{2}, a więc szereg powyższy jest bezwzględnie zbieżny.

3.3. Przykład. Przestrzeń C([0, 1]) z iloczynem skalarnym

⟨x, y⟩ = ∫_{0}^{1} x(t) \overline{y(t)}dt

jest przestrzenią unitarną. Nie jest jednak przestrzenią zupełną w normie

∥x∥_{2} = ( ∫_{0}^{1} |x(t)|^{2} dt)^{1/2}.

Po uzupełnieniu otrzymamy przestrzeń Hilberta L^{2}([0, 1]) funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale [0, 1].

3.4. Przykład. Zamiast przestrzeń L^{2}([0, 1]) z poprzedniego przykładu można badać bardzo ogólną klasę przestrzeni L^{2}(Ω, B, μ), gdzie (Ω, B, μ) jest dowolną przestrzenią miarową σ-skończoną. Są to wszystko przestrzenie Hilberta a iloczyn skalarny ma postać

⟨x, y⟩ = ∫_{Ω} x(t) \overline{y(t)}dμ(t).

Każdą z wcześniejszych przestrzeni można zrealizować jako szczególny przypadek przestrzeni L^{2}(Ω, B, μ). Przestrzeń ℂ^{n} otrzymamy biorąc Ω = {1, 2, …, n}, za B σ-ciało wszystkich podzbiorów Ω a za μ miarę liczącą ilość elementów zbioru; przestrzeń ℓ^{2} biorąc Ω = ℕ a B i μ jak wyżej, zaś L^{2}([0, 1]) biorąc Ω = [0, 1], za B σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich [0, 1] a za μ miarę Lebesgue’a na [0, 1].

3.5. Przykład. Podamy jeszcze jeden ważny przykład przestrzeni Hilberta. Oznaczmy przez H^{2} zbiór wszystkich tych funkcji holomorficznych f na dysku jednostkowym D = {z ∈ ℂ : |z| < 1}, dla których

∥f∥ = ( sup_{0 r<1} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(r e^{it})|^{2} dt)^{1/2} < ∞.

Pokażemy, że przestrzeń H^{2} jest zupełna i można w niej tak wprowadzić iloczyn skalarny ⟨ , ⟩, by ∥f∥ = \sqrt{⟨f, f⟩}.

Jak wiadomo, każdą funkcję f holomorficzną na D można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego

f(z) = ∑_{n=0}^{∞}a_{n} z^{n}.

Mamy wtedy

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(r e^{it})|^{2} dt = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{k=0}^{∞}r^{n+k} a_{n} \overline{a_{k}} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{i(n−k)t} dt = ∑_{n=0}^{∞}r^{2n} |a_{n}|^{2}.

Wyrażenie sup_{0 r<1} w definicji normy ∥ ∥ można więc zastąpić przez lim_{r→1−} otrzymując

∥f∥ = ( lim_{r→1−} ∑_{n=0}^{∞}r^{2n} |a_{n}|^{2})^{1/2} = ( ∑_{n=0}^{∞}|a_{n}|^{2})^{1/2},

Oznacza to, że przestrzeń H^{2} jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓ^{2}, jest zatem przestrzenią Hilberta a iloczyn skalarny do niej można przenieść z przestrzeni ℓ^{2}. Otrzymujemy

⟨f, g⟩ = lim_{r→1−} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(r e^{it}) \overline{g(r e^{it})}dt.

Podamy teraz kilka prostych twierdzeń o przestrzeniach unitarnych.

3.6. Twierdzenie Pitagorasa. Jeśli ⟨x, y⟩ = 0, to ∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}.

Dowód: Korzystając z własności (2) – (4) iloczynu skalarnego otrzymujemy

\begin{aligned}∥x + y∥^{2} & = ⟨x + y, x + y⟩ = ⟨x, x⟩ + ⟨x, y⟩ + \overline{⟨x, y⟩}+ ⟨y, y⟩ = \\ & = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}. \end{aligned}

W interpretacji geometrycznej kąt α, utworzony przez wektory x i y, to kąt przy wierzchołku 0 trójkąta o bokach długości ∥x∥, ∥y∥ i ∥x − y∥, zatem na mocy twierdzenia cosinusów

∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} − 2 ∥x∥ ∥y∥ cosα.

Z drugiej strony, z definicji iloczynu skalarnego, otrzymujemy

∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} − 2 Re⟨x, y⟩.

Porównanie tych wielkości daje następującą interpretację kąta α:

cosα = \frac{Re⟨x, y⟩}{∥x∥ ∥y∥}.

W interpretacji tej trójkąt, rozpatrywany w twierdzeniu Pitagorasa 3.6, to trójkąt prostokątny.

3.7. Nierówność Schwarza. Dla dowolnych x, y ∈ H zachodzi nierówność

|⟨x, y⟩| ∥x∥ ∥y∥.

Dowód: Dla y = 0 nierówność jest oczywista, dla y ≠ 0 zaś wynika bezpośrednio z nierówności

0 ⟨x − λy, x − λy⟩ = ∥x∥^{2} − \overline{λ}⟨x, y⟩ − λ \overline{⟨x, y⟩}+ |λ|^{2}∥y∥^{2},

jeśli podstawić λ = \frac{⟨x, y⟩}{∥y∥^{2}}.

Z nierówności Schwarza łatwo wynika, że funkcjonał ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩} istotnie jest normą w H. Mamy bowiem

\begin{aligned}∥x + y∥^{2} & = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} + 2 Re⟨x, y⟩ \\ & ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} + 2 ∥x∥ ∥y∥ = (∥x∥ + ∥y∥)^{2}, \end{aligned}

co dowodzi podaddytywności normy. Pozostałe postulaty normy są spełnione w sposób oczywisty.

Z nierówności Schwarza wynika też, że iloczyn skalarny ⟨ , ⟩ jest ciągły jako funkcja dwóch zmiennych. Rzeczywiście, jeżeli x_{n} → x i y_{n} → y, to

|⟨x_{n}, y_{n}⟩ − ⟨x, y⟩| ∥x_{n} − x∥ ∥y∥ + ∥x∥ ∥y_{n} − y∥ + ∥x_{n} − x∥ ∥y_{n} − y∥ → 0.

3.8. Wzór polaryzacyjny. Dla dowolnych x, y ∈ H zachodzi równość

⟨x, y⟩ = \frac{1}{4}(∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2} + i ∥x + iy∥^{2} − i ∥x − iy∥^{2}).

W rzeczywistej przestrzeni Hilberta wzór polaryzacyjny przyjmuje postać

⟨x, y⟩ = \frac{1}{4}(∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2}).

3.9. Równość równoległoboku. Dla dowolnych x, y ∈ H zachodzi równość

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2 ∥x∥^{2} + 2 ∥y∥^{2}.

Nazwa �równość równoległoboku” pochodzi od znanego twierdzenia geometrii mówiącego, że suma kwadratów długości przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów długości jego boków.

Równość równoległoboku charakteryzuje przestrzenie unitarne, mianowicie:

3.10. Zadanie. Jeżeli w przestrzeni unormowanej X równość równoległoboku zachodzi dla każdej pary wektorów, to wzór polaryzacyjny 3.8 określa w niej iloczyn skalarny zgodny z normą, tzn. ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}, zatem X jest przestrzenią unitarną.

Twierdzenia o najlepszej aproksymacji

Twierdzenia, które teraz udowodnimy, dotyczą centralnych zagadnień teorii optymalizacji w przestrzeniach Hilberta.

Przedtem przypomnijmy, że podzbiór W przestrzeni liniowej jest nazywany wypukłym, gdy wraz z każdymi dwoma punktami x i y zawiera cały odcinek

{(1 − λ)x + λy : 0 λ 1}

łączący te punkty.

3.11. Twierdzenie (o najlepszej aproksymacji). Niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz W jej domkniętym podzbiorem wypukłym. Dla każdego x_{0} ∈ H istnieje dokładnie jeden taki element w_{0} ∈ W, że

(3. 10)  ∥x_{0} − w_{0}∥ = dist(x_{0}, W) = inf_{w∈W} ∥x_{0} − w∥.

Dowód: Oznaczmy d = dist(x_{0}, W) i wybierzmy w zbiorze W taki ciąg {w_{n}}, że ∥x_{0} − w_{n}∥ → d. Pokażemy, że jest to ciąg zbieżny do pewnego elementu w_{0} ∈ W. Z równości równoległoboku mamy

∥w_{n} − w_{m}∥^{2} = 2 ∥x_{0} − w_{n}∥^{2} + 2 ∥x_{0} − w_{m}∥^{2} − 4 ∥(\frac{1}{2}w_{n} + \frac{1}{2}w_{m}) − x_{0}∥^{2}.

Ponieważ \frac{1}{2}w_{n} + \frac{1}{2}w_{m} ∈ W, więc ∥(\frac{1}{2}w_{n} + \frac{1}{2}w_{m}) − x_{0}∥ d, stąd

∥w_{n} − w_{m}∥^{2} 2 ∥x_{0} − w_{n}∥^{2} + 2 ∥x_{0} − w_{m}∥^{2} − 4d^{2}.

Prawa strona tej nierówności dąży do zera, gdy n, m → ∞. Oznacza to, że {w_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego w H, jest zatem zbieżny do pewnego elementu w_{0}. Z domkniętości zbioru W wnosimy, że w_{0} ∈ W.

Jest oczywiste, że ∥x_{0} − w_{0}∥ = d. Jeśli równość taka jest spełniona dla dwóch elementów w′_{0}, w′′_{0}∈ W, to przyjmując jako ciąg {w_{n}} ciąg {w′_{0}, w′′_{0}, w′_{0}, w′′_{0}, …}, który musi być zbieżny, otrzymujemy w′_{0} = w′′_{0}.

Twierdzenie o najlepszej aproksymacji istotnie wyróżnia przestrzenie Hilberta spośród przestrzeni Banacha. Ilustruje to następujący przykład:

3.12. Przykład. Ustalmy niezerowy wektor y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ^{∞} i określmy funkcję φ : ℓ^{1} → ℂ wzorem

φ(x) = ∑_{n=1}^{∞}x_{n} y_{n}, gdy x = (x_{1}, x_{2}, …).

Jest to funkcja liniowa i ciągła, liniowość jest oczywista, a ciągłość wynika z nierówności |φ(u) − φ(v)| ∥u − v∥_{1} ∥y∥_{∞} ; zatem zbiór

W = {x ∈ ℓ^{1} : ∑_{n=1}^{∞}x_{n} y_{n} = 1}

jest wypukły i domknięty w ℓ^{1}. Zbadamy czy w W istnieją wektory o najmniejszej normie.

Dla wektora y = (1, 1, …) otrzymujemy

W = {x ∈ ℓ^{1} : ∑_{n=1}^{∞}x_{n} = 1}

i jeśli x ∈ W, to ∥x∥_{1} = ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}| ∑_{n=1}^{∞} x_{n} = 1; więc wektorem o najmniejszej normie jest każdy wektor x ∈ W, dla którego x_{n} 0, n = 1, 2, …, np. każdy wektor postaci x = (λ, 1 − λ, 0, 0 …), 0 λ 1. W zbiorze W istnieje zatem nieprzeliczalnie wiele wektorów o najmniejszej normie.

Przyjmijmy teraz y = (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, …), wtedy

W = \{x ∈ ℓ^{1} : ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n + 1} x_{n} = 1\}.

Zauważmy, że każdy z wektorów \frac{n+1}{n} e_{n}, n = 1, 2, …, gdzie e_{n} jest wektorem e_{n} = (0, …, 0, 1, 0, …) z jedynką na n-tym miejscu, leży w W oraz ∥\frac{n+1}{n} e_{n}∥_{1} = \frac{n+1}{n} , więc dist(0, W) 1. Jednak w zbiorze W nie ma wektorów o normie 1, gdyż

∥x∥_{1} = ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}| > ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n + 1} |x_{n}| ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n + 1} x_{n} = 1.

Ogólnie dist(0, W) = 1/∥y∥_{∞} , a odpowiedź na pytanie, czy w W istnieją wektory o najmniejszej normie, zależy od liczności zbioru {n ∈ ℕ : |y_{n}| = ∥y∥_{∞} }. Jeżeli jest to zbiór pusty — jak w drugim przypadku — to w zbiorze W nie ma wektorów o najmniejszej normie; jeżeli jest jednoelementowy, powiedzmy postaci {n_{0}}, to w W istnieje dokładnie jeden wektor o najmniejszej normie, jest nim wektor e_{n_{0}}/y_{n_{0}} , a jeżeli posiada więcej niż jeden element — jak w przypadku pierwszym — to w W jest nieprzeliczalnie wiele wektorów o najmniejszej normie.

3.13. Twierdzenie. Wektor w_{0} ∈ W ma własność (3. 10) z twierdzenia o najlepszej aproksymacji wtedy i tylko wtedy, gdy

Re⟨x_{0} − w_{0}, w_{0} − w⟩ 0

dla wszystkich w ∈ W.

Dowód: Załóżmy, że ∥x_{0} − w_{0}∥ = inf_{w∈W} ∥x_{0} − w∥ i niech w będzie dowolnym elementem zbioru W. Ponieważ (1 − λ)w_{0} + λw ∈ W dla λ ∈ [0, 1], więc funkcja

\begin{aligned}g(λ) & = ∥x_{0} − (1 − λ)w_{0} − λ w∥^{2} \\ & = ∥x_{0} − w_{0}∥^{2} + 2λ Re⟨x_{0} − w_{0}, w_{0} − w⟩ + λ^{2}∥w_{0} − w∥^{2} \end{aligned}

przyjmuje na przedziale [0, 1] najmniejszą wartość w punkcie λ = 0, musi zatem być g′(0) 0. To dowodzi postulowanej nierówności Re⟨x_{0} − w_{0}, w_{0} − w⟩ 0.

Z drugiej strony nierówność powyższa pociąga g(0) g(1), czyli ∥x_{0} − w_{0}∥ ∥x_{0} − w∥.

Twierdzenie to ma następującą interpretację geometryczną: zbiór tych wektorów x w przestrzeni H, dla których

Re⟨x_{0} − w_{0}, x⟩ = Re⟨x_{0} − w_{0}, w_{0}⟩ = c

tworzy hiperpłaszczyznę przechodzącą przez punkt w_{0} (i normalną do wektora x_{0} − w_{0}). Hiperpłaszczyznę taką nazywamy podpierającą zbiór W w punkcie w_{0}, bowiem Re⟨x_{0}− w_{0}, w_{0}⟩ = c oraz Re⟨x_{0}− w_{0}, w⟩ c dla wszystkich w ∈ W (zbiór W styka się z hiperpłaszczyzną, ale leży tylko po jej jednej stronie).

3.14. Wniosek. Jeżeli W jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni Hilberta H, to wektor w_{0} najlepiej spośród wszystkich wektorów W aproksymuje wektor x_{0} ∈ H wtedy i tylko wtedy, gdy ⟨x_{0} − w_{0}, w⟩ = 0 dla wszystkich w ∈ W.

Dowód: Ponieważ wektor w_{0} + ⟨x_{0} − w_{0}, w⟩w także należy do W, więc z twierdzenia 3.13 otrzymujemy −|⟨x_{0} − w_{0}, w⟩|^{2} 0, czyli ⟨x_{0} − w_{0}, w⟩ = 0.

Aby obliczyć odległość wektora x od domkniętej podprzestrzeni H_{0} przestrzeni Hilberta nie zawsze potrzebna jest znajomość wektora najlepiej w H_{0} aproksymującego wektor x. Pokażemy jak można ją obliczyć posługując się pojęciem wyznacznika Gramma.

Definicja. Wyznacznikiem Gramma G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) układu wektorów x_{1}, x_{2}, …, x_{n} przestrzeni unitarnej H nazywamy liczbę

G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = det{⟨x_{i}, x_{j}⟩}_{1 i,j n} .

3.15. Lemat. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} będzie układem wektorów przestrzeni unitarnej H i niech H_{n−1} oznacza podprzestrzeń liniową w H rozpiętą na wektorach x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} . Wtedy

G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} ) · dist(x_{n}, H_{n−1} )^{2}.

Dowód: Zauważmy na wstępie, że założenie zupełności przestrzeni H nie jest nam potrzebne. Cała �akcja” odbywa się w podprzestrzeni H_{n} = lin{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}, a ta, jako skończenie wymiarowa, jest zupełna.

Załóżmy, że wektor w, najlepiej w przestrzeni H_{n−1} aproksymujący wektor x_{n}, ma postać w = λ_{1} x_{1}+λ_{2}x_{2}+… λ_{n−1} x_{n−1} . Odejmując od ostatniego wiersza macierzy

⟨x_{1}, x_{1}⟩ … ⟨x_{1}, x_{n−1} ⟩ ⟨x_{1}, x_{n}⟩
⋮  ⋮  ⋮
⟨x_{n−1} , x_{1}⟩ … ⟨x_{n−1} , x_{n−1} ⟩ ⟨x_{n−1} , x_{n}⟩
⟨x_{n}, x_{1}⟩ … ⟨x_{n}, x_{n−1} ⟩ ⟨x_{n}, x_{n}⟩

(której wyznacznikiem jest G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})) kombinację liniową pozostałych wierszy, ze współczynnikami wynoszącymi odpowiednio λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n−1} , otrzymamy macierz, której wyznacznik się nie zmieni, a ostatni wiersz przyjmie postać

⟨x_{n} − w, x_{1}⟩ … ⟨x_{n} − w, x_{n−1} ⟩ ⟨x_{n} − w, x_{n}⟩ .

Z wniosku 3.14 wynika, że ⟨x_{n} −w, x⟩ = 0 dla każdego x ∈ H_{n−1} , zatem w istocie wiersz ten przyjmie postać

0 … 0 ⟨x_{n} − w, x_{n}⟩ .

Postępując podobnie z ostatnią kolumną, tym razem odejmując od niej kombinację liniową pozostałych kolumn ze współczynnikami \overline{λ_{1}}, \overline{λ_{2}}, …, \overline{λ_{n−1}} otrzymamy macierz

⟨x_{1}, x_{1}⟩ … ⟨x_{1}, x_{n−1} ⟩  0
⋮  ⋮  ⋮
⟨x_{n−1} , x_{1}⟩ … ⟨x_{n−1} , x_{n−1} ⟩  0
0  …  0  ⟨x_{n} − w, x_{n} − w⟩

o wyznaczniku wynoszącym G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} ) · ∥x_{n} − w∥^{2}.

3.16. Fakt. Dla dowolnych wektorów x_{1}, x_{2}, …, x_{n} przestrzeni unitarnej zachodzi nierówność G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) 0, przy czym G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne.

Dowód: Przyjmując H_{0} = {0}, z lematu 3.15 otrzymujemy

G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = ∏_{k=1}^{n} dist(x_{k}, H_{k−1} )^{2},

więc G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) 0. Wektory x_{1}, x_{2}, …, x_{n} są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy każdy składnik powyższego iloczynu jest różny od zera.

Liczbę \sqrt{G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})} możemy interpretować jako (n-wymiarową) objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Istotnie, objętość ta V (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) jest iloczynem pola podstawy równoległościanu i jego wysokości, podstawą jest równoległościan rozpięty na wektorach x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} a wysokością odległość wierzchołka x_{n} od hiperpłaszczyzny podstawy, zatem

V (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = V (x_{1}, x_{2}, …, x_{n−1} ) · dist(x_{n}, H_{n−1} ),

a w konsekwencji V (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = ∏_{k=1}^{n} dist(x_{k}, H_{k−1} ).

Natychmiastową konsekwencją lematu 3.15 jest następujące twierdzenie:

3.17. Twierdzenie. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} będzie liniowe niezależnym układem wektorów przestrzeni unitarnej H i niech H_{n} oznacza podprzestrzeń liniową w H rozpiętą na tych wektorach. Dla dowolnego wektora x ∈ H zachodzi równość

dist(x, H_{n}) = \sqrt{\frac{G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x)}{G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})}}.

3.18. Przykład. Obliczymy odległość w L^{2}(0, 1) jednomianu t^{n} od podprzestrzeni H_{n−1} wszystkich wielomianów stopnia niższego niż n, tj. podprzestrzeni rozpiętej na jednomianach 1, t, …, t^{n−1} . Łatwo sprawdzamy, że

G(1, t, …, t^{n}) = det\{\frac{1}{i + j + 1} \}_{0 i,j n} ,

zatem ze wzoru wyznacznikowego Cauchy’ego (patrz ??)

G(1, t, …, t^{n}) = \frac{∏_{i<j}(i − j)^{2}}{∏_{i,j}(i + j + 1)} = \frac{[ 1! 2! ⋯n! ]^{3}}{(n + 1)! (n + 2)! ⋯(2n + 1)!} ,

stąd na mocy twierdzenia 3.17

dist(t^{n}, H_{n−1} ) = \sqrt{\frac{[n!]^{4}}{(2n)! (2n + 1)!}} = _{\frac{1}{\sqrt{2n + 1} \binom{2n}{n}}}.

3.19. Zadanie. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} będzie dowolnym układem funkcji z przestrzeni L^{2}(ℝ). Dowieść, że wyznacznik Gramma

G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = det{⟨x_{i}, x_{j}⟩}_{1 i,j n}

tego układu można wyrazić w postaci

G(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = \frac{1}{n!} ∫_{ℝ^{n}} | det\{x_{i}(t_{j})\}_{1 i,j n} |^{2}dt_{1} dt_{2} … dt_{n}.

Ortogonalność

Dwa wektory x, y przestrzeni unitarnej H nazywamy ortogonalnymi jeżeli ⟨x, y⟩ = 0. Gdy każdy element zbioru A ⊂ H jest ortogonalny do każdego elementu zbioru B ⊂ H, to powiemy, że zbiory te są ortogonalne do siebie. Ortogonalność wektorów będziemy oznaczać x ⊥ y a zbiorów A ⊥ B. Jeżeli {x} ⊥ A, to piszemy x ⊥ A.

Z liniowości i ciągłości iloczynu skaranego łatwo wyprowadzić, że wektory ortogonalne do zbioru A tworzą domkniętą podprzestrzeń liniową w H. Będziemy ją oznaczać A^{⊥} i nazywać dopełnieniem ortogonalnym zbioru A.

3.20. Twierdzenie (o rozkładzie ortogonalnym). Jeżeli H_{0} jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni Hilberta H, to każdy wektor x ∈ H można przedstawić, i to dokładnie na jeden sposób, w postaci

x = x_{1} + x_{2}, gdzie x_{1} ∈ H_{0}, x_{2} ∈ H_{0}^{⊥} .

Dowód: Jeżeli x ∈ H, to w podprzestrzeni H_{0} — na mocy twierdzenia o najlepszej aproksymacji 3.11 — jest taki wektor x_{0}, że

∥x − x_{0}∥ = dist(x, H_{0}).

Wykażemy, że wektor x_{1} = x − x_{0} leży w H_{0}^{⊥} , tzn., że ⟨x_{1}, y⟩ = 0 dla wszystkich y ∈ H_{0}.

Obierzmy λ = ⟨x_{1}, y⟩/∥y∥^{2}. Ponieważ x_{0} + λ y ∈ H_{0}, więc ∥x − (x_{0} + λ y)∥ dist(x, H_{0}), a zatem

\begin{aligned}0 ∥x − (x_{0} + λ y)∥^{2} − ∥x − x_{0}∥ & = ∥x_{1} − λ y∥^{2} − ∥x_{1}∥^{2} = \\ & = −\overline{λ} ⟨x_{1}, y⟩ − λ \overline{⟨x_{1}, y⟩}+ |λ|^{2}∥y∥^{2} \end{aligned}

Podstawiając przyjętą wartość λ dostajemy −|⟨x_{1}, y⟩|^{2}/∥y∥^{2} 0, a w konsekwencji ⟨x_{1}, y⟩ = 0.

Do udowodnienia pozostaje jednoznaczność rozkładu. Przypuśćmy, że mamy jeszcze rozkład x = x′_{0}+x′_{1}, x′_{0} ∈ H_{0}, x′_{1} ∈ H_{0}^{⊥} . Wówczas x_{0}+x_{1} = x′_{0}+x′_{1}, czyli x_{0} − x′_{0} = x_{1} − x′_{1}. Wektor z lewej strony równości leży w podprzestrzeni H_{0}, a wektor z prawej w H_{0}^{⊥} ; jednak H_{0}∩H_{0}^{⊥} = {0}, co oznacza x_{0}−x′_{0} = x_{1}−x′_{1} = 0, lub inaczej x_{0} = x′_{0} i x_{1} = x′_{1}.

3.21. Wniosek. Dla podzbioru A ⊂ H zbiór (A^{⊥} )^{⊥} jest najmniejszą domkniętą podprzestrzenią liniową w H zawierającą A.

Dowód: Należy wykazać, że jeżeli H_{0} jest domkniętą podprzestrzenią liniową w H oraz H_{0} ⊃ A, to także H_{0} ⊃ (A^{⊥} )^{⊥} . Jest tak w istocie, bo inkluzja H_{0} ⊃ A pociąga inkluzję H_{0}^{⊥} ⊂ A^{⊥} , a ta z kolei inkluzję (H_{0}^{⊥} )^{⊥} ⊃ (A^{⊥} )^{⊥} , zaś z twierdzenia o rozkładzie ortogonalnym otrzymujemy równość (H_{0}^{⊥} )^{⊥} = H_{0}.

3.22. Zadanie. Niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz H_{0} jej domkniętą podprzestrzenią. Dowieść, że H/H_{0} jest przestrzenią Hilberta, izometrycznie izomorficzną z H_{0}^{⊥} . Opisać ten izomorfizm.

Układy ortogonalne

Zbiór A ⊂ H nazywamy ortogonalnym jeżeli każde dwa wektory A są ortogonalne. Jeżeli ponadto norma każdego wektora z A wynosi 1, to mówimy, że jest to zbiór ortonormalny. Zbiór ortonormalny nazywamy zupełnym, jeżeli nie ma w H niezerowego wektora ortogonalnego do A.

3.23. Ćwiczenia.

1. Zbiór ortonormalny jest liniowo niezależny.

2. W ośrodkowej przestrzeni unitarnej zbiór ortonormalny musi być skończony lub przeliczalny.

3.24. Przykład. Wielomiany Legendre’a L_{n}, n = 0, 1, 2, 3, …, gdzie

L_{n}(t) = \frac{1}{n!2^{n}} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}

tworzą układ ortogonalny w przestrzeni Hilberta L^{2}(−1, 1).

Istotnie, L_{n} jest wielomianem stopnia n a dla dowolnego wielomianu P, całkując n-krotnie przez części, dostajemy

⟨P, L_{n}⟩ = \frac{(−1)^{n}}{n!2^{n}} ∫_{−1}^{1} \frac{d^{n}}{dt^{n}} P (t) (t^{2} − 1)^{n}dt,

więc dostajemy ⟨P, L_{n}⟩ = 0 dla każdego wielomianu P stopienia niższego niż n, stąd < L_{m}, L_{n} >= 0 dla m ≠ n.

Sprawdźmy jeszcze, czy jest to układ ortonormalny. Ponieważ

\frac{d^{n}}{dt^{n}} L_{n}(t) = \frac{1}{(2n)!!} \frac{d^{2n}}{dt^{2n}}(t^{2} − 1)^{n} = \frac{(2n)!}{(2n)!!} = (2n − 1)!!,

więc

⟨L_{n}, L_{n}⟩ = \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!} ∫_{−1}^{1} (1 − t^{2})^{n}dt = \frac{2(2n − 1)!!}{(2n)!!} ∫_{0}^{π/2} cos^{2n+1} u du = \frac{2}{2n + 1} .

Zatem układ ortonormalny tworzą funkcje

\begin{matrix}√ & \overline{2n + 1} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} L_{n}, n = 0, 1, 2, ….

Przez analogię w przestrzeni L^{2}(a, b) możemy określić układ wielomianów ortogonalnych

P_{n}(t) = \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t − a)^{n}(t − b)^{n}.

3.25. Przykład. W przykładzie 3.18 obliczyliśmy odległość w L^{2}(0, 1) jednomianu t^{n} od podprzestrzeni H_{n−1} wszystkich wielomianów stopnia niższego niż n, Jak wiemy odległość ta jest równa normie wielomianu t^{n} − W (t), gdzie W jest wielomianem stopnia niższego niż n, najlepiej aproksymującym jednomian t^{n} w L^{2}(0, 1). Jest on jednoznacznie wyznaczony przez własność

∫_{0}^{1} [t^{n} − W (t)]P (t) dt = 0

dla wszystkich P ∈ H_{n−1} . W poprzednim przykładzie poznaliśmy już wielomian stopnia n o takiej własności, mianowicie wielomian

P_{n}(t) = \frac{d^{n}}{dt^{n}} t^{n}(t − 1)^{n}.

Jego współczynnikiem przy t^{n} jest \frac{(2n)!}{n!}, zatem musi być

W (t) = t^{n} − \frac{n!}{(2n)!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} t^{n}(t − 1)^{n}.

Pozwala to obliczyć

dist(t^{n}, H_{n−1} )^{2} = ∥\frac{n!}{(2n)!}P_{n}∥_{2}^{2} = \frac{[n!]^{2}}{(2n)!} ∫_{0}^{1} t^{n}(1 − t)^{n}dt = \frac{[n!]^{4}}{(2n)! (2n + 1)!} .

3.26. Zadanie. Pokazać, że funkcje Rademachera

r_{n}(t) = sgnsin2^{n−1} πt, n = 1, 2, 3, …

tworzą układ ortonormalny w L^{2}(0, 1). Czy jest to układ zupełny?

Podamy teraz opis procesu ortonormalizacyjnego, pozwalającego ze zbioru liniowo niezależnego zbudować zbiór ortonormalny.

3.27. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Załóżmy, że {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} jest zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni unitarnej H. Wtedy w H istnieje dokładnie jeden taki zbiór ortonormalny {y_{1}, y_{2}, …, y_{n}}, że

1. lin{x_{1}, x_{2}, …, x_{k}} = lin{y_{1}, y_{2}, …, y_{k}},

2. ⟨x_{k}, y_{k}⟩ > 0, dla k = 1, 2, …, n.

Dowód: Przeprowadzimy go przez indukcję względem k. Dla k = 1 wystarczy przyjąć y_{1} = \frac{1}{∥x_{1}∥}x_{1}, a jeżeli elementy y_{1}, y_{2}, …, y_{k} są już określone, to kładziemy

y_{k+1} = \frac{1}{∥z_{k+1} ∥}z_{k+1} , gdzie z_{k+1} = x_{k+1} − ∑_{j=1}^{k}⟨x_{k+1} , y_{j}⟩ y_{j}.

Zauważmy, że z_{k+1} ≠ 0, w przeciwnym przypadku elementy x_{1}, x_{2}, …, x_{k+1} byłyby liniowo zależne. Z konstrukcji jest oczywiste, że y_{k+1} ∈ lin{x_{1}, x_{2}, …, x_{k+1} }, że ∥y_{k+1} ∥ = 1 oraz, że ⟨y_{k+1} , y_{j}⟩ = 0 dla j = 1, 2, …, k. Stąd

⟨y_{k+1} , x_{k+1} ⟩ = ⟨y_{k+1} , z_{k+1} ⟩ = ∥z_{k+1} ∥ > 0.

Pokażemy jeszcze, że element y_{k+1} jest jedyny. Jeżeli pewien element y′ ma te same własności, co y_{k+1} , to jest postaci

y′= ∑_{j=1}^{k}λ_{j} y_{j}.

Jednak y′ musi być ortogonalny do każdego z elementów y_{1}, y_{2}, …, y_{k}, więc w istocie y′= λ_{k+1} y_{k+1} . Wiemy też, że ⟨y′, x_{k+1} ⟩ = λ_{k+1} ⟨y_{k+1} , x_{k+1} ⟩ > 0 oraz, że ∥y′∥ = 1. Z warunków tych wynika, że λ_{k+1} jest liczbą dodatnią i |λ_{k+1} | = 1. Daje to y′= y_{k+1} .

Dla wyznaczenia elementów y_{1}, y_{2}, …, y_{n} można posłużyć się wyznacznikami Gramma. Wzór, który przedstawimy może być szczególnie przydatny do obliczeń numerycznych.

3.28. Twierdzenie Gramma. Elementy zbioru {y_{1}, y_{2}, …, y_{n}} w twierdzeniu ortonormalizacyjnym można otrzymać z formalnego wyznacznika

y_{k} = c_{k} · det ( \begin{matrix}⟨x_{1}, x_{1}⟩ & ⟨x_{1}, x_{2}⟩ & … & ⟨x_{1}, x_{k−1} ⟩ & x_{1} \\ ⟨x_{2}, x_{1}⟩ & ⟨x_{2}, x_{2}⟩ & … & ⟨x_{2}, x_{k−1} ⟩ & x_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ ⟨x_{k}, x_{1}⟩ & ⟨x_{k}, x_{2}⟩ & … & ⟨x_{k}, x_{k−1} ⟩ & x_{k} \end{matrix} ) ,

gdzie

c_{k} = \frac{1}{\sqrt{G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k−1} ) G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k})}},

rozwijając go względem ostatniej kolumny.

Dowód: Jest oczywiste, że y_{k} ∈ lin{x_{1}, x_{2}, …, x_{k}}. Obliczając iloczyn skalarny ⟨y_{k}, x_{j}⟩ przy j < k otrzymamy wyznacznik, w którym ostatnia kolumna pokrywa się z kolumną j -tą. Taki wyznacznik jest równy zeru, zatem ⟨y_{k}, x_{j}⟩ = 0 dla j < k, w szczególności y_{k} ⊥ y_{j} dla takich j. Dla j = k otrzymujemy

⟨y_{k}, x_{k}⟩ = c_{k} G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) > 0.

Pozostaje sprawdzić, czy ∥y_{k}∥ = 1. Obliczając ∥y_{k}∥^{2} = ⟨y_{k}, y_{k}⟩ otrzymamy wyznacznik, w którym ostatnia kolumna przyjmuje postać

0 0 … 0 ⟨x_{k}, y_{k}⟩,

więc jego wartość jest równa G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k−1} ) ⟨x_{k}, y_{k}⟩. Stąd

∥y_{k}∥^{2} = c_{k}^{2} G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k−1} ) G(x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) = 1.

3.29. Przykład. W L^{2}(−1, 1) proces ortonormalizacji Schmidta układu jednomianów 1, t, t^{2}, t^{3}, … prowadzi do układu funkcji

\begin{matrix}√ & \overline{2n + 1} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} L_{n}. n = 0, 1, 2, 3, …,

gdzie

L_{n}(t) = \frac{1}{n!2^{n}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n}

jest n-tym wielomianem Legendre’a.

Stwierdzenie to nie jest widoczną konsekwencją twierdzenia ortonormalizacyjnego a wynika z własności wielomianów Legendre’a, które pokazaliśmy w przykładzie 3.24: L_{n} jest wielomianem stopnia n, ∫_{−1}^{1} P (t)L_{n}(t) dt = 0 dla każdego wielomianu P stopnia niższego niż n oraz

∫_{−1}^{1} t^{n}L_{n}(t) dt = \frac{1}{2^{n}} ∫_{−1}^{1} (1 − t^{2})^{n}dt > 0.

Inne klasyczne wielomiany ortogonalne można otrzymać zastępując miarę Lebesgue’a na (−1, 1) innymi miarami. Dla przykładu, wielomiany Czebyszewa

T_{0}(t) = 1, T_{n}(t) = \frac{1}{2^{n−1}} cos(n arccost), n = 1, 2, 3, …

(a dokładniej wielomiany 2^{n−1/2} π^{−1/2} T_{n}(t)) otrzymamy dla miary μ określonej wzorem

μ(E) = ∫_{E} \frac{dt}{\sqrt{1 − t^{2}}} .

Jest tak istotnie, bo podstawiając u = arccost otrzymujemy

∫_{−1}^{1} cos(m arccost) cos(n arccost) \frac{dt}{\sqrt{1 − t^{2}}}
= ∫_{0}^{π} cosmu cosnu du.

Kolejne wielomiany Czebyszewa mają postać T_{0}(t) = 1, T_{1}(t) = t, T_{2}(t) = t^{2} − \frac{1}{2}. Następne można łatwo obliczyć ze wzoru rekurencyjnego

T_{n}(t) = t T_{n−1} (t) − \frac{1}{4} T_{n−2} (t) dla n = 3, 4, 5, ….

3.30. Zadanie. Pokazać, że w przestrzeni L^{2}((−1, 1), \sqrt{1 − t^{2}} dt) proces ortonormalizacji Schmidta układu jednomianów 1, t, t^{2}, t^{3}, … prowadzi do funkcji 2^{n+1/2} π^{−1/2} U_{n}(t), gdzie

U_{n}(t) = \frac{1}{n + 1} \frac{d}{dt}T_{n+1} (t) n = 0, 1, 2, …

jest n-tym wielomianem Czebyszewa 2-giego rodzaju.

Szeregi ortogonalne

Z twierdzenia Pitagorasa 3.6 wynika, że jeżeli x_{1}, x_{2}, …, x_{n} jest zbiorem ortogonalnym, to

∥x_{1} + x_{2} + … + x_{n}∥^{2} = ∥x_{1}∥^{2} + ∥x_{2}∥^{2} + … + ∥x_{n}∥^{2}.

Dla nieskończonych zbiorów ortonormalnych można to uogólnić w następujący sposób:

3.31. Twierdzenie. Jeżeli x_{1}, x_{2}, … jest ciągiem ortogonalnym w przestrzeni Hilberta H, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg ∑_{n=1}^{∞} x_{n} był zbieżny, jest aby ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥^{2} < ∞. Wtedy

∥ ∑_{n=1}^{∞}x_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞}∥x_{n}∥^{2}.

Dowód: Jeśli {s_{n}} jest ciągiem sum częściowych szeregu ∑_{k=1}^{∞} x_{k}, zaś {S_{n}} ciągiem sum częściowych szeregu ∑_{k=1}^{∞} ∥x_{k}∥^{2}, to dla n > m, z twierdzenia Pitagorasa, mamy

\begin{aligned}∥s_{n} − s_{m}∥^{2} & = ∥x_{m+1} + x_{m+2} + … + x_{n}∥^{2} = \\ & = ∥x_{m+1} ∥^{2} + ∥x_{m+2} ∥^{2} + … + ∥x_{n}∥^{2} = S_{n} − S_{m}. \end{aligned}

Zatem {s_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego w H wtedy i tylko wtedy, gdy {S_{n}} jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego.

3.32. Wniosek. Zbieżny szereg ortogonalny jest zbieżny bezwarunkowo, tj. zbieżny przy każdej permutacji swoich wyrazów.

Dowód: Niech σ będzie dowolną permutacją wskaźników. Ustalmy dowolnie ε > 0 i wybierzmy wskaźnik n_{0} tak, aby ∑_{n>n_{0}} ∥x_{n}∥^{2} < ε a wskaźnik n_{1} tak, aby zbiór {σ(1), σ(3), …, σ(n_{1})} zawierał wszystkie liczby 1, 2, …, n_{0}. Jeżeli n > n_{1} to

∥ ∑_{k=1}^{n}x_{k} − ∑_{k=1}^{n}x_{σ(k)}∥^{2} 2 ∑_{k>n_{0}} ∥x_{k}∥^{2} 2 ε^{2},

więc

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}x_{k} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}x_{σ(k)}.

Uwaga. Przypomnijmy, że w zbiorze ℂ liczb zespolonych, a więc także w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej zbieżność bezwarunkowa szeregów pokrywa się z ich zbieżnością bezwzględną. W nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta jest inaczej, istnieją szeregi bezwarunkowo zbieżne, które nie są zbieżne bezwzględnie. Dla przykładu w przestrzeni ℓ^{2} szereg ortogonalny ∑_{n=1}^{∞} x_{n}, gdzie x_{n} jest wektorem (0, …, 0, \frac{1}{n}, 0, …) z liczbą \frac{1}{n} na n-tym miejscu, jest zbieżny bezwarunkowo (do wektora (1, \frac{1}{2} \frac{1}{3}, …)) lecz nie jest zbieżny bezwzględnie.

Klasyczne szeregi Fouriera

Dla funkcji x ∈ L^{2}(0, 1) szereg

(3. 11)  a_{0} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos2kπit + b_{k} sin2kπit),

gdzie a_{0} = ∫_{0}^{1}x(t) dt oraz

a_{k} = 2∫_{0}^{1}x(t) cos2kπit dt, b_{k} = 2∫_{0}^{1}x(t) sin2kπit dt,

nosi nazwę klasycznego szeregu Fouriera funkcji x. Szereg ten jest zbieżny bezwarunkowo, bo funkcje 1, \sqrt{2} cos2πit, \sqrt{2} sin2πit, \sqrt{2} cos4πit, \sqrt{2} sin4πit, \sqrt{2} cos6πit, itd, tworzą układ ortonormalny w L^{2}(0, 1). Naszym celem będzie pokazanie, że jest to układ zupełny. Układ ten można przenieść na dowolny skończony przedział (a, b) wstawiając \frac{t}{\sqrt{b−a}} w miejsce zmiennej t i dopisując dodatkowy współczynnik \frac{1}{\sqrt{b−a}}

Zauważmy, że suma (3. 11) jest równa sumie szeregu

∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} e^{2kπit},

gdy c_{0} = a_{0} oraz c_{k} = \frac{1}{2}(a_{k} − i b_{k}), c_{−k} = \frac{1}{2}(a_{k} − i b_{k}) dla k = 1, 2, 3, … Funkcje y_{k}(t) = e^{2kπit}, k = 0, ±1, ±2, … także tworzą układ ortonormalny w L^{2}(0, 1). Układ ten jest wygodniejszy od układu opisanego na początku, dlatego tylko nim będziemy się posługiwali. Dodatkowo, współczynniki c_{k} będziemy oznaczali x̂(k), tj.

x̂(k) = ⟨x, y_{k}⟩ = ∫_{0}^{1}x(t) e^{−2kπit} dt.

Zaczniemy od udowodnienia dwóch pomocniczych lematów.

3.33. Lemat. Jeżeli funkcja x : [0, 1] → ℂ jest klasy C^{1} oraz x(0) = x(1), to

x̂′(k) = 2kπi x̂(k) dla k = 0, ±1, ±2, ….

Dowód: Całkując przez części otrzymujemy

x̂′(k) = x(t) e^{−2kπit} |_{0}^{1} − ∫_{0}^{1}x(t)(−2kπi)e^{−2kπit} dt = 2kπi x̂(k).

3.34. Lemat (Riemanna-Lebesgue’a). Jeżeli x ∈ L^{1}(a, b), to

lim_{λ→∞} ∫_{a}^{b} x(t) sinλt dt = 0.

Dowód: Dla funkcji y klasy C^{1} lemat wynika z równości

∫_{a}^{b}y(t) sinλt dt = \frac{1}{λ}( − y(t) cosλt|_{a}^{b} + ∫_{a}^{b}y′(t) cosλt dt).

Ustalmy teraz dowolnie ε > 0 i dobierzmy funkcję y klasy C^{1} tak, by ∥x−y∥_{1} < \frac{ε}{2} a następnie wskaźnik λ_{0}, by | ∫_{a}^{b} y(t) sinλt dt| < \frac{ε}{2} dla λ λ_{0}. Wtedy

|∫_{a}^{b}x(t) sinλt dt| ∥x − y∥_{1} + |∫_{a}^{b}y(t) sinλt dt| < ε

dla λ λ_{0}, o co chodziło.

3.35. Twierdzenie. Jeżeli x : ℝ → ℂ jest funkcją klasy C^{1}, okresową o okresie 1, to ciąg

s_{n}(t) = ∑_{|k| n} x̂(k) e^{2kπit}, n = 0, 1, 2, …,

sum częściowych szeregu Fouriera funkcji x, jest do niej zbieżny jednostajnie. Co więcej

∥x − s_{n}∥_{∞} \frac{C}{\sqrt{n}}

dla pewnej stałej C.

Dowód: Gdy m < n, to korzystając kolejno z lematu 3.33, nierówności Schwarza i nierówności Bessela otrzymujemy

(3. 12)  \begin{aligned}|s_{n}(t) − s_{m}(t)| & ∑_{m<|k| n} |x̂(k)| = ∑_{m<|k| n} | x̂′(k)| \frac{1}{2kπ|k|} \\ & ( ∑_{m<|k| n} | x̂′(k)|^{2})^{1/2}( ∑_{m<|k| n} \frac{1}{4π^{2}k^{2}})^{1/2} \\ & \frac{1}{2π} ∥x′∥_{2} m^{−1/2} , \end{aligned}

gdyż

∑_{k>m} \frac{1}{k^{2}} ∑_{k>m} \frac{1}{(k − 1)k} = \frac{1}{m}.

Wynika stąd, że ciąg {s_{n}} jest zbieżny jednostajnie. Pokażemy, że jego granicą jest funkcja x.

Funkcję s_{n} można zapisać w postaci

(3. 13)  s_{n}(t) = ∑_{|k| n} ∫_{0}^{1} x(u) e^{−2kπiu} du e^{2kπit} = ∫_{0}^{1} x(u) D_{n}(t − u) du,

gdzie

D_{n}(t) = ∑_{|k| n} e^{2kπit} = \frac{sin(2n + 1)πt}{sinπt}

jest tzw. jądrem Dirichleta. Zauważmy, że D_{n} jest funkcją parzystą, okresową o okresie 1 oraz

∫_{0}^{1} D_{n}(t) dt = ∑_{|k| n} ∫_{0}^{1} y_{k}(t) dt = ∑_{|k| n} ⟨y_{k}, y_{0}⟩ = 1.

Ponieważ funkcja x jest także okresowa o okresie 1, więc przedział całkowania w drugiej z całek (3. 13) możemy zmienić na dowolny przedział długości 1. Jeżeli wybierzemy przedział (−t, 1 − t) a następnie w całce zamienimy zmienną u na t + u, to otrzymamy

s_{n}(t) = ∫_{0}^{1} x(t + u) D_{n}(u) du.

Uwzględniając teraz fakt, że ∫_{0}^{1} D_{n}(u) du = 1, różnicę s_{n}(t)−x(t) możemy przedstawić w postaci

s_{n}(t) − x(t) = ∫_{0}^{1} [x(t + u) − x(t)] D_{n}(u) du = ∫_{0}^{1} φ_{t}(u) sin(2n + 1)πu du, gdzie

φ_{t}(u) = \frac{x(t + u) − x(t)}{sinπu} .

Funkcja φ_{t} jest ciągła i ograniczona, bo lim_{u→0}φ_{t}(u) = \frac{x′(t)}{π} oraz lim_{u→1}φ_{t}(u) = −\frac{x′(t)}{π}, zatem na mocy lematu Riemanna-Lebesgue’a s_{n}(t) → x(t) dla każdego ustalonego t ∈ [0, 1]. Przechodząc w nierówności 3.35 do granicy przy n → ∞ otrzymamy

∥x − s_{m}∥_{∞} \frac{1}{2π} ∥x′∥_{2} m^{−1/2} .

3.36. Wniosek. W przestrzeni L^{2}(0, 1) trygonometryczny układ ortonormalny e^{2kπit}, k = 0, ±1, ±2, … jest zupełny.

Dowód: W przestrzeni L^{2}(0, 1) funkcje, które dają się przedłużyć do funkcji klasy C^{1}, okresowych o okresie 1 (tj. takie funkcje x klasy C^{1} na (0, 1), dla których lim_{t→0}x(t) = lim_{t→1}x(t) oraz lim_{t→0}x′(t) = lim_{t→1}x′(t)) tworzą zbiór gęsty. Z twierdzenia 3.35 wiemy, że każdą taką funkcję w normie ∥ ∥_{∞} , a wiec tym bardziej w normie ∥ ∥_{2}, można dowolnie przybliżać skończonymi kombinacjami liniowymi funkcji układu. Zatem funkcje układu tworzą zbiór liniowo gęsty w L^{2}(0, 1).

3.37. Przykład. Rozwiniemy w szereg Fouriera funkcję x(t) = t − \frac{1}{2}. Łatwy rachunek daje x̂(0) = 0 oraz

x̂(k) = ∫_{0}^{1} (t − \frac{1}{2}) e^{−2πikt} dt = \frac{1}{−2πik} dla k = ±1, ±2, …,

zatem

(3. 14)  t − \frac{1}{2} = ∑_{k≠0} \frac{1}{−2kπi} e^{2kπit} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin2kπt}{−kπ}.

Ponieważ

∑_{k=−∞}^{∞} |x̂(k)|^{2} = \frac{1}{2π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} oraz ∥x∥_{2}^{2} = ∫_{0}^{1}(t − \frac{1}{2})^{2}dt = \frac{1}{12},

więc z równości Parsevala otrzymujemy

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}.

Rozwinięcie (3. 14) można łatwo wyprowadzić bez użycia techniki szeregów Fouriera, opierając się na wzorze

∑_{k=1}^{n}cos2kπt = \frac{sin(2n + 1)πt}{2 sinπt} − \frac{1}{2}.

Mianowicie

∑_{k=1}^{n} \frac{sin2kπt}{−kπ} = −2 ∫_{0}^{t} ∑_{k=1}^{n}cos2kπs ds = t − ∫_{0}^{t} \frac{sin(2n + 1)πs}{sinπs} ds

= t − ∫_{0}^{t} [\frac{1}{sinπs} − \frac{1}{πs}] sin(2n + 1)πs ds + \frac{1}{π} ∫_{0}^{t} \frac{sin(2n + 1)πs}{s} ds.

Ponieważ funkcja \frac{1}{sinπs} − \frac{1}{πs} jest ograniczona na przedziale (0, t), więc na mocy lematu Riemanna-Lebesgue’a pierwsza z całek po prawej stronie ostatniej równości dąży do 0 przy n → ∞. Druga całka przez postawienie u = (2n+1)πs sprowadza się do całki

\frac{1}{π} ∫_{0}^{(2n+1)πt} \frac{sinu}{u} du,

a więc dąży do \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} \frac{sinu}{u} du = \frac{1}{2}. W konsekwencji

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{sin2kπt}{−kπ} = t − \frac{1}{2}.

3.38. Przykład. Lemat 3.33 nasuwa pomysł uogólnienia rezultatów przykładu 3.37 tak, by móc obliczyć także sumy szeregów

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2n}}, n = 2, 3, ….

Wybierzmy w przestrzeni L^{2}(0, 1) tak ciąg funkcji x_{0}, x_{1}, …, by x_{0} = 1 oraz

x′_{n} = x_{n−1} i ∫_{0}^{1} x_{n}(t) dt = 0 dla n = 1, 2, 3, ….

Istnieje tylko jeden taki ciąg funkcji. Mamy mianowicie

\begin{aligned}x_{1}(t) & = t − \frac{1}{2}, x_{2}(t) = \frac{1}{2}t^{2} − \frac{1}{2}t + \frac{1}{12}, x_{3}(t) = \frac{1}{6}t^{3} − \frac{1}{4}t^{2} + \frac{1}{12}t, \\ x_{4}(t) & = \frac{1}{24}t^{4} − \frac{1}{12}t^{3} + \frac{1}{24}t^{2} − \frac{1}{720}, itd., \end{aligned}

ogólnie

x_{n}(t) = ∫_{0}^{t} x_{n−1} (s) ds + a_{n},

gdzie

a_{n} = − ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} x_{n−1} (s) ds dt = ∫_{0}^{1}(s − 1) x_{n−1} (s) ds.

Mamy zatem

x_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{(n − k)!} t^{n−k} ,

gdzie a_{0} = 1 i dla każdego n = 1, 2, 3, … zachodzi równość

∑_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{(n + 1 − k)!} = 0.

Mnożąc obie strony tej równości przez (n+1)! i przyjmując k! a_{k} = β_{k} otrzymamy

∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k}β_{k} = 0, n = 1, 2, …,

zatem (patrz [3], 449]) β_{0}, β_{1}, β_{2}, … jest ciągiem współczynników rozwinięcia w szereg Taylora funkcji t/(e^{t} − 1), tzn.

\frac{t}{e^{t} − 1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{β_{n}}{n!} t^{n}.

W szczególności β_{2n} = (−1)^{n−1} B_{n}, gdzie B_{1}, B_{2}, … jest ciągiem liczb Bernoulli’ego

B_{1} = \frac{1}{6}, B_{2} = \frac{1}{30}, B_{3} = \frac{1}{42}, B_{4} = \frac{1}{30}, B_{5} = \frac{5}{66}, B_{6} = \frac{691}{2730}, …

Wiemy, że funkcje e_{k}(t) = exp2πikt, k = 0, ±1, ±2, … tworzą układ ortonormalny zupełny w L^{2}(0, 1) a dla funkcji x ∈ L^{2}(0, 1) zachodzi równość Parsevala

∫_{0}^{1} |x(t)|^{2}dt = ∑_{−∞}^{+∞} |x̂(k)|^{2}, gdzie x̂(k) = ∫_{0}^{1} x(t) \overline{e_{k}(t)}dt

jest ciągiem współczynników Fouriera funkcji x.

Łatwo obliczamy

x̂_{1}(0) = 0,  x̂_{1}(k) = ∫_{0}^{1} (t − \frac{1}{2}) e^{−2πikt} dt = \frac{1}{−2πik} dla k = ±1, ±2, …,

a dla n > 1 całkując przez części dostajemy

x̂_{n}(k) = \frac{1}{−2πik} x̂_{n−1} (k) = … = \frac{1}{(−2πik)^{n}} , dla k ≠ 0 oraz x̂_{n}(0) = 0.

Z drugiej strony, także całkując przez części, dla n, m = 1, 2, … otrzymujemy

∫_{0}^{1} x_{n}(t)\overline{x_{m}(t)}dt = x_{n+1} (t)\overline{x_{m}(t)} |_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} x_{n+1} (t)\overline{x_{m−1} (t)}dt.

Gdy m = 1, to lewa strona przyjmuje wartość

\frac{1}{2}(x_{n+1} (1) + x_{n+1} (0)) = x_{n+1} (0) = a_{n+1} ,

a gdy m > 1, to przyjmie wartość − ∫_{0}^{1} x_{n+1} (t)\overline{x_{m−1} (t)}dt i można znów całkować przez części otrzymując w końcu

∫_{0}^{1} x_{n}(t)\overline{x_{m}(t)}dt = (−1)^{m−1} x_{n+m} (0) = (−1)^{m−1} a_{n+m} .

W szczególności

∫_{0}^{1} |x_{n}(t)|^{2} dt = (−1)^{n−1} a_{2n} = \frac{B_{n}}{(2n)!}.

Uwzględniając obliczone wartości współczynników Fouriera funkcji x_{n}, z równości Parsevala, otrzymujemy

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2n}} = \frac{(2π)^{2n}}{2 (2n)!} · B_{n}.

Funkcje Hermite’a

Pokażemy, że funkcje Hermite’a

(3. 15)  h_{n}(t) = \frac{(−1)^{n}}{n!} e^{πt^{2}} \frac{d^{n}}{dt^{n}} e^{−2πt^{2}} , n = 0, 1, 2, …

są funkcjami własnymi transformaty Fouriera, odpowiadającymi wartościom własnym (−i)^{n}, tj.

ĥ_{n} = (−i)^{n} h_{n}.

Zamiast funkcji Hermite’a wygodniej jest posługiwać się układem funkcji przeskalowanych

e_{n} = \frac{h_{n}}{∥h_{n}∥_{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}n!}{(4π)^{n}}} h_{n},

które tworzą układ ortonormalny zupełny w L^{2}(ℝ).

3.39. Twierdzenie. Funkcje

e_{n} = \frac{h_{n}}{∥h_{n}∥_{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}n!}{(4π)^{n}}} h_{n}, n = 0, 1, 2, …,

gdzie

h_{n}(t) = \frac{(−1)^{n}}{n!} e^{πt^{2}} \frac{d^{n}}{dt^{n}} e^{−2πt^{2}}

jest n-tą funkcją Hermite’a, tworzą układ ortonormalny zupełny w L^{2}(ℝ). Ponadto każda z funkcji e_{n} jest funkcją własną transformaty Fouriera odpowiadającą wartości własnej (−i)^{n}, tj.

ê_{n} = (−i)^{n} e_{n}.

Dowód: Zauważmy, że n-ta funkcja Hermite’a jest postaci

h_{n}(t) = H_{n}(t) e^{−πt^{2}} ,

gdzie H_{n} jest pewnym wielomianem stopnia n, tzw. n-tym wielomianem Hermite’a. Wynika stąd, że h_{n} ∈ S

Różniczkując (3. 15) otrzymamy

(3. 16)  h′_{n}(t) − 2πt h_{n}(t) = −(n + 1) h_{n+1} (t),

a ponieważ ze wzoru Leibniza dla funkcji gładkiej x zachodzi równość

\frac{d^{n}}{dt^{n}} (4πt x(t)) = 4πt\frac{d^{n}}{dt^{n}} x(t) + 4πn\frac{d^{n−1}}{dt^{n−1}} x(t),

więc przyjmując x(t) = e^{−2πt^{2}} i mnożąc obie strony przez e^{πt^{2}} otrzymamy

(n + 1) h_{n+1} = 4πt h_{n}(t) − 4π h_{n−1} ,

co po wstawieniu w (3. 16) daje (przyjmujemy h_{−1} (t) ≡ 0)

(3. 17)  h′_{n}(t) + 2πt h_{n}(t) = 4π h_{n−1} (t).

Jeśli teraz wyrugujemy z równań (3. 16) i (3. 17) pochodną h′_{n}(t), to otrzymamy następujący wzór rekurencyjny dla funkcji Hermite’a:

(3. 18)  4πt h_{n}(t) = (n + 1) h_{n+1} (t) + 4π h_{n−1} (t), n = 0, 1, 2, …

Posługując się wzorem (3. 18) łatwo możemy obliczyć wszystkie iloczyny skalarne ⟨h_{n}, h_{m}⟩. Mianowicie, gdy m 1, to całkując dla przez części funkcję

[e^{2πt^{2}} \frac{d^{n}}{dt^{n}} e^{−2πt^{2}} ] \frac{d^{m}}{dt^{m}} e^{−2πt^{2}}

i uwzględniając (3. 18) otrzymujemy

⟨h_{n}, h_{m}⟩ = \frac{1}{m} ∫_{−∞}^{∞} [4πt h_{n}(t) − (n + 1) h_{n+1} (t)] h_{m−1} (t) dt = \frac{4π}{m} ⟨h_{n−1} , h_{m−1} ⟩,

a ponieważ ⟨h_{0}, h_{0}⟩ = ∫_{−∞}^{∞} e^{−2πt^{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2}}, więc ⟨h_{n}, h_{m}⟩ = 0, gdy n ≠ m oraz

∥h_{n}∥_{2}^{2} = ⟨h_{n}, h_{n}⟩ = \frac{(4π)^{n}}{\sqrt{2}n!}.

Udowodniliśmy w ten sposób, że funkcje e_{0}, e_{1}, e_{2}, … tworzą układ ortonormalny. Pokażemy teraz, że jest to układ zupełny. Niech x ∈ L^{2}(ℝ). Wtedy transformata Fouriera funkcji y(t) = x(t) e^{−πt^{2}} ma postać

ŷ(t) = ∫_{−∞}^{∞} y(s) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−2πts)^{n}}{n!} ds = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−2πt)^{n}}{n!} ∫_{−∞}^{∞} x(s) s^{n}e^{−πs^{2}} ds.

Jeżeli funkcja x jest ortogonalna do wszystkich funkcji e_{n}, to każda z całek po prawej stronie jest równa zeru, więc ŷ = 0, stąd y = 0, a w konsekwencji także x = 0.

Pozostaje dowieść, że ĥ_{n} = (−i)^{n} h_{n} dla wszystkich n. Stosując transformatę Fouriera równości (3. 16) i (3. 17) oraz uwzględniając ?? dostaniemy

\begin{aligned}2πit ĥ_{n}(t) + i ĥ_{n} ′(t) & = −(n + 1) ĥ_{n+1} (t), \\ 2πit ĥ_{n}(t) − i ĥ_{n} ′(t) & = 4π ĥ_{n+1} (t), \end{aligned}

skąd

4πit ĥ_{n}(t) = −(n + 1) ĥ_{n+1} (t) + 4π ĥ_{n−1} (t).

Porównując tą równość z (3. 18) widzimy, że funkcje ĥ_{n} oraz (−i)^{n} h_{n} spełniają ten sam wzór rekurencyjny, aby pokazać, że są równe wystarczy sprawdzić, że ĥ_{−1} = i h_{−1} oraz ĥ_{0} = h_{0}. Pierwsza z równości jest oczywista, a drugą udowodniliśmy już w ??.

ROZDZIAŁ IV

CIĄGŁE FUNKCJONAŁY LINIOWE

Własności ogólne

4.1. Twierdzenie. Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Dla funkcjonału liniowego x^{∗} na X następujące warunki są równoważne: (i). x^{∗} jest ciągły; (ii). x^{∗} jest ciągły w jednym punkcie; (iii). x^{∗}^{−1} ({0}) jest zbiorem domkniętym; (iv). istnieje taki zbiór otwarty U ⊂ X oraz liczba λ ∈ ℂ, że λ ∉ x^{∗}(U); (v). istnieje taka stała M, że

|x^{∗}(x)| M ∥x∥, x ∈ X.

Dowód:

(i)⇒(ii). Oczywiste.

(ii)⇒(iii). Załóżmy, że x_{n} → x_{0} i x^{∗}(x_{n}) = 0 dla n = 1, 2, …. Pokażemy, że także x^{∗}(x_{0}) = 0. Jeżeli funkcjonał x^{∗} jest ciągły w punkcie y_{0}, to x_{n} −x_{0}+y_{0} → y_{0}, zatem x^{∗}(x_{n} − x_{0} + y_{0}) → x^{∗}(y_{0}), a ponieważ x^{∗}(x_{n} − x_{0} + y_{0}) = x^{∗}(x_{n}) − x^{∗}(x_{0}) + x^{∗}(y_{0}), więc x^{∗}(x_{0}) = 0.

(iii)⇒(iv). Jeśli x^{∗} = 0, to 1 ∉ x^{∗}(X) = {0} a jeśli x^{∗} ≠ 0, to 0 ∉ x^{∗}(U), gdzie U = X − x^{∗}^{−1} {0}).

(iv)⇒(v). Ustalmy element x_{0} należący do U. Zbiór U jest otwarty, zatem dla pewnego ε > 0 do U należą wszystkie elementy postaci x_{0} + εx, ∥x∥ 1. Jeżeli λ ∉ x^{∗}(U), to kładąc μ = \frac{1}{ε}[λ − x^{∗}(x_{0})] otrzymujemy łatwo, że μ ∉ x^{∗}(K), gdzie K jest kulą jednostkową w X. Wynika stąd, że |x^{∗}(x)| |μ| dla x ∈ K. Rzeczywiście, gdyby dla pewnego x ∈ K zachodziła nierówność |x^{∗}(x)| > |μ|, to dla elementu y = \frac{μ}{x^{∗}(x)} x leżącego w K mielibyśmy x^{∗}(y) = μ. Jeżeli teraz x jest

dowolnym elementem w X i x ≠ 0, to \frac{1}{∥x∥} x ∈ K. Stąd

(4. 19)  |x^{∗}(x)| = |x^{∗}(\frac{1}{∥x∥} x)| ∥x∥ |μ| ∥x∥.

(v)⇒(i). Oczywiste.

Kres dolny liczb M spełniających nierówność (v) oznaczamy przez ∥x^{∗}∥ i nazywamy normą funkcjonału x^{∗}.

4.2. Twierdzenie. Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego x^{∗} na X zachodzi nierówność

|x^{∗}(x)| ∥x^{∗}∥ ∥x∥, x ∈ X,

a także

∥x^{∗}∥ = sup_{∥x∥ 1} |x^{∗}(x)| = sup_{∥x∥=1} |x^{∗}(x)|.

Dowód: Niech M = sup{|x^{∗}(x)| : ∥x∥ = 1}. Wtedy rozumując jak w (4. 19) otrzymujemy, że |x^{∗}(x)| M ∥x∥ dla wszystkich x ∈ X, a więc M ∥x^{∗}∥. Z drugiej strony, gdy ∥x∥ = 1, to |x^{∗}(x)| ∥x^{∗}∥, zatem M ∥x^{∗}∥.

4.3. Przykład. Niech x_{0} będzie dowolną funkcją całkowalną w sensie Lebesgue’a na przedziale [0, 1]. Na przestrzeni C[0, 1] określmy funkcjonał liniowy x^{∗} wzorem

x^{∗}(x) = ∫_{0}^{1} x(t) x_{0}(t) dt.

Wtedy

\begin{aligned}|x^{∗}(x)| & = | ∫_{0}^{1} x(t) x_{0}(t) dt| ∫_{0}^{1} |x(t)| |x_{0}(t)| dt \\ & ∥x∥_{∞} ∫_{0}^{1} |x_{0}(t)| dt = ∥x∥_{∞} ∥x_{0}∥_{1}. \end{aligned}

Zatem x^{∗} jest ciągły i ∥x^{∗}∥ ∥x_{0}∥_{1}.

Pokażemy, że zachodzi równość obu norm. Z regularności miary Lebesgue’a (patrz ??) wynika, że dla dowolnego ε > 0 istnieje taka funkcja x_{1} ∈ C[0, 1], że ∥x_{0}−x_{1}∥_{1} < ε. Możemy przy tym dodatkowo zażądać, by x_{1}(t) ≠ 0 dla t ∈ [0, 1]. Połóżmy x = sgn \overline{x_{1}}, tzn.

x(t) = \frac{\overline{x_{1}(t)}}{|x_{1}(t)|} dla t ∈ [0, 1].

Oczywiście x ∈ C[0, 1], ∥x∥_{∞} = 1 oraz

\begin{aligned}|x^{∗}(x)| & | ∫_{0}^{1} x(t) x_{1}(t) dt| − ∫_{0}^{1} |x(t)| |x_{1}(t) − x_{0}(t)| dt \\ & ∫_{0}^{1} |x_{1}(t)| dt − ∥x_{1} − x_{0}∥_{1} ∥x_{0}∥_{1} − 2ε, \end{aligned}

a to daje nierówność przeciwną ∥x^{∗}∥ ∥x_{0}∥_{1}.

4.4. Przykład. Niech x^{∗} będzie funkcjonałem z poprzedniego przykładu, lecz tym razem określonym na przestrzeni C^{1}[0, 1] z normą ∥x∥_{C^{1}} = |x(0)| + ∥x′∥_{∞} . Jest to oczywiście funkcjonał ciągły, gdyż ∥ ∥_{∞} ∥ ∥_{C^{1}} . Obliczymy ∥x^{∗}∥.

Jeżeli funkcję x ∈ C^{1}[0, 1] przedstawimy w postaci x(t) = x(0) + ∫_{0}^{t} x′(s) ds, to

\begin{aligned}x^{∗}(x) & = x(0) ∫_{0}^{1} x_{0}(t) dt + ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} x′(s) x_{0}(t) ds dt = \\ & = x(0) x̃_{0}(0) + ∫_{0}^{1} x′(s) x̃_{0}(s) ds, \end{aligned}

gdzie x̃_{0}(s) = ∫_{s}^{1} x_{0}(t) dt. Ponieważ x′ może być dowolną funkcją ciągłą na [0, 1], więc rozumując jak przy obliczaniu normy funkcjonału w poprzednim przykładzie i opierając się na oczywistej równości

sup_{|α|+|β| 1} |αa + βb| = max{|a|, |b|}

otrzymamy

∥x^{∗}∥ = max{|x̃_{0}(0)| , ∥x̃_{0}∥_{1}}.

Ta wielkość jest na ogół istotnie mniejsza niż ∥x_{0}∥_{1}. Niech na przykład x_{ε}^{∗}, dla 0 < ε 1, oznacza funkcjonał, w którym w miejsce x_{0} wstawiono funkcję x_{ε} określoną wzorem

x_{ε}(t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2t − 1} & gdy ε < |2t − 1| 1; \\ 0 & poza tym. \end{matrix}

Wtedy

(4. 20)  ∥x_{ε}^{∗} − x_{δ}^{∗}∥ = ∥x̃_{ε} − x̃_{δ}∥_{1} = \frac{1}{4}(δ − ε) dla 0 < ε < δ 1.

W szczególności ∥x_{ε}^{∗}∥ = \frac{1}{4}(1 − ε), natomiast ∥x_{ε}∥_{1} = ln \frac{1}{ε}.

Z (4. 20) wynika ponadto, że dla każdej funkcji x ∈ C^{1}[0, 1] istnieje granica lim_{ε→0} x_{ε}^{∗}(x), Pozwala to określić na przestrzeni C^{1}[0, 1] ciągły funkcjonał liniowy w postaci wartości głównej całki niewłaściwej

lim_{ε→0} ∫_{ε<|2t−1| 1} \frac{x(t)}{2t − 1} dt.

Norma tego funkcjonału wynosi \frac{1}{4}.

Dla funkcji x z przestrzeni C[0, 1] całka powyższa zwykle jest rozbieżna.

Przestrzeń sprzężona

4.5. Twierdzenie. Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Zbiór X^{∗} wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na X, po wprowadzeniu działań dodawania funkcjonałów i mnożenia funkcjonału przez liczbę w sposób następujący

\begin{aligned}(x_{1}^{∗} + x_{2}^{∗})(x) & = x_{1}^{∗}(x) + x_{2}^{∗}(x), \\ (λx^{∗})(x) & = λ x^{∗}(x) \end{aligned}

oraz normy jako normy funkcjonału, staje się przestrzenią Banacha, nazywaną przestrzenią sprzężoną do przestrzeni X.

Dowód: Sprawdzenie, że X^{∗} jest przestrzenią liniową unormowaną jest nietrudne. Pokażemy więc tylko jej zupełność.

Niech x_{n}^{∗} będzie ciągiem Cauchy’ego w X^{∗}. Ponieważ

|x_{n}^{∗}(x) − x_{m}^{∗}(x)| ∥x_{n}^{∗} − x_{m}^{∗}∥ ∥x∥,

więc x_{n}^{∗}(x) jest dla każdego x ∈ X ciągiem Cauchy’ego w ℂ. Zatem istnieje granica lim_{n→∞} x_{n}^{∗}(x), którą oznaczymy x^{∗}(x). Pokażemy kolejno, że x^{∗} jest liniowy, ciągły oraz, że ∥x_{n}^{∗} − x^{∗}∥ → 0.

Liniowość funkcjonału x^{∗} otrzymujemy łatwo przechodząc do granicy w równościach

\begin{aligned}x_{n}^{∗}(x_{1} + x_{2}) & = x_{n}^{∗}(x_{1}) + x_{n}^{∗}(x_{2}), \\ x_{n}^{∗}(λx) & = λ x_{n}^{∗}(x). \end{aligned}

Pokażemy, że funkcjonał x^{∗} jest ciągły. Zauważmy w tym celu, że ∥x_{n}^{∗}∥ jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego, a więc dla pewnej stałej M zachodzi ∥x_{n}^{∗}∥ M, n = 1, 2, …. Stąd dla każdego x ∈ X mamy |x_{n}^{∗}(x)| M ∥x∥, a to z kolei pociąga

|x^{∗}(x)| M ∥x∥.

Pozostaje więc tylko dowieść, że x_{n}^{∗} dąży do x^{∗} w X^{∗}. Dla dowolnego ε > 0 mamy

|x_{n}^{∗}(x) − x_{m}^{∗}(x)| < ∥x_{n}^{∗} − x_{m}^{∗}∥ ∥x∥ < ε ∥x∥

przy dostatecznie dużych m i n, Ustalając n i przechodząc do granicy przy m → ∞ otrzymamy

|x_{n}^{∗}(x) − x^{∗}(x)| ε ∥x∥,

co z definicji normy daje ∥x_{n}^{∗} − x^{∗}∥ ε.

4.6. Twierdzenie. Na przestrzeni skończenie wymiarowej każdy funkcjonał liniowy jest ciągły, oraz przestrzeń sprzężona jest izomorficzna z wyjściową.

Dowód: Ustalmy bazę Hamela e_{1}, e_{2}, …, e_{n} przestrzeni X i wprowadźmy normę ∥ ∥ kładąc

∥x∥ = max_{1 i n} |x_{i}|, dla x = ∑_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}.

Każdy funkcjonał liniowy x^{∗} na X jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wartości na wektorach bazy, gdyż

x^{∗}(x) = x^{∗}( ∑_{i=1}^{n}x_{1}e_{i}) = ∑_{i=1}^{n}x_{1}x^{∗}(e_{i}).

Ponadto

|x^{∗}(x)| = | ∑_{i=1}^{n}x_{i}x^{∗}(e_{i})| max_{1 i n} |x_{i}| ∑_{i=1}^{n} |x^{∗}(e_{1})| M ∥x∥,

gdzie M = ∑_{i=1}^{n} |x^{∗}(e_{i})|. Wynika stąd, że x^{∗} jest ciągły w normie ∥ ∥, a więc jest ciągły także w każdej innej normie przestrzeni X, bo w X każde dwie normy są równoważne.

Z drugiej strony dowolny układ liczb α_{1}, α_{2} …, α_{n} wzorem

x^{∗}(x) = ∑_{i=1}^{n}α_{i}x_{i}

określa (ciągły) funkcjonał liniowy na X. Ponieważ układ taki określa także (jednoznacznie) element y = ∑_{i=1}^{n} α_{i}e_{i} przestrzeni X, zatem przyporządkowanie y → x_{y}^{∗}

x_{y}^{∗}(x) = ∑_{i=1}^{n}α_{i}x_{i}, x ∈ X,

elementom przestrzeni X funkcjonałów liniowych z X^{∗} jest wzajemnie jednoznaczne. Jest ono liniowe — jest więc algebraicznym izomorfizmem X na X^{∗}, a ponieważ w przestrzeni X^{∗} każde dwie normy są także równoważne, jest homeomorfizmem.

4.7. Przykład. Podobne rozumowanie jak w powyższym dowodzie można przeprowadzić przy opisie przestrzeni ℓ^{1}^{∗} wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni ℓ^{1}.

Jak wiemy (patrz str. 16), każdy wektor x = (x_{1}, x_{2}, …) przestrzeni ℓ^{1} można jednoznacznie przestawić w postaci (bezwzględnie) zbieżnego szeregu

(4. 21)  x = ∑_{n=1}^{∞}x_{n}e_{n},

gdzie e_{n}, n = 1, 2, …, jest wektorem e_{n} = (0, …, 0, 1, 0, …) z jedynką na n-tym miejscu. Jeżeli y^{∗} jest ciągłym funkcjonałem liniowym na przestrzeni ℓ^{1}, to

y^{∗}(x) = y^{∗}( ∑_{n=1}^{∞}x_{n}e_{n}) = ∑_{n=1}^{∞}x_{n}y^{∗}(e_{n}).

Połóżmy y_{n} = y^{∗}(e_{n}), Ciąg {y_{n}} jest oczywiście ograniczony, definiuje więc wektor y = (y_{1}, y_{2}, …) z przestrzeni ℓ^{∞} , o normie ∥y∥_{∞} ∥y^{∗}∥. Odwrotnie, każdy wektor y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ^{∞} wzorem

(4. 22)  y^{∗}(x) = ∑_{n=1}^{∞}x_{n}y_{n}, gdzie x = (x_{1}, x_{2}, …)

określa funkcjonał liniowy na przestrzeni ℓ^{1}. Mamy

|y^{∗}(x)| ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}| |y_{n}| ∥x∥_{1}∥y∥_{∞} ,

co pociąga, że y^{∗} jest ciągły i ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{∞} . Wraz z wcześniej udowodnioną nierównością ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{∞} oznacza to, że przyporządkowanie y → y^{∗} określone wzorem (4. 22) jest izometrycznym izomorfizmem ℓ^{∞} na ℓ^{1}^{∗}.

Wzór (4. 22) może też posłużyć do określenia ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni c_{0} . Jeżeli y = (y_{1}, y_{2} …) leży w ℓ^{1}, to szereg (4. 22) jest zbieżny oraz |y^{∗}(x)| ∥x∥_{∞} ∥y∥_{1}, zatem y^{∗} jest ciągły na c_{0} i ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{1}. Aby dowieść, że przyporządkowanie y → y^{∗} jest izometrycznym izomorfizmem ℓ^{1} na c_{0} wystarczy pokazać, że każdy ciągły funkcjonał liniowy y^{∗} na c_{0} ma postać (4. 22) oraz, że ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{1}. Pierwszy fakt wynika z tego, że ciąg {e_{n}} jest bazą przestrzeni c_{0} , a więc każdy wektor ma przedstawienie (4. 21). Dla dowodu drugiego niech x będzie wektorem x = (x_{1}, …, x_{n}, 0, 0, …), gdzie x_{k} = sgn \overline{y_{k}} (przypomnijmy, że dla liczby zespolonej z, sgnz = z/|z|, gdy z ≠ 0 oraz sgnz = 0 w przeciwnym przypadku). Wtedy

y^{∗}(x) = ∑_{k=1}^{n}x_{k}y_{k} = ∑_{k=1}^{n}|y_{k}|.

Ponieważ ∥x∥_{∞} 1 a n jest dowolne, więc ∑_{k=1}^{∞} |y_{k}| ∥y^{∗}∥.

4.8. Zadanie. Czy przestrzeń ℓ^{∞} ^{∗} jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓ^{1} ?

4.9. Zadanie. Udowodnić, że jeżeli 1 < p < ∞, to przyporządkowanie y → y^{∗} określone wzorem (4. 22) jest izometrycznym izomorfizmem przestrzeni ℓ^{q} na przestrzeń ℓ^{P}^{∗}, gdzie q = \frac{p}{p−1} .

4.10. Twierdzenie (Riesz). Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego y^{∗} ∈ H^{∗} istnieje, i to tylko jeden, taki wektor y ∈ H, że

y^{∗}(x) = ⟨x, y⟩, x ∈ H.

Przyporządkowanie σ : y^{∗} → y jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem izometrycznym H^{∗} na H, przy czym σ(y^{∗} + z^{∗}) = σ(y^{∗}) + σ(z^{∗}) i σ(λy^{∗}) = \overline{λ} σ(y^{∗}).

Dowód: Niech H_{0} = {x ∈ H : y^{∗}(x) = 0}. Ponieważ y^{∗} jest ciągłym funkcjonałem liniowym, H_{0} jest domkniętą podprzestrzenią liniową w H.

Jeżeli H_{0} = H, to y^{∗}(x) = 0 dla każdego x ∈ H, wystarczy wtedy przyjąć y = 0. Załóżmy wobec tego, że H_{0} ≠ H. W przestrzeni H_{0}^{⊥} istnieje wtedy taki niezerowy element y, że y^{∗}(y) = ∥y∥^{2}. Wystarczy dla dowolnego 0 ≠ x ∈ H_{0}^{⊥} położyć

y = \frac{y^{∗}(x)}{∥x∥^{2}} x.

Pokażemy, że element y ma żądane własności. Jeżeli x ∈ H, to

y^{∗}(x − \frac{y^{∗}(x)}{∥y∥^{2}} y) = y^{∗}(x) − y^{∗}(x) = 0,

stąd x − \frac{y^{∗}(x)}{∥y∥^{2}} y należą do H_{0}, a więc

0 = ⟨x − \frac{y^{∗}(x)}{∥y∥^{2}} y , y⟩ = ⟨x, y⟩ − y^{∗}(x).

Element y jest wyznaczony jednoznacznie przez funkcjonał y^{∗}. Rzeczywiście, jeżeli y′, y′′∈ H oraz

y^{∗}(x) = ⟨x, y′⟩ = ⟨x, y′′⟩,

to ⟨x, y′−y′′⟩ = 0 dla każdego x ∈ H, W szczególności dla x = y′−y′′otrzymamy ∥y′− y′′∥^{2} = 0, a stąd y′= y′′.

Weźmy teraz dowolny element y ∈ H i określmy funkcjonał y^{∗} wzorem

y^{∗}(x) = ⟨x, y⟩.

Z liniowości iloczynu skalarnego względem pierwszej zmiennej wynika, że y^{∗} jest liniowy, a z nierówności Schwarza

|y^{∗}(x)| = |⟨x, y⟩| ∥x∥ ∥y∥,

że y^{∗} jest ciągły. Wobec tego y^{∗} ∈ H^{∗} i ∥y^{∗}∥ ∥y∥. Z drugiej strony |⟨x, y⟩| = |y^{∗}(x)| ∥y^{∗}∥ ∥x∥ dla x ∈ H. Podstawiając tu x = y otrzymujemy ∥y∥^{2} ∥y^{∗}∥ ∥y∥, czyli ∥y∥ ∥y^{∗}∥. W konsekwencji ∥y^{∗}∥ = ∥y∥.

4.11. Twierdzenie Hahna-Banacha. Niech X_{0} będzie podprzestrzenią (niekoniecznie domkniętą) przestrzeni liniowej unormowanej X. Każdy ciągły funkcjonał liniowy x_{0}^{∗} na X_{0} można przedłużyć do ciągłego funkcjonału liniowego x^{∗} na całej przestrzeni X bez podnoszenia jego normy.

Dowód: W X określmy półnormę p wzorem

p(x) = ∥x∥ ∥x^{∗}∥_{X_{0}^{∗}}

i zastosujmy wersję twierdzenia Hahna-Banacha dla zespolonych przestrzeni liniowych (patrz ??). Dla przedłużenia x^{∗} otrzymamy wtedy

|x^{∗}(x)| p(x) = ∥x∥ ∥x_{0}^{∗}∥_{X_{0}^{∗}},

czyli

∥x^{∗}∥_{X^{∗}} ∥x_{0}^{∗}∥_{X_{0}^{∗}}.

Uwaga. Dla przestrzeni Hilberta przedłużenie, o którym mowa w twierdzeniu Hahna-Banacha jest jednoznaczne. Rzeczywiście, przedłużenie funkcjonału ciągłego z podprzestrzeni do jej domknięcia jest zawsze jednoznaczne. Załóżmy wobec tego, że y_{0}^{∗} jest ciągłym funkcjonałem liniowym na właściwej domkniętej podprzestrzeni H_{0} przestrzeni Hilberta H. Z twierdzenia Riesza 4.10 wynika, że

y_{0}^{∗}(x) = ⟨x, y_{0}⟩, x ∈ H_{0},

dla pewnego wektora y_{0} ∈ H_{0}, przy czym ∥y_{0}^{∗}∥ = ∥y_{0}∥. Funkcjonał y^{∗} jest przedłużeniem y_{0}^{∗} na H wtedy i tylko wtedy, gdy

y^{∗}(x) = ⟨x, y⟩, x ∈ H,

oraz ⟨x, y − y_{0}⟩ = 0 dla każdego x ∈ H_{0} czyli, gdy y − y_{0} ⊥ H_{0}. W konsekwencji

∥y^{∗}∥ = ∥y∥ = \sqrt{∥y_{0}∥^{2} + ∥y − y_{0}∥^{2}} ∥y_{0}∥ = ∥y_{0}^{∗}∥,

a równość zachodzi tylko wtedy, gdy y = y_{0}.

4.12. Twierdzenie (Hahn). Niech X_{0} będzie podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X oraz x_{0} ∈ X, przy czym

dist(x_{0}, X_{0}) = inf_{x∈X_{0}} ∥x_{0} − x∥ = d.

Wtedy istnieje taki funkcjonał liniowy x^{∗} ∈ X^{∗}, że

x^{∗}(x) = 0 dla x ∈ X_{0},  x^{∗}(x_{0}) = d,  ∥x^{∗}∥ 1.

Dowód: Możemy oczywiście założyć, że d > 0. Wtedy każdy element y przestrzeni X_{1} = lin(X_{0} ∪ {x}) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci = x + λx_{0}, gdzie x ∈ X_{0} i λ ∈ ℂ. Na przestrzeni X_{1} określmy funkcjonał liniowy x_{1}^{∗} wzorem

x_{1}^{∗}(y) = λ d.

Mamy wówczas x_{1}^{∗}(x) = 0 dla x ∈ X_{0} i x_{1}^{∗}(x_{0}) = d. Funkcjonał x_{1}^{∗} jest ciągły na X_{1} i ∥x_{1}^{∗}∥ 1. Rzeczywiście

∥x + λx_{0}∥ = |λ| ∥\frac{1}{λ}x + x_{0}∥ |λ| d = |x_{1}^{∗}(x + λx_{0})|

dla λ ≠ 0, a więc ∥x_{1}^{∗}∥ 1. Dowolne przedłużenie x_{1}^{∗} na całą przestrzeń, zachowujące jego normę, spełnia tezę.

4.13. Wniosek. Jeżeli x^{∗}(x) = 0 dla wszystkich x^{∗} ∈ X^{∗}, to x = 0. Co więcej

∥x∥ = max_{∥x^{∗}∥ 1} |x^{∗}(x)|.

Zauważmy, że dla każdego x ∈ X wzór

(4. 23)  x^{∗∗}(x^{∗}) = x^{∗}(x), x^{∗} ∈ X^{∗},

określa ciągły funkcjonał liniowy na X^{∗}. Z Wniosku 4.13 wynika, że ∥x^{∗∗}∥ = ∥x∥. Udowodniliśmy w ten sposób:

4.14. Twierdzenie. Przyporządkowanie x → x^{∗∗} określone wzorem (4. 23) jest izometrycznym izomorfizmem przestrzeni unormowanej X na podprzestrzeń przestrzeni X^{∗∗}.

Refleksywność

Przestrzeń Banacha X nazywamy refleksywną, jeżeli naturalne włożenie τ_{X} : X → X^{∗∗}, określone wzorem

τ_{X}x(x^{∗}) = x^{∗}(x), x^{∗} ∈ X^{∗},

jest (izometrycznym izomorfizmem) przestrzeni X na przestrzeń X^{∗∗} tzn., gdy dla każdego x^{∗∗} ∈ X^{∗∗} istnieje taki wektor x ∈ X, że x^{∗∗}(x^{∗}) = x^{∗}(x) dla każdego x^{∗} ∈ X^{∗}.

4.15. Fakt. Z wniosku 4.13 wynika, że jeżeli przestrzeń Banacha jest refleksywna, to każdy ciągły funkcjonał liniowy x^{∗} ∈ X^{∗} osiąga swoją normę na kuli jednostkowej przestrzeni X. Oznacza to, że ani przestrzeń c_{0} , ani ℓ^{1} nie są refleksywne. Na przestrzeni c_{0} normy nie osiąga żaden funkcjonał wyznaczony przez ciąg y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ^{1}, dla którego y_{n} ≠ 0 dla nieskończenie wielu n, zaś na przestrzeni ℓ^{1} żaden funkcjonał wyznaczony przez ciąg y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ^{∞} , dla którego ∥y∥_{∞} ≠ |y_{n}| dla wszystkich n, np. przez ciąg y_{n} = n/(n + 1).

Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do powyższego, ale dowód jest znaczne trudniejszy.

4.16. Lemat. Niech φ : X → Y będzie ciągłym odwzorowaniem liniowym przestrzeni Banacha X w przestrzeń Banacha Y . Wówczas odwzorowanie sprzężone φ_{∗} : Y^{∗} → X^{∗}, określone wzorem

φ_{∗}y^{∗}(x) = y^{∗}(φx), x ∈ X,

też jest ciągłe oraz ∥φ_{∗}∥ ∥φ∥.

Jeśli odwzorowanie φ jest izomorfizmem, to izomorfizmem jest również odwzorowanie φ_{∗}.

Niech φ_{∗∗} : X^{∗∗} → Y^{∗∗} oznacza odwzorowanie φ_{∗∗} = (φ_{∗})_{∗} sprzężone do φ_{∗}, zaś τ_{X} i τ_{Y} naturalne włożenia odpowiednio przestrzeni X w X^{∗∗} oraz Y w Y^{∗∗}. Wtedy

φ_{∗∗}τ_{X} = τ_{Y} φ,

tzn. następujący diagram jest przemienny

X −→^{φ} Y
↓^{τ_{X}}  ↓^{τ_{Y}}
X^{∗∗} −→^{φ_{∗∗}} Y^{∗∗}

Dowód: Pierwsza część lematu jest oczywista.

Jeżeli φ jest izomorfizmem X na Y , to prosty rachunek daje (φ^{−1} )_{∗}φ_{∗} = id_{Y^{∗}} oraz φ_{∗}(φ^{−1} )_{∗} = id_{X^{∗}}, tzn. (φ_{∗})^{−1} = (φ^{−1} )_{∗}. Z pierwszej części lematu wnosimy, że φ_{∗} i (φ_{∗})^{−1} są ciągłe, czyli że φ_{∗} jest homeomorfizmem.

Dla dowodu ostatniej części lematu wybierzmy dowolnie x ∈ X oraz y^{∗} ∈ Y^{∗}. Wtedy

φ_{∗∗}τ_{X}x(y^{∗}) = τ_{X}x(φ_{∗}y^{∗}) = φ_{∗}y^{∗}(x)

oraz

τ_{Y} φx(y^{∗}) = y^{∗}(φx) = φ_{∗}y^{∗}(x),

a więc φ_{∗∗}τ_{X} = τ_{Y} φ.

4.17. Twierdzenie. Przestrzeń Banacha izomorficzna z przestrzenią refleksywną jest także refleksywna.

Dowód: Załóżmy, że φ : X → Y jest izomorfizmem refleksywnej przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y . Wtedy odwzorowania φ_{∗∗} : X^{∗∗} → Y^{∗∗} oraz włożenie τ_{X} : X → X^{∗∗} są także izomorfizmami. Z lematu 4.16 wynika, że włożenie τ_{Y} : Y → Y^{∗∗} ma postać τ_{Y} = φ_{∗∗}τ_{X}φ^{−1} , jest więc izomorfizmem.

4.18. Lemat. Domknięta podprzestrzeń przestrzeni refleksywnej jest refleksywna.

Dowód: Niech X_{0} będzie domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni refleksywnej X i niech κ : X^{∗} → X_{0}^{∗} oznacza operację zwężania funkcjonału. Jest to operacja sprzężona do identycznościowego włożenia X_{0} wX. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że κ jest kontrakcją oraz κ(X^{∗}) = X_{0}^{∗}. Dla x_{0}^{∗∗} ∈ X_{0}^{∗∗} określmy wektor x_{0} ∈ X wzorem x_{0} = τ −1_{X} κ_{∗}x_{0}^{∗∗}. Dla x^{∗} ∈ X^{∗} mamy wtedy

x^{∗}(x_{0}) = κ_{∗}x_{0}^{∗∗}(x^{∗}) = x_{0}^{∗∗}(κx^{∗}).

Pokażemy, że w istocie x_{0} ∈ X_{0}. Gdyby tak nie było, to na mocy twierdzenia Hahna w X^{∗} istniałby taki funkcjonał x^{∗}, że x^{∗}(x_{0}) = 1, lecz x^{∗}(x) = 0 dla wszystkich x ∈ X_{0}, tzn. κx^{∗} = 0, to nie jest możliwe, bo wtedy mielibyśmy

1 = x^{∗}(x_{0}) = x_{0}^{∗∗}(κx^{∗}) = x_{0}^{∗∗}(0) = 0.

Skoro x_{0} ∈ X_{0}, to dla x^{∗} ∈ X^{∗} mamy

x^{∗}(x_{0}) = κx^{∗}(x_{0}) = τ_{X_{0}}x_{0}(κx^{∗}),

a ponieważ κ(X^{∗}) = X_{0}^{∗}, więc x_{0}^{∗∗} = τ_{X_{0}}x_{0}, w konsekwencji τ_{X_{0}}(X_{0}) = X_{0}^{∗∗}.

4.19. Przykład. Wiemy, że przestrzeń c_{0} nie jest refleksywna. Z lematu 4.18 wynika, że refleksywne nie są wobec tego także przestrzenie c i m (= ℓ^{∞} ).

4.20. Twierdzenie. Przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń z nią sprzężona jest refleksywna.

Dowód: Jeżeli X jest przestrzenią refleksywną, to odwzorowanie τ −1_{X} : X^{∗∗} → X jest izomorfizmem. Z lematu 4.16 wynika, że wtedy odwzorowanie τ_{X^{∗}} = (τ −1_{X} )_{∗} jest izomorfizmem X^{∗} na X^{∗∗∗}, to zaś oznacza refleksywność przestrzeni sprzężonej X^{∗}.

Załóżmy teraz, że X^{∗} jest przestrzenią refleksywną. Z udowodnionej już części twierdzenia wynika, że X^{∗∗} jest refleksywna. Przestrzeń X jest izomorficzna z domkniętą podprzestrzenią liniową τ_{X}(X) przestrzeni X^{∗∗}, jest więc przestrzenią refleksywną na mocy lematów 4.16 i 4.18.

4.21. Wniosek. Jeżeli X jest nierefleksywną przestrzenią Banacha, to wszystkie kanoniczne inkluzje X ⊂ X^{∗∗} ⊂ X^{(iv)} ⊂ … oraz X^{∗} ⊂ X^{∗∗∗} ⊂ X^{(v)} ⊂ … są właściwe.

4.22. Wniosek. Jeżeli X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni refleksywnej X, to X_{0} i X/X_{0} są refleksywne.

Dowód: Refleksywność podprzestrzeni X_{0} udowodniliśmy już w lemacie 4.18. Przestrzeń (X/X_{0})^{∗} jest izometrycznie izomorficzna z anihilatorem

X_{0}^{⊥} = {x^{∗} ∈ X^{∗} : x^{∗}|_{X_{0}} ≡ 0}

podprzestrzeni X_{0}. Ponieważ X_{0}^{⊥} jest domkniętą podprzestrzenią liniową w X^{∗}, jest refleksywna, dlatego przestrzeń (X/X_{0})^{∗}, a w konsekwencji także przestrzeń X/X_{0}, jest refleksywna.

4.23. Przykład. Niech S będzie przestrzenią topologiczną normalną. Pokażemy, że przestrzeń C(S) jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy S jest zbiorem skończonym.

Jeżeli zbiór S jest skończony, to przestrzeń C(S) jest refleksywna, bo ma skończony wymiar. Jeżeli zaś S jest zbiorem nieskończonym, to zawiera podzbiór domknięty S_{0} będący ciągiem zbieżnym lub ciągiem izolowanym. Przestrzeń C(S_{0}) jest wtedy izometrycznie izomorficzna odpowiednio z przestrzenią c lub m, w każdym razie z przestrzenią nierefleksywną. Z drugiej strony, jak wiemy z przykładu 1.29, przestrzeń C(S_{0}) jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ilorazową C(S)/X, gdzie X jest domkniętą podprzestrzenią liniową w C(S) złożoną z funkcji zerujących się na zbiorze S_{0}. Z wniosku 4.22 wynika, że C(S) nie jest przestrzenią refleksywną.

Przestrzeń sprzężona z przestrzenią C(S)

Opis wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni C(S) jest trudny i wymaga znajomości ogólnej teorii miary, dlatego poprzedzimy go opisem ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni C[a, b]. Opis taki można otrzymać w sposób zdecydowanie bardziej elementarny.

W przykładzie 4.3 zobaczyliśmy, że każda funkcja x_{0}, całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale [0, 1], określa ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C[0, 1] wzorem

(4. 24)  x^{∗}(x) = ∫_{0}^{1} x(t) x_{0}(t) dt.

Z drugiej strony przestrzeń C[0, 1] posiada ciągłe funkcjonały liniowe zupełnie innej natury, np. takie, jak

(4. 25)  x^{∗}(x) = \frac{1}{2} x(0) + \frac{1}{2} x(1).

Co łączy te przykłady? Otóż oba można wyrazić w postaci całki z funkcji x, trzeba jednak posłużyć się ogólniejszym pojęciem całki niż znana nam całka Riemanna (a w pewnym sensie ogólniejszym nawet niż całka Lebesgue’a), mianowicie całką Sieltjesa.

Niech x i f będą funkcjami na przedziale [a, b], z których pierwsza jest ciągła a druga ograniczona. Dla dowolnego rozbicia P przedziału [a, b] punktami

a = t_{0} < t_{1} < t_{2} < … < t_{n} = b

oznaczmy przez S(P, x, f) sumę

S(P, x, f) = ∑_{k=1}^{n}x(t_{k})[f(t_{k}) − f(t_{k−1} ].

Liczbę ΔP = max{|t_{k} − t_{k−1} | : k = 1, 2, …, n} będziemy nazywać średnicą rozbicia P. Powiemy, że funkcja x jest całkowalna względem funkcji f w sensie Stieltjesa, jeżeli istnieje taka liczba A, że dla każdej liczby ε > 0 można tak dobrać liczbę δ > 0, aby dla rozbicia P warunek ΔP < δ pociągał

|A − S(P, x, f)| < ε.

Liczbę A oznaczymy wtedy

∫_{0}^{1} x(t) df(t)

i nazwiemy całką z funkcji x względem funkcji f.

Zbadamy jaki warunek winna spełniać funkcja f, aby całka Stieltjesa względem f określała ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C[a, b], tj. aby każda funkcja ciągła x była całkowalna względem f i aby

| ∫_{0}^{1} x(t) df(t)| C ∥x∥_{∞} .

Jeżeli dla rozbicia P = {t_{0}, t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} wybierzemy funkcję x tak, żeby x(t_{k}) = sgn[f(t_{k}) − f(t_{k−1} )] dla k = 1, 2, …, n oraz ∥x∥_{∞} 1, to suma S(P, x, f) przyjmie wartość

(4. 26)  ∑_{k=1}^{n} |f(t_{k}) − f(t_{k−1} )|.

Należy więc oczekiwać, że dla funkcji f wszystkie takie sumy są wspólnie ograniczone.

Definicja. Jeżeli zbiór sum (4. 26) jest ograniczony, to mówimy, że funkcja f ma w przedziale [a, b] wahanie ograniczone, a kres górny tych sum nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy Var_{[a,b]}f.

Przyjrzyjmy się bliżej funkcjom o wahaniu ograniczonym. Jest oczywiste, że gdy funkcja f ma w przedziale [a, b] ograniczoną pochodną, to ma też w tym przedziale ograniczone wahanie. Ciągłość na to jednak nie wystarcza, gdyż np. funkcja f : [0, 1] → ℝ postaci f(0) = 0, f(t) = t cos \frac{π}{t} dla t ≠ 0, jest ciągła, a dla rozbicia P = \{0, \frac{1}{n}, \frac{1}{n−1} , …, \frac{1}{2}, 1\} otrzymujemy

Var_{[0,1]}f \frac{1}{n} + ∑_{k=2}^{n}(\frac{1}{k} + \frac{1}{k − 1} ) logn.

4.24. Twierdzenie. Funkcja zespolona f ma w przedziale [a, b] wahanie ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje rzeczywiste Ref oraz Imf mają tą własność. Funkcja rzeczywista ma w przedziale [a, b] wahanie ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą dwóch funkcji monotonicznych.

Dowód: Pierwsza część twierdzenia jest oczywista. Dla dowodu części drugiej zauważmy, że gdy funkcja f jest monotoniczna w przedziale [a, b], to ma w nim ograniczone wahanie i Var_{[a,b]}f = |f(b) − f(a)|. Zatem suma skończonej liczby takich funkcji też ma wahanie skończone w tym przedziale.

Załóżmy teraz, że Var_{[a,b]}f < ∞. Funkcja f_{1}(t) = Var_{[a,t]}f jest rosnąca w przedziale [a, b]. Wystarczy zatem pokazać, że funkcja f_{2} = f_{1}−f też jest rosnąca. Otóż dla s < t z przedziału [a, b] mamy

f_{2}(t) − f_{2}(s) = Var_{[s,t]}f − (f(t) − f(s)) |f(t) − f(s)| − (f(t) − f(s)) 0

na mocy definicji wahania funkcji.

4.25. Zadanie. Pokazać, że gdy f jest funkcją klasy C^{1} na przedziale [a, b], to

Var_{[a,b]}f = ∫_{a}^{b} |f′(t)| dt.

Jesteśmy gotowi teraz do przedstawienia charakteryzacji wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni C[a, b].

4.26. Twierdzenie. Jeżeli funkcja f : [a, b] → ℂ ma wahanie ograniczone, to każda funkcja x ∈ C[a, b] jest całkowalna względem f oraz

|∫_{a}^{b}x(t) df(t)| ∥x∥_{∞} · Var_{[a,b]}f.

Zatem funkcja f wzorem

(4. 27)  x^{∗}(x) = ∫_{a}^{b}x(t) df(t)

określa ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C[a, b].

Każdy funkcjonał x^{∗} ∈ C[a, b]^{∗} jest takiej postaci.

Dowód: Ustalmy dowolnie funkcję x ∈ C[a, b]. Ponieważ jest to funkcja jednostajnie ciągła, więc dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że |s − t| < δ pociąga |x(s)−x(t)| < ε. Wybierzmy teraz dowolne rozbicie P przedziału [a, b] o średnicy ΔP < δ i niech P′ będzie dowolnym jego rozdrobnieniem. Twierdzimy, że

(4. 28)  |S(P, x, f) − S(P′, x, f)| < ε Var_{[a,b]}f.

Jest tak w istocie, bo jeśli rozbicie P′ ma postać a = t_{0} < t_{1} < t_{2} < … < t_{n} = b, zaś rozbicie P postać a = t_{0} = t_{k_{0}} < t_{k_{1}} < … < t_{k_{r}} = t_{n} = b, to

S(P, x, f) − S(P′, x, f) = ∑_{k=1}^{n}[x(s_{k}) − x(t_{k})][f(t_{k}) − f(t_{k−1} )],

gdzie s_{k} = t_{k_{i}}, gdy k_{i−1} < k k_{i}. Wystarczy więc zauważyć, że |s_{k} − t_{k}| < δ dla wszystkich k.

Z nierówności (4. 28) wynika, że gdy P i Q są rozbiciami przedziału [a, b], dla których ΔP < δ, ΔQ < δ, to

(4. 29)  |S(P, x, f) − S(Q, x, f)| < 2 ε Var_{[a,b]}f,

wystarczy bowiem w nierówności (4. 28) wybrać za P′ wspólne rozdrobnienie rozbić P i Q.

Wybierzmy teraz dowolny ciąg normalny {Q_{n}} rozbić przedziału [a, b], tj. ciąg rozbić, dla którego ΔQ_{n} dąży do zera przy n → ∞. Z nierówności (4. 29) wynika, że sumy S(Q_{n}, x, f) tworzą ciąg fundamentalny liczb zespolonych, zatem ciąg zbieżny do pewnej liczby A. Podstawiając w (4. 29) Q_{n} w miejsce Q i przechodząc do granicy przy n → ∞ otrzymamy

|S(P, x, f) − A| 2 ε Var_{[a,b]}f,

gdy tylko ΔP < δ. Oznacza to z definicji całki Stieltjesa, że funkcja x jest całkowalna względem funkcji f. W ten sposób zakończyliśmy dowód pierwszej części twierdzenia.

Pozostało nam do pokazania, że każdy funkcjonał x^{∗} ∈ C[a, b]^{∗} jest postaci (4. 27) dla pewnej funkcji f o ograniczonym wahaniu na przedziale [a, b]. Ponieważ C[a, b] jest podprzestrzenią liniową przestrzeni B[a, b] wszystkich funkcji ograniczonych na [a, b], funkcjonał x^{∗} można na mocy twierdzenia Hahna-Banacha przedłużyć do ciągłego funkcjonału liniowego na całą przestrzeń B[a, b], i to bez podwyższania normy. Weźmy taki przedłużony funkcjonał i oznaczy go tym samym symbolem x^{∗} a dla t ∈ [a, b] połóżmy

f(t) = x^{∗}(χ_{[a,t]}).

Twierdzimy, że to f jest poszukiwaną przez nas funkcją.

Najpierw pokażemy, że f ma ograniczone wahanie na [a, b]. Wybierzmy w tym celu dowolne rozbicie P = {t_{0}, t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} tego przedziału i oznaczmy przez x_{P} funkcję z B[a, b] postaci

x_{P} = a_{1}χ_{[t_{0},t_{1}]}+ ∑_{k=2}^{n}a_{k}χ_{(t_{k−1} ,t_{k}]}.

Jeśli wybierzemy a_{k} = sgn[f(t_{k})−f(t_{k−1} )]i uwzględnimy, że f(t_{0}) = 0, to otrzymamy

x^{∗}(x_{P}) = ∑_{k=1}^{n}a_{k}[f(t_{k}) − f(t_{k−1} )] = ∑_{k=1}^{n} |f(t_{k}) − f(t_{k−1} )|,

a ponieważ x^{∗}(x_{P}) ∥x^{∗}∥ ∥x_{P} ∥_{∞} ∥x^{∗}∥, więc

Var_{[a,b]}f = sup_{P} x^{∗}(x_{P}) ∥x^{∗}∥.

Aby zakończyć dowód obierzmy w definicji funkcji x_{P} liczby a_{k} = x(t_{k}). Dostaniemy wtedy

x^{∗}(x_{P}) = S(P, x, f).

Jeśli {P_{n}} jest ciągiem normalnym rozbić przedziału [a, b], to ciąg funkcji {x_{P_{n}}} zbiega jednostajnie do funkcji x, więc na mocy ciągłości funkcjonału x^{∗}

x^{∗}(x) = lim_{n→∞} x^{∗}(x_{P_{n}}) = lim_{n→∞} S(P_{n}, x, f) = ∫_{a}^{b} x(t) df(t).

Uwaga. Funkcja f z twierdzenia 4.26 nie jest określona jednoznacznie. Dodanie do niej funkcji stałej nie zmienia ani wartości całki ani wahania funkcji. Dlatego od funkcji f wymaga się często, by f(a) = 0. Jednak i ten warunek nie gwarantuje jednoznaczności, nawet przy dodatkowym żądaniu, by wahanie funkcji na [a, b] i norma odpowiadającego jej funkcjonału były równe. Widać to na przykładzie funkcji f_{a}, określonej na przedziale [0, 1] wzorem: f_{a}(t) = 0, gdy t < \frac{1}{2}, f_{a}(\frac{1}{2}) = a oraz f_{a}(t) = 1 gdy t > \frac{1}{2}. Wtedy

∫_{0}^{1} x(t) df_{a}(t) = x(\frac{1}{2}),

niezależnie od przyjętej wartości parametru a, zatem wszystkie funkcje f_{a} wyznaczają ten sam ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C[0, 1], a jego norma wynosi 1. Jeżeli 0 a 1, to także Var_{[0,1]}f_{a} = 1.

Powróćmy jeszcze na chwilę do przykładów funkcjonałów z początku tego podrozdziału. Oba funkcjonały (4. 24) i (4. 25) mają postać (4. 27), pierwszy dla funkcji

f(t) = ∫_{0}^{t} x_{0}(s) ds, 0 t 1,

a drugi dla funkcji

f(0) = 0, f(t) = \frac{1}{2} dla 0 < t < 1 oraz f(1) = 1.

Przypadek ogólny

Niech S będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą. Zespoloną funkcję μ, określoną na σ-ciele B wszystkich podzbiorów borelowskich S, nazywamy miarą Radona jeżeli μ jest:

1. przeliczalnie addytywna, tj.

μ( ⋃_{n=1}^{∞} B_{n}) = ∑_{n=1}^{∞}μ(B_{n}),

gdy zbiory B_{1}, B_{2}, B_{3}, … są parami rozłączne.

2. regularna, tj. dla każdego ε > 0 istnieją takie zbiory K i U, z których pierwszy jest zwarty a drugi otwarty, że K ⊂ B ⊂ U oraz |μ(A)| < ε dla każdego zbioru borelowskiego A zawartego w U \ K.

Zbiór wszystkich miar Radona na S tworzy przestrzeń liniową, oznaczaną przez M(S).

Jeżeli μ jest miarą Radona, to Reμ oraz Imμ są także miarami Radona, a jeżeli μ jest miarą nieujemną, to warunek regularności przyjmuje prostszą formę: dla każdego ε > 0 istnieją takie zbiory K i U, z których pierwszy jest zwarty a drugi otwarty, że K ⊂ B ⊂ U oraz μ(U \ K) < ε.

4.27. Lemat. Miara Radona jest funkcją ograniczoną.

Dowód: Pokażemy, że w przeciwnym przypadku można wskazać taki ciąg zbiorów B_{1}, B_{2}, B_{3}, … parami rozłącznych, że szereg

∑_{n=1}^{∞}μ(B_{n})

jest rozbieżny. Niech A_{1}, A_{2}, A_{3}, … będzie takim ciągiem zbiorów borelowskich,

że |μ(A_{n})| n + ∑_{k=1}^{n−1} |μ(A_{k})|. Wtedy

|μ( ⋃_{k=1}^{n} A_{k})| |μ(A_{n})| − ∑_{k=1}^{n−1} |μ(A_{k})| n.

Połóżmy B_{1} = A_{1} oraz B_{n+1} = A_{n+1} \ ⋃_{k=1}^{n} A_{k}. Wtedy zbiory B_{1}, B_{2}, B_{3}, … są parami rozłączne i

| ∑_{k=1}^{n}μ(B_{k})| = |μ( ⋃_{k=1}^{n}A_{k})| → ∞.

Wahaniem miary Radona μ na zbiorze borelowskim B nazywamy kres górny sum ∑_{k=1}^{n} |μ(B_{k})|, gdzie B_{1}, B_{2}, …, B_{n} jest dowolnym rozbiciem zbioru B na skończoną liczbę zbiorów borelowskich i oznaczamy ją |μ|(B). Wahanie miary to odpowiednik wahania funkcji, o którym była mowa poprzednio.

4.28. Lemat. Funkcja |μ| jest miarą Radona na S a dla każdego zbioru borelowskiego B zachodzą nierówności

sup_{A⊂B} |μ(A)| |μ|(B) 4 sup_{A⊂B} |μ(A)|.

Dowód: Pierwszą część lematu dowodzi się w sposób standartowy, dlatego dowód ten pominiemy. Pozostaje więc tylko dowód drugiej z nierówności. Załóżmy, że zbiory B_{1}, B_{2}, …, B_{n} dają rozbicie zbioru B. Zbiór wskaźników {1, 2, …, n} rozdzielmy na podzbiory I_{1} i I_{2}, zaliczając do pierwszego z nich wszystkie te wskaźniki k, dla których Reμ(B_{k}) 0 a do drugiego pozostałe wskaźniki. Wtedy

∑_{k=1}^{n} | Reμ(B_{k})| = ∑_{k∈I_{1}} Reμ(B_{k}) − ∑_{k∈I_{2}} Reμ(B_{k})

= Re( ⋃_{k∈I_{1}} B_{k}) − Re( ⋃_{k∈I_{2}} B_{k}) 2 sup_{A⊂B} |μ(A)|.

Podobnego oszacowania dowodzimy dla sumy ∑_{k=1}^{n} | Imμ(B_{k})|. W konsekwencji otrzymamy

∑_{k=1}^{n} |μ(B_{k})| 4 sup_{A⊂B} |μ(A)|,

a stąd postulowaną nierówność.

Możemy teraz przystąpić do sformułowania zapowiadanego twierdzenia opisującego ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni C(S) w przypadku ogólnym.

4.29. Twierdzenie (o postaci funkcjonałów liniowych na przestrzeni C(S)). Niech S będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego x^{∗} na przestrzeni C(S) istnieje dokładnie jedna miara Radona μ na S o tej własności, że

x^{∗}(x) = ∫_{S} x(s) dμ(s), x ∈ C(S).

Każdy funkcjonał powyższej postaci jest liniowy i ciągły na przestrzeni C(S), a jego norma wynosi

∥x^{∗}∥ = |μ|(S).

Dowód istnienia miary μ jest trudny. Przypomina konstrukcję miary Lebesgue’a, a dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że w rezultacie otrzymujemy funkcję zbioru o wartościach zespolonych a nie miarę nieujemną. Także dowód jedyności miary i dowód drugiej części twierdzenia używa wyłącznie metod ogólnej teorii miary, wymaga więc znajomości tych metod. Z tego powodu dowód pomijamy, odsyłając np. do podręcznika [1], Twierdzenie VIII.2.2.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że mimo zapowiedzianej ogólności twierdzenie 4.29 dotyczy tylko bardzo szczególnej klasy przestrzeni topologicznych. Nie daje wobec tego opisu ciągłych funkcjonałów liniowych nawet dla takiej przestrzeni, jak C(ℝ). Spodziewamy się tu, że przestrzenią sprzężoną C(ℝ)^{∗} jest przestrzeń miar Radona M(ℝ). Okazuje się, że opis taki z twierdzenia 4.29 można otrzymać oraz, że jest o wiele bardzie skomplikowany niż możemy przypuszczać.

Wiadomo (patrz ??), że jeżeli S jest przestrzenią topologiczną całkowicie regularną, to każdą funkcję x ∈ C(S) można jednoznaczne przedłużyć do funkcji ciągłej x̃ na uzwarcenia Čecha-Stone’a βS przestrzeni S. Ponieważ S leży gęsto w βS, więc przestrzenie C(S) i C(βS) można utożsamić. Twierdzenie 4.29 daje więc opis ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni C(S) jako miar Radona na uzwarceniu βS. Dokładniej:

4.30. Twierdzenie. Niech S będzie przestrzenią topologiczną całkowicie regularną i dla funkcji x ∈ C(S) niech x̃ oznacza jej jednoznaczne przedłużenie do funkcji ciągłej na uzwarcenia Čecha-Stone’a βS przestrzeni S. Dla każdego funkcjonału x^{∗} ∈ C(S)^{∗} istnieje dokładnie jedna taka miara Radona μ na βS, że

x^{∗}(x) = ∫_{βS} x̃(s) dμ(s).

Widać z tego twierdzenia, że przestrzeń C(ℝ) ma znacznie więcej ciągłych funkcjonałów liniowych niż te wyznaczone przez miary Radona na prostej ℝ. W szczególności, jeżeli za miarę μ wybierzemy miarę o masie 1 skupioną w punkcie s_{0} narostu βℝ \ ℝ, to otrzymamy funkcjonał

x^{∗}(x) = x̃(s_{0}),

który nie może być reprezentowany jako całka z funkcji x względem żadnej miary Radona na ℝ.

Z twierdzenia 4.30 można też otrzymać opis przestrzeni (ℓ^{∞} )^{∗}. Przestrzeń ℓ^{∞} możemy utożsamić z przestrzenią C(ℕ), gdzie ℕ oznacza zbiór liczb naturalnych z topologią dyskretną. Zatem ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni ℓ^{∞} mają postać miar Radona na uzwarceniu Čecha-Stone’a βℕ zbioru ℕ.

Przedstawimy jeszcze jedno zastosowanie twierdzenia 4.29. Niech S będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa. Oznaczmy przez C_{0}(S) zbiór wszystkich funkcji ciągłych �znikających w nieskończoności”, tj. takich funkcji ciągłych x : S → ℂ, że dla każdego ε > 0 zbiór {s ∈ S : |x(s)| ε} jest zwarty. Każda taka funkcja ma jednoznaczne przedłużenie do funkcji ciągłej x̃ na uzwarceniu Aleksandrowa S_{∞} = S ∪ {∞} przestrzeni S (patrz ??), należy bowiem położyć x̃(∞) = 0. Zatem przestrzeń C_{0}(S) można traktować jako domkniętą podprzestrzeń przestrzeni C(S_{∞} ). Z twierdzenia Hahna-Banacha wiemy, że każdy ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C_{0}(S) możemy przedłużyć do ciągłego funkcjonału liniowego na przestrzeni C(S_{∞} ). Na mocy twierdzenia 4.29 musi on być reprezentowany przez pewną miarę Radona na przestrzeni S ∪ {∞}. W szczególności funkcjonał x^{∗} ∈ C(S_{0})^{∗} ma postać

x^{∗}(x) = ∫_{S} x(s) dμ(s) + λx̃(∞),

jeśli miara μ ma atom w punkcie ∞ o masie λ. Ponieważ x̃(∞) = 0, więc w istocie x^{∗} jest reprezentowany przez miarę Radona μ ∈ M(S). Udowodniliśmy w ten sposób:

4.31. Twierdzenie. Niech S będzie lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa i niech C_{0}(S) oznacza przestrzeń Banacha wszystkich zespolonych funkcji ciągłych na S �znikających w nieskończoności”. Ciągłym funkcjonałom liniowym odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny miary Radona na S, mianowicie

x^{∗}(x) = ∫_{S} x(s) dμ(s), x ∈ C_{0}(S).

Słaba i *-słaba zbieżność

Ciąg {x_{n}} elementów przestrzeni unormowanej X nazywamy słabo zbieżnym do elementu x_{0} ∈ X, jeżeli dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego x^{∗} ∈ X^{∗} istnieje granica lim_{n→∞} x^{∗}(x_{n}) i zachodzi równość

lim_{n→∞} x^{∗}(x_{n}) = x^{∗}(x_{0}).

Element x_{0} nazywamy wtedy słabą granicą ciągu {x_{n}}.

Ciąg {x_{n}} nazywamy słabo fundamentalnym, jeżeli dla każdego x^{∗} ∈ X^{∗} ciąg liczbowy {x^{∗}(x_{n})} jest fundamentalny (Cauchy’ego) w ciele liczb zespolonych.

4.32. Ćwiczenia.

1. Ciąg słabo zbieżny może mieć tylko jedną granicę.

2. W przestrzeni unormowanej X każdy ciąg zbieżny (w normie) jest słabo zbieżny, i to do tej samej granicy.

3. W przestrzeni skończenie wymiarowej słaba zbieżność jest równoważna zbieżności w normie.

Uwaga. Zbieżność w normie, dla odróżnienia od słabej zbieżności nazywamy czasem mocną zbieżnością.

4.33. Twierdzenie. Słabo zbieżny ciąg elementów przestrzeni unormowanej jest ograniczony.

Dowód: Każdy element x_{n} ciągu słabo zbieżnego w przestrzeni unormowanej X wyznacza ciągły funkcjonał liniowy x_{n}^{∗∗} na przestrzeni X^{∗}, określony wzorem x_{n}^{∗∗}(x^{∗}) = x^{∗}(x_{n}), przy czym (jak wiemy z wniosku 4.13) ∥x_{n}^{∗∗}∥ = ∥x_{n}∥. Dla każdego x^{∗} ∈ X^{∗} ciąg {x_{n}^{∗∗}(x^{∗})} jest ograniczony (zbieżny), więc z twierdzenia Banacha-Steinhausa wnosimy, że wszystkie funkcjonały x_{n}^{∗∗} mają wspólnie ograniczone normy.

4.34. Przykład. Ciąg {x_{n}} ⊂ ℓ^{p}, 1 < p < ∞, jest słabo zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy sup_{n} ∥x_{n}∥_{p} < ∞ oraz lim_{n→∞} x_{n}(k) = 0 dla każdego k = 1, 2, 3, . . .. W szczególności ciąg bazowy e_{n} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …), z jedynką na n-tym miejscu, jest słabo zbieżny do zera.

Istotnie, ponieważ ciąg {x_{n}} jest ograniczony, więc zbieżność x^{∗}(x_{n}) → 0 wystarczy sprawdzić tylko dla funkcjonałów x^{∗} z dowolnego podzbioru gęstego w przestrzeni (ℓ^{p})^{∗} = ℓ^{q}, q = p/(p − 1), a w konsekwencji z dowolnego podzbioru liniowe gęstego. Takim podzbiorem jest baza {e_{1}, e_{2}, e_{3}, …} przestrzeni ℓ^{q}.

Podobna charakteryzacja słabej zbieżności zachodzi dla przestrzeni c_{0} i c , ale nie dla ℓ^{1} i ℓ^{∞} .

4.35. Zadanie. Dowieść, że ciąg funkcji {x_{n}} w przestrzeni L^{p}(ℝ), 1 < p < ∞, jest słabo zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony oraz

∫_{a}^{b}x_{n}(t) dt → 0.

dla dowolnego przedziału [a, b]

4.36. Przykład. Ciąg {x_{n}} funkcji w przestrzeni C[a, b] jest słabo zbieżny do funkcji x_{0} ∈ C[a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy sup_{n} ∥x_{n}∥_{∞} < ∞ oraz lim_{n→∞} x_{n}(t) = x_{0}(t) dla każdego t ∈ [a, b]. Wynika to z twierdzenia Riesza 4.26 o postaci funkcjonału i twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Zauważmy, że w przestrzeni C[a, b] pojęcia �słabo zbieżny” i �słabo fundamentalny” są różne. Wystarczy wskazać ograniczony ciąg funkcji ciągłych, zbieżny do funkcji nieciągłej.

Jeszcze lepiej tą różnicę widać w przestrzeni c_{0}. Ciąg x_{n} = (1, 1, …, 1, 0, 0, …) z jedynkami do miejsca n-tego jest słabo fundamentalny a nie jest słabo zbieżny.

4.37. Zadanie. Dowieść, że każdy słabo zbieżny ciąg w C[a, b] jest mocno zbieżny w L^{p}(a, b) dla 1 p < ∞.

4.38. Twierdzenie (Schur). W przestrzeni ℓ^{1} ciąg {x_{n}} jest słabo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny w normie, tj. słaba i mocna zbieżność pokrywają się.

Dowód: Załóżmy nie wprost, że istnieje ciąg {x_{n}}, ∥x_{n}∥ 1, słabo zbieżny do zera. Zauważmy, że dla każdego ustalonego p wyrażenie

∑_{k=1}^{p} |x_{n}(k)|

dąży do zera przy n → ∞. Przez indukcję wybieramy takie dwa ciągi rosnące {n_{i}} i {p_{i}}, że

∑_{k=1}^{p_{i}} |x_{n_{i}}(k)| < \frac{1}{4}, ∑_{k=p_{i}+1}^{p_{i+1}} |x_{n_{i}}(k)| > \frac{3}{4}, ∑_{k=p_{i+1}}^{∞} |x_{n_{i}}(k)| < \frac{1}{4}.

Określmy funkcjonał x^{∗} ∈ (ℓ^{1})^{∗} = ℓ^{∞} wzorem

x^{∗} = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, …),

gdzie μ_{k} = \overline{sgnx_{n_{i}}(k)}, gdy p_{i} < k p_{i+1} . Wtedy

|x^{∗}(x_{n_{i}})| ∑_{k=p_{i}+1}^{p_{i+1}} |x_{n_{i}}(k)| − ∑_{k=1}^{p_{i}} |x_{n_{i}}(k)| − ∑_{k=p_{i+1}}^{∞} |x_{n_{i}}(k)| > \frac{1}{4}

nie dąży do zera.

4.39. Twierdzenie Mazura. Jeżeli podzbiór A przestrzeni Banacha jest wypukły i domknięty, to wraz z każdym ciągiem słabo zbieżnym zawiera jego granicę.

Dowód: Zauważmy, że zbiór A można tak przesunąć (ciąg też), by 0 ∈ A. Załóżmy teraz nie wprost, że ciąg {x_{n}} leży w A i jest słabo zbieżny do pewnego x_{0} ∉ A. Niech 0 < ε < dist(x_{0}, A) i niech A_{ε} oznacza zbiór a_{ε} = A + ε K, tj.

A_{ε} = {x + y : x ∈ A, ∥y∥ ε}.

Oczywiście A_{ε} jest również zbiorem wypukłym domkniętym i x_{0} ∉ A_{ε}. Ponadto zbiór A_{ε} jest pochłaniający, bo zawiera pewne otoczenie zera. Niech p oznacza funkcjonał Minkowskiego zbioru A_{ε}. Wtedy p(x_{0}) = δ > 1, zatem element x_{1} = δ^{−1} x_{0} leży w A_{ε}. Określmy na przestrzeni jednowymiarowej ℂx_{1} rzeczywisty funkcjonał liniowy x_{0}^{∗} kładąc

x_{0}^{∗}(λx_{1}) = λ.

Mamy wtedy x_{0}^{∗}(λx_{1}) = λ p(λx_{1}) (w istocie dla λ 0 zachodzi równość, a dla λ < 0 oczywista nierówność). Na mocy twierdzenia Hahna-Banacha możemy x_{0}^{∗} przedłużyć do funkcjonału liniowego x^{∗} na całe X tak, aby x^{∗}(x) p(x). Ponieważ p(x) ε^{−1} ∥x∥, więc x^{∗} jest ciągłym rzeczywistym funkcjonałem liniowym na przestrzeni X. Ponadto x^{∗}(x_{0}) = δ > 1 oraz x^{∗}(x) 1 dla x ∈ A. Zatem x^{∗} oddziela x_{0} od zbioru A, co przeczy słabej zbieżności ciągu {x_{n}} do x_{0}.

W zespolonej przestrzeni Banacha bierzemy funkcjonał liniowy y^{∗} postaci

y^{∗}(x) = x^{∗}(x) − i x^{∗}(i x).

4.40. Wniosek. Jeżeli ciąg {x_{n}} jest słabo zbieżny do x_{0}, to istnieje ciąg (skończonych) kombinacji wypukłych tego ciągu mocno zbieżny do x_{0}.

4.41. Przykład. Niech x_{0} ∈ C(ℝ) będzie funkcją, dla której

lim_{t→−∞} x_{0}(t) = 0, lim_{t→+∞} x_{0}(t) = 1.

Zbadamy, czy ciąg {x_{n}}, określony równością x_{n}(t) = (t + n), jest słabo zbieżny w przestrzeni C(ℝ).

Przypuśćmy, że jest to ciąg słabo zbieżny do pewnej funkcji y, wtedy

y(t) = lim_{n→∞} x_{n}(t) = lim_{n→∞} x(t + n) = 1

dla każdego t ∈ ℝ, zatem musi być y = 1. Przeczy to jednak twierdzeniu Mazura, gdyż zbiór

W = {x ∈ C(ℝ) : lim_{t→−∞} x(t) = 0, lim_{t→+∞} x(t) = 1}

jest wypukły i domknięty w C(ℝ), zawiera wszystkie funkcje x_{n}, a nie zawiera funkcji y.

4.42. Zadanie. Wskazać funkcjonał x^{∗} ∈ C(ℝ)^{∗}, dla którego

lim_{n→∞} x^{∗}(x_{n}) ≠ x^{∗}(1).

W przestrzeni X^{∗}, sprzężonej do przestrzeni unormowanej X poza słabą zbieżnością rozważa się jeszcze inny rodzaj zbieżności.

Definicja. Ciąg {x_{n}^{∗}} elementów przestrzeni X^{∗}, sprzężonej do przestrzeni unormowanej X, nazywamy *-słabo zbieżnym do x_{0}^{∗} ∈ X^{∗}, jeżeli dla każdego x ∈ X istnieje granica lim_{n→∞} x_{n}^{∗}(x) i zachodzi równość

lim_{n→∞} x_{n}^{∗}(x) = x_{0}^{∗}(x).

Wtedy x_{0}^{∗} nazywamy *-słabą granicą ciągu {x_{n}^{∗}}.

Ciąg {x_{n}^{∗}} jest *-słabo fundamentalny, jeżeli dla każdego x ∈ X ciąg liczbowy {x_{n}^{∗}(x)} jest fundamentalny w ℂ.

4.43. Twierdzenie. Każdy ciąg {x_{n}^{∗}} słabo zbieżny jest *-słabo zbieżny w tej przestrzeni. Każdy ciąg *-słabo fundamentalny jest *-słabo zbieżny, tzn. każda przestrzeń X^{∗} jest ciągowo *-słabo zupełna.

Dowód: Jeśli ciąg {x_{n}^{∗}} jest *-słabo fundamentalny, to jest ograniczony, a więc równość

x_{0}^{∗}(x) = lim_{n→∞} x_{n}^{∗}(x)

określa ciągły funkcjonał liniowy na X.

Uwaga. W przestrzeni refleksywnej pojęcia słabej i *-słabej zbieżności pokrywają się.

4.44. Twierdzenie. Niech X będzie ośrodkową przestrzenią unormowaną. Z każdego ciągu ograniczonego {x_{n}^{∗}} w X^{∗} można wybrać podciąg *-słabo zbieżny w X^{∗}

Dowód: Niech zbiór {e_{1}, e_{2}, e_{3}, …} będzie ośrodkiem w X. Metodą �przekątniową” z ciągu {x_{n}^{∗}} możemy wybrać taki podciąg {x_{n_{k}}}, aby ciąg {x_{n_{k}}^{∗}(e_{i})} był zbieżny dla każdego i = 1, 2, 3, . . .. Podciąg {x_{n_{k}}} jest wtedy *-słabo fundamentalny w X^{∗}, a na mocy twierdzenia 4.43 jest *-słabo zbieżny.

Zadania uzupełniające

4.45. W nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta każdy ciąg ortonormalny e_{1}, e_{2}, e_{3}, … jest słabo zbieżny do zera. Wskazać konkretny ciąg kombinacji wypukłych tego ciągu mocno zbieżny do zera.

4.46. Wykazać, że jeżeli ciąg {x_{n}} elementów przestrzeni Hilberta jest słabo zbieżny do x_{0} oraz ∥x_{n}∥ → ∥x_{0}∥, to x_{n} dąży do x_{0} w normie.

4.47. W przestrzeni (ℓ^{1})^{∗} = ℓ^{∞} podać przykład ciągu *-słabo zbieżnego, który nie jest słabo zbieżny.

4.48. Pokazać, że dla dowolnej funkcji x ∈ C_{0}(ℝ) ciąg x_{n}(t) = x(t+n) jest słabo zbieżny w C_{0}(ℝ).

ROZDZIAŁ V

ZASTOSOWANIA TWIERDZENIA BAIRE’A

Przypomnijmy, że zbiór E przestrzeni metrycznej X nazywamy brzegowym, gdy ma puste wnętrze a zbiorem pierwszej kategorii w X, jeżeli zawarty jest w skończonej lub przeliczalnej sumie zbiorów domkniętych brzegowych. Twierdzenie Baire’a (patrz ??) mówi, że: przestrzeń metryczna zupełna nie jest zbiorem pierwszej kategorii.

5.1. Twierdzenie Banacha-Steinhausa. Niech T_{1}, T_{2}, T_{3}, … będzie ciągiem odwzorowań liniowych ciągłych z przestrzeni Banacha X do przestrzeni unormowanej Y . Jeżeli dla każdego x ∈ X ciąg {T_{n}x} jest ograniczony w Y , to wszystkie operatory T_{n} mają wspólnie ograniczone normy.

Dowód: Zauważmy, że dla ustalonego n funkcja x → ∥T_{n}x∥ jest ciągła, zatem każdy ze zbiorów {x ∈ X : ∥T_{n}x∥ k}, k = 1, 2, 3, … jest domknięty w X jako przeciwobraz przedziału domkniętego [−k, k]. Wynika stąd, że zbiory

E_{k} = {x ∈ X : sup_{n} ∥T_{n}x∥ k}

także są domknięte w X. Z założenia twierdzenia wiemy, że X = ⋃_{k=1}^{∞} E_{k} i że X jest przestrzenią metryczną zupełną. Możemy więc stosować do niej twierdzenie Baire’a ??. Wnosimy z niego, że przynajmniej jeden ze zbiorów E_{k}, powiedzmy zbiór E_{k_{0}} , ma niepuste wnętrze. Możemy więc tak wybrać element x_{0} ∈ X i liczbę ε > 0, by E_{k_{0}} zawierał wszystkie elementy postaci x_{0} + εz, z ∈ X, ∥z∥ 1; innymi słowy, by nierówność ∥T_{n}(x_{0} + εz)∥ k_{0} zachodziła dla wszystkich wskaźników n i wszystkich elementów z z kuli jednostkowej przestrzeni X. Wtedy ∥T_{n}z∥ \frac{1}{ε}(k_{0} + ∥T_{n}x_{0}∥) \frac{2k_{0}}{ε} , co daje oszacowanie

∥T_{n}∥ = sup_{∥z∥ 1} ∥T_{n}z∥ \frac{2k_{0}}{ε} ,

jednostajne względem n.

5.2. Wniosek. Załóżmy, że T_{1}, T_{2}, T_{3}, … są takimi ciągłymi odwzorowaniami liniowymi z przestrzeni Banacha X do przestrzeni unormowanej Y , że dla każdego x ∈ X ciąg {T_{n}x} jest zbieżny w Y . Wtedy wzór

T x = lim_{n→∞} T_{n}x

określa ciągłe odwzorowanie liniowe z X do Y i

∥T ∥ lim inf_{n→∞}∥T_{n}∥.

Dowód: Jest oczywiste, że T jest dobrze określonym odwzorowaniem liniowym z X do Y i że zachodzi postulowane nierówność dla normy T. Ciągłość odwzorowania T jest konsekwencją wspólnej ograniczoności norm ∥T_{n}∥, ta zaś wynika bezpośrednio z twierdzenia Banacha-Steinhausa.

5.3. Zadanie. Pokazać na przykładzie, że jeśli przestrzeń X nie jest zupełna, to T może nie być odwzorowaniem ciągłym.

5.4. Przykład. Pokażemy jak, korzystając z twierdzenia Banacha-Steinhausa, można wykazać istnienie funkcji ciągłej okresowej o okresie 1, której szereg Fouriera nie jest zbieżny w wybranym punkcie.

Na podprzestrzeni

X = {x ∈ C[0, 1] : x(0) = x(1)}

przestrzeni C[0, 1], reprezentującej wszystkie funkcje ciągłe okresowe o okresie 1, określmy ciąg {x_{n}^{∗}} ciągłych funkcjonałów liniowych, przyporządkowujących funkcji x wartość n-tej sumy częściowej jej szeregu Fouriera w punkcie t = 0, tj.

x_{n}^{∗}(x) = ∑_{|k| n} x̂(k).

Jak pamiętamy z dowodu twierdzenia 3.35, funkcjonał x_{n}^{∗} ma postać

x_{n}^{∗}(x) = ∫_{0}^{1} x(u) \frac{sin(2n + 1)πu}{sinπu} du.

Ponieważ

∥x_{n}^{∗}∥ = 2 ∫_{0}^{1/2} |\frac{sin(2n + 1)πu}{sinπu} | du 2 ∑_{k=0}^{n−1} _{\frac{1}{sinπ \frac{k+1}{2n+1}}} ∫ \frac{k+1}{2n+1} ; \frac{k}{2n+1} | sin(2n + 1)πu| du

\frac{4}{π^{2}} ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{k + 1} \frac{4}{π^{2}} logn,

więc z twierdzenia Banacha-Steinhausa wnosimy, że dla pewnej funkcji x_{0} ∈ X ciąg {x_{n}^{∗}(x_{0})} musi być nieograniczony. Szereg Fouriera funkcji x_{0} nie jest wobec tego zbieżny w punkcie t = 0.

Brak zbieżności w innych punktach można uzyskać dokonując przesunięcia w argumencie funkcji x_{0}.

Definicja. Powiemy, że ciąg {x_{n}} elementów przestrzeni liniowej unormowanej jest słabo zbieżny do elementu x_{0}, jeżeli dla każdego x^{∗} ∈ X^{∗} ciąg {x^{∗}(x_{n})} jest zbieżny do x^{∗}(x).

5.5. Wniosek. W przestrzeni Banacha każdy ciąg słabo zbieżny jest ograniczony

oraz ∥x_{0}∥ lim inf_{n→∞}∥x_{n}∥.

5.6. Przykład. W przestrzeni Hilberta każdy ciąg ortonormalny e_{1}, e_{2}, e_{3}, … jest słabo zbieżny do zera. Istotnie, dla każdego x ciąg {⟨e_{n}, x⟩} dąży do zera, bo z nierówności Bessela

∑_{n=1}^{∞} |⟨e_{n}, x⟩|^{2} ∥x∥^{2} < ∞.

5.7. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym. Każde ciągłe odwzorowanie liniowe T przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y jest otwarte, tzn. obraz T (A) dowolnego zbioru otwartego A w X jest zbiorem otwartym w Y .

Dowód: Pokażemy najpierw, że domknięcie \overline{T (U)} obrazu dowolnego otoczenia zera U przestrzeni X zawiera pewne otoczenie zera przestrzeni Y .

Zauważmy, że w przestrzeniach X i Y wystarczy rozpatrywać otoczenia zera postaci ε U, ε V , gdzie U = {x ∈ X : ∥x∥ < 1}, V = {y ∈ Y : ∥y∥ < 1} są otwartymi kulami jednostkowymi odpowiednio w X i Y a ε jest liczbą dodatnią.

Ponieważ zbiór wartości operatora T wypełnia przestrzeń Y , więc dla każdego y ∈ Y istnieje taka liczba naturalna n, że y ∈ T (n U), dostajemy więc rozkład przestrzeni Y

Y = ⋃_{n=1}^{∞} T (n U).

Skorzystamy w tym miejscu z twierdzenia Baire’a. Musimy jednak w miejsce zbiorów T (n U) wziąć ich domknięcia \overline{T (n U)}, gdyż same zbiory T (n U) nie są na ogół domknięte w Y . Piszemy zatem

Y = ⋃_{n=1}^{∞} \overline{T (n U)}.

Wobec założonej zupełności przestrzeni Y , z twierdzenia Baire’a wnioskujemy, że przynajmniej jeden ze zbiorów \overline{T (n U)} ma niepuste wnętrze; ale \overline{T (n U)} = n \overline{T (U)}, zatem \overline{T (U)} także ma niepuste wnętrze. Oznaczmy A = int \overline{T (U)}. Ponieważ zbiór \frac{1}{2}(A − A) jest otwartym otoczenie zera w Y i

\frac{1}{2}(A − A) ⊂ \frac{1}{2} \overline{(T (U) − T (U))} = \overline{T (\frac{1}{2}U − \frac{1}{2}U)} = \overline{T (U)},

to dla pewnego ε > 0 zachodzi inkluzja ε V ⊂ \frac{1}{2}(A − A) ⊂ \overline{T (U)}.

Pokażemy teraz, że inkluzja ε V ⊂ \overline{T (U)} pociąga inkluzję ε V ⊂ T (2U), czyli że dla dowolnego y ∈ ε V możemy tak wybrać element x ∈ X, żeby ∥x∥ < 2 i T x = y. Istotnie, skoro ε V ⊂ \overline{T (U)}, to w U możemy tak wybrać x_{0}, żeby ∥y − T x_{0}∥ < \frac{1}{2}ε. Element y − T x_{0} należy do zbioru \frac{1}{2}ε V ⊂ \overline{T (\frac{1}{2} U)}, zatem w kuli \frac{1}{2} U możemy tak wybrać element x_{1}, żeby ∥(y − T x_{0}) − T x_{1}∥ < \frac{1}{4}ε. Powtarzając to postępowanie wielokrotnie zbudujemy ciąg x_{0}, x_{1}, x_{2}, … o tej własności, że ∥x_{n}∥ < \frac{1}{2^{n}} oraz

∥y − T z_{n}∥ < \frac{1}{2^{n+1}} ε. n = 0, 1, 2, …,

gdzie z_{n} = x_{0} + x_{1} + … + x_{n}. Ponieważ szereg ∑_{k=0}^{∞} ∥x_{k}∥ jest zbieżny, więc ciąg {z_{n}} jest fundamentalny w X a ponieważ X jest przestrzenią zupełną, jest zbieżny do pewnego elementu x. Dla tego elementu x mamy

∥x∥ ∑_{k=0}^{∞}∥x_{k}∥ < ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} = 2,

oraz z ciągłości odwzorowania T

∥y − T x∥ = lim_{n→∞} ∥y − T z_{n}∥ = 0,

tj. y = T x.

Łatwo już teraz uzyskać tezę twierdzenia. Jeżeli A jest zbiorem otwartym w X oraz x ∈ A, to także x + δ U ⊂ A dla pewnego δ > 0. Dlatego

T (A) ⊃ T (x + δ U) = T x + δ T (U) ⊃ T x + \frac{1}{2}εδ V,

co oznacza, że element T x leży w T (A) wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wszystkie dalsze twierdzenia tego paragrafu są wnioskami z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym.

5.8. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu odwrotnym. Jeżeli T jest wzajemnie jednoznacznym i ciągłym odwzorowaniem liniowym z przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y , to odwzorowanie odwrotne T^{−1} : Y → X jest także ciągłe, tzn. przestrzenie X i Y są izomorficzne.

Dowód: Ciągłość odwzorowania T^{−1} to otwartość odwzorowania T.

5.9. Przykład. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe przestrzeni Banacha na przestrzeń Banacha może nie być izomorfizmem topologicznym, choć oczywiście jest izomorfizmem algebraicznym. Niech X będzie przestrzenią Banacha z bazą topologiczną {e_{k}}_{k=1}^{∞} , np. jedną z przestrzeni c_{0}, c lub ℓ^{p}, 1 p < ∞. Bazę tą uzupełnijmy dowolnie do bazy Hamela {e_{α}}_{α∈A} przestrzeni X i wybierzmy dwa różne wektory e_{α_{1}} i e_{α_{2}} tego uzupełnienia. Odwzorowanie liniowe T : X → X zamieniające miejscami wektory e_{α_{1}} i e_{α_{2}} jest wzajemnie jednoznaczne i odwzorowuje X na X. Nie jest odwzorowaniem ciągłym, bo ciągłe odwzorowanie liniowe przestrzeni X jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na wektorach bazy topologicznej, a na nich T jest identycznością.

5.10. Twierdzenie. Niech T będzie ciągłym odwzorowaniem liniowym przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y i niech X_{0} = {x ∈ X : T x = 0} będzie jego jądrem. Wtedy przestrzenie X/X_{0} i Y są izomorficzne.

5.11. Twierdzenie o dwu normach. Załóżmy, że w przestrzeni liniowej X dane są dwie normy zupełne ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} czyli, że przestrzenie (X, ∥ ∥_{1}) i (X, ∥ ∥_{2}) są zupełne. Jeżeli istnieje taka stała C_{1}, że

∥x∥_{1} C_{1}∥x∥_{2}, x ∈ X,

to także

|x∥_{2} C_{2}∥x∥_{1}, x ∈ X,

dla pewnej stałej C_{2}

Dowód: Identyczność I odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Banacha (X, ∥ ∥_{1}) na przestrzeń Banacha (X, ∥ ∥_{2}). Ponieważ ∥x∥_{1} C_{1}∥x∥_{2} dla wszystkich x ∈ X, to I jest odwzorowaniem ciągłym. Z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu odwrotnym wynika, że także odwzorowanie odwrotne I^{−1} jest ciągłe. Zatem

∥x∥_{2} = ∥I^{−1} x∥_{2} ∥I^{−1} ∥∥x∥_{1}

dla wszystkich x ∈ X.

Uwaga. W przestrzeni X z przykładu 5.9 normy ∥x∥_{1} = ∥x∥ i ∥x∥_{2} = ∥T x∥ są zupełne, ale nie są równoważne.

Definicja. Mówimy, że dwie normy ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} w przestrzeni liniowej X są zgodne, jeżeli dla każdego ciągu {x_{n}} w X warunki ∥x_{n} − x′∥_{1} → 0 i ∥x_{n} − x′′∥_{2} → 0 pociągają x′= x′′.

Jeżeli w przestrzeni liniowej X dane są trzy normy∥ ∥_{1}, ∥ ∥_{2} i ∥ ∥_{3} oraz

∥x∥_{3} C_{1}∥x∥_{1}, ∥x∥_{3} C_{2}∥x∥_{2}, x ∈ X,

dla pewnych stałych C_{1} i C_{2}, to wszystkie te normy są zgodne.

5.12. Twierdzenie. Jeżeli normy zupełne ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} w przestrzeni liniowej są zgodne, to są równoważne.

Dowód: Określmy jeszcze dodatkową, trzecią normę, kładąc ∥x∥_{3} = ∥x∥_{1} + ∥x∥_{2}. Dzięki zgodności norm ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} norma ta jest także zupełna a ponieważ ∥x∥_{1} ∥x∥_{3}, więc z twierdzenia o dwu normach wnioskujemy, że ∥x∥_{3} C_{1}∥x∥_{1} dla pewnej stałej C_{1}, w szczególności ∥x∥_{2} C_{1}∥x∥_{1}. Podobnie pokazujemy, że ∥x∥_{1} C_{2}∥x∥_{2}.

Definicja. Wykresem odwzorowania liniowego T : X → Y nazywamy podzbiór W_{T} produktu X × Y

W_{T} = {(x, T x) : x ∈ X}.

Odwzorowanie T nazywamy domkniętym, jeżeli jego wykres jest podzbiorem domkniętym przestrzeni X × Y z topologią produktową.

Zauważmy, że T jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy ze zbieżności ciągów {x_{n}} w X i {T x_{n}} w Y wynika równość

T ( lim_{n→∞} x_{n}) = lim_{n→∞} T x_{n}.

Każde odwzorowanie ciągłe jest oczywiście domknięte.

5.13. Twierdzenie o wykresie domkniętym. Domknięte odwzorowanie liniowe z przestrzeni Banacha X do przestrzeni Banacha Y jest ciągłe.

Dowód: Przestrzeń X×Y z normą ∥(x, y)∥ = ∥x∥+∥y∥ jest przestrzenią Banacha a wykres W_{T} odwzorowania T jej domkniętą podprzestrzenią liniową, W_{T} jest zatem przestrzenią Banacha.

Odwzorowanie S : (x, T x) → x przestrzeni W_{T} na X jest wzajemnie jednoznaczne, liniowe i ciągłe. Z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu odwrotnym wynika istnienie takiej stałej C, że

∥(x, T x)∥ C∥x∥, x ∈ X,

co daje

∥T x∥ C∥x∥, x ∈ X.

5.14. Przykład. Na przestrzeni s_{0} tych ciągów (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) liczb zespolonych, dla których tylko skończenie wiele wyrazów może być różnych od zera, wprowadźmy normę ∥(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …)∥ = max_{n} |x_{n}|. Wtedy odwzorowanie T : s_{0} → s_{0} określone wzorem

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{1}, 2x_{2}, 3x_{3}, …)

jest domknięte a nie jest ciągłe. Nie przeczy to twierdzeniu o wykresie domkniętym, bo przestrzeń s_{0} nie jest zupełna.

Zadania uzupełniające

5.15. Niech {a_{n}} będzie ustalonym ciągiem liczbowym. Jeżeli szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}

jest zbieżny dla każdego ciągu ograniczonego {b_{n}}, to ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| < ∞.

5.16. Niech będą przestrzeniami Banacha oraz T ciągłym odwzorowaniem liniowym z X na Y . Dowieść, że dla pewnej stałej C i każdego y ∈ Y można tak wybrać element x ∈ X, by T x = y i ∥x∥ C ∥y∥.

5.17. Niech 1 p < q ∞. Czy na przestrzeni L^{p}(ℝ) ∩ L^{q}(ℝ) normy ∥ ∥_{p} i ∥ ∥_{q} są zgodne?

5.18. Niech ∥ ∥_{1} i ∥ ∥_{2} oznaczają normy standartowe w przestrzeniach ℓ^{1} i ℓ^{2}. Jeżeli T jest odwzorowaniem liniowym z przestrzeni Banacha X do ℓ^{1} oraz ∥T x∥_{2} ∥x∥ dla każdego x ∈ X, to T jest odwzorowaniem ciągłym, tj. ∥T x∥_{1} C ∥x∥ dla x ∈ X.

5.19. Jeżeli X jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni C[0, 1] złożoną z funkcji mających ciągłą pochodną, to dimX < ∞.

ROZDZIAŁ VI

PRZESTRZENIE LINIOWE TOPOLOGICZNE

Topologie liniowe

Przestrzeń liniowa X z topologią Hausdorffa T nazywamy przestrzenią liniową topologiczną jeżeli działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę są ciągłe. Chodzi tu o ciągłość odwzorowań (x, y) → x + y z X × X do X oraz (λ, x) → λx z ℂ × X do X, przy czym X × X i ℂ × X traktujemy jako przestrzenie z topologią produktową.

Niech x będzie punktem przestrzeni liniowej topologicznej X. Zbiór U ⊂ X nazwiemy otoczeniem punktu x, gdy zawiera on x w swoim wnętrzu, a rodzinę U_{x} otoczeń punktu x nazwiemy bazą otoczeń punktu x, jeżeli w każdym otoczeniu punktu x leży pewien zbiór rodziny U_{x}. Zauważmy, że odwzorowanie y → x + y jest homeomorfizmem X na X. Wynika z tego, że jeżeli U jest bazą otoczeń zera, to rodzina U + x = {U + x : u ∈ U} jest bazą otoczeń punktu x.

6.1. Zadanie. Rodzina U podzbiorów przestrzeni liniowej X jest bazą otoczeń zera topologii liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy

a. ⋂_{U∈U} U = {0},

a. ∀_{U_{1},U_{2}∈U} ∃_{V ∈U} : V ⊂ U_{1} ∩ U_{2}, c. ∀_{U∈U} ∃_{V ∈U} : V + V ⊂ U, d. ∀_{U∈U} ∃_{V ∈U} ∀_{|λ| 1} : λV ⊂ U, e. ∀_{U∈U} ∀_{x∈X} ∃_{λ>0} : x ∈ λU, tzn. że U jest zbiorem pochłaniającym.

6.2. Przykład. Rozważmy przestrzeń liniową L(0, 1) wszystkich zespolonych, mierzalnych w sensie Lebesgue’a funkcji na przedziale (0, 1). Dla x ∈ L(0, 1) połóżmy

∥x∥ = ∫_{0}^{1} \frac{|x(t)|}{1 + |x(t)|} dt.

Wtedy funkcja d(x, y) = ∥x − y∥ jest metryką i wyznacza w L(0, 1) topologię liniową. Bazą otoczeń zera tej topologii tworzą np. zbiory {U_{ε}}_{ε>0}, gdzie

U_{ε} = {x ∈ L(0, 1) : ∥x∥ < ε}.

Ciągłość dodawania wektorów wynika natychmiast z nierówności ∥x + y∥ ∥x∥ + ∥y∥. Aby dowieść ciągłości mnożenia przez liczbę zobaczmy, że zbieżność w metryce d jest równoważna zbieżności według miary. Rzeczywiście, jeżeli ∥x_{n} − x∥ → 0 przy n → ∞ i E_{ε}(n), dla ε > 0 i n = 1, 2, …, oznacza zbiór

E_{ε}(n) = {t ∈ (0, 1) : |x_{n}(t) − x(t)| ε},

to

∥x_{n} − x∥ ∫_{E_{ε}(n)} \frac{|x_{n}(t) − x(t)|}{1 + |x_{n}(t) − x(t)|} dt ∫_{E_{ε}(n)} \frac{ε}{1 + ε} dt = |E_{ε}(n)| \frac{ε}{1 + ε} ,

więc |E_{ε}(n)| → 0 przy n → ∞.

Z drugiej strony, gdy |E_{ε}(n)| < ε dla n n_{0}, to

∥x_{n} − x∥ = ( ∫_{E_{ε}(n)} + ∫_{E′_{ε}(n)} )\frac{|x(t)|}{1 + |x(t)|} dt |E_{ε}(n)| + ε|E′_{ε}(n)| < 2ε.

Łatwo jest już teraz sprawdzić, że mnożenie przez liczbę jest ciągłe, tzn. że gdy λ_{n} → λ a ciąg x_{n} zbiega do x według miary, to λ_{n}x_{n} zbiega według miary do λx.

Przestrzeń L(0, 1) z topologią zbieżności według miary jest przestrzenią liniową topologiczną.

Przestrzeń L(0, 1) jest ważnym obiektem w teorii funkcji rzeczywistych. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej niej jest jednak aż tak atrakcyjna. Pokażemy, że

Na L(0, 1) nie ma ciągłych niezerowych funkcjonałów liniowych. Przypuśćmy, że taki funkcjonał x^{∗} istnieje. Istnieje zatem także taka funkcja x ∈ L(0, 1), że x^{∗}(x) = 1. Podzielmy przedział [0, 1] na n równych przedziałów i niech χ_{k} oznacza funkcję charakterystyczną k-tego z nich. Zauważmy, że co najmniej dla jednej z funkcji nxχ_{k} zachodzi nierówność x^{∗}(nxχ_{k}) 1. W przeciwnym razie z równości x = xχ_{1} + xχ_{2} + … + xχ_{n} wynikałoby, że |x^{∗}(x)| < 1. Wybierzmy jedną z nich i oznaczmy ją przez x_{n}. Otrzymujemy w ten sposób ciąg funkcji w L(0, 1) o tej własności, że x^{∗}(x_{n}) 1 oraz |{t ∈ [0, 1] : x_{n}(t) ≠ 0}| 1/n. Ta ostatnia nierówność oznacza, że x_{n} dąży do zera według miary. Powinno stąd wynikać, że x^{∗}(x_{n}) → 0, a tak nie jest.

6.3. Zadanie. Sprawdzić, że na zbiorze L^{p}(0, 1), 0 < p < 1, funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a z p-tą potęgą na [0, 1], funkcja d(x, y) = ∥x − y∥, gdzie

∥x∥ = ∫_{0}^{1} |x(t)|^{p}dt,

jest metryką. W metryce tej L^{p}(0, 1) staje się przestrzenią liniową topologiczną zupełną. Dowieść, że jedynym zbiorem wypukłym w L^{p}(0, 1) o niepustym wnętrzu jest cała przestrzeń.

Aby nie mieć tego typu patologicznych przykładów najczęściej żąda się by topologia liniowa w przestrzeni X była lokalnie wypukła tj., by istniała baza otoczeń zera złożona ze zbiorów wypukłych.

6.4. Lemat. Przestrzeń liniowa lokalnie wypukła posiada bazę otoczeń zera złożoną ze zbiorów absolutnie wypukłych i pochłaniających.

Dowód: Pokażemy, że jeżeli U jest otoczeniem zera, to zbiór

⋂_{|λ| 1} λU

jest także otoczeniem zera. Ponieważ operacja mnożenia przez skalary

ℂ × X ∋ (λ, x) −→ λx ∈ X

jest ciągła, więc istnieje takie otoczenie zera V i takie ε > 0, że μV ⊂ U, gdy |μ| ε. Wobec tego εV ⊂ λU dla każdego λ ∈ ℂ, |λ| 1. Jeżeli U jest wypukłym otoczeniem zera, to zbiór ⋂_{|λ| 1} λU jest absolutnie wypukłym otoczeniem zera. Jest też zbiorem pochłaniającym, bo takim jest każde otoczenie zera.

Wiemy, że funkcjonał Minkowskiego p_{W} zbioru absolutnie wypukłego i pochłaniającego W jest półnormą, stąd otrzymujemy:

6.5. Twierdzenie. Przestrzeń liniowa topologiczna jest lokalnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez rodzinę półnorm {p_{α}}_{α∈A} o tej własności, że p_{α}(x) = 0 dla wszystkich α ∈ A pociąga x = 0.

Ważną klasę przestrzeni liniowych topologicznych to przestrzenie lokalnie wypukłe metryzowalne. Przestrzeń taka ma przeliczalną bazę otoczeń zera, a więc jej topologia jest wyznaczona przez przeliczalną rodzinę półnorm {p_{n}}_{n=1}^{∞} . Możemy przy tym założyć, że półnormy spełniają nierówności p_{1} p_{2} p_{3} … przyjmując np.

q_{n} = ∑_{k=1}^{n}p_{k}

zamiast p_{n}. Za metrykę zaś można przyjąć

(6. 30)  d(x, y) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(x − y)}{1 + p_{n}(x − y)} .

Jeśli przestrzeń X jest zupełna w tej metryce, to nosi nazwę przestrzeni typu B_{0}

6.6. Twierdzenie. Załóżmy, że X jest przestrzenią lokalnie wypukłą z topologią wyznaczoną przez rodziną półnorm p_{1} p_{2} p_{3} . . .. Jeżeli x^{∗} ∈ X^{∗}, to istnieje taki wskaźnik n i stała C, że

(6. 31)  |x^{∗}(x)| C p_{n}(x), x ∈ X.

Wynika stąd, że x^{∗} jest ciągłym funkcjonałem liniowym na przestrzeni unormowanej (X/ kerp_{n}, p_{n}). Każdy funkcjonał liniowy tej postaci jest ciągły na X.

Dowód: Jeśli warunek (6. 31) nie jest spełniony, to w X istnieje taki ciąg {x_{n}}, że

1 = |x^{∗}(x_{n})| n p_{n}(x_{n}).

Ponieważ p_{k}(x_{n}) p_{n}(x_{n}) = 1/n dla n k, więc x_{n} → 0 w X, zaś x^{∗}(x_{n}) nie dąży do zera, więc sprzeczność. Reszta jest oczywista.

6.7. Wniosek. Dla każdego wektora x_{0} ≠ 0 przestrzeni liniowej metrycznej lokalnie wypukłej istnieje taki ciągły funkcjonał liniowy x^{∗}, że x^{∗}(x_{0}) ≠ 0.

6.8. Przykład. W przestrzeni C^{∞} [0, 1] funkcji zespolonych dowolną liczbę razy różniczkowalnych na [0, 1] można określić topologię lokalnie wypukłą wybierając rodzinę półnorm

p_{n}(x) = max_{t∈[0,1]} |x^{(n)}(t)|, n = 0, 1, 2, ….

Widać, że w metryce (6. 30) przestrzeń C^{∞} [0, 1] jest zupełna, jest zatem przestrzenią typu B_{0}. Zauważmy też, że wielomiany tworzą w niej podzbiór gęsty.

Posłużymy się twierdzeniem 6.6 dla wyznaczenia wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych x^{∗} ∈ (C^{∞} [0, 1])^{∗}. Zauważmy w tym celu, że topologia przestrzeni C^{∞} [0, 1] nie zmieni się, gdy definiujące ją półnormy p_{n} zastąpimy przez

p_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} max_{t∈[0,1]} |x^{(k)}(t)|.

Wtedy p_{0} p_{1} p_{2} … a każda z nowych półnorm p_{n} staje się normą. Uzupełnienie przestrzeni C^{∞} [0, 1] w normie p_{n} daje przestrzeń C^{n}[0, 1], funkcji mających ciągłe pochodne do rzędu n włącznie. Z twierdzenia 6.6 wynika zatem, że x^{∗} jest ciągłym funkcjonałem liniowym na przestrzeni C^{∞} [0, 1] wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego n jest ciągłym funkcjonałem liniowym na C^{n}[0, 1]. Ponieważ przestrzeń C^{n}[0, 1] jest izomorficzna z produktem ℂ^{n} × C[0, 1] (patrz przykład 1.32), więc x^{∗} musi być postaci

x^{∗}(x) = ∑_{k=0}^{n−1}λ_{k}x^{(k)}(0) + ∫_{0}^{1} x^{(n)}(t) dμ(t),

dla pewnego wektora (λ_{0}, λ_{1}, …, λ_{n−1} ) ∈ ℂ^{n} oraz miary zespolonej μ ∈ M[0, 1].

6.9. Przykład. Przestrzeń Schwartza S(ℝ) składa się z funkcji zespolonych na prostej ℝ dowolnie wiele razy różniczkowalnych i szybko dążących do zera w nieskończoności, tj. takich funkcji x, że

sup_{t∈ℝ} |t^{k}x^{(n)}(t)| < ∞

dla wszystkich k, n = 0, 1, 2, …. Jest to przestrzeń typu B_{0}.

Funkcjonały x^{∗} ∈ S^{∗}(ℝ) noszą nazwę dystrybucji temperowanych. Przestrzeń Schwartza zajmuje ważne miejsce w analizie z tego względu, że transformacja Fouriera przeprowadza ją z powrotem na siebie (patrz ??). Pozwala to określić transformatę Fouriera dystrybucji temperowanej wzorem

x̂^{∗}(x) = x^{∗}(x̂), x ∈ S(ℝ).

Dla przykładu, dla dystrybucji x^{∗}(x) = x′′(0) otrzymujemy

x̂^{∗}(x) = x̂′′(0) = ∫_{ℝ} 4π^{2}t^{2} x(t)dt.

6.10. Zadanie. Niech X oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] z topologią lokalnie wypukłą wyznaczoną przez rodzinę półnorm {p_{t}}_{t∈[0,1]} postaci

p_{t}(x) = |x(t)|.

Czy topologia ta jest metryzowalna? Opisać przestrzeń X^{∗}.

Słabe topologie w przestrzeniach Banacha

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz X^{∗} jej przestrzenią sprzężoną. Symbolem T_{ω} oznaczymy najsłabszą topologię w X, w której każdy funkcjonał x^{∗} ∈ X^{∗} jest ciągły. Topologię T_{ω} nazywamy słabą topologią w X. Jest to topologia wyznaczona przez rodzinę półnorm p_{x^{∗}}, x^{∗} ∈ X^{∗}, postaci

p_{x^{∗}}(x) = |x^{∗}(x)|.

Przestrzeń (X, T_{ω}) jest zatem lokalnie wypukła.

6.11. Twierdzenie. Topologia słaba i normowa w przestrzeni Banacha pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy jest to przestrzeń skończenie wymiarowa.

Dowód: Załóżmy, że przestrzeń X ma wymiar skończony i niech x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}, …, x_{n}^{∗} będzie bazą Hamela przestrzeni X^{∗}. Wtedy funkcjonał

∥x∥_{1} = max_{1 k n} |x_{k}^{∗}(x)|

jest normą w X wyznaczającą słabą topologię. Jest to norma równoważna z normą wyjściową.

Jeżeli X jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde jej otoczenie zera U topologii słabej jest zbiorem nieograniczonym. Rzeczywiście, możemy założyć, że U jest zbiorem bazowym tzn., że dla pewnej liczby ε > 0 i zbioru skończonego x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}, …, x_{n}^{∗} w X^{∗}

U = {x ∈ X : |x_{k}^{∗}(x)| < ε dla k = 1, 2, …, n}.

Zauważmy, że U zawiera niezerową podprzestrzeń liniową

⋂_{k=1}^{n} kerx_{k}^{∗},

nie może być zatem zbiorem ograniczonym. W przestrzeni unormowanej istnieją ograniczone otoczenia zera, np. kule.

6.12. Twierdzenie. Słaba topologia w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha nie jest metryzowalna.

Dowód: Załóżmy, że taka metryka istnieje. Rozumując jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia stwierdzamy, że każda z kul o środku w zerze jest zbiorem nieograniczonym. Możemy zatem znaleźć ciąg zbieżny do zera w metryce, ale nieograniczony w normie. Jak wiemy z twierdzenia Banacha-Steinhausa (patrz także 5.1), taki ciąg nie może być słabo zbieżny. Tu sprzeczność.

6.13. Przykład. Niech e_{1}, e_{2}, e_{3}, … będzie układem ortonormalnym w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta H oraz A podzbiorem H, złożonym z elementów postaci \sqrt{n} e_{n}. Pokażemy, że zero leży w słabym domknięciu zbioru A ale, jak widać, nie jest granicą żadnego słabo zbieżnego ciągu elementów zbioru A.

Niech

U = {x ∈ H : |⟨x, y_{i}⟩| < ε, i = 1, 2, …, k}

będzie bazowym otoczeniem zera w słabej topologii H. Ponieważ

∑_{n=1}^{∞} |⟨e_{n}, y_{i}⟩|^{2} < ∞

dla każdego i, więc

∑_{n=1}^{∞}( ∑_{i=1}^{k} |⟨e_{n}, y_{i}⟩|)^{2} < ∞.

Wynika stąd, że dla pewnego wskaźnika n_{0} zachodzi

∑_{i=1}^{k} |⟨e_{n_{0}}, y_{i}⟩| < \frac{ε}{\sqrt{n_{0}}},

więc \sqrt{n_{0}} e_{n_{0}} ∈ U.

6.14. Zadanie. Dowieść, że jeżeli punkt x_{0} leży w słabym domknięciu zbioru ograniczonego A w przestrzeni ℓ^{2}, to jest on słabą granicą pewnego ciągu elementów zbioru A.

Z twierdzenia ?? o oddzielaniu zbiorów wypukłych wynika, że każdy domknięty podzbiór wypukły przestrzeni Banacha jest słabo domknięty. Takie stwierdzenie zdecydowanie nie jest prawdziwe dla dowolnych zbiorów domkniętych.

6.15. Zadanie. Pokazać, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha X słabe domknięcie sfery {x ∈ X : ∥x∥_{2} = 1} jest kulą {x ∈ X : ∥x∥_{2} 1}.

W przestrzeni X^{∗}, sprzężonej do pewnej przestrzeni Banacha X, poza topologią normową i topologią słabą, ważną rolę odgrywa topologia *-słaba, oznaczana T_{ω^{∗}} lub σ(X^{∗}, X). Jest to z definicji najsłabsza topologia, w której wszystkie funkcjonały τ(x) ∈ X^{∗∗}, x ∈ X, postaci

τ(x)(x^{∗}) = x^{∗}(x)

są ciągłe.

Topologia T_{ω^{∗}} jest lokalnie wypukła i może być wyznaczona przez rodzinę półnorm {p_{x}}_{x∈X} postaci

p_{x}(x^{∗}) = |x^{∗}(x)|.

Uwaga. Przestrzenie c^{∗} i c_{0}^{∗} są identyczne z przestrzenią ℓ^{1}, a więc ℓ^{1} ma dwie słabe topologie T i T_{0}. Topologie te są nieporównywalne, tzn. nie zachodzi żadna z inkluzji T ⊂ T_{0}, T_{0} ⊂ T . Istotnie, niech φ i φ_{0} oznaczają odpowiednio izometryczny izomorfizm przestrzeni ℓ^{1} na c^{∗} i c_{0}^{∗}

\begin{matrix}φ(y)(x) = y_{1} lim_{k→∞} x_{k} + ∑_{k=1}^{∞}x_{k} y_{k+1} , & x ∈ c, \\ φ_{0}(y)(x) = ∑_{k=1}^{∞}x_{k} y_{k}, & x ∈ c_{0}. \end{matrix}

Zbiór U_{1} = {y ∈ ℓ^{1} : | ∑ y_{k}| < 1} jest otoczeniem zera w topologii T , a nie jest otoczeniem zera w topologii T_{0}, zaś dla zbioru U_{2} = {y ∈ ℓ^{2} : |y_{1}| < 1} jest odwrotnie.

6.16. Twierdzenie Banacha-Alaoglu. Niech X będzie przestrzenią Banacha. Zbiór A ⊂ X^{∗} jest *-słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony (w normie) i *-słabo domknięty.

Dowód: Załóżmy, że zbiór A jest *-słabo zwarty w X^{∗}. Ponieważ T_{ω^{∗}} jest topologią Hausdorffa w X^{∗}, otrzymujemy natychmiast, że A jest *-słabo domknięty.

Nim przystąpimy do dalszej części dowodu, przedstawimy inny, wygodniejszy model przestrzeni (X^{∗}, T_{ω^{∗}}).

Dla każdego x ∈ X połóżmy ℂ_{x} = ℂ (ciało liczb zespolonych) i określmy odwzorowanie T : x^{∗} → ℂ^{X} = ∏_{x∈X} ℂ_{x} wzorem

T x^{∗} = {x^{∗}(x)}_{x∈X} ,

tj. T x^{∗} jest elementem produktu ℂ^{X}, dla którego x-tą współrzędną jest x^{∗}(x). Jeżeli ℂ^{X} traktować jako przestrzeń topologiczną z topologią produktową, a zbiór T (X^{∗}) jako podprzestrzeń z topologią indukowaną z ℂ^{X}, to porównując otwarte zbiory bazowe w (X^{∗}, T_{ω^{∗}}) oraz w T (X^{∗}) dochodzimy do wniosku, że przestrzenie te są homeomorficzne.

Dla każdego y ∈ X niech P_{y} : ℂ^{X} → ℂ_{y} oznacz rzut z produktu na oś ℂ_{y}. Ponieważ każde odwzorowanie P_{y} jest ciągłe, a T jest homeomorfizmem, to odwzorowanie P_{y}T : X^{∗} → ℂ_{y} jest ciągłe. W szczególności P_{y}T (A) = {x^{∗}(y) : x^{∗} ∈ A} jest zbiorem zwartym w ℂ_{y} = ℂ dla każdego y ∈ X. Istnieją więc takie stałe M_{y} > 0, że

sup_{x^{∗}∈A} |x^{∗}(y)| M_{y}.

Korzystając teraz z twierdzenia Banacha-Steinhausa dochodzimy do wniosku, że

sup_{x^{∗}∈A} ∥x^{∗}∥ < ∞.

W dowodzie w drugą stronę możemy założyć, bez ograniczania ogólności, że A jest domkniętą kulą jednostkową K^{∗} = {x^{∗} ∈ X^{∗} : ∥x^{∗}∥ 1} przestrzeni X^{∗}. Oczywiście K^{∗} jest zbiorem ograniczonym w X^{∗}, łatwo też można pokazać, że K^{∗} jest zbiorem *-słabo domkniętym. Jeżeli wiemy już, że K^{∗} jest zbiorem *-słabo zwartym, to ponieważ A jest zbiorem ograniczonym, to istnieje taka stała c > 0, że A ⊂ c K^{∗}. Zbiór c K^{∗} jest *-słabo zwarty, bo mnożenie przez skalary jest homeomorfizmem w (X^{∗}, T_{ω^{∗}}), a więc A jest *-słabo zwarty, jako *-słabo domknięty podzbiór w c K^{∗}.

Niech więc A = K^{∗}. Dla każdego x ∈ X niech

K_{x} = {z ∈ ℂ : |z| ∥x∥}.

Oczywiście K_{x} jest zwartym podzbiorem w ℂ, ponadto

T (K^{∗}) ⊂ ∏_{x∈X} K_{x}.

Istotnie, jeżeli x^{∗} ∈ X^{∗}, to T (x^{∗}) = {x^{∗}(x)}_{x∈X} oraz |x^{∗}(x)| ∥x^{∗}∥ ∥x∥. Twierdzimy, że T (K^{∗}) jest podzbiorem zwartym w T (X^{∗}). Wystarczy w tym celu pokazać, że jest domkniętym podzbiorem ∏_{x∈X} K_{x}, gdyż ten ostatni zbiór z twierdzenia Tichonowa ?? jest zwarty w ℂ^{X}. Załóżmy, że punkt {s_{x}}_{x∈X} należy do domknięcia zbioru T (K^{∗}) w ℂ^{X}. Ustalmy dowolne x_{1}, x_{2} ∈ X i ε > 0. Niech

U_{ε} = \{\{u_{x}\}_{x∈X} ∈ ℂ^{X} : |u_{x_{1}} − s_{x_{1}} | < \frac{ε}{3}, |u_{x_{2}} − s_{x_{2}} | < \frac{ε}{3}, |u_{x_{1}+x_{2}} − s_{x_{1}+x_{2}} | < \frac{ε}{3}\}

będzie bazowym otoczeniem punktu {s_{x}}_{x∈X} w ℂ^{X}. Z założenia istnieje taki element x^{∗} ∈ X^{∗}, że T x^{∗} ∈ U_{ε}. Stąd

|s_{x_{1}+x_{2}} − s_{x_{1}} − s_{x_{2}} | |s_{x_{1}+x_{2}} − x^{∗}(x_{1} + x_{2})| + |s_{x_{1}} − x^{∗}(x_{1})| + |s_{x_{2}} − x^{∗}(x_{2})| < ε,

a ponieważ ε > 0 jest dowolne, więc w rezultacie

s_{x_{1}+x_{2}} = s_{x_{1}} + s_{x_{2}}.

Podobnie pokazujemy, że

s_{λx} = λ s_{x}, dla x ∈ X, λ ∈ ℂ.

Wynika stąd, że przyporządkowanie x → s_{x} jest funkcjonałem liniowym na X, a ponieważ |s_{x}| ∥x∥, więc {s_{x}}_{x∈X} ∈ T (K^{∗}).

Reasumując, T (K^{∗}) jest domkniętym podzbiorem w ∏_{x∈X} K_{x}, ten zaś z kolei zwartym podzbiorem w ℂ^{X}; odwzorowanie T jest homeomorfizmem, zatem A jest *-słabo zwarty w X^{∗}.

Jako wniosek z Twierdzenia Banacha-Alaoglu otrzymujemy poniższe twierdzenie o uniwersalności przestrzeni C(S) dla wszystkich przestrzeni Banacha.

6.17. Twierdzenie. Dla każdej przestrzeni Banacha X istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa S o tej własności, że X jest izometrycznie izomorficzna z domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni C(S).

Dowód: Za przestrzeń S wybierzmy kulę jednostkową K^{∗} przestrzeni sprzężonej X^{∗} i zaopatrzmy ją w topologię *-słabą. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że S jest zwartą przestrzenią Hausdorffa. Jeśli teraz elementowi x ∈ X przyporządkujemy funkcję f_{x} ∈ C(S) wzorem

f_{x}(x^{∗}) = x^{∗}(x),

to ∥x∥ = ∥f_{x}∥_{∞} na mocy wniosku 4.13).

Zadania uzupełniające

6.18. Zadanie. W przestrzeni ℓ^{p}, 0 < p < 1, ciągów sumowalnych z p-tą potęgą, analogicznie jak w L^{p}(0, 1), topologia liniowa jest wyznaczona przez metrykę d(x, y) = ∥x − y∥, gdzie

∥x∥ = ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p}.

Opisać przestrzeń (ℓ^{p})^{∗}.

6.19. Zadanie. Niech X będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (0, 1). Dla x ∈ X i ε > 0 oznaczmy przez U_{x,ε} zbiór tych y ∈ X, że |x(t) − y(t)| < ε dla wszystkich t ∈ (0, 1). Niech T będzie topologią w X, wyznaczoną przez wszystkie takie zbiory U_{x,ε}. Pokazać, że w topologii T dodawanie funkcji jest operacją ciągłą, a mnożenie funkcji przez liczby nie.

ROZDZIAŁ VII

OPERATORY LINIOWE

Przestrzeń operatorów linowych

Norma operatora

Operator liniowy T z przestrzeni liniowej unormowanej X do przestrzeni liniowej unormowaną Y nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka stała M, że

∥T x∥ M ∥x∥

dla wszystkich x ∈ X. Kres dolny takich stałych oznaczamy ∥T ∥ i nazywamy normą operatora T.

7.1. Twierdzenie. Dla każdego operatora ograniczonego T : X → Y zachodzi nierówność ∥T x∥ ∥T ∥ ∥x∥, x ∈ X, a także

∥T ∥ = sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ = sup_{∥x∥=1} ∥T x∥.

Dowód: Oznaczmy M = sup_{∥x∥=1} ∥T x∥ i dla x ∈ X, x ≠ 0, połóżmy y = \frac{1}{∥x∥}x. Wtedy ∥y∥ = 1, więc

∥T x∥ = ∥T y∥ ∥x∥ M ∥x∥

co daje ∥T ∥ M. Z drugiej strony, gdy ∥x∥ 1, to ∥T x∥ ∥T ∥, więc

sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ ∥T ∥.

7.2. Zadanie. Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły. Dla ograniczoności operatora wystarcza jego ciągłość w zerze.

Uwaga. Niech X = Y = ℂ^{n}. Każdemu operatorowi A : X → Y odpowiada w sposób wzajemnie jednoznaczny macierz {a_{i,j}}_{i,j=1}^{n} wzorem

Ax = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Bezpośrednie obliczanie normy ∥A∥ zwykle jest bardzo skomplikowane. Pokażemy później, że można to zrobić w następujący sposób:

1. znaleźć macierz A^{∗}A, gdzie A^{∗} = \overline{A}^{⊤} ,

2. znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego

det(zI − A^{∗}A)

(okazuje się, że są to liczby rzeczywiste nieujemne).

3. obliczyć

∥A∥ = max_{1 k n} |z_{k}|^{1/2}.

7.3. Przykład. Porównajmy bezpośrednią i opisaną wyżej metodę obliczania normy ∥A∥ na macierzy A = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Mamy tu

∥A∥ = sup_{|x|^{2}+|y|^{2}|=1} (|x − y|^{2} + |x|^{2})^{1/2} = sup_{|x|^{2}+|y|^{2}|=1} (2|x|^{2} + |y|^{2} − 2 Rex\overline{y})^{1/2}.

Ponieważ |x|^{2} + |y|^{2} = 1, więc |x| = cost, |y| = sint dla pewnego t ∈ [0, \frac{π}{2}). Oznaczając s = argx, u = argy, otrzymamy

∥A∥ = sup_{{t∈[0, \frac{π}{2} ) \atop s,u∈ℝ}} (2 cos^{2} t + sin^{2} t − 2 sint cost cos(s − u))^{1/2}

= sup_{t∈[0, \frac{π}{2})}(2 cos^{2} t + sin^{2} t + 2 sint cost)^{1/2}

= sup_{t∈[0, \frac{π}{2})} (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} cos2t + sin2t)^{1/2}.

Supremum to jest osiągnięte dla t = \frac{1}{2} arctg2 i wynosi \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} , zatem

∥A∥ = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} .

Z drugiej strony A^{∗} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}), A^{∗}A = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ), a ponieważ wielomian

charakterystyczny det(zI − A^{∗}A) = z^{2} − 3z + 1 ma pierwiastki z_{1} = ^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} , z_{2} = ^{\frac{3−\sqrt{5}}{2}} , więc

∥A∥ = max\{\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} , \sqrt{\frac{3−\sqrt{5}}{2}} \} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że do obliczenia ∥A∥ nie wystarczy znajomość pierwiastków wielomianu charakterystycznego samej macierzy A. Dla rozpatrywanej macierzy wielomian charakterystyczny

det(zI − A) = z^{2} − z + 1

ma pierwiastki ^{\frac{1+i\sqrt{3}}{2}} i ^{\frac{1−i\sqrt{3}}{2}} , oba o module 1.

7.4. Zadanie. Przeprowadzić analogiczne porównanie obu metod obliczania normy ∥A∥ na macierzy

A = ( \begin{matrix}1 & i & 0 \\ 0 & 1 & i \\ i & 0 & 1 \end{matrix} ) .

W praktyce, przy badaniu własności operatorów, znajomość ich normy nie jest aż tak istotna, zadowala nas znajomość oszacowań od góry. Zdarza się jednak, że rozstrzygnięcie, czy badany operator jest ograniczony, a więc znalezienie jakiegokolwiek oszacowania od góry, może być trudne. Zilustrujemy to na przykładzie transformaty Laplace’a.

7.5. Przykład. Transformacja Laplace’a to operacja przyporządkowująca funkcji x na półprostej (0, ∞) funkcję Lx postaci

(7. 32)  Lx(t) = ∫_{0}^{∞} e^{−st} x(s) ds,  t ∈ (0, ∞).

Jeżeli x ∈ L^{2}(0, ∞), to funkcja Lx jest dobrze określona. Wynika to z nierówności Schwarza

(7. 33)  \begin{aligned}|Lx(t)| & ∫_{0}^{∞} e^{−st} |x(s)| ds ( ∫_{0}^{∞} e^{−2st} ds)^{1/2} ∥x∥_{2} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2t}} ∥x∥_{2}. \end{aligned}

Powstaje jednak pytanie, czy Lx ∈ L^{2}(0, ∞)? W każdym razie z oszacowania (7. 33) tego nie widać, bo funkcja \frac{1}{\sqrt{2t}} nie leży L^{2}(0, ∞), nie leży nawet w żadnej

z przestrzeni L^{p}(0, ∞), 1 p ∞. Sprawdźmy wobec tego na przykładach czy można się spodziewać odpowiedzi pozytywnej na postawione pytanie.

Dla x = χ_{(0,1)} otrzymujemy

Lx(t) = \frac{1 − e^{−t}}{t} .

Jest to funkcja z L^{2}(0, ∞), bo Lx(t) 1 dla t ∈ (0, 1] i Lx(t) t^{−1} dla t ∈ [1, ∞).

Niech teraz x(t) = \frac{1}{1 + t} . Oczywiście x ∈ L^{2}(0, ∞) oraz ∥x∥_{2} = 1, zaś

Lx(t) = ∫_{0}^{∞} e^{−st} \frac{ds}{1 + s} .

Jeśli powyższą całkę rozdzielimy na dwie ∫_{0}^{1/t} + ∫_{1/t}^{∞} i w pierwszej z nich składnik e^{−st} zastąpimy przez 1 a w drugiej składnik \frac{1}{1+s} przez \frac{1}{1+1/t} , to po obliczeniu otrzymanych całek dostaniemy

Lx(t) ln(1 + \frac{1}{t}) + \frac{1}{1 + t} .

Prawa strona tej nierówności przedstawia funkcję z L^{2}(0, ∞), więc tym bardziej Lx ∈ L^{2}(0, ∞).

Proponuję trochę inną metodę dowodu tego faktu. Wybierzmy dowolnie liczbę a ∈ (−1, 1) i po przedstawieniu funkcji e^{−st} \frac{1}{1+s} w postaci iloczynu (s^{−a/2} e^{−st} ) · (s^{a/2} \frac{1}{1+s} ) zastosujmy nierówność Schwarza. Wtedy otrzymamy

|Lx(t)|^{2} C_{a} t^{a−1} ,

gdzie

\begin{aligned}C_{a} & = 2^{a−1} ∫_{0}^{∞} u^{−a} e^{−u} du ∫_{0}^{∞} \frac{s^{a}}{(1 + s)^{2}} ds \\ & = 2^{a−1} Γ(1 − a)^{2}Γ(1 + a). \end{aligned}

Wybór a < 0 pociąga całkowalność funkcji |Lx|^{2} na (1, ∞) a wybór a > 0 całkowalność na (0, 1).

Jeszcze lepszy efekt otrzymamy wybierając przedstawienie postaci e^{−st} \frac{1}{1+s} = (s^{−a/2} e^{−st/2} )(s^{a/2}e^{−st/2} \frac{1}{1+s} ).

∥Lx∥_{2}^{2} ∫_{0}^{∞} ( ∫_{0}^{∞} s^{−a} e^{−st} ds)( ∫_{0}^{∞} s^{a}e^{−st} \frac{1}{(1 + s)^{2}} ds)dt
= ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} Γ(1 − a) t^{a−1} s^{a}e^{−st} \frac{1}{(1 + s)^{2}} ds dt
= Γ(1 − a) ∫_{0}^{∞} s^{a} \frac{1}{(1 + s)^{2}} ∫_{0}^{∞} t^{a−1} e^{−st} dt ds
= Γ(a)Γ(1 − a) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{(1 + s)^{2}} ds = \frac{π}{sinaπ} ∥x∥_{2}^{2}.

Trzeba jednak założyć, że 0 < a < 1, aby wszystkie całki były zbieżne.

Zwróćmy uwagę, że w powyższym rozumowaniu nigdzie nie korzystaliśmy z postaci funkcji x. Można zatem je powtórzyć dla dowolnej funkcji z L^{2}(0, ∞). To dowodzi ograniczoności operatora L. Zwróćmy też uwagę, że spośród różnych stałych a najlepszą jest a = \frac{1}{2}, dla niej ∥Lx∥_{2} \sqrt{π} ∥x∥_{2}.

7.6. Twierdzenie. Transformacja Laplace’a

Lx(t) = ∫_{0}^{∞} e^{−st} x(s) ds

jest ograniczoną operacją liniową z L^{2}(0, ∞) do L^{2}(0, ∞) i ma normę \sqrt{π}.

Dowód: Niech x będzie dowolną funkcją ciągłą o nośniku zwartym na półprostej (0, ∞). Wtedy

∥Lx∥_{2}^{2} = ∫_{0}^{∞} | ∫_{0}^{∞} (e^{−st/2} s^{−1/4} ) · (e^{−ts/2} s^{1/4}x(s)) ds|^{2}dt
∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} e^{−st} s^{−1/2} ds · ∫_{0}^{∞} e^{−ts} s^{1/2}|x(s)|^{2}ds dt
= ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} Γ(1/2)t^{−1/2} e^{−st} s^{1/2}|x(s)|^{2}ds dt
= Γ(1/2) ∫_{0}^{∞} s^{1/2}|x(s)|^{2} ∫_{0}^{∞} t^{−1/2} e^{−st} dt ds
= Γ(1/2)^{2} ∫_{0}^{∞} s^{1/2}|x(s)|^{2}ds = Γ(1/2)^{2}∥x∥_{2}^{2},

zatem ∥L∥ Γ(1/2) = \sqrt{π}.

Z drugiej strony dla ε > 0 i funkcji x_{ε} określonej wzorem x_{ε}(t) = t^{−1/2+ε} e^{−t} mamy

∥x_{ε}∥_{2}^{2} = ∫_{0}^{∞} t^{2ε−1} e^{−2t} dt = 2^{−2ε} Γ(2ε)

oraz

Lx_{ε}(t) = ∫_{0}^{∞} s^{−1/2+ε} e^{−(t+1)s} ds = Γ(1/2 + ε) (t + 1)^{−1/2−ε} ,

więc

∥Lx_{ε}∥_{2}^{2} = Γ(1/2 + ε)^{2} ∫_{0}^{∞} \frac{dt}{(t + 1)^{1+2ε}} = \frac{1}{2ε}Γ(1/2 + ε)^{2}.

Ponieważ Γ(2ε) = \frac{Γ(1 + 2ε)}{2ε} , więc

\frac{∥Lx_{ε}∥_{2}^{2}}{∥x_{ε}∥_{2}^{2}} = \frac{Γ(1/2 + ε)^{2}}{2^{−2ε} Γ(1 + 2ε)} −→ π.

Metodę �preparowania” funkcji podcałkowej przed stosowaniem nierówności Schwarza, którą z sukcesem stosowaliśmy dla dowodu ograniczoności transformaty Laplace’a, można uogólnić w następujący sposób:

7.7. Kryterium Schura. Niech (Ω, μ) będzie dowolną przestrzenią miarową oraz K : Ω × Ω → ℂ funkcją μ × μ mierzalną. Załóżmy, że istnieje taka funkcja mierzalna dodatnia φ na Ω i takie dwie stałe M, N, że

(7. 34)

∫_{Ω} |K(s, t)| φ(s) ds M φ(t) dla t ∈ Ω,
∫_{Ω} |K(s, t)| φ(t) dt N φ(s) dla s ∈ Ω.

Wtedy operator całkowy K, określony na przestrzeni L^{2}(Ω, μ) wzorem

Kx(t) = _{∫_{Ω}} K(s, t) x(s) ds,

jest ograniczony i zachodzi nierówność ∥K∥ \sqrt{MN}.

Dowód: Dla x ∈ L^{2}(Ω, μ), po zastosowaniu nierówności Schwarza a następnie kolejno nierówności (7. 34), dostajemy

∥Kx∥_{2}^{2} ∫_{Ω} ( ∫_{Ω} \sqrt{|K(s, t)| φ(s)}\sqrt{|K(s, t)| |x(s)|^{2}φ(s)^{−1}} ds) dt
∫_{Ω} ∫_{Ω} |K(s, t)| φ(s) ds ∫_{Ω} |K(s, t)| |x(s)|^{2}φ(s)^{−1} ds dt
M ∫_{Ω} ∫_{Ω} |K(s, t)| |x(s)|^{2} φ(s)^{−1} φ(t) ds dt
= M ∫_{Ω} |x(s)|^{2} φ(s)^{−1} _{∫_{Ω}} |K(s, t)| φ(t) dt ds
MN ∫_{Ω} |x(s)|^{2} ds = MN ∥x∥_{2}^{2}.

Posługując się kryterium Schura można łatwo dowodzić ograniczoności wielu operatorów. Kłopot polega na odgadnięciu funkcji φ. Proponuję spróbować swych sił i pomysłowości przy rozwiązywaniu następującego zadania:

7.8. Zadanie. Pokazać, że na przestrzeni ℓ^{2} operator wyznaczony przez macierz Hilberta

(\frac{1}{j + k − 1} ){∞ \atop j.k=1}

przyporządkowujący wektorowi x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) wektor y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, …) określony wzorem

y_{k} = ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{j + k − 1} x_{j}, k = 1, 2, 3, …

jest ograniczony i jego norma nie przekracza π.

Podamy na zakończenie jeszcze jeden przykład. W nim posłużymy się nierównością Schwarza dla obliczenia normy operatora Volterry na L^{2}(0, 1). Kryterium Schura nie ma tu zastosowania.

7.9. Przykład. Na przestrzeni L^{2}[0, 1] operator Volterry V

V x(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds

ma normę ∥V ∥ = \frac{2}{π}.

Dla funkcji x ∈ L^{2}[0, 1] z nierówności Schwarza otrzymujemy

∥V x∥_{2}^{2} = ∫_{0}^{1} | ∫_{0}^{t} x(s) ds|^{2}dt = ∫_{0}^{1} | ∫_{0}^{t} \sqrt{cos \frac{π}{2}s} · \frac{x(s)}{\sqrt{cos \frac{π}{2}s}} ds|^{2}dt

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} cos \frac{π}{2}s ds ∫_{0}^{t} \frac{|x(s)|^{2}}{cos \frac{π}{2}s} ds dt = \frac{2}{π} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} sin \frac{π}{2}t \frac{|x(s)|^{2}}{cos \frac{π}{2}s} ds dt

= \frac{2}{π} ∫_{0}^{1} ∫_{s}^{1} sin \frac{π}{2}t dt \frac{|x(s)|^{2}}{cos \frac{π}{2}s} ds = \frac{4}{π^{2}} ∫_{0}^{1} |x(s)|^{2}ds = \frac{4}{π^{2}}∥x∥_{2}^{2},

co dowodzi, że ∥V ∥ \frac{2}{π}. Równość jest wymuszona przez funkcję x(t) = cos \frac{π}{2}t, bo V x(t) = \frac{2}{π} sin \frac{π}{2}t, a funkcje sin \frac{π}{2}t i cos \frac{π}{2}t mają te same normy. Można też zauważyć, że dla funkcji x(t) = cos \frac{π}{2}t powyższa nierówność Schwarza przechodzi w równość.

Przestrzeń L(X, Y)

7.10. Twierdzenie. Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi. Zbiór L(X, Y) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z X w Y , po wprowadzeniu działań dodawania operatorów i mnożenia operatorów przez liczby w sposób następujący

(T + S)x = T x + Sx,
(λT)x = λ T x,

oraz normy jako normy operatorowej, staje się przestrzenia liniową unormowaną. Jeżeli przestrzeń Y jest zupełna, to L(X, Y) także jest przestrzenią zupełną.

Dowód: Sprawdzenie, że L(X, Y) jest przestrzenią liniową unormowaną jest nietrudne. Udowodnimy więc tylko drugą część twierdzenia. Załóżmy, że Y jest przestrzenią zupełną i niech {T_{n}} będzie ciągiem Cauchy’ego w L(X, Y). Ponieważ dla każdego x ∈ X

∥T_{n}x − T_{m}x∥ ∥T_{n} − T_{m}∥ ∥x∥,

więc {T_{n}x} jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni Y . Z zupełności Y wynika istnienie granicy lim_{n→∞} T_{n}x, którą oznaczymy T x. Pokażemy kolejno, że przyporządkowanie x → T x jest liniowe, ciągłe oraz, że ∥T_{n} − T ∥ → 0

Liniowość odwzorowania T otrzymujemy łatwo przechodząc do granicy w równościach

T_{n}(x_{1} + x_{2}) = T_{n}x_{1} + T_{n}x_{2},
T_{n}(λx) = λ T_{n}x.

Pokażemy, że operator T jest ciągły. Zauważmy w tym celu, że {∥T_{n}∥} jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego, a więc dla pewnej stałej M zachodzi ∥T_{n}∥ M, n = 1, 2, 3, …, stąd dla każdego x ∈ X otrzymujemy ∥T_{n}x∥ M ∥x∥, a to z kolei pociąga

∥T x∥ M ∥x∥.

Pozostaje więc tylko dowieść, że T_{n} dąży do T w L(X, Y). Dla dowolnego ε > 0 mamy

∥T_{n}x − T_{m}x∥ ∥T_{n} − T_{m}∥ ∥x∥ < ε ∥x∥

przy dostatecznie dużych m i n. Ustalając n i przechodząc do granicy przy m → ∞ otrzymamy

∥T_{n}x − T x∥ ε ∥x∥,

a to z definicji normy operatorowej daje ∥T_{n} − T ∥ ε.

7.11. Zadanie. Gdy Y jest przestrzenią niezupełną, to L(X, Y) także jest niezupełna.

Operatory odwracalne

Definicja. Niech T ∈ L(X, Y). Jeżeli istnieje taki operator S ∈ L(Y, X), że ST i T S są operatorami identycznościowymi odpowiednio na przestrzeniach X i Y , to mówimy, że S jest operatorem odwrotnym do T i piszemy S = T^{−1} . Operator odwrotny jest jedyny, bo jeżeli S_{1}, S_{2} są odwrotnymi do T, to

(7. 35)  S_{1} = S_{1}I = S_{1}(T S_{2}) = (S_{1}T)S_{2} = IS_{2} = S_{2}.

7.12. Uwagi.

1. Może się zdarzyć, że zachodzi tylko jedna z równości, np. ST = I, zaś T S ≠ I. Mówimy wtedy, że S jest lewym odwrotnym dla T, a T prawym odwrotnym dla S. Rozpatrzmy na przestrzeni ℓ^{2} operatory

\begin{aligned}S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) & = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, …), \\ T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) & = (0, x_{1}, x_{2}, …). \end{aligned}

Wtedy ST = I, zaś T S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (0, x_{2}, x_{3}, …) ≠ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …), więc T S ≠ I.

2. Ze wzoru (7. 35) wynika, że jeżeli operator S_{1} jest lewym odwrotnym dla T, a S_{2} prawym odwrotnym dla T, to S_{1} = S_{2}, tzn. operator T jest odwracalny.

3. Jeżeli operator T ∈ L(X, Y) jest odwracalny, to przestrzenie X i Y są izomorficzne. Pozwala to sprowadzić badania do przypadku X = Y .

7.13. Twierdzenie. Niech X będzie przestrzenią Banacha. Zbiór elementów odwracalnych w L(X) tworzy grupę względem mnożenia i jest podzbiorem otwartym w L(X). Na nim odwzorowanie T → T^{−1} jest ciągłe.

Dowód: Jeżeli operatory T i S są odwracalne, to odwracalny jest też operator T S i (T S)^{−1} = S^{−1} T^{−1} , bo

(T S)(S^{−1} T^{−1} ) = T (SS^{−1} )T^{−1} = T T^{−1} = I

oraz (S^{−1} T^{−1} )(ST) = I. Oznacza to, że operatory odwracalne w L(X) z operacją składania tworzą grupę.

Pokażemy teraz, że jeżeli T jest operatorem odwracalnym oraz ∥S − T ∥ < 1/∥T^{−1} ∥, to S jest także operatorem odwracalnym. Wystarczy w tym celu pokazać tylko, że A = T^{−1} S jest operatorem odwracalnym. Z założenia mamy

∥I − A∥ = ∥T^{−1} (T − S)∥ ∥T^{−1} ∥ ∥T − S∥ < 1,

więc szereg

B = ∑_{n=0}^{∞}(I − A)^{n}

(przyjmujemy tu (I − A)^{0} = I) jest bezwzględnie zbieżny w L(X). Ponieważ

AB = B − (I − A)B = ∑_{n=0}^{∞}(I − A)^{n} − ∑_{n=1}^{∞}(I − A)^{n} = I

oraz BA = B − B(I − A) = I, więc B = A^{−1} .

Operator S^{−1} można wprost napisać wzorem

S^{−1} = ∑_{n=0}^{∞}[T^{−1} (T − S)]^{n}T^{−1} .

Jeżeli ∥S − T ∥ ε ∥T^{−1} ∥^{−1} , gdzie 0 < ε < 1, to ∥S^{−1} ∥ \frac{1}{1 − ε} ∥T^{−1} ∥, więc

∥S^{−1} − T^{−1} ∥ = ∥S^{−1} (T − S)T^{−1} ∥ ∥S^{−1} ∥ ∥T − S∥ ∥T^{−1} ∥ \frac{ε}{1 − ε} ∥T^{−1} ∥.

7.14. Twierdzenie (o promieniu spektralnym). Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Dla każdego operatora T ∈ L(X, Y) istnieje granica

r(T) = lim_{n→∞} ∥T^{n}∥^{1/n}.

Liczba r(T) nosi nazwę promień spektralny operatora T.

Dowód: Ustalmy liczbę naturalną m i przedstawmy n w postaci n = km + r, gdzie 0 r < m. Niech M = max{1, ∥T ∥, ∥T^{2}∥, …, ∥T^{m−1} ∥}, wtedy

∥T^{n}∥ ∥T^{m}∥^{k}∥T ∥^{r} M ∥T^{m}∥^{k},

skąd

lim sup_{n→∞}∥T^{n}∥ lim_{n→∞} M^{1/n} ∥T^{m}∥^{k/n}.

Ponieważ \frac{k}{n} = \frac{1}{m} − \frac{r}{m} → \frac{1}{m} przy n → ∞, otrzymujemy

lim sup_{n→∞}∥T^{n}∥^{1/n} ∥T^{m}∥^{1/m},

co daje

lim sup_{n→∞}∥T^{n}∥^{1/n} lim inf_{m→∞}∥T^{m}∥^{1/m}.

7.15. Przykład. Podamy przykład operatora operatora quasi-nilpotentne-go, tzn. operatora, którego promień spektralny wynosi zero. Jest nim operator V określony na C[0, 1] wzorem

V x(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds,

zwany operatorem Volterry.

Łatwo sprawdzamy przez indukcję, że

(7. 36)  V^{n}x(t) = ∫_{0}^{t} \frac{(t − s)^{n−1}}{(n − 1)!} x(s) ds,  n = 1, 2, 3, …

Pokażemy, że ∥V^{n}∥ = \frac{1}{n!}. Jeżeli x ∈ C[0, 1] i ∥x∥_{∞} 1, to

sup_{t∈[0,1]}|V^{n}x(t)| sup_{t∈[0,1]}∫_{0}^{t} \frac{(t − s)^{n−1}}{(n − 1)!} |x(s)| ds

sup_{t∈[0,1]}∫_{0}^{t} \frac{(t − s)^{n−1}}{(n − 1)!} ds = ∫_{0}^{1} \frac{(t − s)^{n−1}}{(n − 1)!} ds = \frac{1}{n!}.

Ponieważ nierówności te przechodzą w równości dla x ≡ 1, więc ∥V^{n}∥ = \frac{1}{n!}.

Wynika stąd, że r(T) = lim_{n→∞} ∥V^{n}∥^{1/n} = 0.

7.16. Twierdzenie. Niech T będzie ograniczonym operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X i niech r(T) oznacza jego promień spektralny. Jeżeli liczba zespolona λ spełnia nierówność |λ| > r(T), to operator (λI − T)^{−1} istnieje i można go przedstawić w postaci bezwzględnie zbieżnego szeregu

(7. 37)  (λI − T)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{T^{n}}{λ^{n+1}} .

Dowód: Zauważmy, że

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥\frac{T^{n}}{λ^{n+1}} ∥} = \frac{1}{|λ|} lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥T^{n}∥} = \frac{r(T)}{|λ|} < 1,

a więc szereg (7. 37) jest bezwzględnie zbieżny w L(X), a skoro L(X) jest przestrzenią zupełną, to szereg ten jest także zbieżny. Niech S oznacza jego sumę. Sprawdzamy łatwo, że S(λI − T) = (λI − T)S = I, a więc, że S = (λI − T)^{−1} .

7.17. Przykład. Wiemy już, że dla operatora Volterry V zachodzi równość r(V) = 0. Wobec tego dla dowolnej liczby zespolonej λ ≠ 0 operator (λI − V) jest odwracalny. Wynika stąd, że równanie całkowe

y(t) = λ x(t) − ∫_{0}^{t} x(s) ds,

tzn. równanie y = (λI − V)x ma rozwiązanie

x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{V^{n}y}{λ^{n+1}} .

Można przy tym korzystać ze wzoru (7. 36).

7.18. Przykład. Załóżmy, że chcemy zbudować kolumnę mostu tak, by naprężenie w każdym punkcie kolumny pod naciskiem siły Q⃗ było stałe i wynosiło c. Jeżeli x(t) oznacza pole przekroju kolumny na wysokości t mierzonej od szczytu a ρ ciężar właściwy materiału z którego wykonamy kolumnę, to otrzymamy równanie

Q + ρ ∫_{0}^{t} x(s) ds = c x(t),

czyli równanie typu

y(t) = λx(t) − ∫_{0}^{t} x(s) ds,

gdzie y(t) = \frac{Q}{ρ}1(t) i λ = \frac{c}{ρ}. Ponieważ V 1(t) = ∫_{0}^{t} \frac{(t−s)^{n−1}}{(n−1)!} ds = \frac{t^{n}}{n!} , więc

x(t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{V^{n}y(t)}{λ^{n+1}} = \frac{Q}{c} ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}}{n! λ^{n}} = \frac{Q}{c} e^{t/λ} = \frac{Q}{c} exp(ρ t/c).

7.19. Przykład. Równanie różniczkowe 1-szego rzędu

x′= αx + x_{0}, α ∈ ℂ, x_{0} ∈ C[0, 1]

ma rozwiązanie

x(t) = ∫_{0}^{t} e^{α(t−s)} x_{0}(s) ds.

Istotnie, połóżmy λ = \frac{1}{α} i y = λ V x_{0}. Wtedy y′ = λx′− x, lub inaczej y = λx − V x. Zatem

x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{V^{n}y}{λ^{n+1}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{V^{n+1} x_{0}}{λ^{n}} = ∑_{n=0}^{∞}α^{n} V^{n+1} x_{0}.

Uwzględniając wzór (7. 36) otrzymamy

x(t) = ∫_{0}^{t} ∑_{n=0}^{∞}α^{n} \frac{(t − s)^{n}}{n!} x_{0}(s) ds = ∫_{0}^{t} e^{α(t−s)} x_{0}(s) ds.

Operator sprzężony

7.20. Twierdzenie (o operatorze sprzężonym). Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego operatora T ∈ L(H) istnieje dokładnie jeden operator T^{∗} ∈ L(H) o tej własności, że

(7. 38)  ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩

dla każdej pary x, y ∈ H. Ponadto zachodzi równość ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥.

Dowód: Ustalmy y ∈ H. Odwzorowanie x → ⟨T x, y⟩ jest liniowe, a ponieważ |⟨T x, y⟩| ∥T ∥ ∥x∥ ∥y∥, jest też ciągłe. Określa zatem ciągły funkcjonał liniowy na H. Z twierdzenia Riesza o postaci funkcjonału liniowego 4.10 wynika, że ⟨T x, y⟩ = ⟨x, z⟩ dla pewnego wektora z ∈ H. Wektor z jest jedyny, ale zależy od wyboru y. Oznaczmy go zatem z = T^{∗}y. Z własności iloczynu skalarnego wnioskujemy, że przyporządkowanie y → T^{∗}y jest liniowe, a ponieważ

∥T^{∗}y∥ = sup_{∥x∥ 1} |⟨x, T^{∗}y⟩| = sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, y⟩| ∥T ∥ ∥y∥,

to określa ograniczony operator liniowy T^{∗} na H o normie ∥T^{∗}∥ ∥T ∥. W istocie zachodzi równość ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥, gdyż z nierówności ∥T^{∗}∥ ∥T ∥ wynika nierówność ∥T^{∗∗}∥ ∥T^{∗}∥, a jak widać z (7. 38), T^{∗∗} = T.

Definicja. Operator T^{∗} nazywamy operatorem sprzężonym do T. Jeżeli zachodzi równość T^{∗} = T, to mówimy, że T jest operatorem samosprzężonym lub hermitowskim. Operator T, dla którego T^{∗}T = T T^{∗}, tzn. operator komutujący ze swoim sprzężonym, nosi nazwę operatora normalnego.

7.21. Przykłady.

1. Operator S^{∗} sprzężony do operatora przesunięcia S na ℓ^{2}

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (0, x_{1}, x_{2}, …)

ma postać

S^{∗}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, …),

bo

⟨Sx, y⟩ = ∑_{n=1}^{∞}x_{n} \overline{y_{n+1}} = ⟨x, S^{∗}y⟩.

2. Dla operatora Volterry V x(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds na przestrzeni L^{2}(0, 1) otrzymujemy

V^{∗}x(t) = ∫_{t}^{1} x(s) ds,

bo

⟨V x, y⟩ = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{t} x(s) \overline{y(t)}ds dt = ∫_{0}^{1} ∫_{s}^{1} x(s) \overline{y(t)}dt ds = ⟨x, V^{∗}y⟩.

3. Jeżeli A jest operatorem liniowym na ℂ^{n}, o macierzy {a_{i,j}}_{i,j=1}^{n} , to operator sprzężony A^{∗} ma macierz \{\overline{a_{j,i}}\}_{i,j=1}^{n} , transponowaną sprzężoną.

7.22. Twierdzenie. Operacja T → T^{∗} ma następujące własności:

1. (T + S)^{∗} = T^{∗} + S^{∗},

2. (λT)^{∗} = \overline{λ}T^{∗},

3. T^{∗∗} = T,

4. (ST)^{∗} = T^{∗}S^{∗},

5. ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥,

6. ∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2},

7. jeśli T^{−1} istnieje, to istnieje też (T^{∗})^{−1} i (T^{∗})^{−1} = (T^{−1} )^{∗}.

7.23. Twierdzenie. Norma operatora hermitowskiego wyraża są wzorem

∥T ∥ = sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, x⟩|.

Dowód: Wystarczy ograniczyć się do przypadku, gdy ∥T ∥ = 1. Istotnie, dla T = 0 twierdzenie jest oczywiście prawdziwe, a gdy T ≠ 0, to kładąc S = \frac{1}{∥T ∥} T otrzymamy

1 = sup_{∥x∥ 1} |⟨Sx, x⟩| = \frac{1}{∥T ∥} sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, x⟩|,

a stąd

∥T ∥ = sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, x⟩|.

Załóżmy więc, że ∥T ∥ = 1 i oznaczmy sup_{∥x∥ 1} |⟨T x, x⟩| = a. Mamy pokazać, że a = 1. Z nierówności Schwarza wynika, że

|⟨T x, x⟩| ∥T x∥ ∥x∥ ∥x∥^{2},

zatem a 1. Ustalmy x ∈ H i oznaczmy y = x + T x, z = x − T x. Wtedy

\begin{aligned}⟨T y, y⟩ & = ⟨T x, x⟩ + ⟨T^{2}x, x⟩ + ⟨T x, T x⟩ + ⟨T^{2}x, T x⟩, \\ ⟨T z, z⟩ & = −⟨T x, x⟩ + ⟨T^{2}x, x⟩ + ⟨T x, T x⟩ − ⟨T^{2}x, T x⟩. \end{aligned}

Odejmując te nierówności stronami i uwzględniając, że ⟨T^{2}x, x⟩ = ⟨T x, T x⟩ = ∥T x∥^{2}, otrzymujemy

⟨T y, y⟩ − ⟨T z, z⟩ = 4 ∥T x∥^{2}.

Z drugiej strony |⟨T x, y⟩| a ∥y∥^{2} oraz |⟨T z, z⟩| a ∥z∥^{2}, więc

4 ∥T x∥^{2} |⟨T y, y⟩| + |⟨T z, z⟩| a(∥y∥^{2} + ∥z∥^{2}) = a(∥x + T x∥^{2} + ∥x − T x∥^{2}).

Korzystając z równości równoległoboku i tego, że a 1 możemy napisać

4∥T x∥^{2} 2a(∥x∥^{2} + ∥T x∥^{2}) 2a∥x∥^{2} + 2∥T x∥^{2},

czyli

∥T x∥^{2} a ∥x∥^{2},

a stąd już łatwo otrzymujemy 1 = ∥T ∥ = sup_{∥x∥ 1} ∥T x∥ a.

7.24. Twierdzenie.

1. Każdy operator T ∈ L(H) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci

T = T_{1} + iT_{2},

gdzie T_{1} i T_{2} są operatorami hermitowskimi.

2. Operator T jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy T_{1} i T_{2} komutują.

3. Dla operatora normalnego zachodzi równość

∥T ∥ = \sqrt{∥T_{1}^{2} + T_{2}^{2}∥} .

Dowód: Jeżeli równość T = T_{1} + iT_{2} zachodzi, to T^{∗} = T_{1} − iT_{2}, więc T_{1} = \frac{1}{2}(T + T^{∗}) i T_{2} = \frac{1}{2i}(T − T^{∗}), można zatem te dwie ostatnie równości przyjąć jako definicje operatorów T_{1} i T_{2}. Punkt 2 wynika z równości T^{∗}T − T T^{∗} = 2i(T_{1}T_{2} − T_{2}T_{1}) a punkt 3 z tego, że ∥T ∥^{2} = ∥T^{∗}T ∥ oraz T^{∗}T = T_{1}^{2} + T_{2}^{2}.

Operatory normalne

Operatory normalne, w szczególności macierze normalne n × n, tworzą ważną klasę operatorów. Zachodzi dla nich twierdzenie spektralne (patrz ??), które dla macierzy oznacza możliwość sprowadzenia do postaci diagonalnej, tzn. pozwala przedstawić macierz A w postaci A = U^{−1} BU, gdzie U jest macierzą unitarną a B macierzą diagonalną.

7.25. Lemat. W L(H) promień spektralny ma własności:

1. r(T) ∥T ∥,

2. r(T^{k}) = r(T)^{k},

3. r(T^{∗}) = r(T).

Dowód: Ponieważ ∥T^{kn}∥^{1/n} ∥T^{n}∥^{k/n}, więc przy n → ∞ otrzymujemy r(T^{k}) r(T)^{k}. Z drugiej strony, gdy n = km + r, 0 r < k, to ∥T^{n}∥^{k/n} M ∥T^{km}∥, gdzie M = max_{0 r<k} ∥T^{r}∥, więc ∥T^{k}∥^{k/n} ∥T^{km}∥^{1/m} M^{k/n}, dlatego r(T^{k}) r(T^{k}).

7.26. Twierdzenie. Dla operatora normalnego T ∈ L(H) zachodzi równość

∥T^{n}∥ = ∥T ∥^{n}, n = 1, 2, 3, …,

w szczególności r(T) = ∥T ∥.

Dowód: Mamy

∥T^{2}∥^{2} = ∥(T^{∗})^{2}T^{2}∥ = ∥(T^{∗}T)(T^{∗}T)∥ = ∥T^{∗}T ∥^{2} = ∥T ∥^{4}.

a dalej przez indukcję dostajemy ∥T^{2^{n}}∥ = ∥T ∥^{2^{n}}. Wynika stąd, że r(T) = ∥T ∥. Ponieważ T^{n} jest także operatorem normalnym, więc ∥T^{n}∥ = r(T^{n}), ale z Lematu wynika, że t(T^{n}) = r(T)^{n} więc ∥T^{n}∥ = ∥T ∥^{n}, co kończy dowód.

7.27. Twierdzenie (o charakteryzacji operatorów normalnych). Operator T ∈ L(H) jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy ∥T x∥ = ∥T^{∗}x∥ dla każdego x ∈ H.

Dowód: Niech T ∈ L(H) i niech S = T T^{∗} − T^{∗}T. Wtedy dla dowolnego x ∈ H

\begin{aligned}⟨Sx, x⟩ & = ⟨T T^{∗}x − T^{∗}T x, x⟩ = ⟨T T^{∗}x, x⟩ − ⟨T^{∗}T x, x⟩ \\ & = ⟨T^{∗}x, T^{∗}x⟩ − ⟨T x, T x⟩ = ∥T^{∗}x∥^{2} − ∥T x∥^{2}. \end{aligned}

Jeżeli T jest operatorem normalnym, to S = 0, a zatem równość ∥T^{∗}x∥ = ∥T x∥ zachodzi dla każdego x ∈ H.

Z drugiej strony wiemy, że ta równość pociąga ⟨Sx, x⟩ = 0 dla wszystkich x ∈ H. Ponieważ S jest operatorem hermitowskim, to

∥S∥ = sup_{∥x∥ 1} |⟨Sz, x⟩| = 0,

czyli T^{∗}T = T T^{∗}.

7.28. Twierdzenie. Niech T będzie operatorem normalnym w L(H). Operator odwrotny T^{−1} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

inf_{∥x∥=1} ∥T x∥ > 0.

Dowód: Oznaczmy

inf_{∥x∥=1} ∥T x∥ = c.

Jeżeli operator odwrotny T^{−1} istnieje, to dla dowolnego x ∈ H mamy

∥x∥ = ∥T^{−1} (T x)∥ ∥T^{−1} ∥ ∥T x∥,

a stąd

∥T x∥ ∥x∥ ∥T^{−1} ∥^{−1} .

Załóżmy teraz, że c > 0. Łatwo pokazuje się, że dla dowolnego x zachodzi nierówność

∥x∥ \frac{1}{c} ∥T x∥.

wynika stąd, że T jest operatorem różnowartościowym, gdyż równość T x_{1} = T x_{2} pociąga ∥x_{1} − x_{2}∥ \frac{1}{c} ∥T x_{1} − T x_{2}∥ = 0, czyli x_{1} = x_{2}.

Aby dowieść, że T^{−1} istnieje, należy jeszcze pokazać, że T (H) = H. Spełnione wtedy będą założenia twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym.

Pokażemy najpierw, że T (H) jest domkniętą podprzestrzenią liniową w H. Niech y ∈ \overline{T (H)}. Istnieje taki ciąg \{x_{n}\}, że T x_{n} → y. ciąg \{T x_{n}\} jest ciągiem Cauchy’ego w H, a z tego, że ∥x_{n} − x_{m}∥ \frac{1}{c} ∥T x_{n} − T x_{m}∥, n, m = 1, 2, 3, … wynika, że także {x_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego w H. Oznaczmy lim_{n→∞} x_{n} = x. Wtedy

∥T x − y∥ = lim_{n→∞} ∥T x_{n} − y∥ = 0,

w rezultacie y ∈ T (H).

Teraz dowód sprowadza się do pokazania, że T (H)^{⊥} = {0}. Weźmy y ∈ T (H)^{⊥} . Wtedy

⟨x, T^{∗}y⟩ = ⟨T x, y⟩ = 0

dla każdego x ∈ H. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy T^{∗}y = 0. Z założenia operator T jest normalny, zatem ∥T^{∗}y∥ = ∥T y∥, co daje

0 = ∥T^{∗}y∥ = ∥T y∥ \frac{1}{c} ∥y∥,

czyli y = 0.

Forma kwadratowa operatora

Definicja. Niech T ∈ L(H). Funkcję f_{T} : H → ℂ postaci

f_{T} (x) = ⟨T x, x⟩

nazywamy formą kwadratową operatora T.

7.29. Twierdzenie. Niech T będzie operatorem w zespolonej przestrzeni Hilberta H a f_{T} jego formą kwadratową. Wtedy:

a. f_{T} jednoznacznie wyznacza T.

b. f_{T} jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy T jest operatorem

hermitowskim. c. Jeżeli oznaczymy ∥f_{T} ∥ = sup_{∥x∥ 1} |f_{T} (x)|, to

∥f_{T} ∥ ∥T ∥ 2 ∥f_{t}∥.

Dowód: Z równości równoległoboku mamy

(7. 39) ⟨T x, y⟩ = \frac{1}{4} [f_{T} (x + y) − f_{T} (x − y) + i f_{T} (x + iy) − i f_{T} (x − iy)].

wynika stąd, że jeżeli f_{T_{1}} = f_{T_{2}} , to ⟨T_{1}x, y⟩ = ⟨T_{2}x, y⟩ dla wszystkich x, y ∈ H, a więc T_{1} = T_{2}. Zauważmy, że T jest operatorem hermitowskim wtedy i tylko wtedy, gdy f_{T} jest funkcją rzeczywistą. Ponieważ f_{T} (x) ∥f_{T} ∥ ∥x∥^{2} dla dowolnego wektora x ∈ H, więc z (7. 39) wynika, że

\begin{aligned}|⟨T x, y⟩| & \frac{1}{4} ∥f_{t}∥ (∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} + ∥x + iy∥^{2} + ∥x − iy∥^{2}) \\ & ∥f_{T} ∥ (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}), \end{aligned}

więc

∥T ∥ = sup_{{∥x∥ 1 \atop ∥y∥ 1}} |⟨T x, y⟩| 2 ∥f_{T} ∥.

Nierówność ∥f_{T} ∥ ∥T ∥ jest oczywista.

Uwaga. W rzeczywistej przestrzeni Hilberta żadna z własności a, b, c nie zachodzi. Kontrprzykładem na każdą z nich jest operator T = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) w ℝ^{2}. Mamy tu f_{T} ≡ 0.

Uwaga. Dla dowolnego operatora T na przestrzeni Hilberta zbiór

{⟨T x, x⟩ : ∥x∥ 1}

jest domknięty i wypukły (Twierdzenie Toeplitza-Hausdorffa, patrz [H])

Operatory dodatnie

Operator T ∈ L(H) nazywamy dodatnim i piszemy T 0, jeżeli jest hermitowski oraz ⟨T x, x⟩ 0 dla wszystkich x ∈ H

7.30. Twierdzenie. Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Wtedy 1. T^{∗}T jest operatorem dodatnim dla dowolnego T ∈ L(H).

2. W zespolonej przestrzeni Hilberta warunek ⟨T x, x⟩ 0 dla wszystkich x ∈ H pociąga hermitowskość operatora T.

3. Jeżeli T 0, to (I + T)^{−1} istnieje i ∥(I + T)^{−1} ∥ 1.

Dowód: ad 3. Mamy

∥(I + T)x∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥T x∥^{2} + 2 ⟨T x, x⟩ ∥x∥^{2},

więc spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu operatora odwrotnego dla operatora normalnego 7.28. Otrzymana nierówność pociąga także nierówność ∥(I + T)^{−1} ∥ 1.

Definicja. Dla operatorów S, T ∈ L(H) zapis S T, lub T S oznacza, że T − S jest operatorem dodatnim.

7.31. Zadanie. Niech A, B, C będą operatorami na przestrzeni Hilberta H. Pokazać, że:

1. A B ∧ B A ⇒ A = B.

2. A B ∧ B C ⇒ A C.

3. A_{1} A_{2} ∧ B_{1} B_{2} ⇒ A_{1} + B_{1} A_{2} + B_{2}.

4. A B ∧ λ 0 ⇒ λA λB.

5. A B ⇒ −A −B.

7.32. Przykład. Niech T będzie operatorem hermitowskim. Wtedy

m I T M I,

gdzie m = inf_{∥x∥=1} ⟨T x, x⟩, M = sup_{∥x∥=1} ⟨T x, x⟩. Ponadto

∥T ∥ = max{|m|, |M|}.

Definicja. Liczby m, M nazywamy odpowiednio kresem dolnym oraz kresem górnym operatora T.

7.33. Twierdzenie. Jeżeli m > 0 oraz m I T M I, to operator odwrotny T^{−1} istnieje i spełnia nierówności

\frac{1}{M} I T^{−1} \frac{1}{m} I.

Dowód: Z założenia T = m I + A, gdzie A 0, zatem

∥T x∥^{2} m^{2}∥x∥^{2} + ∥Ax∥^{2} + 2m⟨Ax, x⟩ m^{2}∥x∥^{2}.

Z twierdzenia o operatorze odwrotnym do operatora normalnego 7.28 wnosimy, że operator T^{−1} istnieje i ∥T^{−1} ∥ \frac{1}{m}. Więc ⟨T^{−1} x, x⟩ ∥T^{−1} ∥ ∥x∥^{2}, a to oznacza, że

T^{−1} \frac{1}{m} I.

Jeśli oznaczymy m′ = inf_{∥x∥=1} ⟨T^{−1} x, x⟩, to ⟨T^{−1} x, x⟩ = ⟨y, T y⟩ 0 dla x = T y, więc rozumując jak poprzednio dla T otrzymamy M = ∥T ∥ \frac{1}{m′}, czyli m′ \frac{1}{M} , a stąd

\frac{1}{M} I T^{−1} .

7.34. Twierdzenie (uogólniona nierówność Schwarza). Dla operatora dodatniego T w L(H) i dowolnych x, y ∈ H zachodzi nierówność

|⟨T x, y⟩|^{2} ⟨T x, x⟩⟨T y, y⟩.

Dowód: Funkcja ⟨⟨x, y⟩⟩ = ⟨tx, y⟩ ma wszystkie własności iloczynu skalarnego, z wyjątkiem być może ⟨⟨x, y⟩⟩ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Dla tej funkcji można powtórzyć standartowy dowód nierówności Schwarza.

7.35. Wnioski.

1. Jeżeli S 0, to dla każdego x ∈ H

∥Sx∥^{2} ∥S∥ ⟨Sx, x⟩.

2. Jeżeli S 0, to równość ⟨Sx_{0}, x_{0}⟩ = 0 pociąga Sx_{0} = 0.

Dowód: Z uogólnionej nierówności Schwarza dostajemy

∥Sx∥^{4} = |⟨Sx, Sx⟩|^{2} ⟨Sx, x⟩ ⟨S(Sx), Sx⟩ ⟨Sx, x⟩ ∥S∥ ∥Sx∥^{2}

a stąd żądaną nierówność.

Ciągi monotoniczne operatorów

Definicja. Ciąg {T_{n}} operatorów hermitowskich na przestrzeni Hilberta nazywamy monotonicznym, jeżeli T_{1} T_{2} T_{3} … lub T_{1} T_{2} T_{3} . . ..

7.36. Twierdzenie (o ciągach monotonicznych). Każdy monotoniczny i ograniczony ciąg operatorów hermitowskich jest mocno zbieżny, tzn. istnieje taki operator T ∈ L(H), że

lim_{n→∞} ∥T_{n}x − T x∥ = 0

dla każdego x ∈ H.

Dowód: Wystarczy pokazać, że dla każdego x ∈ H istnieje granica lim_{n→∞} T_{n}x, gdyż równość T x = lim_{n→∞} T_{n}x, x ∈ H określa na przestrzeni H operator liniowy i ograniczony.

Dla ustalonego x ∈ H ciąg {⟨t_{n}x, x⟩} jest monotonicznym i ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych, jest więc zbieżny. Pokażemy, że pociąga to zbieżność ciągu {T_{n}x}. Dla dowolnych wskaźników m, n mamy

∥T_{n}x − T_{m}x∥ = ∥(T_{n} − T_{m})x∥ = ∥(T_{m} − T_{n})x∥.

Ponieważ przynajmniej jeden z operatorów T_{n} − T_{m}, T_{m} − T_{n} jest dodatni, powiedzmy T_{n} − T_{m}, zatem z wniosku 7.35.1 otrzymujemy

\begin{aligned}∥T_{n}x − T_{m}x∥^{2} & = ∥(T_{n} − T_{m})x∥^{2} ∥T_{n} − T_{m}∥ ⟨(T_{n} − T_{m})x, x⟩ \\ & 2M(⟨T_{n}x, x⟩ − ⟨T_{m}x, x⟩), \end{aligned}

gdzie M = sup_{k 1} ∥T_{k}∥.

Wiemy już, że ciąg {⟨T_{n}x, x⟩} jest zbieżny, jest więc ciągiem Cauchy’ego a to, na mocy dopiero co udowodnionej nierówności oznacza, że {T_{n}x} jest ciągiem Cauchy’ego w H, jest zatem zbieżny.

7.37. Twierdzenie (o pierwiastku kwadratowym). Dla dowolnego operatora dodatniego T istnieje, i to dokładnie jeden, taki operator dodatni S, że S^{2} = T. Operator ten komutuje z każdym operatorem komutującym z T.

Dowód: Idea dowodu jest ukryta w następującym prostym twierdzeniu z analizy: dla dowolnej liczby a ∈ [0, 1] ciąg rekurencyjny

a_{0} = 0, a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n}^{2} + 1 − a), n = 0, 1, 2, …

jest monotonicznie rosnący i zbieżny do 1 − \sqrt{a}. Zastosujemy to twierdzenie do operatora T, o którym bez ograniczenia ogólności możemy założyć, że 0 T I. Utwórzmy rekurencyjny ciąg operatorów

S_{0} = 0, S_{n+1} = \frac{1}{2}(S_{n}^{2} + I − T), n = 0, 1, 2, ….

Wtedy 0 S_{1} S_{2} … I, a więc z twierdzenia o ciągach monotonicznych 7.36 ciąg ten jest mocno zbieżny w L(H) do pewnego operatora dodatniego B. Ponieważ 0 B I, więc operator S = I − B jest dodatni. Przechodząc do granicy w równości

S_{n+1} x = \frac{1}{2}(S_{n}^{2} + I − T)x,

prawdziwej dla każdego x ∈ H, otrzymamy

Bx = \frac{1}{2}(B^{2} + I − T)x,

czyli

T x = (I − B)^{2}x = S^{2}x,

a stąd T = S^{2}.

Dowód będzie zakończony, jeżeli pokażemy, że S jest jedynym operatorem dodatnim o własności S^{2} = T. Jeżeli dany jest operator S′ 0, S^{′2} = T, to S′T = S^{′3} = T S′, tzn. S′ jest przemienny z T. Łatwo pokazujemy, że wtedy S′S_{n} = S_{n}S′ dla n = 1, 2, 3, … i w konsekwencji, że S′B = BS′. Mamy więc S′S = SS′ a równość S′= S wynika z poniższego lematu.

7.38. Lemat. Jeżeli operatory dodatnie S, T komutują, to równość S^{2} = T^{2} pociąga równość S = T.

Dowód: Niech x ∈ H i y = (S − T)x. Wtedy

0 = ⟨(S^{2} − T^{2})x, y⟩ = ⟨(S + T)y, y⟩ = ⟨Sy, y⟩ + ⟨T y, y⟩.

Ponieważ S i T są operatorami dodatnimi, więc z wniosku 7.35.2 otrzymujemy Sy = T y = 0, a w konsekwencji

∥Sx − T x∥ = ⟨Sy − T y, x⟩ = 0.

Definicja. Operator S z twierdzenia 7.36 nazywamy pierwiastkiem kwadratowym z operatora T i oznaczamy T^{1/2}.

7.39. Wniosek. Operator T jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci

T = S^{∗}S.

Definicja. Operator U ∈ L(H) nazywamy izometrią, jeżeli ∥Ux∥ = ∥x∥ dla każdego x ∈ H. Jest to równoważne równości U^{∗}U = I. Operator U jest częściową izometrią, jeżeli H = H_{0} ⊕ H_{1}, oraz U|_{H_{0}} ≡ 0 i U|_{H_{1}} jest izometrią.

7.40. Twierdzenie o rozkładzie biegunowym. Każdy operator T ∈ L(H) można jednoznacznie przedstawić w postaci

T = US,

gdzie S jest operatorem dodatnim a U częściową izometrią na H.

Dowód: Dla operatora S = (T^{∗}T)^{1/2} i x ∈ H mamy

(7. 40)  ∥Sx∥^{2} = ⟨S^{2}x, x⟩ = ⟨T^{∗}T x, x⟩ = ⟨T x, T x⟩ = ∥T x∥^{2}.

Oznaczmy H_{1} = S(H); jest to podprzestrzeń liniowa w H, choć może nie być domknięta. Dla y ∈ H_{1} istnieje taki wektor x ∈ H, że y = Sx. Połóżmy Uy = T x. Wektor Uy jest dobrze określony, bo jeśli Sx_{1} = Sx_{2}, tzn. S(x_{1} − x_{2}) = 0, to z (7. 40) także T x_{1} = T x_{2}. Z (7. 40) wynika także, że U jest izometrią liniową na H_{1}, zatem przedłuża się jednoznacznie do izometrii na \overline{H_{1}} . Kładąc Ux = 0 dla x ∈ H_{0} = H_{1}^{⊥} otrzymamy częściową izometrię spełniającą równość T = US.

Widmo operatora, wartości własne

Liczbę zespoloną λ nazywamy wartością własną operatora T ∈ L(X) jeżeli dla pewnego x_{0} ∈ X, x_{0} ≠ 0, zachodzi

T x_{0} = λ x_{0}.

Zbiór σ_{p}(T) wszystkich wartości własnych operatora T nazywamy widmem punktowym lub spektrum punktowym operatora T.

Niech λ ∈ σ_{p}(T). Wektor x ∈ X spełniający równość T x = λ x nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Zbiór wszystkich takich wektorów tworzy domkniętą podprzestrzeń liniową w X, zwaną podprzestrzenią własną operatora T.

7.41. Przykład. Na przestrzeni ℓ^{2} rozpatrzmy operator przesunięcia S postaci

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, …).

Jeśli liczba λ ∈ ℂ jest wartością własną operatora S, a x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) odpowiadającym jej, niezerowym wektorem własnym, to

(7. 41)  x_{k+1} = λ x_{k}, k = 1, 2, 3, …, oraz x_{1} ≠ 0.

Gdy |λ| < 1, to dla x = (1, λ, λ^{2}, …) mamy Sx = λ x, więc λ ∈ σ_{p}(S). Jeżeli |λ| 1, to warunek (7. 41) nie może być spełniony dla żadnego wektora x ∈ ℓ^{2}. Dlatego σ_{p}(S) = {z ∈ ℂ : |z| < 1}. Dla operatora sprzężonego S^{∗}

S^{∗}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (0, x_{1}, x_{2}, …)

otrzymujemy σ_{p}(S^{∗}) = ∅.

7.42. Twierdzenie. Niech T będzie operatorem hermitowskim na przestrzeni Hilberta H. Wtedy:

a. Wartości własne operatora T są liczbami rzeczywistymi.

b. Podprzestrzenie własne odpowiadające różnym wartościom własnym są or-

togonalne. c. W ośrodkowej przestrzeni Hilberta zbiór σ_{p}(T) jest co najwyżej przeliczalny.

Uwaga. Z przykładu 7.41 widać, że żadna z własności a, b, c nie przysługuje wszystkim ograniczonym operatorom na przestrzeni Hilberta.

Definicja. Niech T będzie ograniczonym operatorem na przestrzeni Banacha X. Widmem lub spektrum σ(T) operatora T nazywamy zbiór

σ(T) = {λ ∈ ℂ : (λ I − T)^{−1} nie istnieje}.

Zauważmy, że σ_{p}(T) ⊂ σ(T).

7.43. Twierdzenie. Niech T ∈ L(H). Wtedy:

1. σ(T) jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny.

b. σ(λ T) = λ σ(T).

c. σ(T^{∗}) = \overline{σ(T)}.

d. sup{|λ| : λ ∈ σ(T)} r(T).

Dowód: Domkniętość σ(T) wynika wprost z otwartości zbioru elementów odwracalnych przestrzeni L(H) a równość zbiorów σ(T^{∗}) i \overline{σ(T)} z tożsamości

[(λ I − T)^{−1} ]^{∗} = (\overline{λ} I − T^{∗})^{−1} .

Jeżeli λ > r(T), to szereg

∑_{n=0}^{∞} \frac{T^{n}}{λ^{n+1}}

jest bezwzględnie zbieżny w L(H), jego suma to operator odwrotny do operatora λ I − T, zatem λ ∉ σ(T).

Uwaga. Pokażemy potem ??, że σ(T) jest zbiorem niepustym oraz, że w d zachodzi równość. To tłumaczy nazwę �promień spektralny” dla liczby r(T).

7.44. Przykłady.

1. Dla operatora S z poprzedniego przykładu mamy

σ(S) = σ(S^{∗}) = {z ∈ ℂ : |z| 1}.

Istotnie, operator S jest kontrakcją, więc r(S) ∥S∥ 1, co oznacza, że σ(S) ⊂ {z ∈ ℂ :: |z| 1}. Zawieranie ⊃ wynika z σ(S) ⊃ σ_{p}(S) = {z ∈ ℂ : |z| < 1} i domkniętości σ(S).

2. Niech operator T ∈ L(L^{2}(0, 1)) będzie określony wzorem

T x(t) = f(t) x(t), t ∈ (0, 1),

gdzie f jest ograniczoną funkcją mierzalną na (0, 1). Liczba λ jest wartością własną operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy równość f(t) = λ zachodzi na zbiorze miary dodatniej. Liczba λ leży w spektrum operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 zbiór {t ∈ (0, 1) : |f(t)−λ| < ε} jest miary dodatniej. W szczególności dla funkcji f ciągłej otrzymujemy σ(T) = \overline{f((0, 1))}.

7.45. Twierdzenie. Jeżeli T jest operatorem normalnym w L(H), to

σ(T) ⊂ \overline{\{⟨T x, x⟩ : ∥x∥ = 1\}}.

Wynika stąd, że widmo operatora hermitowskiego jest podzbiorem prostej rzeczywistej a widmo operatora dodatniego podzbiorem półprostej [0, ∞).

Dowód: Jeżeli λ ∉ \overline{\{⟨T x, x⟩ : ∥x∥ = 1\}}, to

0 < inf_{∥x∥=1} |⟨(λ I − T)x, x⟩| inf_{∥x∥=1} ∥(λ I − T)∥,

a więc operator λ I − T jest odwracalny na mocy twierdzenia 7.28 o istnieniu operatora odwrotnego dla operatora normalnego.

Rezolwenta operatora

Dla operatora ograniczonego T na przestrzeni Banacha X oznaczmy przez ρ(T) dopełnienie widma σ(T) operatora T. Jest to otwarty podzbiór płaszczyzny zespolonej a dla każdego λ ∈ ρ(T) istnieje operator

R(λ, T) = (λ I − T)^{−1} ,

zwany rezolwentą operatora T.

7.46. Lemat (równanie Hilberta). Niech T ∈ L(X). Jeśli λ, μ ∈ ρ(T), to

R(λ, T) − R(μ, T) = (μ − λ) R(λ, T) R(μ, T).

Dowód: Operatory R(λ, T) i R(μ, T) komutują, więc

(λ I − T) R(λ, T) R(μ, T) = R(μ, T),
(μ I − T) R(λ, T) R(μ, T) = R(λ, T).

Po odjęciu tych równości stronami otrzymamy postulowane równanie.

7.47. Lemat. Niech T ∈ L(X). Dla dowolnych x ∈ X, x^{∗} ∈ X^{∗} funkcja

λ −→ x^{∗}(R(λ, T)x)

jest holomorficzna na ρ(T).

Dowód: Pokazaliśmy jeż wcześniej (patrz ??), że funkcja λ → R(λ, T) jest ciągła. Z lematu 7.46 mamy więc

\begin{aligned}lim_{μ→λ} \frac{x^{∗}(R(λ, T)x) − x^{∗}(R(μ, T)x)}{λ − μ} & = lim_{μ→λ} x^{∗}( − R(λ, T)R(μ, T)x) \\ & = −x^{∗}(R(λ, T)^{2}x). \end{aligned}

Oznacza to, że funkcja λ → x^{∗}(R(λ, T)) ma pochodną w każdym punkcie λ ∈ ρ(T).

7.48. Twierdzenie. W zespolonej przestrzeni Banacha X widmo dowolnego operatora ograniczonego jest zbiorem niepustym.

Dowód: Jeżeli |λ| > ∥T ∥, to R(λ, T) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{T^{n}}{λ^{n+1}} , więc

∥R(λ, T)∥ ∑_{n=0}^{∞} \frac{∥T^{n}∥}{|λ|^{n+1}} = \frac{1}{|λ| − ∥T ∥} .

Wynika stąd, że lin_{|λ|→∞} ∥R(λ, T)∥ = 0. Załóżmy niewprost, że σ(T) jest zbiorem pustym. Wtedy dla każdych x ∈ X i x^{∗} ∈ X^{∗} funkcja λ −→ x^{∗}(R(λ, T)x) jest całkowita (holomorficzna na całej płaszczyźnie zespolonej) i dąży do zera przy |λ| → ∞. Jest więc ograniczona. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że jest funkcją stałą, musi więc być funkcją tożsamościowo równą zeru. Ponieważ dla każdych x^{∗} ∈ X^{∗} i x ∈ X mamy x^{∗}(R(λ, T)x) = 0, więc R(λ, T) = 0, co przeczy odwracalności operatora R(λ, T).

7.49. Twierdzenie (o promieniu spektralnym). Niech T będzie ograniczonym operatorem na zespolonej przestrzeni Banacha X i niech

r(T) = lim_{n→∞} ∥T^{n}∥^{1/n}

oznacza jego promień spektralny, wtedy

r(T) = max_{λ∈σ(T)} |λ|,

tzn. r(T) jest promieniem najmniejszego koła domkniętego w ℂ zawierającego zbiór σ(T).

Dowód: Niech A oznacza zbiór

A = \{z ∈ ℂ : \frac{1}{z} ∈ σ(T)\}

i niech r_{0} = dist(0, A). Ustalmy dowolnie ε > 0 i wybierzmy 0 < r_{1} < r_{0} < r_{2} tak, aby \frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} < ε. Z określenia r_{0} wynika istnienie takiej liczby λ_{0} ∈ σ(T), że \frac{1}{|λ_{0}|} r_{2}. Dla x ∈ X i x^{∗} ∈ X^{∗} niech f będzie funkcją określoną na ℂ \ A wzorem

f(z) = x^{∗}(R(\frac{1}{z}, T) x), z ≠ 0,

oraz f(0) = 0. Ponieważ lim_{z→0} f(z) = 0 = f(0), więc funkcja f jest holomorficzna w ℂ\A. Oznacza to, że można ją przedstawić w postaci szeregu potęgowego

f(z) = ∑_{n=1}^{∞}a_{n} z^{n},

którego promień zbieżności wynosi r_{0}. Wynika stąd w szczególności, że gdy |z| = r_{1}, to szereg ten jest zbieżny, więc

sup_{n 1}|a_{n}| r_{1}^{n} < ∞.

Zauważmy, że gdy |z| < \frac{1}{∥T ∥}, to R(\frac{1}{z}, T) = ∑_{n=0}^{∞} T^{n} z^{n+1} , więc

a_{n} = x^{∗}(T^{n}x).

Mamy zatem

sup_{n} |x^{∗}(r_{1}^{n}T^{n}x)| < ∞ dla każdych x ∈ X, x^{∗} ∈ X^{∗}.

Z twierdzenia Banacha-Steinchausa wynika, że

sup_{n} ∥r_{1}^{n}T^{n}x∥ < ∞,

a dalej, że

sup_{n} ∥r_{1}^{n}T^{n}∥ < ∞

co oznacza, że r_{1} r(T) 1 Możemy zatem napisać

r(T) \frac{1}{r_{1}} < \frac{1}{r_{2}} + ε |λ_{0}| + ε.

Widać stąd, że poza kołem o promieniu r(T) − ε można wskazać punkt z widma σ(T). To dowodzi tezy twierdzenia.

Operatory unitarne

Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi. Operator T ∈ L(X, Y) nazywamy izometrią, gdy

∥T x∥ = ∥x∥

dla wszystkich x ∈ X.

7.50. Twierdzenie. Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla operatora T ∈ L(H) następujące warunki są równoważne:

i. T jest izometrią, ii. ⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩, x, y ∈ H, iii. T^{∗}T = I.

Jeżeli T jest izometrią, to T (H) jest domkniętą podprzestrzenią w H.

7.51. Przykłady.

1. Na przestrzeni ℓ^{2} operator przesunięcia

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (0, x_{1}, x_{2}, …)

jest izometrią. Operator sprzężony

S^{∗}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, …)

już izometrią nie jest.

2. Jeżeli f jest funkcją ciągłą, odwzorowującą przedział [0, 1] na [0, 1], to operator T, określony na przestrzeni C[0, 1] wzorem

(7. 42)  T x(t) = x(f(t)),

jest izometrią.

7.52. Zadanie. Czy każda izometria przestrzeni C[0, 1] ma postać (7. 42)?

Definicja. Operator U ∈ L(H) nazywamy operatorem unitarnym, gdy jest izometrycznym izomorfizmem H na H.

7.53. Twierdzenie. Dla operatora U ∈ L(H) następujące warunki są równoważne:

i. U jest unitarny, ii. U i U^{∗} są izometriami, iii. U^{−1} = U^{∗}, tzn. U^{∗}U = UU^{∗} = I.

Uwaga. Operator unitarny na przestrzeni Hilberta przeprowadza układy ortonormalne wektorów na układy ortonormalne. Dla dowolnych układów ortonormalnych zupełnych {e_{α}}_{α∈A} i {f_{α}}_{α∈A} istnieje dokładnie jeden operator unitarny U o tej własności, że Ue_{a} = f_{a}, α ∈ A.

7.54. Przykład. Niech f ∈ C(ℝ). Operator T ∈ L(L^{2}(ℝ)) określony wzorem

T x(t) = f(t) x(t)

jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy |f(t)| ≡ 1.

7.55. Twierdzenie (von Neumann). Niech T będzie operatorem hermitowskim w L(H) i niech

U_{T} = (T − iI)(T + iI)^{−1} .

Wtedy:

a. U_{T} jest operatorem unitarnym, b. operator (I − U_{T})^{−1} istnieje, c. zachodzi wzór

T = i (I + U_{T})(I − U_{T})^{−1} .

Operator U_{T} nazywamy transformatą Kelley’a operatora T.

Dowód: Zauważmy, że U_{T}^{∗} = (T + iI)(T − iI)^{−1} . Ponieważ operatory T + iI i T − iI komutują, więc

U_{T}^{∗}U_{T} = U_{T} U_{T}^{∗} = I,

co dowodzi a. Punkt b wynika z równości

I − U_{T} = [(T + iI) − (T − iI)](T + iI)^{−1} = 2i (T + iI)^{−1} ,

zaś c z równości

i (I + U_{T})(I − U_{T})^{−1} = i [2T (T + iI)^{−1} ][ − \frac{i}{2} (T + iI)] = T.

7.56. Zadanie. Czy każdy operator unitarny jest transformatą Kelley’a pewnego operatora hermitowskiego?

Projektory

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Operator P ∈ L(X) nazywamy projektorem lub rzutem, gdy P^{2} = P.

7.57. Twierdzenie. Jeżeli P jest projektorem w L(X), to istnieje jednoznaczny rozkład przestrzeni X

X = X_{1} ⊕ X_{2}

na topologiczną sumę prostą dwóch podprzestrzeni domkniętych X_{1} i X_{2}, przy czym P x = x dla x ∈ X_{1} oraz P x = 0 dla x ∈ X_{2}.

Dowód: Oznaczmy

X_{1} = {x ∈ X : P x = x}, X_{2} = {x ∈ X : P x = 0}.

Ponieważ X_{1} = ker(I − P), X_{2} = kerP, oba zbiory X_{!}, X_{2} są domkniętymi podprzestrzeniami liniowymi w X. Oczywiście X_{1} ∩ X_{2} = {0}.

Dla dowolnego wektora x ∈ X połóżmy x_{1} = P x, x_{2} = x − P x. Wtedy x_{1} ∈ X_{1}, x_{2} ∈ X_{2}. Istotnie,

P x_{1} = P^{2}x = P x = x_{1},
P x_{2} = P (x − P x) = P x − P^{2}x = P x − P x = 0.

Ponadto ∥x_{1}∥ ∥P ∥ ∥x∥, ∥x_{2}∥ ∥I − P ∥ ∥x∥, a ponieważ x = x_{1} + x_{2} i przedstawienie to jest jednoznaczne (bo X_{1} ∩ X_{2} = {0}), mamy X = X_{1} ⊕ X_{2}.

Uwaga. O projektorze P mówimy, że jest rzutem na podprzestrzeń X_{1} wzdłuż podprzestrzeni X_{2}.

7.58. Wniosek. Na to, by przestrzeń Banacha była topologiczną sumą prostą podprzestrzeni X_{i}, i = 1, 2, 3, …, n, potrzeba i wystarcza, aby w przestrzeni X istniały takie projektory P_{i}, że P_{i}P_{j} = 0, gdy i ≠ j, I = P_{1} + P_{2} + P_{3} + … + P_{n} oraz P_{i}(X) = X_{i} dla i = 1, 2, 3, …, n.

Definicja. Projektor P na przestrzeni Hilberta nazywamy projektorem ortogonalnym lub rzutem ortogonalnym, jeżeli odpowiadające mu podprzestrzenie X_{1}, X_{2} z poprzedniego twierdzenia są ortogonalne.

7.59. Twierdzenie. Dla rzutu P na przestrzeni Hilberta następujące warunki są równoważne:

i. P jest projektorem ortogonalnym, ii. P^{∗} = P, iii. ∥P ∥ 1, tzn. P jest kontrakcją.

Dowód: i⇒ii. Załóżmy, że P jest projektorem ortogonalnym w H. Dla x, y ∈ H oznaczmy x_{1} = P x, x_{2} = x − P x, y_{1} = P y, y_{2} = y − P y. Z założenia x_{1} ⊥ y_{2} oraz x_{2} ⊥ y_{1}, a więc

⟨x_{1}, y⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩ + ⟨x_{1}, y_{2}⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩,
⟨x, y_{1}⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩ + ⟨x_{2}, y_{1}⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩.

Widzimy zatem, że

⟨P x, y⟩ = ⟨P x, P y⟩ = ⟨x, P y⟩

dla dowolnych x, y ∈ H, czyli P^{∗} = P.

ii⇒iii. Dla dowolnego x ∈ H mamy

\begin{aligned}∥P x∥^{2} & = ⟨P x, P x⟩ = ⟨P^{∗}P x, x⟩ = ⟨P^{2}x, x⟩ \\ & = ⟨P x, x⟩, \end{aligned}

co z nierówności Schwarza daje ∥P x∥^{2} ∥P x∥ ∥x∥, i w rezultacie

∥P x∥ ∥x∥.

iii⇒i. Niech H_{1} = {x ∈ H : P x = x}, H_{2} = {x ∈ H : P x = 0}. Mamy pokazać, że H_{1} ⊥ H_{2} tzn., że dla dowolnych x_{1} ∈ H_{1}, x_{2} ∈ H_{2} zachodzi ⟨x_{1}, x_{2}⟩ = 0. Jest tak, gdy x_{2} = 0. Jeżeli x_{2} ≠ 0, to dla wektora x = x_{1} − λ x_{2} otrzymamy

P x = P x_{1} − λ P x_{2} = x_{1},

zatem

∥x_{1}∥ = ∥P x∥ ∥P ∥ ∥x∥ ∥x∥,

co oznacza, że nierówność

0 ∥x∥^{2} − ∥x_{1}∥^{2} = −\overline{λ}⟨x_{1}, x_{2}⟩ − λ\overline{⟨x_{1}, x_{2}⟩}+ |λ|^{2}∥x_{2}∥^{2}

jest spełniona dla dowolnej liczby λ. Po podstawieniu λ = \frac{⟨x_{1}, x_{2}⟩}{∥x_{2}∥^{2}} otrzymamy

\frac{−|⟨x_{1}, x_{2}⟩|^{2}}{∥x_{2}∥^{2}} 0,

a stąd ⟨x_{1}, x_{2}⟩ = 0.

7.60. Przykład. W przestrzeni ℝ^{2} rozpatrzmy rzut P na prostą X_{1} wzdłuż prostej X_{2}, tworzących ze sobą kąt α. Jeżeli wybierzemy wektor x tak jak na rysunku, to

∥P x∥ = \frac{1}{sinα} ∥x∥ ∥x∥.

Równość zachodzi dokładnie, gdy α = \frac{π}{2} .

7.61. Twierdzenie. Dla każdej domkniętej podprzestrzeni liniowej H_{1} ⊂ H istnieje dokładnie jeden rzut ortogonalny P na H_{1}. Jeżeli x ∈ H, to P x realizuje minimum odległości wektorów z podprzestrzeni H_{1} od x.

Dowód: Niech x_{1} będzie dowolnym wektorem w H_{1}. Wtedy

∥x − x_{1}∥^{2} = ∥x − P x + P x − x_{1}∥^{2} = ∥x − P x∥^{2} + ∥P x − x_{1}∥^{2},

bo wektory x − P x i P x − x_{1} są do siebie ortogonalne. Wyrażenie po prawej stronie równości przyjmuje najmniejszą wartość, gdy ∥P x − x_{1}∥ = 0, tzn. gdy x_{1} = P x.

Operatory zwarte

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha oraz K = {x ∈ X : ∥x∥ 1} kulą jednostkową w przestrzeni X. Operator T ∈ L(X, Y) nazywamy zwartym, jeżeli obraz T (K) kuli K jest zbiorem warunkowo zwartym w Y . Zauważmy, że operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego ciągu {x_{n}} w X, ciąg {T x_{n}} zawiera podciąg zbieżny.

7.62. Przykład. Z twierdzenia Arzeli ?? wynika, że operator identycznościowy z przestrzeni C^{1}[a, b] w przestrzeń C[a, b] jest zwarty.

7.63. Twierdzenie. Operator zwarty T ∈ L(X, Y) przeprowadza ciągi słabo zbieżne w ciągi mocno zbieżne. Jeżeli X jest przestrzenią refleksywną, to prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Dowód: Załóżmy, że {x_{n}} jest ciągiem w X, słabo zbieżnym do x. Z ciągłości operatora T wynika, że ciąg {T x_{n}} jest wtedy słabo zbieżny w Y do T x. Pokażemy, że dla każdego ε > 0 zbiór

{n ∈ ℕ : ∥T x_{n} − T x∥ ε}

jest skończony. Gdyby zbiór ten był nieskończony, to na mocy ograniczoności ciągu {x_{n}} i zwartości operatora T, moglibyśmy z ciągu {T x_{n}} wybrać taki podciąg {T x_{n_{k}}}, który byłby mocno zbieżny do pewnego wektora y i jednocześnie spełniał nierówność ∥T x_{n_{k}} −T x∥ ε. Ponieważ zbieżność mocna pociąga zbieżność słabą, otrzymalibyśmy y = T x, a to przecież jest niemożliwe.

W przestrzeni refleksywnej z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg słabo zbieżny (patrz 4.44).

7.64. Wniosek. Każdy ograniczony operator liniowy z przestrzeni ℓ^{p}, 1 < p < ∞, do przestrzeni ℓ^{1} jest zwarty.

Dowód: Twierdzenie Schura 4.38 mówi, że w przestrzeni ℓ^{1} pojęcia słabej zbieżności ciągów i mocnej zbieżności pokrywają się. Teza wynika więc z drugiej części poprzedniego twierdzenia.

Uwaga. W skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej każdy zbiór ograniczony jest warunkowo zwarty. Wynika stąd, że jeżeli T ∈ L(X, Y) jest operatorem skończenie wymiarowym, tzn. dimT (X) < ∞, to jest zwarty.

7.65. Zadanie. Wykazać, że operator T ∈ L(X, Y) jest skończenie wymiarowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego n istnieją takie elementy x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}, …, x_{n}^{∗} w X^{∗} oraz y_{1}, y_{2}, …, y_{n} w Y , że

T x = ∑_{k=1}^{n}x_{k}^{∗}(x) y_{k}.

7.66. Przykład. Niech λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, … będzie ograniczonym ciągiem liczb zespolonych. Na przestrzeni ℓ^{2} określmy operator T wzorem

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (λ_{1}x_{1}, λ_{2}x_{2}, λ_{3}x_{3}, …).

Pokażemy, że T jest operatorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy λ_{n} → 0.

Załóżmy, że λ_{n} → 0. Mamy pokazać, że dla każdego ε > 0 dla obrazu T (K) kuli jednostkowej K istnieje skończona ε-sieć. Najpierw dobierzmy tak wskaźnik m, aby |λ_{k}| < \frac{ε}{2}, gdy k > m a następnie w zbiorze \{(t_{1}, t_{2}, …, t_{m}, 0, 0, …) : ∑_{k=1}^{m} |t_{k}|^{2} 1\} wybierzmy skończoną \frac{ε}{2∥T ∥}-sieć \{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}\}. Wtedy zbiór

{T x_{1}, T x_{2}, …, T x_{n}} jest ε-siecią dla T (K).

Warunek λ_{n} → 0 jest konieczny. Istotnie, wiemy (patrz 4.34), że ciąg {e_{n}} wektorów bazy standartowej przestrzeni ℓ^{2}, e_{n} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …) z 1 na miejscu n-tym, jest słabo zbieżny do zera a ciąg T e_{n} = λ_{n}x_{n} jest mocno zbieżny (do zera) tylko wtedy, gdy λ_{n} → 0.

Uwaga. Można sprawdzić, że wszystkie operatory z powyższego przykładu są normalne. Pokażemy potem ??, że na przestrzeni Hilberta nie ma innych operatorów zwartych normalnych niż te, opisane w Przykładzie 7.66.

7.67. Twierdzenie. Granica zbieżnego ciągu operatorów zwartych jest także operatorem zwartym. Operatory zwarte tworzą zatem w L(X, Y) domkniętą podprzestrzeń liniową.

Dowód: Załóżmy, że T_{1}, T_{2}, T_{3}, … są operatorami zwartymi i że T_{n} → T w L(X, Y). Niech K oznacza kulę jednostkową w X. Jeżeli ∥T − T_{n}∥ \frac{ε}{2} oraz \{y_{1}, y_{2}, …, y_{m}\} jest \frac{ε}{2}-siecią dla zbioru T_{n}(K), to jest też ε-siecią dla zbioru T (K).

7.68. Twierdzenie. Niech T ∈ L(X, Y), S ∈ L(Y, Z). Jeżeli przynajmniej jeden z operatorów T, S jest zwarty, to zwarty jest także operator ST.

7.69. Wniosek. Operator T ∈ L(H) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator sprzężony T^{∗} jest zwarty.

Dowód: Zauważmy najpierw, że {T^{∗}x_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy {T T^{∗}x_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego. Implikacja w jedną stronę jest oczywista a w drugą wynika z nierówności

∥T^{∗}x_{n} − T^{∗}x_{m}∥^{2} = ⟨T T^{∗}x_{n} − T T^{∗}x_{m}, x_{n} − x_{m}⟩ 2M ∥T T^{∗}x_{n} − T T^{∗}x_{m}∥.

Załóżmy teraz, że {x_{n}} jest dowolnym ciągiem ograniczonym w H. Jeżeli T jest operatorem zwartym, to ciąg {T T^{∗}x_{n}} zawiera podciąg zbieżny, więc ciąg {T^{∗}x_{n}} również zawiera podciąg zbieżny.

Zobaczymy za chwilę, że prawdziwe jest ogólniejsze twierdzenie.

Definicja. Dla operatora T ∈ L(X, Y) określmy operator T^{∗} : Y^{∗} → X^{∗} kładąc

(T^{∗}y^{∗})x = y^{∗}(T x).

Jest jasne, że T^{∗} ∈ L(Y^{∗}, X^{∗}) i ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥. Operator ten nosi nazwę operatora sprzężonego do T.

Następuje tu pewna kolizja oznaczeń, operator sprzężony był już definiowany wcześniej dla operatora na przestrzeni Hilberta i był znów operatorem na tej samej przestrzeni. Z twierdzenia 4.10 o postaci ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta wynika, że możemy utożsamić H i H^{∗}, mianowicie wektorowi y przyporządkować funkcjonał x →< x, y >. Należy pamiętać jednak, że nie jest to operacja liniowa, mnożeniu wektorów przez skalary odpowiada mnożenie funkcjonałów przez skalary sprzężone. Należy więc stale deklarować w jakim sensie T^{∗} jest operatorem sprzężonym to T. W istocie różnica obu pojęć nie jest aż tak istotna. Dla przykładu, jeśli T ∈ L(ℓ^{2}) jest operatorem mnożenia przez ciąg ograniczony {λ_{n}}, to operator sprzężony T^{∗} w sensie powyższej definicji pokrywa się z T, a w zwykłym sensie jest operatorem mnożenia przez ciąg \{\overline{λ_{n}}\}.

7.70. Twierdzenie (Schauder). Operator T ∈ L(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zwarty jest operator T^{∗}.

Dowód: Załóżmy najpierw, że T jest operatorem zwartym. Niech K oznacza kulę jednostkową w przestrzeni X a S domknięcie w Y zbioru T (K). Jeżeli {y_{n}^{∗}} jest ciągiem ograniczonym w Y^{∗}, to jego obcięcia do S tworzą jednakowo ciągłą i ograniczoną rodzinę funkcji na zbiorze zwartym S. Z twierdzenia Arzeli wynika więc istnienie podciągu {y_{n_{k}}^{∗}} jednostajnie zbieżnego na S, czyli zbieżność podciągu {T^{∗}y_{n_{k}}^{∗}} w X^{∗}

Jeżeli T^{∗} jest operatorem zwartym, to zwarty jest także operator T^{∗∗} : X^{∗∗} → Y^{∗∗}. Operator T jest izometryczny z obcięciem T^{∗∗} do domkniętej podprzestrzeni τ(X) ⊂ X^{∗∗} (patrz (4. 23)), jest więc też zwarty.

7.71. Przykład. Operator Volterry V ∈ L(C[0, 1])

V x(t) = ∫_{0}^{t} x(u) du

jest zwarty. Wynika to natychmiast z twierdzenia Arzeli. Zobaczmy, czy jest on zwarty także jako operator z L^{p}(0, 1) do L^{p}(0, 1), 1 p ∞.

Jeżeli 1 < p ∞, to z nierówności Höldera

|V x(t_{1}) − V x(t_{2})| ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |x(s)| ds |t_{1} − t_{2}|^{\frac{p−1}{p}} ∥x∥_{p}.

Wynika stąd, że jeżeli {x_{n}} jest ciągiem ograniczonym w L^{p}(0, 1), to {V x_{n}} jest ograniczonym ciągiem funkcji jednakowo ciągłych. Istnieje więc podciąg {V x_{n_{k}}} zbieżny jednostajnie na [0, 1], a więc zbieżny także w L^{p}(0, 1).

Dla p = 1 mamy

V^{∗}x(t) = ∫_{t}^{1} x(s) ds,

więc można powołać się na twierdzenie Schaudera i dokładnie powtórzyć poprzednie rozumowanie dla operatora V^{∗} na L^{∞} (0, 1).

Definicja. Ciąg T_{n} ∈ L(X, Y) nazywamy mocno zbieżnym, gdy dla każdego x ∈ X ciąg {T_{n}x} jest zbieżny w Y . Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że sup_{n} ∥T_{n}∥ < ∞. Zatem operator T : X → Y , określony wzorem

T x = lim_{n→∞} T_{n}x, x ∈ X,

leży w L(X, Y). Ponadto dla każdego ciągu zbieżnego x_{n} → x w X ciąg {T_{n}x_{n}} jest zbieżny do T x. Mamy bowiem

∥T_{n}x_{n} − T x∥ M ∥x_{n} − x∥ + ∥T_{n}x − T x∥,

gdzie M = sup_{n} ∥T_{n}∥, a oba składniki po prawej stronie dążą do zera gdy n → ∞.

7.72. Twierdzenie. Niech X, Y , Z będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli operator S ∈ L(X, Y) jest zwarty a ciąg operatorów T_{n} ∈ L(Y, Z) jest mocno zbieżny, to ciąg {T_{n}S} jest zbieżny w normie.

Dowód: Załóżmy niewprost, że ∥T_{n}S − T S∥ ε > 0 dla n = 1, 2, 3, . . .. Niech {x_{n}} będzie takim ciągiem wektorów z kuli jednostkowej przestrzeni X, że

(7. 43)  ∥T_{n}Sx_{n} − T Sx_{n}∥ \frac{ε}{2}.

Ponieważ istnieje podciąg zbieżny {Sx_{n_{k}}} ciągu {Sx_{n}}, więc ∥T_{n_{k}}Sx_{n_{k}} −T Sx_{n_{k}}∥ dąży do 0, a to przeczy nierówności (7. 43).

Uwaga. Odpowiednik tego twierdzenia nie zachodzi dla ciągu {ST_{n}}. Jeżeli dla przykładu przyjmiemy T_{n} = T^{n}, gdzie T jest operatorem przesunięcia w ℓ^{2}

T (t_{1}, t_{2}, t_{3}, …) = (t_{2}, t_{3}, t_{4}, …)

a S rzutem na pierwszą oś

S(t_{1}, t_{2}, t_{3}, …) = (t_{1}, 0, 0, …),

to S jest zwarty a T_{n} → 0 mocno. Ponieważ ∥ST_{n}∥ = 1, więc {ST_{n}} nie dąży do zera w normie. Nawet więcej ∥ST_{n} − ST_{m}∥ = \sqrt{2}, gdy m ≠ n.

7.73. Wniosek. Jeżeli przestrzeń Y ma bazę topologiczną, to każdy operator zwarty T ∈ L(X, Y) jest granicą (w normie) ciągu operatorów skończenie wymiarowych.

Dowód: Jeżeli y_{1}, y_{2}, y_{3}, … jest bazą topologiczną w Y , oraz

P_{n}( ∑_{k=1}^{∞}λ_{k} y_{k}) = ∑_{k=1}^{n}λ_{k} y_{k}, n = 1, 2, 3, …,

to {P_{n}} jest ciągiem projektorów skończenie wymiarowych, zbieżnym mocno do operatora identycznościowego na Y , więc z twierdzenia 7.72 ciąg {P_{n}T } jest zbieżny w normie do T.

Uwaga. Przypomnijmy, że nie każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazę topologiczną. Zauważmy jednak, że na to, by teza Wniosku 7.73 była prawdziwa wystarczy mniej, mianowicie, by istniał ciąg operatorów skończenie wymiarowych zbieżny mocno do identyczności. Przestrzeń o tej własności nosi nazwę przestrzeni Banacha z z własnością aproksymacji. Musi ona być ośrodkowa, ale nie każda przestrzeń ośrodkowa jest taka.

7.74. Wniosek. Operator T w ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą zbieżnego w normie, ciągu operatorów skończenie wymiarowych.

7.75. Przykład. Niech e_{1}, e_{2}, e_{3}, … będzie bazą ortonormalną w przestrzeni Hilberta H. Jeżeli operator T ∈ L(H) spełnia warunek

∑_{k=1}^{∞}∥T e_{k}∥^{2} < ∞,

to jest zwarty. Rzeczywiście, połóżmy

T_{n} = ∑_{k=1}^{n}⟨x, e_{k}⟩ T e_{k}, x ∈ H, n = 1, 2, 3, …,

wtedy z nierówności Schwarza dostaniemy

∥T_{n}x − T x∥ ∑_{k=n+1}^{∞} |⟨x, e_{k}⟩| ∥T e_{k}∥ ∥x∥( ∑_{k=n+1}^{∞} ∥T e_{k}∥^{2})^{1/2}

a stąd ∥T_{n} − T ∥ → 0.

Rozkład spektralny operatora zwartego

Przejdziemy teraz do badania własności spektralnych operatorów zwartych.

7.76. Twierdzenie. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech S, T ∈ L(X, Y). Jeżeli T jest operatorem zwartym a S operatorem odwracalnym, to obraz

Im(T + S) = (T + S)(X)

jest domkniętą podprzestrzenią liniową w Y .

Dla dowodu potrzebne nam będą następujące lematy:

7.77. Lemat. Jeżeli {x_{n}} jest ciągiem ograniczonym w X a ciąg {(T + S)x_{n}} jest zbieżny, to {x_{n}} zawiera podciąg zbieżny.

Dowód: Niech y = lim_{n→∞} (T + S)x_{n}. Ponieważ T jest operatorem zwartym a {x_{n}} ciągiem ograniczonym, więc z ciągu {T x_{n}} można wybrać podciąg zbieżny {T x_{n_{k}}} do pewnego elementu y_{0} ∈ Y . Wtedy podciąg {Sx_{n_{k}}} dąży do y − y_{0} a ponieważ S jest izomorfizmem X na Y , więc sam ciąg {x_{n_{k}}} jest zbieżny.

7.78. Lemat. Jeżeli y ∈ \overline{(T + S)(X)} , to istnieje taki ograniczony ciąg \{x_{n}\} w X, że (T + S)x_{n} → y.

Dowód: Dla pewnego ciągu {x_{n}} w przestrzeni X zachodzi (T + S)x_{n} → y. Oznaczmy X_{0} = ker(T + S) oraz α_{n} = dist(x_{n}, X_{0}). W podprzestrzeni X_{0} wybierzmy taki ciąg {x′_{n}}, że ∥x_{n} − x′_{n}∥ 2α_{n}. Jeżeli {α_{n}} jest ciągiem ograniczonym, to ciąg {x_{n} − x′_{n}} ma żądaną własność

(T + S)(x_{n} − x′_{n}) = (T + S)x_{n} → y.

Pozostaje zatem pokazać, że ciąg {α_{n}} jest ograniczony. Gdyby α_{n} → ∞, to kładąc z_{n} = \frac{x_{n} − x′_{n}}{∥x_{n} − x′_{n}∥} otrzymalibyśmy ∥z_{n}∥ = 1, dist(z_{n}, X_{0}) = \frac{α_{n}}{∥x_{n} − x′_{n}∥}

\frac{1}{2} oraz (T + S)z_{n} → 0. Z lematu 7.77 wynika, że ciąg \{z_{n}\} miałby podciąg {z_{n_{k}}} zbieżny do pewnego z_{0}. Ponieważ (T + S)z_{0} = lim_{k→∞} (T + S)x_{n_{k}} = 0, więc otrzymalibyśmy z_{0} ∈ X_{0}, to jednak nie jest możliwe, gdyż dist(z_{0}, X_{0}) = lim_{k→∞} dist(z_{n_{k}}, X_{0}) \frac{1}{2}.

Dowód Twierdzenia: Jeżeli y ∈ \overline{(T + S)(X)} , to z lematu 7.78 wynika istnienie takiego ciągu ograniczonego {x_{n}} w X, że (T + S)x_{n} → y. Dzięki lematowi 7.77 możemy założyć, że ciąg {x_{n}} jest zbieżny do pewnego x ∈ X. Wtedy y = (T + S)x.

7.79. Wniosek. Niech T będzie operatorem zwartym w przestrzeni Banacha X i niech λ ∈ σ(T), λ ≠ 0. Wtedy λ jest wartością własną operatora T lub operatora sprzężonego T^{∗}.

Dowód: Jeżeli λ nie jest wartością własną operatora T, to X_{0} = (λ I −T)(X) jest właściwą podprzestrzenią w X. Z twierdzenia 7.76 wynika, że X_{0} jest domknięta w X. Jeżeli 0 ≠ x^{∗} ∈ X^{∗} i x^{∗}(X_{0}) = {0}, to (λ I − T)^{∗}(X^{∗}) = {0}.

Uwaga. Pokażemy potem, że we Wniosku 7.79 słowo �lub” w tezie można zastąpić słowem �i”.

7.80. Wniosek. Jeżeli T jest operatorem zwartym i normalnym w przestrzeni Hilberta, to

σ(T) ⊂ σ_{p}(T) ∪ {0}.

Dowód: Pamiętamy, że dla operatora normalnego λ ∈ σ_{p}(T) wtedy i tylko wtedy, gdy \overline{λ} ∈ σ_{p}(T^{∗}). Teza wynika więc z Wniosku 7.79.

7.81. Twierdzenie. Niech T będzie operatorem zwartym na przestrzeni Hilberta H i niech λ ≠ 0. Operator λ I − T jest �na” wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowy.

Dowód: Załóżmy niewprost, że operator S = λ I − T odwzorowuje H na H, a mimo to kerS ≠ {0}. Utwórzmy w H ciąg domkniętych podprzestrzeni liniowych H_{0} = {0}, H_{n} = kerS^{n}, n = 1, 2, 3, . . .. Wtedy H_{0} ⊂ H_{1} ⊂ H_{2} ⊂ … i każda z inkluzji jest właściwa. Istotnie, niech x_{1} będzie niezerowym wektorem w przestrzeni H_{1} = kerS. Ponieważ S(X) = X, więc istnieją takie wektory x_{2}, x_{3}, x_{4}, …, że Sx_{n} = x_{n−1} . Mamy wtedy S^{n}x_{n} = 0 oraz S^{n−1} x_{n} = x_{1} ≠ 0 a w konsekwencji H_{n} ≠ H_{n−1} . W każdej z przestrzeni H_{n} wybierzmy tak wektor z_{n}, by ∥z_{n}∥ = 1 oraz z_{n} ⊥ H_{n−1} . Pokażemy, że ciąg {T z_{n}} nie ma podciągów zbieżnych, choć T jest operatorem zwartym. Da nam to sprzeczność z założeniem kerS ≠ {0}.

Dla n > m mamy

∥T z_{n} − T z_{m}∥ = ∥λ z_{n} − z∥,

gdzie z = λ z_{m} − Sz_{m} + Sz_{n}. Ponieważ S^{n−1} z = λ S^{n−1} z_{m} − S^{n}z_{m} + S^{n}z_{n} = 0, więc z ∈ X^{n−1} . W rezultacie

∥T z_{n} − T z_{m}∥ |λ|.

Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że kerS = {0}. Wtedy S^{∗}(H)^{⊥} = kerS = {0}, czyli S^{∗}(H) jest gęstą podprzestrzenią liniową w H. Z twierdzenia 7.76 wiadomo, że jest podprzestrzenią domkniętą. Musi więc być S^{∗}(H) = H. Powtarzając rozumowanie z pierwszej części dowodu dla operatora S^{∗}, otrzymamy kerS^{∗} = {0}, a stąd, tak jak przed chwilą S(H) = H.

Uwaga. Twierdzenie to jest prawdziwe dla operatorów zwartych na dowolnych przestrzeniach Banacha. Dowód jest jednak bardziej skomplikowany.

7.82. Wniosek. Jeżeli T jest operatorem zwartym (na przestrzeni Hilberta), to liczba λ ≠ 0 jest jego wartością własną operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy \overline{λ} jest wartością własną operatora T^{∗}.

7.83. Wniosek. Dla operatora zwartego T (na przestrzeni Hilberta) mamy

σ(T) ⊂ σ_{p}(T) ∪ {0}

a jedynym możliwym punktem skupienia zbioru σ(T) jest 0. Zatem zbiór σ(T) jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód: Pierwsza część wniosku jest oczywista. Gdyby istniał taki ciąg liczb {λ_{n}}, że λ_{n} ≠ λ_{m}, gdy n ≠ m, λ_{n} → λ_{0} ≠ 0 oraz λ_{n} ∈ σ(T), to moglibyśmy dobrać taki ciąg niezerowych wektorów x_{n}, że T x_{n} = λ_{n}x_{n}, n = 1, 2, 3, . . .. Wektory takie muszą być liniowo niezależne. Wobec tego dla przestrzeni H_{n} = lin{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} wszystkie inkluzje H_{1} ⊂ H_{2} ⊂ H_{3} ⊂ … są właściwe. Jeśli teraz, podobnie jak poprzednio, w każdej z przestrzeni H_{n} wybierzemy taki wektor z_{n}, by ∥z_{n}∥ = 1 oraz z_{n} ⊥ H_{n−1} , to ciąg {T z_{n}} nie będzie zawierał żadnego podciągu zbieżnego, a to przeczy założonej zwartości operatora T. Istotnie, ponieważ dla pewnej liczby α_{n} wektor z_{n} − α_{n}x_{n} leży w H_{n−1} , więc T z_{n} − λ_{n}α_{n}x_{n} ∈ H_{n−1} , a stąd T z_{n} − λ_{n}z_{n} ∈ H_{n−1} . Jeżeli n > m, to także T z_{m} ∈ H_{n−1} , więc T z_{n} − T z_{m} = λ_{n}z_{n} + y dla pewnego y ∈ H_{n−1} . Stąd natychmiast wynika, że ∥T z_{n} −T z_{m}∥ |λ_{n}|, a więc ciąg {T z_{n}} nie ma podciągów zbieżnych.

Twierdzenie spektralne dla operatorów zwartych

7.84. Lemat. Wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym operatora normalnego są do siebie ortogonalne.

Dowód: Jeśli T x_{1} = λ_{1}x_{1}, T x_{2} = λ_{2}x_{2} i λ_{1} ≠ λ_{2}, to

\begin{aligned}λ_{1}⟨x_{1}, x_{2}⟩ & = ⟨λ_{1}x_{1}, x_{2}⟩ = ⟨T x_{1}, x_{2}⟩ = ⟨x_{1}, T^{∗}x_{2}⟩ \\ & = ⟨x_{1}, \overline{λ_{2}}x_{2}⟩ = λ_{2}⟨x_{1}, x_{2}⟩, \end{aligned}

więc (λ_{1} − λ_{2})⟨x_{1}, x_{2}⟩ = 0, a stąd ⟨x_{1}, x_{2}⟩ = 0. Wykorzystaliśmy tu wcześniej udowodniony fakt (patrz ??), że T x = λ x wtedy i tylko wtedy, gdy T^{∗}x = \overline{λ} x.

Definicja. Jeżeli λ ∈ σ_{p}(T), to zbiór X_{λ} = {x ∈ X : T x = λ x} jest domkniętą podprzestrzenią liniową w X, zwaną podprzestrzenią własną operatora T, odpowiadającą wartości własnej λ.

7.85. Lemat. Podprzestrzenie własne operatora zwartego są skończenie wymiarowe.

7.86. Twierdzenie (o rozkładzie spektralnym operatorów zwartych). Niech T będzie operatorem zwartym normalnym na przestrzeni Hilberta H. Wtedy w H istnieje taki układ ortonormalny e_{1}, e_{2}, e_{3}, … (być może skończony) i taki układ liczb zespolonych λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, …, że |λ_{1}| |λ_{2}| |λ_{3}| … oraz

1. T x = ∑_{n=1}^{∞} λ_{k}⟨x, e_{k}⟩ e_{k} dla x ∈ H,

2. σ(T) = {λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, …} lub σ(T) = {λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, …} ∪ {0}, gdy 0 nie jest wartością własną a przestrzeń H jest nieskończenie wymiarowa.

Dowód: Ustawmy wszystkie różne od zera wartości własne μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, … operatora T w taki ciąg, aby |μ_{1}| |μ_{2}| |μ_{3}| . . .. Jest to możliwe, bo σ(T) jest zbiorem najwyżej przeliczalnym, a jedynym możliwym jego punktem skupienia jest zero. W każdej (skończenie wymiarowej z lematu 7.85) podprzestrzeni własnej H_{μ_{n}} operatora T, odpowiadającej wartości własnej μ_{n}, wybierzmy w dowolny sposób bazę ortonormalną B_{μ_{n}} i niech B = ⋃_{n=1}^{∞} B_{μ_{n}}. Z lematu 7.84 wynika, że B jest zbiorem przeliczalnym ortonormalnym. Ustawmy elementy zbioru B w ciąg e_{1}, e_{2}, e_{3}, . . .. Jest jasne, że są to wektory własne operatora T, a więc dla każdego wektora x z podprzestrzeni H_{0} = \overline{linB} mamy

T x = ∑_{n=1}^{∞}λ_{n}⟨x, e_{n}⟩ e_{n},

przy czym każda z liczb λ_{n} jest jedną z liczb μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, …, jest więc wartością własną operatora T i w powyższym rozkładzie występuje tyle razy, ile wynosi wymiar podprzestrzeni H_{λ_{n}}. Także |λ_{1}| |λ_{2}| |λ_{3}| . . ..

Pokażemy, że dla x ∈ X^{⊥} zachodzi T x = 0. Ponieważ T (X) ⊂ X oraz T^{∗}(X) ⊂ X, bo

T^{∗}x = ∑_{n=1}^{∞} \overline{λ_{n}}⟨x, e_{n}⟩ e_{n},

więc oba operatory T, T^{∗} zachowują podprzestrzeń X^{⊥} . Niech T_{0} oznacza obcięcie T_{0} = T |_{X^{⊥}} operatora T do podprzestrzeni x^{⊥} . Operator T_{0} jest oczywiście zwarty i normalny. Jeżeli T_{0} ≠ 0, to r(T_{0}) = ∥T_{0}∥ ≠ 0, więc σ(T_{0}) ≠ {0} (patrz twierdzenie 7.49). Wobec tego T_{0} ma niezerowy wektor własny odpowiadający wartości własnej różnej od zera. Jest to także wektor własny operatora T. Tu sprzeczność, bo wszystkie taki wektory leżą już w X.

Część druga twierdzenia była dowiedziona już wcześniej.

Uwaga. Operatory zwarte �nienormalne” mogą w ogóle nie mieć wartości własnych. Jako przykład niech służy operator Volterry V x(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds na L^{2}(0, 1). Wiemy, że σ(V) = {0}. Liczba 0 nie jest jednak wartością własną operatora V . Istotnie, gdy V x = 0, to ∫_{a}^{b} x(s) ds = V x(b)−V x(a) = 0 dla dowolnego przedziału [a, b] ⊂ [0, 1]. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x(s) = 0 prawie wszędzie.

7.87. Wniosek. Dla dowolnej macierzy normalnej A n×n istnieje taka macierz unitarna U i macierz diagonalna B, że

(7. 44)  A = U^{−1} BU.

Uwaga. Własność (7. 44) charakteryzuje macierze normalne. Podobnie z twierdzeniem spektralnym, które właśnie udowodniliśmy. Jeśli zachodzi dla jakiegoś operatora, to jest to operator normalny.

Operatory Hilberta-Schmidta

Niech e_{1}, e_{2}, e_{3}, … będzie bazą ortonormalną w ośrodkowej przestrzeni Hilberta H. Operator T ∈ L(H) nazywamy operatorem Hilberta-Schmidta i piszemy T ∈ H-S, jeżeli

∑_{n=1}^{∞}∥T e_{n}∥^{2} < ∞.

Liczbę ∥|T ∥| = \sqrt{∑_{n=1}^{∞} ∥T e_{n}∥^{2}} nazywamy normą Hilberta-Schmidta operatora T

Wiemy już (patrz ??), że operatory Hilberta-Schmidta są zwarte.

7.88. Lemat. Norma Hilberta-Schmidta nie zależy od wyboru bazy ortonornalnej w H.

Dowód: Niech e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}, … oraz e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}, … będą bazami ortonornalnymi w H i niech ∥|T ∥|′ oraz ∥|T ∥|′′oznaczają normy Hilberta-Schmidta operatora T, określone przy pomocy tych baz. Równość Parsevala mówi, że dla każdego wektora x ∈ H zachodzi równość

∥x∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} |⟨x, e′_{n}⟩|^{2} = ∑_{n=1}^{∞} |⟨x, e′′_{n}⟩|^{2}.

Wobec tego

∥|T ∥|′^{2} = ∑_{n=1}^{∞}∥T e′_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} |⟨T e′_{n}, e′′_{m}⟩|^{2}

= ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} |⟨e′_{n}, T^{∗}e′′_{m}⟩|^{2} = ∑_{m=1}^{∞} ∥T^{∗}e′′_{m}∥^{2}

= ∥|T^{∗}∥|′′^{2}.

Jeżeli w roli w roli pierwszej bazy weźmiemy drugą, to otrzymamy ∥|T ∥|′′= ∥|T^{∗}∥|′′ a stąd ∥|T ∥|′= ∥|T^{∗}∥|′′= ∥|T ∥|′′.

7.89. Wniosek. Jeżeli U jest operatorem unitarnym w H a T operatorem Hilberta-Schmidta, to U^{−1} T U ∈ H-S oraz ∥|U^{−1} T U∥| = ∥|T ∥|.

Dowód: Ponieważ ciąg Ue_{1}, Ue_{2}, Ue_{3}, … jest bazą ortonormalną w H, więc

∥|U^{−1} T U∥|^{2} = ∑_{n=1}^{∞}∥U^{−1} T Ue_{n}∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞}∥T Ue_{n}∥^{2} = ∥|T ∥|^{2}.

7.90. Wniosek. Jeżeli ∈ H-S i e_{1}, e_{2}, e_{3}, … jest bazą ortonormalną, to

∥|T ∥| = ( ∑_{n,m=1}^{∞} |⟨T e_{n}, e_{m}⟩|^{2})^{1/2}.

Dowód: Wynika to natychmiast z faktu, że ∥T e_{n}∥^{2} = ∑_{m=1}^{∞} |⟨T e_{n}, e_{m}⟩|^{2}.

7.91. Lemat. Jeżeli T ∈ H-S, to ∥T ∥ ∥|T ∥|.

Dowód: Dla każdego ε > 0 znajdziemy taki wektor x_{0}, że ∥x_{0}∥ = 1 oraz ∥T ∥^{2} < ∥T x_{0}∥^{2} + ε. Ponieważ istnieje baza ortonormalna w H, zawierająca wektor x_{0}, więc ∥T ∥^{2} < ∥|T ∥|^{2} + ε, a stąd ∥T ∥ ∥|T ∥|.

7.92. Twierdzenie. Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta z normą Hilberta-Schmidta jest przestrzenią Banacha. Ponadto przestrzeń H-S jest algebrą, przy czym ∥|T S∥| ∥|T ∥| ∥|S∥| dla dowolnych T, S ∈ H-S.

Dowód: Jest jasne, że jeżeli T ∈ H-S oraz λ jest skalarem, to ∥|λT ∥| = |λ| ∥|T ∥|. Niech T, S ∈ H-S i niech e_{1}, e_{2}, e_{3}, … będzie bazą ortonormalną w H. Z wniosku 7.90 i nierówności Minkowskiego wynika, że

∥|T + S∥| = ( ∑_{n,m=1}^{∞} |⟨(T + S)e_{n}, e_{m}⟩|^{2})^{1/2}

= ( ∑_{n,m=1}^{∞} |⟨T e_{n}, e_{m}⟩|^{2})^{1/2} + ( ∑_{n,m=1}^{∞} |⟨Se_{n}, e_{m}⟩|^{2})^{1/2}

= ∥|T ∥| + ∥|S∥|,

a więc T + S ∈ H-S. Aby dowieść zupełności przestrzeni H-S rozpatrzmy ciąg T_{1}, T_{2}, T_{3}, … operatorów z H-S, dla którego ∥|T_{n} − T_{m}∥| → 0 przy m, n → ∞. Z Lematu 7.91 wynika, że ∥T_{n}−T_{m}∥ → 0, dlatego istnieje taki ograniczony operator liniowy T na H, że ∥T − T_{n}∥ → 0. Aby dowieść, że T należy do H-S, oznaczmy przez M kres górny ciągu {∥|T_{n}∥|}. Dla dowolnej liczby naturalnej r mamy

∑_{k=1}^{r}∥T e_{k}∥^{2} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{r}∥T_{n}e_{k}∥^{2} M^{2},

i dlatego

∥|T ∥|^{2} = ∑_{k=1}^{∞}∥T e_{k}∥^{2} M^{2}.

Wynika stąd, że T leży w H-S. Dla ε > 0 dobierzmy tak wskaźnik m(ε), aby ∥|T_{n} − T_{m}∥| < ε przy m, n m(ε). Wtedy przy m m(ε)

∑_{k=1}^{r} ∥(T − T_{m})e_{k}∥^{2} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{r} ∥(T_{n} − T_{m})e_{k}∥^{2} lim sup_{n→∞}∥|T_{n} − T_{m}∥| ε^{2},

a stąd ∥|T − T_{m}∥| ε przy m m(ε). Tak więc przestrzeń H-S z normą Hilberta-Schmidta jest przestrzenią Banacha.

Niech teraz T ∈ H-S i B ∈ L(H). Wtedy

∥|BT ∥|^{2} = ∑_{n=1}^{∞}∥BT e_{n}∥^{2} ∥B∥^{2} ∑_{n=1}^{∞}∥T e_{n}∥^{2} = ∥B∥ ∥|T ∥|,

więc

∥|T B∥| = ∥|(T B)^{∗}∥| = ∥|B^{∗}T^{∗}∥| ∥B∥ ∥|T ∥|.

wynika stąd w szczególności, że jeżeli S ∈ H-S, to

∥|ST ∥| ∥S∥ ∥|T ∥| ∥|S∥| ∥|T ∥|,

bo ∥S∥ ∥|S∥|.

7.93. Wniosek. Zbiór operatorów Hilberta-Schmidta jest ideałem dwustronnym w algebrze Banacha L(H), wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta H. Ponadto, jeśli T ∈ H-S oraz B ∈ L(H), to ∥|BT ∥| ∥B∥ ∥|T ∥| oraz ∥|T B∥| ∥|T ∥| ∥B∥.

7.94. Przykład. Niech T będzie zwartym operatorem normalnym w przestrzeni Hilberta H i niech λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, … będzie ciągiem jego wartości własnych, przy czym każda spośród liczb λ_{k} występuje tyle razy, ile wynosi jej krotność. Operator T ∈ H-S wtedy i tylko wtedy, gdy

∑_{k=1}^{∞}|λ_{k}|^{2} < ∞.

Rzeczywiście, jeżeli w H wybrać bazę złożoną z wektorów własnych operatora T, to

∑_{k=1}^{∞}|λ_{k}| = ∑_{k=1}^{∞}∥T e_{k}∥^{2} = ∥|T ∥|.

Widać stąd, że istnieją operatory zwarte, nie będące operatorami Hilberta- -Schmidta, np. operatory postaci

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (λ_{1}x_{1}, λ_{2}x_{2}, λ_{3}x_{3}, …),

gdy ciąg λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, … zbiega do zera, ale ∑_{k=1}^{∞} |λ_{k}| = ∞.

7.95. Twierdzenie. Niech K ∈ L^{2}((0, 1) × (0, 1)). Operator całkowy K, określony na przestrzeni L^{2}(0, 1) wzorem

Kx(t) = ∫_{0}^{1} K(s, t) x(s) ds

jest operatorem Hilberta-Schmidta, oraz

∥|K∥|^{2} = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} |K(s, t)|^{2}ds dt.

Każdy operator Hilberta-Schmidta na L^{2}(0, 1) jest takiej postaci.

Dowód: Z nierówności Schwarza wynika całkowalność funkcji K(s, t)x(s) na zbiorze (0, 1) × (0, 1). Twierdzenie Fubiniego orzeka zatem, że dla prawie każdego t ∈ (0, 1) funkcja s −→ K(s, t) x(s) jest całkowalna oraz, że ∫_{0}^{1} K(s, t) x(s) ds jest mierzalną (nawet całkowalną) funkcją zmiennej t. Oznacza to, że operator K jest dobrze określony. Nie wiemy jednak, czy funkcja Kx leży w L^{2}(0, 1), czy K jest ciągły no i czy leży w H-S?

Niech φ_{1}(s), φ_{2}(s), φ_{3}(s), … będzie bazą ortonormalną w L^{2}(0, 1). Wtedy rodzina funkcji \overline{φ_{m}(s)}φ_{n}(t), m, n = 1, 2, 3, … tworzy bazę ortonormalną w przestrzeni L^{2}((0, 1) × (0, 1)). Z równości Parsevala mamy więc

∑_{m,n=1}^{∞} | ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} K(s, t) φ_{m}(s)\overline{φ_{n}(t)}ds dt|^{2} = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} |K(s, t)|^{2}ds dt < ∞.

Z drugiej strony, stosując Wniosek 7.90 do operatora K, otrzymamy

∥|K∥|^{2} = ∑_{m,n=1}^{∞} |⟨Kφ_{m}, φ_{m}⟩|^{2} = ∑_{m,n=1}^{∞} | ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} K(s, t) φ_{m}(s) \overline{φ_{n}(t)}ds dt|^{2},

tzn.

∥|K∥| = \sqrt{∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} |K(s, t)|^{2}ds dt} < ∞.

Załóżmy teraz, że K jest operatorem Hilberta-Schmidta i określmy na zbiorze (0, 1) × (0, 1) funkcję K wzorem

K(s, t) = ∑_{m,n=1}^{∞} a_{m,n} \overline{φ_{m}(s)}φ_{n}(t),

gdzie a_{m,n} = ⟨Kφ_{m}, φ_{m}⟩, m, n = 1, 2, 3, . . .. Wtedy, jak to pokazaliśmy przed chwilą,

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} |K(s, t)|^{2}ds dt = ∑_{m,n=1}^{∞} |a_{m,n}|^{2} = ∥|K∥|,

a dla x ∈ L^{2}(0, 1), postaci x(s) = ∑_{m=1}^{∞} b_{m} φ_{m}(s) dostaniemy

\begin{aligned}Kx(t) & = ∑_{n=1}^{∞}⟨Kx, φ_{n}⟩ φ_{n}(t) = ∑_{m,n=1}^{∞} a_{m,n} b_{m} φ_{n}(t) \\ & = ∫_{0}^{1} K(s, t) x(s) ds. \end{aligned}

7.96. Przykład. Na przestrzeni L^{2}(0, 1) operator Volterry

V x(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds

ma jądro całkowe

K(s, t) = \{ \begin{matrix}1 & gdy 0 s < t 1, \\ 0 & gdy 0 t s 1, \end{matrix}

leżące w L^{2}((0, 1) × (0, 1)). Z Twierdzenia 7.95 otrzymujemy więc

∥|V ∥| = \frac{1}{\sqrt{2}}.

7.97. Twierdzenie. Każdy operator Hilberta-Schmidta można przedstawić jako granicę zbieżnego w normie Hilberta-Schmidta ciągu operatorów skończenie wymiarowych.

Dowód: Niech T ∈ H-S i niech e_{1}, e_{2}, e_{3}, … będzie bazą ortonormalną w H. Ponieważ ∥|T ∥|^{2} = ∑_{n=1}^{∞} ∥T e_{n}∥^{2} < ∞, więc istnieje taki ciąg wskaźników n_{1}, n_{2}, n_{3}, …, że

∑_{n>n_{k}} ∥T e_{n}∥^{2} < \frac{1}{k^{2}}.

Niech P_{k}, k = 1, 2, 3, …, oznacza rzut ortogonalny na podprzestrzeń liniową w H, rozpiętą na wektorach e_{1}, e_{2}, …, e_{n_{k}}. Wtedy każdy z operatorów T_{k} = T P_{m} jest skończenie wymiarowy i

∥|T − T_{k}∥| = \sqrt{∑_{n>n_{k}} ∥T e_{n}∥^{2}} < \frac{1}{k}.

Jak wiemy, zbiór operatorów Hilberta-Schmidta tworzy algebrę Banacha (bez jedności, jeśli przestrzeń H jest nieskończenie wymiarowa). W zbiorze tym można określić iloczyn skalarny.

7.98. Twierdzenie. Niech S i T będą operatorami Hilberta-Schmidta w przestrzeni Hilberta H. Jeżeli e_{1}, e_{2}, e_{3}, … jest bazą ortonormalną w H, to szereg

⟨⟨S, T ⟩⟩ = ∑_{n=1}^{∞}⟨Se_{n}, T e_{n}⟩

jest bezwzględnie zbieżny i jego granica nie zależy od wyboru bazy. Funkcja ⟨⟨ , ⟩⟩ ma wszystkie własności iloczynu skalarnego oraz

⟨⟨T, T ⟩⟩ = ∥|T ∥|^{2}

dla T ∈ H-S. Ponadto, dla operatorów S, T, R ∈ H-S zachodzi równość

⟨⟨ST, R⟩⟩ = ⟨⟨T, S^{∗}R⟩⟩.

Dowód: Bezwzględna zbieżność szeregu wynika natychmiast z nierówności Schwarza a niezależność od wyboru bazy z nierówności

⟨Se_{n}, T e_{n}⟩ = ∑_{n=1}^{∞}⟨Se_{n}, f_{n}⟩⟨f_{m}, T e_{n}⟩, n = 1, 2, 3, …,

gdzie f_{1}, f_{2}, f_{3}, … jest dowolną bazą ortonormalną w H. Pozostałe stwierdzenia są oczywiste.

Oznacza to, że H-S(H) jest jednocześnie algebrą Banacha i przestrzenią Hilberta, a inwolucja S −→ S^{∗} spełnia tożsamość

⟨⟨ST, R⟩⟩ = ⟨⟨T, S^{∗}R⟩⟩.

Takie algebry noszą nazwę H^{∗}-alebr. Wiadomo, że każda H^{∗}-algebra jest izometrycznie *-izomorficzna algebrze operatorów Hilberta-Schmidta na pewnej przestrzeni Hilberta.

ROZDZIAŁ VIII

ALGEBRY BANACHA

Własności ogólne

Spotkaliśmy się już wielokrotnie z przestrzeniami Banacha, w których określone było dodatkowe działanie, tworzące strukturę algebry. Na przykład w przestrzeni C(ℝ) tym działaniem było zwykłe mnożenie funkcji, w przestrzeni L^{1}(ℝ) splot

x ∗ y(t) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t − s) y(s) ds,

a w przestrzeni L(X) ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha, składanie operatorów. Obiekty tego typu noszą ogólną nazwę algebr Banacha.

Definicja. Algebrę A z jednością e nad ciałem liczb zespolonych nazywamy algebrą Banacha jeżeli wyposażona jest w normę ∥ ∥ spełniającą warunki

∥e∥ = 1, ∥x + y∥ ∥x∥ + ∥y∥, x, y ∈ A,

i jest w tej normie przestrzenią Banacha. Algebra Banacha jest przemienną, gdy xy = yx dla wszystkich x, y ∈ A. Inwolucją w algebrze Banacha A nazywamy takie odwzorowanie x → x^{∗} algebry A w siebie, że

\begin{aligned}(x + y)^{∗} & = x^{∗} + y^{∗}, & (xy)^{∗} & = y^{∗}x^{∗}, \\ (λx)^{∗} & = \overline{λ}x^{∗}, & (x^{∗})^{∗} & = x. \end{aligned}

W myśl tej definicji L^{1}(ℝ) ze splotem nie jest algebrą Banacha, bo nie posiada jedności. Nie jest to jednak wielka przeszkoda. Pokażemy, że można tej algebrze dołączyć jedność tak, by stała się algebrą Banacha.

Załóżmy, że w algebrze A nie ma jedności, ale że spełnione są wszystkie pozostałe aksjomaty algebry Banacha. Połóżmy Ã = ℂ × A, gdzie ℂ jest ciałem liczb zespolonych. Zbiór Ã składa się z wszystkich takich par [α, x], że α ∈ ℂ, x ∈ A. Działania i normę w Ã określamy następująco

[α, x] + [β, y]= [α + β, x + y],
[α, x][β, y]= [αβ, αy + βx + xy],
λ [α, x]= [λα, λx],
∥[α, x]∥= |α| + ∥x∥.

Jest oczywiste, że Ã jest algebrą Banacha z jednością e = [1, 0], przy czym ∥e∥ = 1 i odwzorowanie x → [0, x] jest izometrycznym włożeniem A w Ã.

Opiszemy jeszcze jedną metodę �poprawiania” algebry tak, by stała się algebrą Banacha. Załóżmy, że przestrzeń Banacha A jest jednocześnie algebrą nad ciałem liczb zespolonych z jednością e ale, że zamiast własności ∥e∥ = 1 i ∥xy∥ ∥x∥∥y∥ wiemy tylko, że ∥e∥ ≠ 1 i że iloczyn xy jest ciągły po każdej ze zmiennych przy ustalonej drugiej. Określmy odwzorowanie τ : x → T_{x} algebry A w algebrę L(A) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na A kładąc T_{x}y = xy. Jest jasne, że τ jest algebraicznym izomorfizmem algebry A w podalgebrę τ(A) algebry L(A). Pokażemy, że τ jest także homeomorfizmem. Będzie to oznaczało, że algebra A jest topologicznie i algebraicznie równoważna algebrze Banacha τ(A). Ponieważ ∥x∥ = ∥xe∥ = ∥T_{x}e∥ ∥e∥∥T_{x}∥, więc odwzorowanie τ^{−1} : T x → x jest ciągłe. Aby dowieść ciągłości τ pokażemy najpierw, że operator T ∈ L(A) leży w τ(A) wtedy i tylko wtedy, gdy (T y)z = T (yz) dla wszystkich y, z ∈ A. Rzeczywiście, jeśli warunek ten jest spełniony, to kładąc x = T e, otrzymamy T y = T (ey) = (T e)y = xy, tzn. T = T_{x} ∈ τ(A). To, że każdy operator w τ(A) ma wspomnianą własność wynika natychmiast z łączności mnożenia. Jeżeli teraz {T_{n}} jest ciągiem w τ(A) i T_{n} → T, to z równości

(T y)z = lim_{n→∞} (T_{n}y)z = lim_{n→∞} T_{n}(yz) = T (yz)

wynika, że T ∈ τ(A). Dlatego τ(A) jest domkniętą podprzestrzenią w L(A). Oznacza to, że τ jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem liniowym przestrzeni Banacha A na przestrzeń Banacha τ(A), a ponieważ odwzorowanie odwrotne τ^{−1} jest ciągłe, więc z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu odwrotnym wynika, że τ jest homeomorfizmem.

8.1. Wniosek. Każda algebra Banacha A jest izometrycznie izomorficzna z domkniętą podalgebrą algebry Banacha L(X) wszystkich ciągłych operatorów liniowych na pewnej przestrzeni Banacha X.

8.2. Przykład. Algebra C_{0}(ℝ) funkcji ciągłych na prostej ℝ dążących do zera w nieskończoności, z normą ∥x∥ = max_{t∈ℝ} |x(t)|, ma wszystkie własności algebry Banacha, z wyjątkiem posiadania jedności. Mamy dwie możliwości jej dołączenia. Pierwszą �standartową”, gdzie Ã = ℂ×C_{0}(ℝ), a drugą przez wybranie w algebrze C(ℝ) najmniejszej podalgebry (domkniętej) zawierającej C_{0}(ℝ). Jest nią algebra wszystkich funkcji mających granicę w nieskończoności, tzn. funkcji postaci λ1 + x, gdzie λ ∈ ℂ, x ∈ C_{0}(ℝ). Jest to więc algebra izomorficzna z Ã. Nie jest jednak izometrycznie izomorficzna. Bo np. dla funkcji x(t) = t^{2}/(1 + t^{2}) = 1 − 1/(1 + t^{2}) mamy

∥x∥_{A}= 1 + max_{t∈ℝ} |\frac{1}{1 + t^{2}} | = 2, ∥x∥_{∞} = 1.

Wydaje się, że drugi sposób �dołączania jedności” jest lepszy.

8.3. Przykład. Podobnie jest dla algebry L^{1}(ℝ). Drugi sposób dołączania jedności może tu polegać na wybraniu w algebrze M(ℝ) wszystkich miar borelowskich skończonych z normą ∥μ∥ = Var(μ), splotem

μ ∗ ν(A) = ∫_{−∞}^{+∞} ∫_{−∞}^{+∞} χ_{A}(t + s) dμ(t) dν(s)

i jednością δ_{0}, najmniejszej domkniętej podalgebry zawierającej L^{1}(ℝ) (jako miary absolutnie ciągłe względem miary Lebesgue’a). Jest nią zbiór wszystkich miar postaci

dμ(t) = λ δ_{0} + x(t) dt,

gdzie λ ∈ ℂ, x ∈ L^{1}(ℝ). Mamy tu ∥μ∥ = |λ| + ∥x∥_{1}, a więc algebra ta jest izometrycznie izomorficzna z Ã.

Definicja. Element x algebry Banacha A nazywamy regularnym, jeśli posiada element odwrotny x^{−1} a singularnym lub osobliwym w przeciwnym przypadku. Widmo σ(x) elementu x składa się z tych liczb zespolonych λ, dla których element λe − x jest singularny. Liczba |σ(x)| = sup_{λ∈σ(x)} |λ| nosi nazwę promienia spektralnego elementu x. Zbiorem rezolwenty ρ(x) jest dopełnienie ℂ\σ(x) spektrum σ(x). Funkcja x(λ) = (λe−x)^{−1} określona dla λ ∈ ρ(x) nosi nazwę rezolwenty elementu x. Element x ∈ A nazywamy prawym (odp. lewym) topologicznym dzielnikiem zera, jeżeli w A istnieje taki ciąg {x_{n}}, że ∥x_{n}∥ = 1, n = 1, 2, 3, …, oraz x_{n}x → 0 (odp. xx_{n} → 0). Jeżeli element x jest jednocześnie prawym i lewym topologicznym dzielnikiem zera, to będziemy go nazywać dwustronnym topologicznym dzielnikiem zera.

Uwaga. Jak widzieliśmy we wniosku 8.1, każdą algebrę Banacha A można traktować jako domkniętą podalgebrą algebry L(X) dla pewnej przestrzeni Banacha X (jest nią A). Powstaje pytanie, czy pojęcia — które przed chwilą wprowadziliśmy — pokrywają się ze znanymi nam już odpowiednimi pojęciami z teorii operatorów. Odpowiedź brzmi TAK.

Dla x ∈ A niech T_{x} oznacza operator T_{x}y = xy, y ∈ A. Jeżeli element x^{−1} istnieje, to

T_{x^{−1}} (T_{x}y) = y = T_{x}(T_{x^{−1}} y),

więc T_{x^{−1}} = T_{x}^{−1} . Z drugiej strony, gdy T_{x}^{−1} istnieje, to

T_{x}[(T_{x}^{−1} y)z] = yz tzn. (T_{x}^{−1} y)z = T_{x}^{−1} (yz)

i jeśli a = T_{x}^{−1} e, to az = T_{x}^{−1} z dla wszystkich z ∈ A. Oprócz tego

xa = T_{x}a = e = T_{x}^{−1} (T_{x}e) = T_{x}^{−1} (ex) = (T_{x}^{−1} e)x = ax,

a więc x^{−1} = a istnieje i T_{x}^{−1} z = x^{−1} z.

Z rozumowania tego wynika, że σ(x) = σ(T_{x}). Pozwala nam to zaadoptować niektóre spośród twierdzeń teorii spektralnej operatorów do teorii algebr Banacha i odwrotnie. Na przykład:

8.4. Lemat. Multiplikatywna grupa G elementów regularnych algebry Banacha A jest zbiorem otwartym w A, a odwzorowanie x → x^{−1} jest homeomorfizmem G na siebie.

Dowód: Pokażemy najpierw, że G zawiera kulę {x ∈ A : ∥e − x∥ < 1}. Rzeczywiście, jeżeli ∥e − x∥ < 1, to szereg y = ∑_{n=0}^{∞} (e − x)^{n} jest zbieżny, dlatego

yx = xy = y − (e − x)y = ∑_{n=0}^{∞}(e − x)^{n} − ∑_{n=1}^{∞}(e − x)^{n} = e.

W konsekwencji y = x^{−1} i

∥x^{−1} − e∥ = ∥ ∑_{n=1}^{∞}(e − x)^{n}∥ \frac{∥e − x∥}{1 − ∥e − x∥} .

Pokazaliśmy, że G zawiera otoczenie jedności i x^{−1} jest ciągłą funkcją x w punkcie e. Niech teraz x ∈ G i ∥y − x∥ \frac{1}{∥x^{−1} ∥}. Wtedy

∥x^{−1} y − e∥ = ∥x^{−1} (y − x)∥ ∥x^{−1} ∥∥y − x∥ < 1,

a więc z tego, co udowodniliśmy poprzednio, x^{−1} y ∈ G, skąd y ∈ G. Jeżeli y_{n} → y, to y_{n}y^{−1} → e i dlatego yy_{n}^{−1} = (y_{n}y^{−1} )^{−1} → e. W konsekwencji y_{n}^{−1} → y^{−1} .

8.5. Lemat. Każdy punkt brzegowy grupy elementów regularnych algebry Banacha jest dwustronnym topologicznym dzielnikiem zera.

Dowód: Niech x ∉ G, x_{n} ∈ G, x_{n} → x. Jeżeli ciąg {∥x_{n}^{−1} ∥} jest ograniczony, to x_{n}x − e = x_{n}^{−1} (x − x_{n}) → 0, co z lematu 8.4 oznacza, że x_{n}^{−1} x ∈ G dla dużych n. Przeczy to założeniu x ∉ G. Tak więc ciąg {∥x_{n}^{−1} ∥} jest nieograniczony i możemy założyć, że ∥x_{n}^{−1} ∥ → ∞. Połóżmy y_{n} = x_{n}^{−1} /∥x_{n}^{−1} ∥. Ponieważ ∥y_{n}∥ = 1 oraz

y_{n}x = y_{n}(x − x_{n}) + \frac{e}{∥x_{n}^{−1} ∥} → 0,
xy_{n} = (x − x_{n})y_{n} + \frac{e}{∥x_{n}^{−1} ∥} → 0,

więc x jest dwustronnym topologicznym dzielnikiem zera.

8.6. Lemat. Widmo σ(x) elementu x algebry Banacha jest zbiorem niepustym, ograniczonym i domkniętym. Rezolwenta x(λ) = (λe − x)^{−1} elementu x jest analityczna na zbiorze ρ(x), dąży do zera przy |λ| → ∞ i spełnia równanie

x(λ) − x(μ) = (μ − λ) x(λ) x(μ), λ, μ ∈ ρ(x).

Dowód: To, że zbiór ρ(x) jest otwarty, a w konsekwencji σ(x) domknięty, wynika z lematu 8.4. Lemat ten pokazuje też, że λe−x = λ(e−x/λ) ∈ G dla dużych λ (bo element e − x/λ jest bliski e). Stąd wynika ograniczoność zbioru σ(x). Ponieważ e − x/λ → e przy |λ| → ∞, to z lematu 8.4 x(λ) = λ^{−1} (e − x/λ)^{−1} → 0 przy |λ| → ∞. Dla dowolnych λ, μ ∈ ρ(x) elementy x(μ) i x(λ) komutują i

(λe − x) x(λ) x(μ) = x(μ),
(μe − x) x(λ) x(μ) = x(λ),
x(λ) − x(μ) = (μ − λ) x(λ) x(μ),

skąd

\frac{x(λ) − x(μ)}{λ − μ} = −x(λ) x(μ).

Ponieważ funkcja x(λ) jest ciągła dla λ ∈ ρ(x), ostatnia równość dowodzi, że x′(λ) = −[x(λ)]^{2}, a w konsekwencji dowodzi analityczności rezolwenty x(λ) na zbiorze ρ(x).

Na zakończenie zauważmy jeszcze, że jeżeli widmo σ(x) jest zbiorem pustym, to dla każdego funkcjonału liniowego x^{∗} ∈ A^{∗} funkcja λ → x^{∗}(x(λ)) jest analityczna na całej płaszczyźnie ℂ i dąży do zera w nieskończoności, dlatego równa jest zeru wszędzie. Ponieważ za x^{∗} można wybrać dowolny element przestrzeni sprzężonej A^{∗}, to 0 = x(λ) = x(λ)(λe − x) = e, co przeczy własności ∥e∥ = 1.

8.7. Twierdzenie. Jeżeli algebra Banacha nie zawiera różnych od zera dwustronnych topologicznych dzielników zera, to jest izometrycznie izomorficzna z ciałem liczb zespolonych.

Dowód: Niech x ∈ A, Zgodnie z lematem 8.6, widmo σ(x) jest zbiorem niepustym i ograniczonym, istnieje więc punkt λ należący do jego brzegu. Wtedy, jak to wynika z lematu 8.5, λe − x jest dwustronnym topologicznym dzielnikiem zera, zatem x = λe. Ponieważ ∥e∥ = 1, więc ∥x∥ = |λ|.

8.8. Wniosek (twierdzenie Mazura-Gelfanda). Jeżeli algebra Banacha jest ciałem, to jest izometrycznie izomorficzna z ciałem liczb zespolonych.

Uwaga. Mazur udowodnił ogólniejsze twierdzenie: Jeżeli algebra Banacha nad ciałem liczb rzeczywistych jest ciałem, to jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z ciałem kwaternionów (patrz np. [10]).

8.9. Lemat. Promień spektralny |σ(x)| elementu x algebry Banacha spełnia równość

|σ(x)| = lim_{n→∞} ∥x^{n}∥^{1/n} ∥x∥.

Dowód: Jeżeli |λ| > ∥x∥, to szereg ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{λ^{n+1}} jest zbieżny, a ponieważ

(λe − x) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{λ^{n+1}} = ∑_{n=0}^{∞}(\frac{x^{n}}{λ^{n}} − \frac{x^{n+1}}{λ^{n+1}} ) = e,

więc λ należy do zbioru rezolwenty ρ(x). Dlatego |σ(x)| ∥x∥. Z lematu 8.6 wynika, że rezolwenta x(λ) jest funkcją analityczną na zbiorze ρ(x) i dlatego dla każdego funkcjonału x^{∗} ∈ A^{∗} wszystkie punkty osobliwe skalarnej funkcji analitycznej x^{∗}(x(λ)) zawarte są w kole |λ| |σ(x)|. Wynika stąd, że szereg x^{∗}(x(λ)) = ∑_{n=0}^{∞} x^{∗}(x^{n})/λ^{n+1} jest zbieżny przy |λ| > |σ(x)|, a w konsekwencji, że dla takich λ

sup_{n} |\frac{x^{∗}(x^{n})}{λ^{n+1}}| < ∞.

Ponieważ x^{∗} jest dowolnym elementem A^{∗}, z twierdzenia Banacha-Steinhausa wnosimy, że

∥\frac{x^{n}}{λ^{n+1}} ∥ M_{λ} < ∞, n = 1, 2, 3, …,

a stąd

lim sup_{n→∞}∥x^{n}∥^{1/n} |σ(x)|.

Dla zakończenia dowodu zauważmy, że jeżeli element λe − x jest singularny, to singularny jest również element λ^{n}e − x^{n}, bo jest wielokrotnością λe − x. Dlatego λ ∈ σ(x) pociąga λ^{n} ∈ σ(x^{n}), skąd |λ^{n}| ∥x^{n}∥, a dalej |λ| < lim inf_{n→∞} ∥x^{n}∥^{1/n} czyli, że |σ(x)| lim inf_{n→∞} ∥x^{n}∥^{1/n}.

Jeżeli A_{0} jest podalgebrą Banacha (tzn. domkniętą podalgebrą z jednością) algebry A i x ∈ A_{0}, to wraz z widmem σ(x) elementu x względem algebry A można rozpatrywać jego widmo σ_{0}(x) względem podalgebry A_{0}. Zbiory σ(x) i σ_{0}(x), ogólnie rzecz biorąc, są różne, jednak — jak to widać z powyższego lematu — ich promienie spektralne |σ(x)| i |σ_{0}(x)| są sobie równe. Jeżeli e_{0} jest idempotentem w A (tzn. e_{0}^{2} = e_{0}) różnym od e i 0, a A_{0} = e_{0}Ae_{0}, to jest jasne, że σ_{0}(x) ⊂ σ(x) dla każdego x ∈ A_{0} Poniższy lemat pokazuje, że jeżeli jedynka podalgebry A_{0} pokrywa się z e, to zachodzi zawieranie odwrotne.

8.10. Lemat. Niech A_{0} będzie podalgebrą Banacha algebry Banacha A, mającą wspólną z A jedynkę e. Wtedy σ(x) ⊂ σ_{0}(x) dla każdego x ∈ A_{0}, a dla brzegów tych zbiorów zachodzi zawieranie przeciwne ∂(σ_{0}(x)) ⊂ ∂(σ(x)).

Dowód: Ponieważ jedynka e algebry A leży w A_{0}, to każdy element regularny w A_{0} jest regularny w A. Dlatego ρ_{0}(x) ⊂ ρ(x), czyli σ(x) ⊂ σ_{0}(x). Jeżeli λ ∈ ∂(σ_{0}(x)), to λe − x jest punktem brzegu grupy elementów odwracalnych algebry A_{0}. Z lematu 8.5 wynika, że λe − x jest dwustronnym topologicznym dzielnikiem zera w A_{0}, a więc i w A. Wynika stąd, że ∂(σ_{0}(x)) ⊂ σ(x), co w połączeniu z zawieraniem ρ_{0}(x) ⊂ ρ(x) daje

∂(σ_{0}(x)) = \overline{ρ_{0}(x)} ∩ ∂(σ_{0}(x)) ⊂ \overline{ρ(x)} ∩ σ(x) = ∂(σ(x)).

8.11. Przykład. Przy oznaczeniach D = {z ∈ ℂ : |z| < 1} oraz T = ∂D = {z ∈ ℂ : |z| = 1} rozpatrzmy algebrę Banacha A = C(T) i jej podzbiór A_{0} złożony z tych funkcji holomorficznych w D, które posiadają przedłużenie do funkcji ciągłej na \overline{D}. Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że A_{0} jest domkniętą podalgebrą Banacha algebry A. Dla funkcji x(z) = z mamy σ(x) = T, zaś σ_{0}(x) = \overline{D}. Tak więc σ(x) ≠ σ_{0}(x), ∂(σ(x)) = ∂(σ_{0}(x)). Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej funkcji x ∈ A_{0} mamy σ(x) = x(T), zaś σ_{0}(x) = x(\overline{D}), czyli σ(x) ⊂ σ_{0}(x). Z zasady maksimum dla funkcji holomorficznych wynika, że ∂(x(T)) = ∂(x(\overline{D})), tzn. ∂(σ_{0}(x)) = ∂(σ(x)).

8.12. Wniosek. Jeżeli w lemacie 8.10 założymy dodatkowo, że σ_{0}(x) jest zbiorem brzegowym lub, że ρ(x) jest zbiorem spójnym, to σ_{0}(x) = σ(x).

Dowód: Jeżeli σ_{0}(x) jest zbiorem brzegowym, to

σ_{0}(x) = ∂(σ_{0}(x)) ⊂ ∂(σ(x)) ⊂ σ(x) ⊂ σ_{0}(x).

Jeżeli zbiór ρ(x) jest spójny i istnieje punkt λ ∈ σ_{0}(x)∩ρ(x), to można go połączyć z nieskończonością krzywą ciągłą całkowicie leżącą w zbiorze ρ(x). Ale wtedy znajdziemy punkt brzegowy zbioru σ_{0}(x) leżący w ρ(x), a to przeczy lematowi 8.10. Tak więc zbiór σ_{0}(x)∩ρ(x) jest pusty, co oznacza, że σ_{0}(x) ⊂ σ(x) ⊂ σ_{0}(x).

8.13. Wniosek. Jeżeli w lemacie 8.10 założyć dodatkowo, że widmo σ_{0}(x) jest rzeczywiste, to pokrywa się ono z widmem σ_{1}(x) elementu x względem dowolnej podalgebry Banacha A_{1} ⊂ A, zawierającej x i jedynkę algebry A.

Dowód: Ponieważ σ(x) ⊂ σ_{0}(x), więc σ(x) leży na prostej rzeczywistej. Ponieważ σ(x) jest zbiorem ograniczonym, więc ρ(x) jest zbiorem spójnym. Poprzedni wniosek pokazuje, że σ_{0}(x) = σ(x) = σ_{1}(x).

Definicja. Prawym (odp. lewym) ideałem w algebrze Banacha A nazywamy taką niezerową właściwą podprzestrzeń liniową J w A, że JA = J (odp. AJ = J). Jeżeli jednocześnie JA = J i AJ = J, to ideał J nazywamy dwustronnym. Zbiory A i {0} traktujemy jako ideały trywialne.

Ponieważ ideał jest właściwym podzbiorem A, nie może zawierać żadnego elementy regularnego i dlatego jest zawarty w dopełnieniu G^{c} grupy elementów regularnych. Ponieważ zbiór G jest otwarty (lemat 8.4), to \overline{J} ⊂ G^{c}, a więc \overline{J} ≠ A. Stąd i z ciągłości operacji algebraicznych w A wynika, że \overline{J} jest także ideałem. Tak więc domknięcie prawego, lewego lub dwustronnego ideału jest znów ideałem prawym, lewym lub dwustronnym. Wynika stąd, że ideał maksymalny (tzn. nie zawierający się w żadnym innym ideale tego samego typu) jest zawsze domknięty.

Załóżmy, że J jest prawym ideałem. Uporządkujmy przez zawieranie zbiór wszystkich prawych ideałów zawierających J. Stosując lemat Zorna otrzymamy, że zbiór ten zawiera element maksymalny. Tak więc każdy prawy (analogicznie lewy i dwustronny) ideał jest zawarty w pewnym maksymalnym prawym (odp. lewym i dwustronnym) ideale. Wynika stąd w szczególności, że jeżeli element x jest singularny, to przynajmniej jeden ze zbiorów xA lub Ax jest ideałem, jest więc zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Własności ideałów zebrane są w następującym lemacie:

8.14. Lemat. Ideały prawostronne, lewostronne i dwustronne mają następujące własności:

a. Ideał nie zawiera elementów regularnych.

b. Domknięcie ideału jest znów ideałem.

c. Ideał maksymalny jest domknięty. d. Każdy ideał jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. e. Element x leży w przynajmniej jednym ideale maksymalnym prawostron-

nym (odp. lewostronnym) wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma prawego (odp. lewego) odwrotnego.

Zwróćmy uwagę, że klasy równoważności x + J, x ∈ A, względem ideału dwustronnego J tworzą algebrę względem następujących działań

(x + J) + (y + J) = (x + y) + J,
α(x + J) = (αx) + J, (x + J)(y + J) = (xy) + J.

Algebra ta nosi nazwę algebry ilorazowej algebry A względem ideału J i oznaczana jest A/J. Normę w algebrze ilorazowej określamy wzorem

∥x + J∥ = inf_{y∈J} ∥x + y∥.

8.15. Lemat. Jeżeli J jest domkniętym ideałem dwustronnym w algebra Banacha A, to A/J jest algebrą Banacha.

Dowód: Dla uproszczenia oznaczmy przez [x] klasę równoważności elementu x w A/J. Jest oczywiste, że A/J jest algebrą z jednością [e]. Pozostaje tylko dowieść, że spełnione są aksjomaty normy. Jeżeli ∥[x]∥ = 0, to znajdziemy taki ciąg {x_{n}} w J, że ∥x+x_{n}∥ → 0, a ponieważ J jest zamknięty, więc x ∈ J. W konsekwencji [x] = [0] tzn., że [x] jest zerem w A/J. Załóżmy teraz, że z, u, v przebiegają niezależnie zbiór J. Wtedy

∥[x][y]∥ = ∥[xy]∥ = inf_{z} ∥xy + z∥ inf_{u,v} ∥(x + u)(y + v)∥ ∥[x]∥∥[y]∥.

Ponieważ ∥[e]∥ = ∥[e^{2}]∥ ∥[e]∥^{2} i ∥[e]∥ ≠ 0, więc ∥[e]∥ 1. Z drugiej strony ∥[e]∥ = inf_{z∈J} ∥e + z∥ ∥e∥ = 1. W konsekwencji ∥[e]∥ = 1. Podaddytywność i jednorodność normy ilorazowej są oczywiste. Także zupełność przestrzeni A/J.

Przemienne algebry Banacha

W przemiennej algebrze Banacha A każdy ideał J jest ideałem dwustronnym, a algebra ilorazowa A/J jest przemienna. Jest ona algebrą Banacha, gdy J jest ideałem domkniętym. Łatwo zauważyć, że każdy ideał J′ algebry A zawierający J jako właściwy podzbiór określa w algebrze A/J ideał J̃′, złożony z wszystkich tych warstw x̃ = x + J, że x ∈ J. Odwrotnie, każdy ideał algebry ilorazowej A/J można otrzymać w ten sposób.

8.16. Twierdzenie. Niech J będzie ideałem domkniętym w przemiennej algebrze Banacha A. Algebra ilorazowa A/J jest izometrycznie izomorficzna ciału liczb zespolonych wtedy i tylko wtedy, gdy J jest ideałem maksymalnym.

Dowód: Jeśli ideał J nie jest maksymalny, to jest właściwym podzbiorem pewnego ideału. Wtedy algebra ilorazowa A/J posiada nietrywialny ideał i nie może być ciałem. Z drugiej strony, gdy ideał J jest maksymalny, to A/J nie zawiera nietrywialnych ideałów, a więc jest ciałem. Teza wynika z Twierdzenia Mazura-Gelfanda.

Niech 𝔐 oznacza zbiór wszystkich ideałów maksymalnych przemiennej algebry Banacha A. Z twierdzenia 8.16 wynika, że dla każdego M ∈ 𝔐 i każdego x ∈ A istnieje taka liczba zespolona x(M), że x + M = x(M) e + M. Jest jasne, że odwzorowania x → x(M) jest homomorfizmem algebry A w ciało liczb zespolonych ℂ. Homomorfizm ten jest ciągły, bo |x(M)| ∥x + M∥ ∥x∥.

8.17. Lemat. Niech μ będzie niezerowym homomorfizmem przemiennej algebry Banacha A w ciało liczb zespolonych i niech

M_{μ} = {x ∈ A : μ(x) = 0}

oznacza jego jądro. Wtedy M_{μ} jest ideałem maksymalnym algebry A i x(M_{μ}) = μ(x) dla x ∈ A. Odwzorowanie μ → M_{μ} między zbiorem wszystkich niezerowych homomorfizmów i zbiorem 𝔐 wszystkich ideałów maksymalnych jest wzajemnie jednoznaczne.

Dowód: Ponieważ element μ(x) e−x leży w ideale M_{μ}, to jest singularny i dlatego liczba μ(x) leży w widmie σ(x). Z lematu 8.9 wynika, że |μ(x)| ∥x∥. Oznacza to, że homomorfizm μ jest ciągły, ideał M_{μ} domknięty a A/M_{μ} jest algebrą Banacha. Homomorfizm μ jest stały na każdej warstwie x + M_{μ} i dlatego wyznacza pewien homomorfizm μ̃ algebry ilorazowej A/M_{μ} w ciało liczb zespolonych ℂ. Ponieważ μ(αe) = α, to μ̃ odwzorowuje A/M_{μ} na całe ℂ. Wynika stąd, że A/M_{μ} jest ciałem, a w konsekwencji, że ideał M_{μ} jest maksymalny. Równość μ(x) = x(M_{μ}) wynika bezpośrednio z określenia x(M_{μ}). Odwzorowanie μ → M_{μ} jest wzajemnie jednoznaczne, bo jeśli M_{μ_{1}} = M_{μ_{2}} , to μ_{1}(x) = x(M_{μ_{1}}) = x(M_{μ_{2}}) = μ_{2}(x) dla wszystkich x ∈ A.

8.18. Wniosek. Każdy homomorfizm przemiennej algebry Banacha w ciało liczb zespolonych jest ciągły.

8.19. Lemat. Niech 𝔐 oznacza zbiór wszystkich ideałów maksymalnych przemiennej algebry Banacha A. Wtedy x(𝔐) = σ(x) oraz

(8. 45)  sup_{M∈𝔐} |x(M)| = lim_{n→∞} ∥x^{n}∥^{1/n}.

Dowód: Element x(M) e − x leży w ideale maksymalnym M, dlatego jest singularny, więc x(M) ∈ σ(x). Odwrotnie, jeżeli λ ∈ σ(X), to element singularny λe − x leży w pewnym ideale maksymalnym M. Wtedy λ = x(M). Równość (8. 45) wynika z lematu 8.9.

Definicja. Element x algebry Banacha A nazywamy topologicznym nilpotentem, jeśli ∥x^{n}∥^{1/n} → 0. Radykał R to zbiór wszystkich topologicznych nilpotentów algebry A. Jeżeli R = {0}, to algebra nosi nazwę półprostej.

8.20. Lemat. Radykał przemiennej algebry Banacha pokrywa się z przekrojem wszystkich jej ideałów maksymalnych.

Dowód: Ponieważ x(M) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ M, więc teza wynika z lematu 8.19.

Definicja. Przestrzenią strukturalną przemiennej algebry Banacha A nazywamy zbiór 𝔐 wszystkich jej ideałów maksymalnych wyposażony w topologię, w której bazą otoczeń punktu M_{0} ∈ 𝔐 tworzą zbiory

U(M_{0}, ε, F) = {M ∈ 𝔐 : |x(M) − x(M_{0})| < ε dla x ∈ F },

gdzie ε > 0 a F jest dowolnym skończonym podzbiorem A. Zauważmy, że topologia ta, to najsłabsza topologia w 𝔐, w której wszystkie funkcje M → x(M) są ciągłe.

8.21. Lemat. Przestrzeń strukturalna 𝔐 przemiennej algebry Banacha A jest zwartą przestrzenią Hausdorffa i dla każdego x ∈ A funkcja x(m) jest ciągła na 𝔐.

Dowód: Oznaczmy przez Q_{x} domknięty dysk {λ ∈ ℂ : |λ| ∥x∥} płaszczyzny zespolonej i niech Q = ∏_{x∈A} Q_{x} będzie produktem topologicznym wszystkich tych dysków. Ponieważ |x(M)| ∥x∥, to x(M) ∈ Q_{x} dla każdego x ∈ A i dlatego każdemu M ∈ 𝔐 odpowiada pewien punkt q ∈ Q, mianowicie punkt o współrzędnych q(x) = x(M). Różnym ideałom maksymalnym M_{1} i M_{2} odpowiadają w Q różne punkty, bo jeżeli x ∈ M_{1}, x ∉ M_{2}, to x(M_{1}) = 0 ≠ x(M_{2}). Z twierdzenia Tichonowa (patrz ??) wynika, że Q jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, a 𝔐 jest topologicznie równoważna pewnemu podzbiorowi przestrzeni Q. Dla zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że 𝔐 jest domkniętym podzbiorem w Q. Niech λ ∈ \overline{𝔐}, ε > 0, F = \{x, y, x + y\}, gdzie x, y są dowolnymi elementami A. Otoczenie U(λ, ε, F) punktu λ w Q ma niepusty przekrój z 𝔐, dlatego istnieje taki ideał maksymalny M, że

|λ(x) − x(M)| < ε,  |λ(y) − y(M)| < ε,
|λ(x + y) − (x + y)(M)| < ε.

Ponieważ (x + y)(M) = x(M) + y(M), a ε > 0 jest dowolne, to λ(x + y) = λ(x) + λ(y). W ten sam sposób można dowieść, że λ(e) = 1, λ(αx) = αλ(x) i λ(xy) = λ(x)λ(y). Tak więc punkt λ ∈ \overline{𝔐} określa niezerowy homomorfizm algebry A w ciało liczb zespolonych. Z lematu 8.17 wynika istnienie takiego ideału maksymalnego M_{μ} w 𝔐, że x(M_{μ}) = λ(x), x ∈ A. Tak więc λ ∈ 𝔐 tzn., że 𝔐 jest domkniętym zbiorem w Q.

8.22. Twierdzenie. Niech 𝔐 będzie przestrzenią strukturalną przemiennej algebry Banacha A, zaś C(𝔐) algebrą Banacha wszystkich zespolonych funkcji ciągłych na 𝔐. Wtedy odwzorowanie x → x(·) jest ciągłym homomorfizmem algebry A w C(𝔐), przy czym sup_{M∈𝔐} |x(M)| ∥x∥. Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A jest półprosta.

Dowód: To, że odwzorowanie x → x(·) jest homomorfizmem wynika z określenia x(M). Z lematu 8.21 wynika, że x(·) ∈ C(𝔐). Nierówność |x(M)| ∥x∥ pokazana została w lemacie 8.19. Gdy A jest algebrą półprostą, to z lematu 8.20 wnosimy, że gdy x(M) = 0 dla wszystkich M ∈ 𝔐, to x = 0. Wtedy odwzorowanie x → x(·) jest wzajemnie jednoznaczne. Odwrotnie, jeżeli to odwzorowanie jest wzajemnie jednoznaczne, to z lematu 8.20 wynika, że A jest półprosta.

8.23. Przykład. Niech K będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Pokażemy, że w algebrze C(K) każdy funkcjonał liniowy i multiplikatywny μ dany jest wzorem

μ(x) = x(t_{0}), gdzie t_{0} ∈ K.

Pokażemy najpierw, że istnieje taki punkt t_{0} ∈ K, że jeżeli μ(x) = 0, to x(t_{0}) = 0. Istotnie, gdyby takiego punktu nie było, to dla każdego t ∈ K istniałby taki element x_{t} ∈ C(K), że μ(x_{t}) = 0 oraz x_{t}(t) ≠ 0. Kładąc w razie potrzeby x_{t}\overline{x_{t}} w miejsce x_{t}, możemy założyć, że x_{t}(s) 0 i x_{t}(t) > 0. Zbiory otwarte U_{t} = {s ∈ K : x_{t}(s) > 0} pokrywają cała przestrzeń K, ze zwartości K wynika możliwość wybrania takich punktów t_{1}, t_{2}, …, t_{n} ∈ K, że K = ⋃_{k=1}^{n} U_{t_{k}}. Wynika stąd, że y(s) = x_{t_{1}}(s) + x_{t_{2}}(s) + … + x_{t_{n}}(s) > 0 dla wszystkich s ∈ K, czyli, że y jest elementem odwracalnym w C(K). Z drugiej strony μ(y) = μ(x_{t_{1}}) + μ(x_{t_{2}}) + …+μ(x_{t_{n}}) = 0, co prowadzi do sprzeczności. Istnieje więc żądany punkt t_{0}. Niech x będzie dowolnym elementem algebry C(K). Jeżeli μ(x) = α, to μ(x − αe) = 0, skąd (x − αe)(t_{0}) = 0, czyli x(t_{0}) = α = μ(x). Widzimy więc, że 𝔐 = K i że odwzorowanie x → x(·) jest po prostu tożsamością.

8.24. Przykład. Niech S będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą i niech C_{0}(S) oznacza algebrę funkcji ciągłych na S, �znikających w nieskończoności”, tzn. takich funkcji x : S → ℂ, że dla każdego ε > 0 istnieje taki zbiór zwarty K ⊂ S, że |x(t)| < ε dla t ∉ K. Rozpatrzmy algebrę Banacha A wszystkich funkcji �mających granicę w nieskończoności”, tzn. postaci x(t) = λ + x_{0}(t), gdzie λ ∈ ℂ, x_{0} ∈ C_{0}(S), z normą ∥x∥ = sup_{t∈S} |x(t)|. Dla takiej funkcji napiszemy lim_{t→∞} x(t) = λ. Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie pokazujemy, że jedynymi funkcjonałami liniowymi multyplikatywnymi algebry A są funkcjonały postaci

μ(x) = x(t_{0}), t_{0} ∈ S, lub μ(x) = lim_{t→∞} x(t).

Oznacza to, że przestrzeń strukturalna 𝔐 algebry A pokrywa się ze zbiorem S ∪{∞}. Jak poprzednio, łatwo pokazujemy, że topologia na przestrzeni S odziedziczona z 𝔐 pokrywa się z wyjściową topologią S. Oznacza to, że 𝔐 jest uzwarceniem jednopunktowym, tzw. uzwarceniem Aleksandrowa, przestrzeni S.

8.25. Przykład. Niech S będzie przestrzenią topologiczną całkowicie regularną. Pokażemy, że przestrzeń strukturalna 𝔐 algebry C(S) jest homeomorficzna z uzwarceniem Čecha-Stone’a βS przestrzeni S.

Rzeczywiście, ponieważ S jest przestrzenią całkowicie regularną, to przyporządkowanie t → M_{t} = {x ∈ C(S) : x(t) = 0} ∈ 𝔐 jest wzajemnie jednoznaczne. Niech 𝔐_{S} oznacza obraz zbioru S przez to odwzorowanie. Pokażemy, że 𝔐_{S} leży gęsto w 𝔐. Gdyby tak nie było, to w 𝔐 istniałoby otoczenie postaci

{M ∈ 𝔐 : |x_{k}(M) − x_{k}(M_{0})| < ε, k = 1, 2, …, n}

rozłączne z 𝔐_{S}. Połóżmy y_{k} = x_{k} − x_{k}(M_{0}) e. Wtedy dla każdego t ∈ S istnieje taki wskaźnik k, że |y_{k}(t)| ε. Niech

y(t) = ∑_{k=1}^{n}y_{k}(t) \overline{y_{k}(t)}.

Wtedy y(t) ε^{2} dla wszystkich t ∈ S, więc dla y w C(S) istnieje funkcja odwrotna y^{−1} . Wtedy y nie leży w żadnym ideale maksymalnym, choć y(M_{0}) = 0. Tu sprzeczność. Rozumowanie to pokazuje, że 𝔐_{S} leży gęsto w 𝔐. Ponadto dla każdego x ∈ C(S) funkcja x(M) jest ciągła na 𝔐 i jest przedłużeniem na 𝔐 funkcji x(M_{t}) = x(t). Dla zakończenia dowodu wystarczy więc pokazać, że odwzorowanie t → M_{t} jest homeomorfizmem S na 𝔐_{S}. Przeciwobrazem otoczenia

(a)  {M_{t} ∈ 𝔐_{S} : |x_{k}(M_{t}) − x_{k}(M_{t_{0}})| < ε, k = 1, 2, …, n}

przez to odwzorowanie jest zbiór

(b)  {t ∈ S : |x_{k}(t) − x_{k}(t_{0})| < ε, k = 1, 2, …, n},

który z powodu ciągłości funkcji x_{k}, k = 1, 2, …, n jest otwarty. Oznacza to, że rozpatrywane odwzorowanie jest ciągłe i wystarczy tylko sprawdzić, że jest otwarte. Zauważmy w tym celu, że każdy zbiór otwarty w S jest sumą zbiorów typu (b). Istotnie, jeżeli U jest otoczeniem punktu t_{0} a x ∈ C(S) jest funkcją oddzielającą punkt t_{0} od zbioru S \ U, (tzn. x(t_{0}) = 1, x(t) = 0 dla t ∉ U) to zbiór

\{t ∈ S : |x(t) − x(t_{0})| < \frac{1}{2}\}

jest otoczeniem punktu t_{0} typu (b), zawartym u otoczeniu U.

8.26. Przykład. Wykażemy, że w algebrze L^{1}(ℝ) każdy funkcjonał multiplikatywny μ dany jest wzorem

μ(x) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{its}dt, gdzie s ∈ ℝ.

Zauważmy najpierw, że L^{1}(ℝ) nie jest algebrą Banacha, bo nie posiada jedności, winniśmy więc badać algebrę A = ℂ ⊕ L^{1}(ℝ) powstałą przez dołączenie jedności. Każdy niezerowy funkcjonał multiplikatywny na A jest postaci

μ(λe + x) = λ + μ(x).

Jednym spośród dopuszczalnych funkcjonałów jest μ_{0}(λe + x) = λ. Pozostałe są niezerowymi funkcjonałami multyplikatywnymi algebry L^{1}(ℝ). Oznacza to, że przestrzeń strukturalna 𝔐 algebry A można utożsamić ze zbiorem ℝ ∪ {μ_{0}}. Pozostawiamy jako ćwiczenie pokazanie, że 𝔐 jest uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni ℝ.

Funkcjonał μ, jako ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni L^{1}(ℝ) musi mieć postać

μ(x) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) ξ(t) dt,

gdzie ξ ∈ L^{∞} (ℝ). Z własności multyplikatywności μ otrzymujemy warunek

∫_{−∞}^{+∞} ( ∫_{−∞}^{+∞} x(t − s) y(s) ds) ξ(t) dt = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) ξ(t) dt ∫_{−∞}^{+∞} y(s) ξ(s) ds.

Równość ta zachodzi dla wszystkich x, y ∈ L^{1}(ℝ). Zatem ξ(t + s) = ξ(t) ξ(s) prawie wszędzie. Wobec mierzalności funkcji ξ, musi ona być postaci ξ(t) = e^{zt} dla pewnego z ∈ ℂ. Ponieważ funkcja ξ jest istotnie ograniczona, więc z musi być czysto urojona, tzn. z = is, s ∈ ℝ. Oczywiście dla różnych s funkcjonały, które otrzymamy są różne. Ponieważ funkcja

x̂(s) = ∫_{−∞}^{+∞} x(t) e^{its}dt

jest ciągłą funkcją zmiennej s, dążącą do zera w nieskończoności, więc istotnie przestrzeń strukturalną 𝔐 algebry A możemy utożsamić z uzwarceniem Aleksandrowa ℝ ∪ {∞} prostej ℝ. Punkt ∞ jest tu reprezentowany przez funkcjonał μ_{0}.

8.27. Przykład. Stosując podobną technikę można pokazać, że każdy funkcjonał multyplikatywny μ na algebrze ℓ^{1}(ℤ) wszystkich ciągów sumowalnych x = (…, x_{−1} , x_{0}, x_{1}, …) ze splotem, jest postaci

μ(x) = ∑_{−∞}^{+∞}x_{n} e^{int},

gdzie t jest liczbą rzeczywistą (spełniającą warunek 0 t < 2π, by odpowiedniość była wzajemnie jednoznaczna).

Definicja. Powiemy, że algebra Banacha A jest generowana przez zbiór A ⊂ A, jeżeli najmniejszą domkniętą podalgebrą z jedynką e i zawierającą A jest A. Zbiór A nazywamy wtedy zbiorem generatorów algebry A.

8.28. Przykład. Algebra dyskowa A(D) jest generowana przez zbiór jednoelementowy, złożony z funkcji identycznościowej f_{0}(z) = z. Algebra C(T) jest generowana przez zbiór \{f_{0}, \overline{f_{0}}\}. Wynika to z twierdzenia Stone’a-Weierstrassa. Żaden zbiór jednoelementowy nie generuje C(T).

8.29. Twierdzenie. Przestrzeń strukturalna przemiennej algebry Banacha A generowanej przez zbiór A ⊂ A jest homeomorficzna z domkniętym podzbiorem produktu zbiorów ∏ σ(a), gdzie a przebiega zbiór A.

Dowód: Zgodnie z lematem 8.19, x(𝔐) = σ(x) i dlatego przyporządkowanie M → x(M) określa odwzorowanie przestrzeni 𝔐 w ∏_{x∈A} σ(x). Odwzorowanie to jest ciągłe, bo ciągłe są wszystkie funkcje x(·). Załóżmy, że x(M_{1}) = x(M_{2}) dla wszystkich x ∈ A. Ponieważ zbiór A generuje A, to y(M_{1}) = y(M_{2}) dla wszystkich y ∈ A, stąd M_{1} = M_{2}, bo jeżeli y ∈ M_{1} oraz y ∉ M_{2}, to y(M_{1}) = 0 ≠ y(M_{2}). Rozpatrywane odwzorowanie jest więc ciągłe i wzajemnie jednoznaczne z przestrzeni zwartej Hausdorffa 𝔐 w (zwartą) przestrzeń Hausdorffa ∏_{x∈A} σ(x), jest wobec tego homeomorfizmem a obraz 𝔐 jest domknięty w ∏_{x∈A} σ(x).

8.30. Wniosek. Przestrzeń strukturalna przemiennej algebry Banacha z jednym generatorem jest homeomorficzna ze spektrum tego generatora.

Przemienne C*-algebry

C*-algebrą nazywamy algebrę Banacha z inwolucją *, spełniającą dodatkowo warunek ∥x^{∗}x∥ = ∥x∥^{2}.

Jest jasne, że algebra C(K), gdzie K jest przestrzenią zwartą, jest C*-algebrą przemienną, jeżeli za inwolucję ∗ wybrać zwykłe sprzężenie zespolone x^{∗}(t) = \overline{x(t)}. Mamy wtedy ∥x^{∗}x∥_{∞} = ∥ |x|^{2}∥_{∞} = ∥x∥_{∞}^{2} . Innym dobrze znanym nam przykładem C*-algebry, tym razem nieprzemiennej, jest algebra L(H) wszystkich ograniczonych operatorów na przestrzeni Hilberta H. Inwolucja, to sprzęganie operatorów ⟨T^{∗}x, y⟩ = ⟨x, T y⟩, x, y ∈ H. Wiemy, że ∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2} dla każdego T ∈ L(H).

Niech T będzie operatorem normalnym na przestrzeni Hilberta H, zaś A najmniejszą domkniętą podalgebrą w L(H) zawierającą T, T^{∗} oraz I. Wtedy A jest przemienną C*-algebrą.

W algebrze dyskowej A(D) można wprowadzić inwolucję kładąc x^{∗}(z) = \overline{x(\overline{z})}. Jednak A(D) nie jest C*-algebrą. Mamy bowiem dla funkcji x(z) = z+i; ∥x^{∗}x∥ = sup_{z∈D} |z^{2} + 1| = 2, natomiast ∥x∥ = sup_{z∈D} |z + i| = 2.

8.31. Lemat. Jeżeli A jest przemienną algebrą Banacha, to ∥x^{2}∥ = ∥x∥^{2} i ∥x^{∗}∥ = ∥x∥ dla każdego x ∈ A, a także e^{∗} = e.

Dowód: Mamy

∥x^{2}∥^{2} = ∥(x^{2})^{∗}x^{2}∥ = ∥(x^{∗})^{2}x^{2}∥ = ∥(x^{∗}x)(x^{∗}x)^{∗}∥ = ∥x^{∗}x∥ = ∥x∥^{4}.

Tak więc ∥x^{2}∥ = ∥x∥^{2}. Dalej ∥x∥^{2} = ∥x^{∗}x∥ = ∥xx^{∗}∥ = ∥x^{∗∗}x^{∗}∥ = ∥x^{∗}∥^{2}, skąd ∥x^{∗}∥ = ∥x∥. W końcu e^{∗} = ee^{∗} = e^{∗∗}e^{∗} = (e^{∗}e)^{∗} = e^{∗∗} = e.

Definicja. Homomorfizm h z C*-algebry A w C*-algebrę B nazywamy *-homomorfizmem, jeśli zachowuje inwolucję tzn. [h(x)]^{∗} = h(x^{∗}). Jeżeli *-homomorfizm jest izomorfizmem, to nazywamy go *-izomorfizmem.

8.32. Lemat (Arens). Jeżeli 𝔐 oznacza przestrzeń strukturalną przemiennej C*-algebry A, to odwzorowanie x → x(·) algebry A w algebrę C(𝔐) jest *-ho-momorfizmem.

Dowód: Z twierdzenia 8.22 poprzedniego paragrafu wiemy, że odwzorowanie x → x(·) jest homomorfizmem. Pozostaje więc wykazać, że x^{∗}(λ) = \overline{x(λ)} dla wszystkich λ ∈ 𝔐 oraz x ∈ A. Niech x(λ) = α + iβ, zaś x^{∗}(λ) = γ + iδ, gdzie liczby α, β, γ d są rzeczywiste. Pokażemy, że założenie β + δ ≠ 0 prowadzi do sprzeczności. Połóżmy

y = \frac{1}{β + δ} (x + x^{∗} − (α + γ)e).

Wtedy y^{∗} = y oraz y(λ) = i a dla dowolnej liczby rzeczywistej m mamy

(y + i m e)(λ) = y(λ) + i m = i(1 + m).

Wobec tego |1 + m| ∥y + i m e∥, czyli

\begin{aligned}(1 + m)^{2} & ∥y + i m e∥^{2} = ∥(y + i m e)^{∗}(y + i m e)∥ = ∥(y − i m e)(y + i m e) | \\ & = ∥y^{2} + m^{2}e∥ ∥y∥^{2} + m^{2}. \end{aligned}

Nierówność ta nie może być prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, np. dla m = ∥y∥^{2}, tu sprzeczność. Dowiedliśmy w ten sposób, że β + δ = 0, tzn. x(λ) = α + iβ, x^{∗}(λ) = γ − iβ. Ale wtedy (ix)(λ) = i x(λ) = −β + iα, zaś (ix)^{∗}(λ) = −i x^{∗}(λ) = −β − iγ. Ma mocy udowodnionej już części twierdzenia wnosimy, że α − γ = 0, tzn. x^{∗}(λ) = \overline{x(λ)}.

8.33. Twierdzenie Gelfanda-Naimarka. Przemienna C*-algebra jest izometrycznie *-izomorficzna algebrze C(𝔐) wszystkich funkcji ciągłych na swojej przestrzeni strukturalnej.

Dowód: Niech 𝔐 oznacza przestrzeń strukturalną algebry A. Z lematu 8.31 wynika, że ∥x^{m}∥ = ∥x∥^{m}, gdy m jest potęgą 2. Z lematu 8.19 poprzedniego paragrafu wynika, że

sup_{λ∈𝔐} |x(λ)| = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥x^{n}∥} = ∥x∥.

Wobec tego odwzorowanie x → x(·) jest izometrią A w C(𝔐) i A nie posiada radykału. Z lematu 8.32 wiemy, że odwzorowanie to jest *-homomorfizmem. Pozostaje dowieść, że jest ono �na” tzn., że każdej funkcji ciągłej na 𝔐 odpowiada pewien element x ∈ A. Skorzystamy w tym celu z twierdzenia Stone’a. Oznaczmy przez B podalgebrę C(𝔐) rozpiętą na wszystkich funkcjach x(·), x ∈ A. Ponieważ ∥x∥ = sup_{λ∈𝔐} |x(λ)|, oraz przestrzeń A jest zupełna, więc B jest domkniętą podalgebrą w C(𝔐). Niech λ_{1}, λ_{2} będą dwoma różnymi ideałami maksymalnymi w 𝔐 i niech y ∈ λ_{1}, y ∉ λ_{2}. Wtedy y(λ_{1}) ≠ y(λ_{2}), tzn. B rozdziela punkty 𝔐. Lemat 8.32 pokazuje, że spełnione są założenia twierdzenia Stone’a. Dlatego B = C(𝔐).

8.34. Wniosek. Każda przemienna C*-algebra operatorów na przestrzeni Hilberta jest izometrycznie *-izomorficzna C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na swojej przestrzeni strukturalnej.

8.35. Wniosek. Jeżeli B jest domkniętą C*-podalgebrą przemiennej C*-algebry A i B i A mają wspólną jedynkę e, to element y ∈ B jest odwracalny w A wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalny w B. Wynika stąd, że widmo σ_{B}(x) elementu x względem algebry B pokrywa się z widmem σ_{A}(x) względem całej algebry A.

Dowód: Jeżeli y jest odwracalny w B, to tym bardziej jest odwracalny w A, bo obie algebry mają wspólną jedynkę. Załóżmy teraz, że y jest odwracalny w A. Ponieważ (y^{−1} )^{∗}y^{∗} = (yy^{−1} )^{∗} = e^{∗} = e, więc także y^{∗} jest odwracalny w A a w konsekwencji odwracalny jest także element yy^{∗}, Z twierdzenia Gelfanda-Naimarka wynika, że widmo elementu yy^{∗} jest rzeczywiste, dlatego zbiór ρ(yy^{∗}) jest spójny. Z wniosku 8.12 wynika, że yy^{∗} jest odwracalny w B.

8.36. Wniosek. Niech x będzie elementem przemiennej C*-algebry A i niech C^{∗}(x) oznacza najmniejszą domkniętą C*-podalgebrą zawierającą x i jedynkę e algebry A. Wtedy algebra C^{∗}(x) jest izometrycznie *-izomorficzna z algebrą C(σ(x)).

Dowód: Z poprzedniego wniosku wynika, że widmo σ(x) elementu x względem algebr C^{∗}(x) i A pokrywają się. Dlatego możemy założyć, że wielomiany od x, x^{∗} i e leżą gęsto w A, tzn. A = C^{∗}(x). Niech 𝔐 oznacza przestrzeń strukturalną algebry A. Mamy wtedy σ(x) = x(𝔐). Rozważmy ciągłe odwzorowanie λ → x(λ) przestrzeni 𝔐 na σ(x). Pokażemy, że jest ono wzajemnie jednoznaczne. Jeżeli x(λ) = x(λ′), to x^{∗}(λ) = \overline{x(λ)} = \overline{x(λ′)} = x^{∗}(λ′), a więc y(λ) = y(λ′) dla każdego elementu y będącego wielomianem od x, x^{∗} i e. Ponieważ elementy takiej postaci leżą gęsto w A, otrzymujemy y(λ) = y(λ′) dla wszystkich y ∈ A. Z twierdzenia Gelfanda-Naimarka wynika, że każda funkcja ciągła na 𝔐 przyjmuje jednakowe wartości w punktach λ i λ′ i dlatego musi być λ = λ′. Reasumując, funkcja λ → x(λ) odwzorowuje w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny przestrzeń zwartą 𝔐 na przestrzeń zwartą x(𝔐) = σ(x). Zbiory te są więc homeomorficzne.

ROZDZIAŁ IX

TWIERDZENIE SPEKTRALNE

Twierdzenie spektralne, które udowodnimy, jest uogólnieniem znanego nam twierdzenia z algebry o sprowadzaniu macierzy normalnej n × n do postaci diagonalnej. Obiektem naszych rozważań będzie dowolny ograniczony operator normalny na przestrzeni Hilberta H, tzn. operator spełniający równość T T^{∗} = T^{∗}T, gdzie T^{∗} oznacza operator sprzężony, związany z T równością ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ dla wszystkich x, y ∈ H. Zauważmy, że najmniejsza domknięta podalgebra z jednością w L(H) zawierająca T i T^{∗} jest przemienną C*-algebrą. Z twierdzenia Gelfanda-Naimarka wynika, że jest izometrycznie *-izomorficzna z C*-algebrą C(σ(T)) (patrz wniosek 8.36 z poprzedniego rozdziału). Pozwala to każdej funkcji ciągłej na σ(T) przyporządkować operator działający na przestrzeni H, przy czym funkcji f(λ) = λ odpowiada operator T. Naszym celem będzie rozszerzenie tego odwzorowania na szerszą klasę funkcji — wszystkich funkcji borelowskich ograniczonych na σ(T). Funkcjom charakterystycznym podzbiorów będą odpowiadały projektory ortogonalne. Rodzina tych projektorów nosi nazwę miary spektralnej. Jej związek z operatorem T odpowiada związkowi funkcji f(λ) = λ z funkcjami charakterystycznymi podzbiorów widma σ(T) i będzie opisany w twierdzeniu spektralnym.

Miara spektralna

Załóżmy, że dane jest ciało Σ podzbiorów ustalonego zbioru S oraz funkcja E odwzorowująca Σ w algebrą L(X) ciągłych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha X. Załóżmy, że funkcja E jest addytywna i ograniczona tzn., że

(9. 46)  E(δ ∪ σ) = E(δ) + E(σ) oraz ∥E(σ)∥ K

dla każdej pary rozłącznych zbiorów δ, σ w Σ i pewnej stałej K. Potem, w twierdzeniu spektralnym będziemy zakładali, że E jest miarą spektralną tzn., że X jest przestrzenią Hilberta a operatory E(δ) projektorami ortogonalnymi. Na razie jednak takie założenie nie jest potrzebne. Wymagamy jednak by funkcje, które będziemy całkować były ograniczone i Σ-mierzalne.

Zespoloną funkcję f na S nazywamy Σ-mierzalną, jeżeli f^{−1} (A) ∈ Σ dla każdego borelowskiego podzbioru A ⊂ ℂ. Jeżeli Σ jest rodziną wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni topologicznej S, to funkcje Σ-mierzalne noszą nazwę borelowskich. Przestrzeń B(S, Σ) wszystkich ograniczonych i Σ-mierzal-nych funkcji zespolonych na S jest domkniętą podprzestrzenią liniową w przestrzeni wszystkich zespolonych funkcji ograniczonych na S z normą ∥ ∥_{∞} . Zwróćmy uwagę, że funkcje charakterystyczne zbiorów z Σ tworzą zbiór liniowo gęsty w B(S, Σ)

Funkcję f : S → ℂ nazywamy Σ-prostą, gdy jest postaci

(9. 47)  f = ∑_{k=1}^{n}a_{k}χ_{σ_{k}},

gdzie χ_{σ_{k}} jest funkcją charakterystyczną zbioru σ_{k} ∈ Σ. Z addytywności funkcji E łatwo wyprowadzić, że jeżeli ∑_{i=1}^{n} α_{i}χ_{σ_{i}} = ∑_{j=1}^{m} β_{j}χ_{δ_{j}}, to ∑_{i=1}^{n} α_{i}E(σ_{i}) = ∑_{j=1}^{m} β_{j}E(δ_{j}). Dlatego całkę z funkcji Σ-prostej postaci (9. 47) można określić równością

∫_{S} f(s) E(ds) = ∑_{i=1}^{n}α_{i} E(σ_{i}).

Ponieważ pełne wahanie każdej skalarnej funkcji addytywnej zbiorów μ ma Σ nie przekracza 4 sup_{σ∈Σ} |μ(σ)|, to dla każdej funkcji Σ-prostej f otrzymamy

\begin{aligned}|x^{∗}(_{∫_{S}}f(s) E(ds))x| & = |_{∫_{S}}f(s) x^{∗}(E(ds0)x| \\ & 4 sup_{si∈S} |f(s)| sup_{σ∈Σ} ∥E(σ)∥∥x∥∥x^{∗}∥ \end{aligned}

dla dowolnych x ∈ X oraz x^{∗} ∈ X^{∗}. W takim razie

∥_{∫_{S}}f(s) E(ds)∥ 4K sup_{s∈S} |f(s)|,

gdzie K jest stałą z nierówności (9. 46). Nierówność ta dowodzi, że jeżeli ciąg {f_{n}} funkcji Σ-prostych jest zbieżny w B(S, Σ) do funkcji f, to ciąg całek { ∫_{S} f_{n}(s) E(ds)} jest zbieżny w L(X) i jego granica zależy tylko od f, a nie od konkretnego wyboru ciągu {f_{n}}. Możemy zatem określić całkę z funkcji f wzorem

∫_{S} f(s) E(ds) = lim_{n→∞} ∫_{S} f_{n}(s) E(ds).

Dla zbioru σ ∈ Σ całkę ∫_{σ} f(s) E(ds) będziemy rozumieć jako ∫_{S} f(s) χ_{σ}(s) E(ds). Jest jasne, że odwzorowanie f → ∫_{S} f(s) E(ds) jest ciągłym odwzorowaniem liniowym przestrzeni σB(S, Σ) w algebrę L(X), ograniczonych operatorów liniowych na X.

Jeżeli funkcja E jest miarą spektralną, to odwzorowanie f → ∫_{S} f(s) E(ds) okazuje się być homomorfizmem algebr. Rzeczywiście, niech f, g ∈ B(S, Σ). Zauważmy, że oba operatory ∫_{S} f(s) g(s) E(ds) i ( ∫_{S} f(s) E(ds)) × ( ∫_{S} g(s) E(ds)) w sposób liniowy i ciągły zależą od g i że jeżeli g jest funkcją charakterystyczną zbioru δ w Σ, to

\begin{aligned}∫_{S} f(s)g(s) E(ds) & = ∫_{S} f(s) E(ds ∩ δ) = ∫_{S} f(s) E(ds)E(δ) \\ & = [ ∫_{S} f(s) E(ds)][ ∫_{S} g(s) E(ds)]. \end{aligned}

Wynika stąd, że jeżeli f ∈ B(S, Σ), to równość

∫_{S} f(s)g(s) E(ds) = [ ∫_{s} f(s) E(ds)][ ∫_{S} g(s) E(ds)]

zachodzi dla wszystkich funkcji Σ-prostych g, a w konsekwencji, z ciągłości obu stron względem g, dla dowolnych funkcji f, g ∈ B(S, Σ), Jak widać, niezbędne jest, by funkcja E spełniała warunek

E(σ ∩ δ) = E(σ) E(δ), dla σ, δ ∈ Σ.

W szczególności wszystkie operatory E(σ) muszą być projektorami na X. Jeżeli ponadto X jest przestrzenią Hilberta, a E funkcją samosprzężoną tzn. E(σ)^{∗} = E(σ) dla wszystkich σ ∈ Σ, to odwzorowanie f → ∫_{S} f(s) E(ds) jest *-homo-morfizmem C*-algebry B(S, Σ) w C*-algebrę wszystkich ciągłych operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta. Aby tego dowieść rozpatrzmy funkcję Σ-pro-stą f. Mamy tu

[ ∫_{S} f(s) E(ds)]^{∗} = ∑_{i=1}^{n} \overline{α_{i}} E(δ_{i}) = ∫_{S} \overline{f(s)}E(ds),

a ponieważ funkcje proste leżą gęsto w B(S, Σ), otrzymujemy [ ∫_{S} f(s) E(ds)]^{∗} = ∫_{S} \overline{f(s)}E(ds) dla wszystkich f ∈ B(S, Σ).

Definicja. Niech Σ będzie ciałem podzbiorów ustalonego zbioru S a H przestrzenią Hilberta. Funkcję E : Σ → L(H) nazywamy miarą spektralną, jeżeli

a. E(δ ∪ σ) = E(δ) + E(σ) dla rozłącznych δ, σ w Σ. b. F (δ ∩ σ) = E(δ) E(σ) dla wszystkich δ, σ w Σ. c. E(δ) = E(δ)^{∗} dla wszystkich δ ∈ Σ.

Mamy wtedy

9.1. Twierdzenie. Niech E będzie miarą spektralną w przestrzeni Hilberta H, określoną na ciele Σ podzbiorów zbioru S. Wtedy odwzorowanie f → T (f), określone wzorem

T (f) = ∫_{S} f(s) E(ds), f ∈ B(S, Σ),

jest ciągłym *-homomorfizmem C*-algebry B(S, Σ) ograniczonych, Σ-mierzal-nych funkcji zespolonych na S w C*-algebrę ograniczonych operatorów na przestrzeni Hilberta H.

Twierdzenie spektralne

Udowodnimy najpierw bardzo ogólne twierdzenie (ogólne twierdzenie spektralne). Zapowiadane wcześniej twierdzenie spektralne dla ograniczonych operatorów normalnych będzie jego szczególnym przypadkiem.

9.2. Ogólne twierdzenie spektralne. Każda przemienna C*-algebra A operatorów na przestrzeni Hilberta H jest izometrycznie *-izomorficzna z C*-algebrą C(𝔐) wszystkich funkcji ciągłych na swojej przestrzeni strukturalnej. Ponadto każdy izometryczny *-izomorfizm f → T (f) między tymi algebrami jednoznacznie określa miarę spektralną E na ciele B wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni strukturalnej 𝔐 i posiadającą następujące własności:

I. dla dowolnych x, y ∈ H funkcja zbiorów ⟨E(σ)x, y⟩, σ ∈ B jest regularna i przeliczalnie addytywna;

II. E(δ)T = T E(δ), δ ∈ B, T ∈ A; III. T (f) = ∫_{𝔐} f(λ) E(dλ), f ∈ C(𝔐). Dowód: Pierwsza część twierdzenia, to przytoczone twierdzenie Gelfanda-Naimar-ka. Dla dowodu drugiej potrzebny będzie lemat:

9.3. Lemat. Każda ograniczona forma dwuliniowa [x, y] na przestrzeni Hilberta H, spełniająca warunek [y, x] = \overline{[x, y]} jednoznacznie wyznacza taki ograniczony operator samosprzężony A, że [x, y] = ⟨Ax, y⟩.

Dowód: Dla ustalonego y ∈ H, wartość [x, y] w sposób liniowy i ciągły zależy od x, a więc w H istnieje taki element Ay, że [x, y] = ⟨x, Ay⟩. Ponieważ forma [x, y] jest ograniczona i dwuliniowa, więc operator A jest liniowy i ograniczony a równość [x, y] = \overline{[y, x]}pokazuje, że jest on samosprzężony.

Kontynuując dowód twierdzenia zauważmy, że dla każdej pary wektorów x, y w H liczba < T (f) x, y > zależy w sposób liniowy od f oraz |⟨T (f) x, y⟩| ∥f∥∥x∥∥y∥. Wobec tego z twierdzenia Riesza o postaci funkcjonału na C(𝔐) istnieje dokładnie jedna taka miara regularna μ_{x,y}, że

(9. 48)  ⟨T (f) x, y⟩ = ∫_{𝔐} f(λ) μ_{x,y}(dλ),  f ∈ C(𝔐),

(9. 49)  |μ_{x,y}(σ)| |μ_{x,y}|(σ) ∥x∥∥y∥,  σ ∈ B.

Ponieważ ⟨T (f)(αx), y⟩ = α ⟨T (f) x, y⟩ to z (9. 48) otrzymujemy

∫_{𝔐} f(λ) μ_{αx,y}(dλ) = ∫_{𝔐} f(λ) α μ_{x,y}(dλ), f ∈ C(𝔐),

a ponieważ miara jest jednoznacznie wyznaczona przez funkcjonał, który reprezentuje, więc μ_{αx,y} = α μ_{x,y}. Analogicznie pokazujemy, że μ_{x,y} w sposób dwuliniowy zależy od x i y. Jeżeli funkcja f jest rzeczywista, to T (f) = T (\overline{f}) = T (f)^{∗}, a stąd ⟨T (f) x, y⟩ = \overline{⟨T (f) y, x⟩}, co z (9. 48) daje

∫_{𝔐} f(λ) μ_{x,y}(dλ) = ∫_{𝔐} f(λ) \overline{μ_{y,x}(dλ)}, f ∈ C(𝔐),

a z jednoznaczności przedstawienia μ_{x,y} = \overline{μ_{y,x}}. Lemat 9.2 i nierówność (9. 49) pokazują, że dla każdego δ ∈ B istnieje dokładnie jeden taki operator samosprzężony E(δ) w L(H), że μ_{x,y}(δ) = ⟨E(δ) x, y⟩. Jest jasne, że funkcja δ → E(δ) jest addytywna na B, a z (9. 49) wynika, że ∥E(δ)∥ 1. Dlatego punkt III twierdzenia wynika z (9. 48). Aby dowieść, że E(δ ∩ σ) = E(δ) E(σ) zauważmy, że dla każdej pary f, g w C(𝔐) mamy

∫_{𝔐} f(λ) ∫_{𝔐}g(μ) E(dλ ∩ dμ) = ∫_{𝔐} f(λ) ∫_{dλ} g(μ) E(dμ)
= ∫_{𝔐} f(λ)g(λ) E(dλ) = T (fg) = T (f)T (g)
= ∫_{𝔐} f(λ) T (g) E(dλ) = ∫_{𝔐} f(λ) ∫_{𝔐} g(μ) E(dμ)E(dλ).

Wobec czego

∫_{𝔐} g(μ) E(dμ ∩ δ) = ∫_{𝔐} g(μ) E(dλ)E(δ), δ ∈ B, g ∈ C(𝔐),

a dalej E(σ ∩ δ) = E(σ)E(δ) dla dowolnych δ, σ ∈ B. Wobec tego E jest miarą spektralną i w szczególności wszystkie projektory komutują. Z własności 3 wynika wtedy, że projektory ortogonalne E(δ) komutują także z T (f), a to kończy dowód.

9.4. Wniosek. Miara spektralna jest przeliczalnie addytywna w mocnej topologii operatorowej.

Dowód: Jeżeli ciąg {δ_{n}} zbiorów borelowskich zstępuje do zbioru pustego, to na mocy własności I

∥E(δ_{n}) x∥^{2} = ⟨E(δ_{n}) x, E(δ_{n})x⟩ = ⟨E(δ_{n}) x, x⟩ → 0.

Przeprowadzone tu rozumowanie pokazuje także, że regularność miary skalarnej ⟨E(δ) x, y⟩ dla dowolnych x, y ∈ H pociąga regularność miary wektorowej E(δ) x względem mocnej topologii w H, tzn. dla dowolnych δ ∈ B i ε > 0 istnieje taki zbiór domknięty F ⊂ δ i taki zbiór otwarty G ⊃ δ, że ∥E(δ) x∥ < ε dla każdego σ ∈ B zawartego w G\F. Wynika to z nierówności ∥E(σ) x∥^{2} = ⟨E(σ) x, x⟩. Dlatego dla miary spektralnej pojęcie przeliczalnej addytywności i regularności nie zależy od tego, czy rozpatrujemy je w słabej, czy w mocnej topologii.

9.5. Wniosek. Każdy ograniczony operator normalny jednoznacznie wyznacza na podzbiorach borelowskich płaszczyzny zespolonej ℂ przeliczalnie addytywną regularną miarę spektralną E, zerującą się na ρ(T) i mającą własność

f(T) = ∫_{σ(T)} f(λ) E(dλ), f ∈ C(𝔐).

Definicja. Miara spektralna, o której mowa we wniosku 9.5 nosi nazwę rozkładu jedności dla operatora normalnego T.

9.6. Wniosek. Regularna, przeliczalnie addytywna miara spektralna E, określona na podzbiorach borelowskich płaszczyzny zespolonej jest rozkładem spektralnym jedności dla operatora normalnego T wtedy i tylko wtedy, gdy

T = ∫_{σ(T)} λ E(dλ).

Dowód: Jeżeli T = ∫_{σ(T)} λ E(dλ), to T^{∗} = ∫_{σ(T)} \overline{λ} E(dλ), więc dla każdego wielomianu p(λ, \overline{λ}) zmiennych λ i \overline{λ} mamy p(T, T^{∗}) = ∫_{σ(T)} p(λ, \overline{λ}) E(dλ). Z twierdzenia Weierstrassa wynika wtedy, że f(T) = ∫_{σ(T)} f(λ) E(dλ) dla każdej funkcji f ∈ C(σ(T)). Wobec tego z wniosku 9.5 wynika, że E jest rozkładem jedności dla T. Przeciwna implikacja została dowiedziona we wniosku 9.5.

9.7. Wniosek. Niech E będzie rozkładem jedności dla ograniczonego operatora normalnego T. Dla dowolnej ograniczonej, zespolonej funkcji borelowskiej f na widmie σ(T) połóżmy

f(T) = ∫_{σ(T)} f(λ) E(dλ).

Wtedy odwzorowanie f → f(T) jest ciągłym *-izomorfizmem C*-algebry ograniczonych funkcji borelowskich na σ(T) w C*-algebrę L(H), przy czym funkcji f(λ) = λ i f(λ) = 1 odpowiadają operatory T oraz I. Homomorfizm ten ma jeszcze własności: (i). ∥f(T) x∥^{2} = ∫_{σ(T)} |f(λ)|^{2}⟨E(dλ) x, x⟩, x ∈ H; (ii). jeżeli ograniczony ciąg funkcji borelowskich jest jednocześnie zbieżny w każ-

dym punkcie widma do funkcji f, to f_{n}(T) → f(T) w silnej topologii operatorowej.

ROZDZIAŁ X

DODATEK

Przestrzenie liniowe

10.1. Określenie przestrzeni liniowej. Zbiór X nazywamy przestrzenią liniową, jeśli:

1. dla dowolnych dwóch elementów x, y ∈ X jest określona ich suma x + y, także będąca elementem zbioru X;

2. dla dowolnej liczby zespolonej α i dowolnego elementu x ∈ X określony

jest ich iloczyn αx, także będący elementem zbioru X. Zakładamy ponadto, że operacje dodawania elementów i mnożenia elementu przez liczbę spełniają następujące warunki:

• x + y = y + x;

• (x + y) + z = x + (y + z);

• w X istnieje element 0 o tej własności, że x + 0 = x dla każdego elementu x ∈ X;

• dla każdego elementu x ∈ X istnieje element −x, o własności x + (−x) = 0;

• 1 x = x;

• α(βx) = (αβ)x;

• (α + β)x = αx + βx;

• α(x + y) = αx + αy.

Elementy przestrzeni liniowej nazywamy na ogół wektorami. Jeśli w zbiorze X określone jest mnożenie tylko przez liczby rzeczywiste, to X nazywamy rzeczywistą przestrzenia liniową. Oczywiście każdą (zespoloną) przestrzeń liniową można także traktować jako rzeczywista przestrzeń liniową.

Przykłady.

1. Oznaczmy przez ℂ^{n} zbiór wszystkich układów x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) liczb zespolonych. Jeśli w zbiorze ℂ^{n} określimy operacje dodawania i mnożenia przez liczbę zespoloną wzorem

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, …, x_{n} + y_{n}),
α(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (αx_{1}, αx_{2}, …, αx_{n}),

to staje się on przestrzenią liniową.

Zbiór tych wektorów x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), dla których wszystkie liczby x_{k} są rzeczywiste tworzy rzeczywistą przestrzeń liniową, oznaczaną ℝ^{n}.

Przestrzeń ℂ^{1} jest, po prostu, zbiorem wszystkich liczb zespolonych, a ℝ^{1} zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

2. Zbiór c wszystkich zbieżnych ciągów liczb zespolonych x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) z podobnie określonymi operacjami dodawania ciągów i mnożenia ciągu przez liczbę zespoloną tworzy przestrzeń liniową.

3. Zbiór C[a, b] wszystkich zespolonych funkcji ciągłych x : [a, b] → ℂ na ustalonym przedziale [a, b], jest przestrzenią liniową ze zwykłym dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. Zbiór funkcji ciągłych rzeczywistych na przedziale [a, b] jest rzeczywistą przestrzenią liniową, oznaczaną ℂ_{ℝ}[a, b].

10.2. Liniowa niezależność wektorów, bazy Hamela. Kombinacją liniową wektorów x_{1}, x_{2}, …, x_{k} przestrzeni liniowej X nazywamy każdą sumę postaci α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2} + … α_{k}x_{k}. Wektory x_{1}, x_{2}, …, x_{k} nazywamy liniowo niezależnymi jeśli ich kombinacja liniowa α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2} + … α_{k}x_{k} staje się wektorem zerowym 0 tylko wtedy, gdy α_{1} = α_{2} = … = a_{k} = 0. Jeśli wektory x_{1}, x_{2}, …, x_{k} nie są liniowo niezależnymi, to nazywamy je liniowo zależnymi. Zbiór P ⊂ X nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli elementy tworzące dowolny skończony podzbiór tego zbioru są liniowo niezależne. Zbiór liniowo niezależny B ⊂ X nazywamy bazą Hamela przestrzeni X, jeżeli każdy wektor x ∈ X można przedstawić w postaci skończonej kombinacji liniowej

x = α_{1}b_{1} + α_{2}b_{2} + … α_{k}b_{k}

wektorów zbioru B. Z liniowej niezależności zbioru B wynika, że przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Każda przestrzeń liniowa ma bazę Hamela, a nawet więcej (patrz np. [1], Rozdział II, Twierdzenia 4.5, 4.3):

Każdy zbiór liniowo niezależny w przestrzeni liniowej można uzupełnić do bazy Hamela tej przestrzeni. Każde dwie bazy Hamela ustalonej przestrzeni liniowej są równej mocy.

Moc bazy Hamela przestrzeni liniowej X oznaczamy dimX i nazywamy jej wymiarem.

Przestrzeń ℂ^{n} ma wymiar n, a jej bazę Hamela tworzą na przykład wektory e_{1} = (1, 0, 0, …, 0), e_{2} = (0, 1, 0, …, 0),…, e_{n} = (0, 0, 0, …, 1). Obie przestrzenie c i C[a, b] mają wymiar nieskończony; w każdej z nich można wskazać nieskończone zbiory liniowo niezależne, w pierwszej zbiór ciągów e_{n} = (0, 0, …, 0, 1, 0, …) z jedynką na n-tym miejscu, n = 1, 2, 3, …, a w drugiej zbiór wszystkich jednomianów 1, t, t^{2}, t^{3}, . . ..

W istocie bazy Hamela obu przestrzeni c oraz C[a, b] muszą być nieprzeliczalne. W przestrzeni c ciągi postaci {n^{−s} }_{n=1}^{∞} , s ∈ ℝ^{+} , tworzą nieprzeliczalny zbiór liniowo niezależny, bo gdy przy 0 s_{1} < s_{2} < … < s_{k} równość

α_{1}n^{−s_{1}} + α_{2}n^{−s_{2}} + … + α_{k}n^{−s_{k}} = 0

zachodzi dla wszystkich n, to mnożąc obie strony przez n^{s_{1}} i przechodząc do granicy przy n → ∞ otrzymujemy α_{1} = 0. Usuwając z tej równości zerowy składnik α_{1}n^{−s_{1}} i powtarzając rozumowanie dla wykładnika s_{2} otrzymujemy α_{2} = 0, itd. W końcu po k-krokach otrzymamy α_{1} = α_{2} = … = α_{k} = 0. W przestrzeni C[a, b] nieprzeliczalny zbiór liniowo niezależny tworzą funkcje postaci x_{s}(t) = (t − a)^{s}, s ∈ ℝ^{+} .

10.3. Podprzestrzenie liniowe, przestrzenie ilorazowe. Podzbiór X_{0} przestrzeni liniowej X nazywamy podprzestrzenią liniową, gdy wraz z każdymi dwoma elementami x, y zawiera ich sumę x + y i dla każdej liczby zespolonej α wraz z elementem x zawiera także element αx; a więc, gdy X_{0} jest przestrzenią liniową z tymi samymi działaniami co w X. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X symbol linA oznacza zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych elementów zbioru A. Zatem linA jest najmniejszą podprzestrzenią liniową w przestrzeni X, zawierającą zbiór A.

W przestrzeni ℂ^{n} zbiór tych wektorów x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), dla których x_{1} + x_{2} + … + x_{n} = 0 jest podprzestrzenią liniową. Jej wymiar wynosi n − 1. W przestrzeni c podprzestrzeń liniową tworzą wszystkie ciągi zbieżne do zera a w przestrzeni C[a, b] wszystkie wielomiany.

Niech X_{0} będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X. Określmy w zbiorze X relację ∼ pisząc

x ∼ y gdy x − y ∈ X_{0}.

Jest to relacja równoważności, zatem dzieli ona przestrzeń X na klasy abstrakcji, które będziemy nazywali warstwami i oznaczali

[x] = {y ∈ X : y ∼ x} = {x + z : z ∈ X_{0}}.

Przestrzeń ilorazowa X/ ∼, oznaczana dalej symbolem X/X_{0}, wszystkich warstw po wprowadzeniu operacji dodawania warstw i mnożenia warstwy przez skalar w sposób następujący

[x_{1}] + [x_{2}] = [x_{1} + x_{2}], α [x] = [α x]

staje się przestrzenią liniową, noszącą nazwę przestrzeni ilorazowej X/X_{0}.

10.4. Odwzorowania liniowe, izomorfizm. Niech X, Y będą dwiema przestrzeniami liniowymi. Funkcję T : X → Y nazywamy funkcją liniową, odwzorowaniem liniowym lub operatorem liniowym, jeżeli dla dowolnych wektorów x_{1}, x_{2} ∈ X

T (x_{1} + x_{2}) = T x_{1} + T x_{2}

oraz dla dowolnej liczby α

T (αx) = α T x.

Odwzorowanie liniowe z przestrzeni X w zbiór ℂ liczb zespolonych (lub w zbiór ℝ liczb rzeczywistych, gdy X jest rzeczywistą przestrzenią liniową) nazywamy funkcjonałem liniowym.

Dla X = ℂ^{n}, Y = ℂ^{m} odwzorowanie A : X → Y

A(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (y_{1}, y_{2}, …, y_{m}),

gdzie

y_{i} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}, i = 1, 2, …, m,

zaś a_{ij} jest układem liczb zespolonych, jest liniowe. Każde odwzorowanie liniowe A : ℂ^{n} → ℂ^{m} jest takiej postaci. Macierz

a = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

nosi nazwę macierzą odwzorowania A.

Funkcja x^{∗} : c → ℂ, określona dla x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ c wzorem

x^{∗}(x) = lim_{n→∞} x_{n}

jest funkcjonałem liniowym na przestrzeni c .

Odwzorowanie V : C[a, b] → C[a, b]

V x(t) = ∫_{a}^{t} x(u) du, t ∈ [a, b],

jest operatorem liniowym na przestrzeni C[a, b], zwanym operatorem Volterry.

Odwzorowanie liniowe T z przestrzeni liniowej X do przestrzeni liniowej Y jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na wektorach dowolnej bazy Hamela przestrzeni X, mogą nimi być dowolne wektory przestrzeni Y . Zatem

Niech {b_{t}}_{t∈T} będzie bazą Hamela przestrzeni liniowej X. Na to by odwzorowanie T z X do przestrzeni liniowej Y było liniowe potrzeba i wystarcza, aby istniała taka funkcja φ : T → Y , że

T x = ∑_{k=1}^{n}α_{k} φ(t_{k}), gdy x = ∑_{k=1}^{n}α_{k} b_{t_{k}}.

Dwie przestrzenie liniowe X i Y nazywają się algebraicznie izomorficzne, gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe T przestrzeni X na przestrzeń Y . Odwzorowanie takie nosi nazwę algebraicznego izomorfizmu. Odwzorowanie odwrotne T^{−1} : Y → X jest także algebraicznym izomorfizmem.

Dla przestrzeni X = ℂ^{n} i jej podprzestrzeni X_{0} = {z ∈ ℂ^{n} : z_{1}+z_{2}+…+z_{n}} warstwa [x] elementu x ∈ ℂ^{n} składa się z tych wektorów y ∈ ℂ^{n}, dla których y_{1}+ y_{2}+…+y_{n} = x_{1}+x_{2}+…+x_{n}. Zatem każdej warstwie [x] można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie liczbę zespoloną x_{1} + x_{2} + … + x_{n}. Przyporządkowanie to jest algebraicznym izomorfizmem przestrzeni X/X_{0} na przestrzeń ℂ^{1}.

10.5. Zbiory wypukłe. Odcinkiem łączącym punkty x_{1}, x_{2} przestrzeni liniowej X nazywamy zbiór wszystkich punktów postaci λx_{1} + (1 − λ)x_{2}, gdzie 0 λ 1.

Zbiór W ⊂ X jest wypukły, jeżeli wraz z każdymi dwoma punktami zawiera również odcinek łączący te punkty.

Przekrój dowolnej rodziny zbiorów wypukłych też jest zbiorem wypukłym. Wynika stąd, że dla dowolnego zbioru P ⊂ X istnieje najmniejszy zbiór wypukły zawierający zbiór P. Jest on przekrojem rodziny wszystkich zbiorów wypukłych zawierających P. Zbiór ten oznaczamy convP i nazywamy uwypukleniem zbioru P.

Jeżeli P = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}, to convP jest zbiorem elementów postaci

(10. 50)  λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n},

gdzie wszystkie liczby λ_{k} są nieujemne oraz λ_{1}+ λ_{2}+ … + λ_{n} = 1. Istotnie, zbiór wszystkich elementów postaci (10. 50) jest wypukły, wystarczy zatem pokazać, że zbiór convP musi wszystkie takie elementy posiadać. Gdy n = 2, wynika to bezpośrednio z definicji zbioru wypukłego. Dla większych n dowód można przeprowadzić przez indukcję. Na przykład, gdy λ_{1} + λ_{2} > 0 oraz λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 1, to \frac{λ_{1}}{λ_{1}+λ_{2}} x_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1}+λ_{2}} x_{2} ∈ convP, dlatego

λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + λ_{3}x_{3} = (λ_{1} + λ_{2})(\frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} x_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} x_{2}) + λ_{3}x_{3}

także leży w convP.

Zbiór wypukły W ⊂ X nazywamy pochłaniającym, jeżeli dla każdego elementu x ∈ X istnieje taka liczba dodatnia λ, że x ∈ λ W = {λw : w ∈ W }, tj. że \frac{1}{λ}x ∈ W. Funkcję p : X → ℝ^{+}

p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λ W }

nazywamy funkcjonałem Minkowskiego zbioru W.

Jest oczywiste, że gdy x ∈ W, to p(x) 1, a gdy p(x) < 1, to x ∈ W.

Funkcjonał Minkowskiego ma następujące własności:

1. p(x) 0;

2. p(x + y) p(x) + p(y);

3. p(λx) = λp(x) dla λ 0. Każda funkcja p na X spełniający powyższe warunki jest funkcjonałem Minkowskiego pewnego zbioru wypukłego pochłaniającego.

Własność pierwsza jest oczywista. Dla dowodu własności 2 zauważmy, że z definicji funkcjonału Minkowskiego wynika, iż dla dowolnego ε > 0

\frac{1}{p(x) + ε} x ∈ W, \frac{1}{p(y) + ε} y ∈ W.

Połóżmy

λ = \frac{p(x) + ε}{p(x) + p(y) + 2ε} ,

wtedy

1 − λ = \frac{p(y) + ε}{p(x) + p(y) + 2ε} ,

więc na mocy wypukłości zbioru W, do W należy element

λ\frac{1}{p(x) + ε} x + (1 − λ)\frac{1}{p(y) + ε} y,

tj. element

\frac{1}{p(x) + p(y) + 2ε} (x + y).

Stąd p(x+y) p(x)+p(y)+2ε, a ponieważ ε mogło być dowolną liczbą dodatnią, więc p(x + y) p(x) + p(y). Równość 3 dla λ = 0 jest oczywista, a jeżeli λ > 0, to

p(λx) = inf\{α > 0 : λx ∈ α W \} = inf\{α > 0 : x ∈ \frac{α}{λ} W \}
= inf{λβ > 0 : x ∈ β W } = λ p(x).

Załóżmy teraz, że funkcjonał p na przestrzeni X spełnia warunki 1, 2 i 3. Określmy W = {x ∈ X : p(x) 1}. Zbiór W jest wypukły, bo jeśli x_{1}, x_{2} ∈ W oraz 0 λ 1, to

p(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) λp(x) + (1 − λ)p(y) λ + (1 − λ) = 1,

więc λx_{1} + (1 − λ)x_{2} ∈ W. Zbiór W jest też pochłaniający, bo \frac{1}{p(x) + 1} x ∈ W dla każdego x ∈ X. Wreszcie

p(x) = inf{λ > 0 : p(x) λ} = inf{λ > 0 : x ∈ λ W },

czyli p jest funkcjonałem Minkowskiego zbioru W.

10.6. Twierdzenie Hahna-Banacha. To jedno z najważniejszych twierdzeń analizy funkcjonalnej. Podana poniżej postać tego twierdzenia jest bardzo ogólna, choć dotyczy tylko rzeczywistych przestrzeni liniowych. W zastosowaniach do przestrzeni unormowanych (rzeczywistych lub zespolonych) korzystać będziemy na ogół z innej, nieco słabszej, jego wersji

Twierdzenie Hahna-Banacha. Niech p będzie funkcjonałem Minkowskiego na rzeczywistej przestrzeni liniowej X oraz x_{0}^{∗} funkcjonałem liniowym, określonym na pewnej podprzestrzeni liniowej X_{0} ⊂ X i spełniającym nierówność

x_{0}^{∗}(x) p(x) dla x ∈ X_{0}.

Wtedy x_{0}^{∗} można przedłużyć od funkcjonału liniowego x^{∗}, określonego na całej przestrzeni X i spełniającego warunek

x^{∗}(x) p(x) dla x ∈ X.

Dowód: Możemy oczywiście założyć, że X_{0} ≠ X. Weźmy dowolny element x_{0} ∉ X_{0} i przyjmijmy

X_{1} = lin(X_{0} ∪ {x_{0}}).

X_{1} jest więc zbiorem wszystkich elementów y postaci

y = x + λ x_{0}, x ∈ X_{0}, λ ∈ ℝ.

Zauważmy, że przedstawienie takie jest jednoznaczne. Rzeczywiście, jeżeli

y = x′+ λ′x_{0} = x′′+ λ′′x_{0} i λ′ ≠ λ′′, to x_{0} = \frac{1}{λ′′− λ′} (x′− x′′),

a stąd x_{0} ∈ X_{0} wbrew założeniu. Wobec tego musi być λ′= λ′′i w konsekwencji x′= x′′.

Określmy na przestrzeni X_{1} funkcjonał x_{1}^{∗} przyjmując

x_{1}^{∗}(y) = x_{1}^{∗}(x + λ x_{0}) = x_{0}^{∗}(x) + λ c,

gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą. Funkcjonał x_{1}^{∗} jest oczywiście liniowy i jest przedłużeniem x_{0}^{∗}. Należy tylko dobrać c tak, aby

x_{1}^{∗}(y) p(y), tzn. aby x_{0}^{∗}(x) + λ c p(x + λ x_{0}).

Ostatnia z tych nierówności równoważna jest dwu następującym:

\begin{matrix}x_{0}^{∗}(\frac{1}{λ} x) + c & p(x_{0} + \frac{1}{λ} x) dla λ > 0, \\ x_{0}^{∗}(\frac{1}{−λ} x) − c & p( − x_{0} + \frac{1}{−λ} x) dla λ < 0. \end{matrix}

Aby spełnić te nierówności, dobieramy c tak, by

x_{0}^{∗}(x′) − p(x′− x_{0}) c p(x′′+ x_{0}) − x_{0}^{∗}(x′′)

dla wszystkich x′, x′′∈ X_{0}. Wybór taki jest możliwy. Rzeczywiście,

\begin{aligned}x_{0}^{∗}(x′) + x_{0}^{∗}(x′′) & = x_{0}^{∗}(x′+ x′′) p(x′+ x′′) \\ & = p(x′− x_{0} + x′′+ x_{0}) p(x′− x_{0}) + p(x′′+ x_{0}), \end{aligned}

a stąd

sup_{x′∈X_{0}} (x_{0}^{∗}(x′) − p(x′− x_{0})) inf_{x′′∈X_{0}} (p(x′′+ x_{0}) − x_{0}^{∗}(x′′)).

Rozpatrzmy zbiór F wszystkich funkcjonałów liniowych y^{∗}, będących przedłużeniami x_{0}^{∗} i takich, że y^{∗}(x) p(x). Zbiór F można częściowo uporządkować przyjmując y_{1}^{∗} ≺ y_{2}^{∗}, jeśli funkcjonał y_{2}^{∗} jest przedłużeniem y_{1}^{∗}. Z lematu Zorna wynika istnienie maksymalnego przedłużenia x^{∗} ∈ F funkcjonału x_{0}^{∗}. Jest nim funkcjonał określony na całej przestrzeni X, w przeciwnym przypadku — na mocy tego, co udowodniliśmy wyżej — miałby on dalsze przedłużenie, wbrew definicji elementu maksymalnego.

Funkcjonał Minkowskiego p na (rzeczywistej lub zespolonej) przestrzeni liniowej X nosi nazwę półnormy, gdy p(λ x) = |λ| p(x) dla wszystkich liczb (odpowiednio rzeczywistych lub zespolonych) λ i wszystkich x ∈ X.

Twierdzenia Hahna-Banacha. (wersja zespolona) Niech p będzie półnormą na zespolonej przestrzeni liniowej X oraz x_{0}^{∗} funkcjonałem liniowym, określonym na pewnej podprzestrzeni liniowej X_{0} ⊂ X i spełniającym nierówność

|x_{0}^{∗}(x)| p(x) dla x ∈ X_{0}.

Wtedy x_{0}^{∗} można przedłużyć od funkcjonału liniowego x^{∗}, określonego na całej przestrzeni X i spełniającego warunek

|x^{∗}(x)| p(x) dla x ∈ X.

Dowód: Będziemy traktować X jako rzeczywistą przestrzeń liniową. Oznaczmy

x_{0}^{∗}(x) = y_{0}^{∗}(x) + iz_{0}^{∗}(x),

gdzie y_{0}^{∗} i z_{0}^{∗} są odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną funkcjonału x_{0}^{∗}. Oczywiście y_{0}^{∗} i z_{0}^{∗} są rzeczywistymi funkcjonałami liniowymi na podprzestrzeni X_{0}, a ponieważ

i(y_{0}^{∗}(x) + iz_{0}^{∗}(x)) = ix_{0}^{∗}(x) = x_{0}^{∗}(ix) = y_{0}^{∗}(ix) + i z_{0}^{∗}(ix),

więc

z_{0}^{∗}(x) = −y_{0}^{∗}(ix) dla x ∈ X_{0}.

Z założenia wiemy, że y_{0}^{∗}(x) |x_{0}^{∗}(x)| p(x) dla x ∈ X_{0}, zatem na mocy udowodnionej już wersji twierdzenia Hahna-Banacha funkcjonał y_{0}^{∗} można przedłużyć do rzeczywistego funkcjonału liniowego y^{∗} na całej przestrzeni X, z zachowaniem warunku y^{∗}(x) p(x) dla x ∈ X.

Określmy teraz funkcjonał x^{∗} wzorem

x^{∗}(x) = y^{∗}(x) − iy^{∗}(ix).

Widać, że x^{∗} jest przedłużeniem funkcjonału x_{0}^{∗}. Widać również, że x^{∗} jest funkcjonałem addytywnym i jednorodnym przy mnożeniu przez liczby rzeczywiste. Aby udowodnić jego jednorodność względem mnożenia przez liczby zespolone wystarczy zauważyć, że

x^{∗}(ix) = y^{∗}(ix) − iy^{∗}(−x) = i(y^{∗}(x) − iy^{∗}(ix)) = ix^{∗}(x).

Pozostaje dowieść, że |x^{∗}(x)| p(x). Przedstawmy w tym celu liczbę x^{∗}(x) w postaci x^{∗}(x) = r e^{−iθ} . Wtedy |x^{∗}(x)| = e^{iθ}x^{∗}(x) = x^{∗}(e^{iθ}x), a ponieważ x^{∗}(e^{iθ}x) jest liczbą rzeczywistą nieujemną, więc

|x^{∗}(x)| = x^{∗}(e^{iθ}x) = y^{∗}(e^{iθ}x) p(e^{iθ}x) = p(x).

Literatura.

[1] Andrzej Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969.

Przestrzenie topologiczne

10.7. Pojęcie przestrzeni topologicznej. Przestrzenią topologiczną nazywamy dowolny zbiór X wraz z rodziną T jego podzbiorów o tej własności, że T1. zbiór pusty ∅ oraz X należą do rodziny T , T2. jeżeli U_{1} ∈ T i U_{2} ∈ T , to U_{1} ∩ U_{2} ∈ T , T3. jeżeli U_{s} ∈ T dla każdego s ∈ S, to ⋃_{s∈S} U_{s} ∈ T . Samą rodzinę T nazywamy topologią, a jej elementy zbiorami otwartymi. Dopełnienia zbiorów otwartych noszą nazwę zbiorów domkniętych. Dla jednego zbioru X można wybrać na ogół wiele rodzin T spełniających T1–T3. Przez wprowadzenie topologii rozumiemy wybranie jednej z nich. Jeżeli zachodzi inkluzja T_{1} ⊂ T_{2}, to powiemy, że topologia T_{1} jest słabsza od topologii T_{2} lub, że topologia T_{2} jest silniejsza od topologii T_{1}. Najsłabszą topologią w X jest rodzina {∅, X}, zwana topologią trywialną a najsilniejszą rodzina wszystkich podzbiorów X, zwana topologią dyskretną.

Dowolny podzbiór X_{0} przestrzeni topologicznej X można przekształcić w przestrzeń topologiczną przyjmując za zbiory otwarte w X_{0} przekroje X_{0} ze zbiorami otwartymi w X. Przestrzeń taką nazywamy podprzestrzenią przestrzeni topologicznej X, a jej topologię topologią odziedziczoną.

10.8. Wnętrze zbioru, otoczenia. Z każdym zbiorem A przestrzeni topologicznej związane są dwa zbiory: intA, zwany wnętrzem zbioru A i \overline{A} zwany domknięciem zbioru A. Pierwszy jest sumą wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A, a więc największym zbiorem otwartym zawartym w A, a drugi przekrojem wszystkich zbiorów domkniętych zawierających A.

Zbiór A nosi nazwę otoczenia punktu x, jeżeli x ∈ intA. O rodzinie U_{x} złożonej z otoczeń punktu x powiemy, że jest bazą otoczeń punktu x, jeżeli w każdym otoczeniu punktu x leży pewien zbiór z U_{x}. Zauważmy, że punkt x leży w domknięciu \overline{A} zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy, gdy U ∩ A ≠ ∅ dla każdego otoczenia U ∈ U_{x}. Jeżeli \overline{A} = X, to powiemy, że zbiór A jest gęsty w X. Jeżeli w X istnieje przeliczalny podzbiór gęsty to X nosi nazwę przestrzeni ośrodkowej, a sam zbiór nazwę ośrodka.

10.9. Przekształcenia przestrzeni topologicznych. Przekształcenie f : X → Y przestrzeni topologicznej X w przestrzeń topologiczną Y nazywamy otwartym, jeżeli obraz f(U) każdego zbioru otwartego U ⊂ X jest otwarty w Y . Jeżeli zaś dla każdego zbioru otwartego V w Y jego przeciwobraz f^{−1} (V) jest otwarty w X, to powiemy, że f jest przekształceniem ciągłym. Ciągłość przekształcenia f : X → Y w punkcie x oznacza, że każde otoczenie V punktu y = f(x) w Y zawiera obraz f(U) pewnego otoczenia U punktu x. Widać stąd, że odwzorowanie f : X → Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłe w każdym punkcie x ∈ X. Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie ciągłe i otwarte f przestrzeni X na przestrzeń Y nosi nazwę homeomorfizmu. Otwartość f to ciągłość przekształcenia odwrotnego f^{−1} .

10.10. Przestrzenie Hausdorffa. Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią Hausdorffa, jeżeli każde dwa różne jej punkty posiadają otoczenia będące zbiorami rozłącznymi. Z określenia tego wynika, że w przestrzeni Hausdorffa każdy zbiór jednopunktowy jest domknięty. Przestrzeń Hausdorffa X, w której dla każdych dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych A, B ⊂ X istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V, zawierające odpowiednio A i B, nosi nazwę przestrzeni normalnej. Jeżeli w przestrzeni Hausdorffa X dla każdego punktu x i każdego zbioru domkniętego A nie zawierającego punktu x istnieje taka funkcja ciągła f : X → [0, 1], że f(x) = 1 oraz f(A) = {0}, to X nazywa się przestrzenią całkowicie regularną. Z lematu Urysohna, który za chwilę udowodnimy wynika, że każda przestrzeń normalna jest całkowicie regularna.

10.11. Lemat Urysohna. Dla każdych dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych A, B przestrzeni normalnej X istnieje taka funkcja ciągła f : X → [0, 1], że f(A) = {0} oraz f(B) = {1}.

Dowód: Niech U, V będą rozłącznymi zbiorami otwartymi zawierającymi odpowiednio A i B. Oznaczmy zbiór U przez U_{1} i rozpatrzmy parę A, X − U_{1} zbiorów domkniętych rozłącznych. Z normalności przestrzeni X wynika istnienie takich rozłącznych zbiorów otwartych U_{0} i V_{0}, że A ⊂ U_{0} oraz X − U_{1} ⊂ V_{0}. W szczególności mamy wtedy \overline{U_{0}} ⊂ U_{1}. W analogiczny sposób dla pary \overline{U_{0}} i X − U_{1} dowodzimy istnienia takiego zbioru otwartego U_{1/2}, że \overline{U_{0}} ⊂ U_{1/2}, \overline{U_{1/2}} ⊂ U_{1}. Później dla par \overline{U_{0}}, X − U_{1/2} oraz \overline{U_{1/2}}, X − U_{1} odpowiednio zbiorów U_{1/4} i U_{3/4}. Powtarzając to rozumowanie wielokrotnie, dla każdej liczby r postaci \frac{m}{2^{n}}, 0 m 2^{n}, określimy taki zbiór otwarty U_{r}, że \overline{U_{r_{1}}} ⊂ U_{r_{2}} przy r_{1} < r_{2}.

Przyjmijmy teraz U_{t} = ⋃_{r t} U_{r} dla t ∈ [0, 1] oraz U_{t} = ∅ dla t < 0 i U_{t} = X dla t > 1. Otrzymana rodzina {U_{t}}_{t∈R} zbiorów otwartych ma tą własność, że A ⊂ U_{0}, \overline{U_{1}} ⊂ X − B oraz

(10. 51)  \overline{U_{t_{1}}} ⊂ U_{t_{2}}, gdy t_{1} < t_{2}.

Istotnie, jeśli 0 t_{1} < t_{2} 1, to wybierając liczby wymierne r_{1} i r_{2} postaci \frac{m}{2^{n}} tak, aby t_{1} < r_{1} < r_{2} < t_{2} otrzymamy \overline{U_{t_{1}}} ⊂ \overline{U_{r_{1}}} ⊂ U_{r_{2}} ⊂ U_{t_{2}} ., Jeśli zaś t_{1} < 0 lub t_{2} > 1 to inkluzja (10. 51) jest spełniona, bo U_{t_{1}} = ∅ lub U_{t_{2}} = X.

Pokażemy, że funkcja

f(x) = inf{t : x ∈ U_{t}}

spełnia wszystkie postulaty tezy. Ponieważ U_{t} = X, gdy t > 1 oraz U_{t} = ∅ gdy t < 0, więc f(x) przyjmuje tylko wartości z przedziału [0, 1]. Łatwo sprawdzamy, że dla x ∈ A wartość ta stale wynosi 0 a dla x ∈ B stale 1. Do dowiedzenia pozostaje więc tylko, że f jest funkcją ciągłą. Obierzmy x_{0} ∈ X, ε > 0 i oznaczmy t_{0} = f(x_{0}). Z (10. 51) wynika, że x_{0} ∈ U_{t}, gdy t > t_{0} i x_{0} ∉ \overline{U_{t}}, gdy t < t_{0}. W szczególności x_{0} leży w zbiorze otwartym U = U_{t_{0}+ε} −\overline{U_{t_{0}−ε}} . Dla każdego punktu x ∈ U mamy x ∈ U_{t_{0}+ε} , skąd f(x) t_{0} + ε oraz x ∉ \overline{U_{t_{0}−ε}} , skąd f(x) t_{0} − ε. W rezultacie

f(x_{0}) − ε f(x) f(x_{0}) + ε.

10.12. Przestrzenie zwarte. Rodzina zbiorów {U_{α}}_{α∈A} nosi nazwę pokrycia zbioru X, jeżeli X ⊂ ⋃_{α∈A} U_{α}. Przestrzeń topologiczną X nazywamy zwartą, jeżeli każde jej pokrycie zbiorami otwartymi zawiera pokrycie skończone tzn., gdy w zbiorze wskaźników A można wybrać taki skończony podzbiór α_{1}, a_{2}, …, a_{n}, że X = ⋃_{k=1}^{n} U_{α_{k}}.

Niepustą rodzinę {F_{α}}_{α∈A} podzbiorów zbioru X nazywamy scentrowaną, jeżeli ⋂_{k=1}^{n} F_{α_{k}} ≠ ∅ dla każdego skończonego zbioru wskaźników α_{1}, α_{2}, …, α_{n}.

Przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina scentrowana jej podzbiorów ma wspólny punkt skupienia.

Jeśli rodzina {F_{α}}_{α∈A} podzbiorów przestrzeni zwartej X nie ma wspólnego punktu skupienia, to ⋂_{α∈A} \overline{F_{α}} = ∅. Dopełnienia U_{α} = X \ \overline{F_{α}} zbiorów \overline{F_{α}} są otwarte i tworzą pokrycie przestrzeni X, zatem można wybrać taki skończony układ wskaźników α_{1}, a_{2}, …, a_{n}, że X = ⋃_{k=1}^{n} U_{α_{k}}. Wtedy jednak ⋂_{k=1}^{n} \overline{F_{α_{k}}} = ∅, a w konsekwencji także ⋂_{k=1}^{n} F_{α_{k}} ≠ ∅, więc rodzina {F_{α}}_{α∈A} nie jest scentrowana. Jeżeli przestrzeń X nie jest zwarta, to posiada rodzinę {U_{α}}_{α∈A} podzbiorów otwartych pokrywających X, lecz takich, że X nie da się pokryć żadną skończoną ich ilością. Ich dopełnienia F_{α} = X \ U_{α} tworzą scentrowaną rodzinę podzbiorów domkniętych X o pustym przekroju, a więc bez wspólnego punktu skupienia.

Zbiór K ⊂ X nazywamy zwartym, gdy rozpatrywany jako podprzestrzeń w X, jest zwarty.

Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym.

Jeżeli rodzina zbiorów otwartych {U_{α}}_{α∈A} pokrywa domknięty podzbiór K przestrzeni zwartej X, to uzupełniona o zbiór X − K jest otwartym pokryciem całej przestrzeni X. Ze zwartości X wynika istnienie skończonej podrodziny {U_{α_{k}}}_{k=1}^{n} , która wraz z X − K pokrywa X. Podrodzina ta pokrywa wtedy K.

Obraz zbioru zwartego przez przekształcenie ciągłe jest zbiorem zwartym.

Załóżmy, że f jest ciągłym przekształceniem przestrzeni topologicznej X na przestrzeń topologiczną Y oraz, że K jest zbiorem zwartym w X. Jeżeli {V_{α}}_{α∈A} jest otwartym pokryciem zbioru f(K), to {f^{−1} (V_{α})}_{α∈A} jest otwartym pokryciem K. Zbiór K jest zwarty, więc pokrywa go też pewna skończona podrodzina {f^{−1} (V_{α_{k}})}_{k=1}^{n} . Wobec tego rodzina {V_{α_{k}}}_{k=1}^{n} pokrywa zbiór f(K).

Zbiór zwarty w przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Chcemy pokazać, że jeżeli punkt y nie leży w zbiorze zwartym K, to posiada otoczenie V rozłączne z K. Dla każdego punktu x ≠ y wybierzmy parę rozłącznych zbiorów otwartych U_{x} i V_{x} zawierających punkty x i y. Ponieważ zbiory {U_{x}}_{x≠y} pokrywają nasz zbiór zwarty K, więc pokrywa K też pewna podrodzina {U_{x_{k}}}_{k=1}^{n} . Zbiór V = ⋂_{k=1}^{n} V_{x_{k}} jest otwartym otoczeniem punktu y, rozłącznym ze zbiorem U = ⋃_{k=1}^{n} U_{x_{k}}, a tym bardziej rozłącznym z K.

Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią normalną.

Niech K_{1}, K_{2} będą rozłącznymi zbiorami domkniętymi w przestrzeni Hausdorffa X. Są wtedy zbiorami zwartymi. Jak pokazaliśmy przed chwilą, dla każdego punktu y leżącego poza zbiorem K_{1} istnieją rozłączne zbiory otwarte U i V zawierające odpowiednio y i K_{1}. Dla zaznaczenia zależności od y oznaczmy je U_{y} i V_{y}. Dalej rozumujemy dokładnie tak jak poprzednio. Ponieważ zbiory {U_{y}}_{y∉K_{1}} pokrywają zbiór K_{2}, więc pokrywa go też pewna podrodzina {U_{y_{k}}}_{k=1}^{n} . Zbiory ⋃_{k=1}^{n} U_{y_{k}} oraz ⋂_{k=1}^{n} V_{y_{k}} są otwarte, rozłączne i zawierają odpowiednio K_{1}, K_{2}. Wnosimy stąd, że X jest przestrzenią normalną.

10.13. Przestrzenie lokalnie zwarte. Przestrzeń topologiczną X nazywamy lokalnie zwartą, jeżeli każdy punkt x ∈ X ma otoczenie, którego domknięcie jest zbiorem zwartym. Przykładami przestrzeni lokalnie zwartych, poza przestrzeniami zwartymi, są prosta ℝ i każda nieskończona przestrzeń dyskretna.

Przestrzeń lokalnie zwartą, która nie jest zwarta, można tak uzupełnić jednym punktem ∞, by stała się przestrzenią zwartą.

Oznaczmy X_{∞} = X ∪ {∞} i uznajmy za zbiory otwarte w X_{∞} wszystkie zbiory otwarte w X, a także wszystkie zbiory postaci U ∪ {∞}, gdzie U jest zbiorem otwartym w X, którego dopełnienie jest zbiorem zwartym.

Widać, że X_{∞} jest przestrzenią zwartą. Widać też, że gdy X jest przestrzenią Hausdorffa, to X_{∞} jest także przestrzenią Hausdorffa. Istotnie, wystarczy zobaczyć, że dowolny punkt x ∈ X oraz punkt ∞ posiadają otoczenia rozłączne. Jeżeli U jest otoczeniem punktu x, którego domknięcie jest zbiorem zwartym, tu zbiór (X \ \overline{U}) ∪ \{∞\} jest otoczeniem punktu ∞, rozłącznym z U.

Przestrzeń X_{∞} nazywamy uzwarceniem jednopunktowym, lub uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni X.

Z powyższego rozumowania i lematu Urysohna wynika, że

W przestrzeni lokalnie zwartej Hausdorffa X dla dowolnego zbioru otwartego U i dowolnego zbioru zwartego K ⊂ U istnieje taka funkcja ciągła f : X → [0, 1], że f(x) = 1 na zbiorze K oraz f(x) = 0 poza zbiorem U.

Wynika stąd w szczególności, że każda przestrzeń lokalnie zwarta Hausdorffa jest całkowicie regularna.

Niech X będzie dowolną przestrzenią lokalnie zwartą, lecz niezwartą. Dla funkcji ciągłej f : X → ℂ zapis

lim_{x→∞} f(x) = A

oznacza, że dla każdej liczby ε > 0 zbiór {x ∈ X : |f(x) − A| ε} jest zwarty. Liczba A o powyższej własności (jeśli istnieje) jest wyznaczona jednoznacznie. O funkcji f mówimy wtedy, że ma granicę w nieskończoności. Tylko takie funkcje dają się przedłużyć do funkcji ciągłych na uzwarceniu Aleksandrowa X_{∞} . Jeśli lim_{x→∞} f(x) = 0, to mówimy, że funkcja f znika w nieskończoności a zbiór wszystkich zespolonych funkcji ciągłych na X, znikających w nieskończoności oznaczamy C_{0}(X).

10.14. Uzwarcenie Čecha-Stone’a. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną całkowicie regularną, to daje się zanurzyć homeomorficznie w przestrzeń zwartą (patrz [1], 3.5.2). Prawdą jest też, że jeśli takie zanurzenie jest możliwe, to X jest przestrzenią całkowicie regularna. Takich zanurzeń przestrzeni X jest bardzo wiele. Interesują nas te, dla których obraz zbioru X leży gęsto. Takie zanurzenie nazywamy uzwarceniem. W poprzednim punkcie pokazaliśmy, że każda niezwarta przestrzeni lokalnie zwarta posiada uzwarcenie jednopunktowe. Pośród wszystkich uzwarceń ustalonej przestrzeni całkowicie regularnej istnieje dokładnie jedno uzwarcenie maksymalne β : X → βX (patrz [1], 3.5.10), zwane uzwarceniem Čecha-Stone’a. Maksymalność należy rozumieć w tym sensie, że jeżeli f jest ciągłym odwzorowaniem z przestrzeni X do przestrzeni zwartej Y , to istnieje takie odwzorowanie ciągłe F z przestrzeni βX do Y , że f = F ∘ β.

Przestrzeń całkowicie regularną X wygodnie jest traktować jako gęstą podprzestrzeń swojego uzwarcenia βX.

Z maksymalności uzwarcenia Čecha-Stone’a wynika bezpośrednio (patrz [1], 3.6.1), że

Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną całkowicie regularną oraz βX jest jej uzwarceniem Čecha-Stone’a, to każda ograniczona funkcja ciągła f : X → ℂ ma jednoznaczne przedłużenie do funkcji ciągłej f̃ : βX → ℂ.

10.15. Słaba topologia, wyznaczona przez rodzinę funkcji. Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz {f_{α}}_{α∈A} rodziną funkcji ze zbioru X do przestrzeni topologicznych Y_{α}. Jako bazę zbiorów otwartych w X weźmy rodzinę wszystkich skończonych przekrojów zbiorów postaci f_{α}^{−1} (U_{α}), gdzie U_{α} jest zbiorem otwartym w przestrzeni Y_{α}. Topologię w X z tak wybraną bazą nazywamy słabą topologią w X wyznaczoną przez rodzinę funkcji {f_{α}}_{α∈A} .

Słaba topologia wyznaczona przez rodzinę funkcji {f_{α}}_{α∈A} to najsłabsza topologia, w której wszystkie funkcje f_{α} są ciągłe.

10.16. Topologiczny produkt przestrzeni. Załóżmy, że dana jest rodzina {X_{α}}_{α∈A} przestrzeni topologicznych. Oznaczmy przez X = ∏_{α∈A} X_{α} zbiór wszystkich takich funkcji x = {x_{α}}_{α∈A} na zbiorze A, że x_{α} ∈ X_{α}. Element x_{α} nazywamy α-tą współrzędną punktu x. Odwzorowanie π_{α} : X → X_{α}, przyporządkowujące punktowi x jego α-tą współrzędną x_{α}, nazywamy rzutem na oś X_{α}. Słabą topologię w przestrzeni X wyznaczoną przez rodzinę funkcji {π_{α}}_{α∈A} nazywamy topologią produktową w przestrzeni X. Jest to więc najsłabsza topologia w X, dla której wszystkie rzuty π_{α} są ciągłe. Bazę topologii produktowej tworzą wszystkie zbiory postaci ∏_{α∈A} U_{α}, gdzie U_{α} jest zbiorem otwartym w przestrzeni X_{α}, lecz U_{α} ≠ X_{α} może zachodzić tylko dla skończenie wielu wskaźników α.

Produkt topologiczny przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

Jeżeli x, y ∈ ∏_{α∈A} X_{α} oraz x ≠ y, to x_{α} ≠ y_{α} dla pewnego α ∈ A. Ponieważ X_{α} jest przestrzenią Hausdorffa, więc istnieją w niej rozłączne otoczenia U_{α} i V_{α} punktów x_{α} i y_{α}. Zbiory π_{α}^{−1} (U_{α}) i π_{α}^{−1} (V_{α}) są wtedy rozłącznymi otoczeniami punktów x i y.

Twierdzenie Tichonowa. Produkt topologiczny przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.

Dowód: Niech X = ∏_{α∈A} X_{α} będzie produktem topologicznym przestrzeni zwartych X_{α}. Niech także F_{0} będzie dowolną scentrowaną rodziną podzbiorów X. Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że rodzina F_{0} jest zawarta w pewnej maksymalnej rodzinie scentrowanej F podzbiorów X. Dla dowodu twierdzenia wystarczy oczywiście pokazać, że wszystkie zbiory rodziny F mają wspólny punkt skupienia.

Z maksymalności rodziny F wynika, że:

1. jeżeli F_{0} ⊂ X oraz F_{0} ∩ F ≠ ∅ dla każdego F ∈ F, to F_{0} ∈ F.

2. jeżeli F_{1}, F_{2}, …, F_{n} ∈ F, to F_{1} ∩ F_{2} ∩ … ∩ F_{n} ∈ F. Ponieważ F jest rodziną scentrowaną, więc dla każdego α ∈ A rodzina F_{α} = {π_{α}(F) : F ∈ F} jest scentrowana w odpowiedniej przestrzeni X_{α}. Ze zwartości przestrzeni X_{α} wynika, że wszystkie zbiory rodziny F_{α} mają wspólny punkt skupienia x_{α}, tj.

x_{α} ∈ ⋂_{F ∈F} \overline{π_{α}(F)}, α ∈ A.

Pokażemy, że punkt x = {x_{α}} ma żądaną własność. Dla każdego otoczenia U_{α} punktu x_{α} w X_{α} i każdego F ∈ F mamy U_{α} ∩ π_{α}(F) ≠ ∅, stąd π_{α}^{−1} (U_{α}) ∩ F ≠ ∅ dla każdego F ∈ F. Z własności 1 rodziny F wynika, że π_{α}^{−1} (U_{α}) ∈ F, a z własności 2, że do F należą też wszystkie skończone przecięcia ⋂_{k=1}^{n} π_{α_{k}}^{−1} (U_{α_{k}}). Zatem F zawiera wszystkie otoczenia punktu x z bazy kanonicznej produktu topologicznego X = ∏_{α∈A} X_{α}. Z tego, że F jest rodziną scentrowaną wynika z kolei, że x ∈ \overline{F} dla wszystkich F ∈ F.

Przestrzenie metryczne

10.17. Pojęcie przestrzeni metrycznej. Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeśli określona jest funkcja d : X × X → [0, ∞), o własnościach:

1. d(x_{1}, x_{2}) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x_{1} = x_{2},

2. d(x_{1}, x_{2}) = d(x_{2}, x_{1}) (symetryczność),
3. d(x_{1}, x_{3}) d(x_{1}, x_{2}) + d(x_{2}, x_{3}) (nierówność trójkąta).

Funkcję d nazywamy metryką lub odległością w X.

Dla x_{0} ∈ X i r > 0 zbiór

K_{r}(x_{0}) = {x ∈ X : d(x, x_{0}) < r}

nazywamy kulą (otwartą) o środku x_{0} i promieniu r. W przestrzeni metrycznej wprowadzamy topologię, przyjmując za rodzinę T zbiorów otwartych wszystkie te zbiory A ⊂ X, które wraz z każdym punktem x_{0} zawierają także pewną kulę o środku x_{0}. W ten sposób przestrzeń metryczna staje się przestrzenia topologiczną Hausdorffa. Topologię T nazywamy topologią wyznaczoną przez metrykę d. W tej topologii każda z kul K_{r}(x_{0}) jest zbiorem otwartymi a każda z kul domkniętych \overline{K}_{r}(x_{0}) = \{x ∈ X : d(x, x_{0}) r\} zbiorem domkniętym. Przestrzeń topologiczną nazywamy metryzowalną jeżeli można w niej wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię zgodną z topologią wyjściową.

Odwzorowanie f przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y nazywamy izometrią lub izometrycznym włożeniem, gdy zachowuje odległość punktów, tzn. gdy d(f(x_{1}), f(x_{2})) = d(x_{1}, x_{2}) dla wszystkich x_{1}, x_{2} ∈ X. Jest oczywiste, że izometria jest homomorfizmem a izometria �na” homeomorfizmem.

10.18. Przestrzenie metryczne zupełne. Mówimy, że ciąg {x_{n}} elementów przestrzeni metrycznej jest zbieżny do x_{0}, gdy d(x_{n}, x_{0}) → 0 przy n → ∞. Jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taki wskaźnik N, że d(x_{n}, x_{m}) < ε, gdy m, n N, to ciąg {x_{n}} nazywamy fundamentalnym.

Z nierówności d(x_{n}, x_{m}) < d(x_{n}, x_{0}) + d(x_{m}, x_{0}) wynika, że

Każdy ciąg zbieżny jest fundamentalny.

Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg fundamentalny jest zbieżny, nazywamy przestrzenią zupełną.

Twierdzenie o uzupełnianiu. Niezupełną przestrzeń metryczną można włożyć izometrycznie w przestrzeń metryczną zupełną.

Dowód: Podamy konstrukcję przestrzeni metrycznej X̃ i izometrii i : X → X̃, dla której i(X) będzie podzbiorem gęstym w X̃. Oznaczmy w tym celu przez F_{X} zbiór wszystkich ciągów fundamentalnych przestrzeni X.

Dla ciągów (x_{1}, x_{2}, x_{3} …), (y_{1}, y_{2}, y_{3} …) ∈ F_{X} istnieje granica

lim_{n→∞} d(x_{n}, y_{n}).

Istotnie, z nierówności

|d(x_{m}, y_{m}) − d(x_{n}, y_{n})| d(x_{m}, x_{n}) + d(y_{m}, y_{n})

wynika, że ciąg {d(x_{n}, y_{n})} jest fundamentalny w zbiorze ℝ liczb rzeczywistych, jest zatem ciągiem zbieżnym.

Równość lim_{n→∞} d(x_{n}, y_{n}) = 0 określa relację równoważności ∼ w F_{X}. Przestrzeń X̃ definiujemy jako zbiór klas abstrakcji relacji ∼ a metrykę d w X̃ wzorem

d(x̃, ỹ) = lim_{n→∞} d(x_{n}, y_{n}),

przy czym x̃ i ỹ oznaczają tu odpowiednio klasy abstrakcji ciągów (x_{1}, x_{2}, x_{3} …) i (y_{1}, y_{2}, y_{3} …). Jest oczywiste, że funkcja i, przyporządkowująca elementowi x ∈ X klasę abstrakcji ciągu (x, x, x, …), jest izometrycznym włożeniem X w X̃. Obraz i(X) zbioru X leży gęsto w X̃, bo dla klasy abstrakcji x̃ dowolnego ciągu (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ F_{X} zachodzi równość

lim_{m→∞} d(x̃, i(x_{m})) = lim_{m,n→∞} d(x_{n}, x_{m}) = 0.

Do udowodnienia pozostaje zupełność przestrzeni X̃. Niech {x̃_{n}} będzie ciągiem fundamentalnym w X̃. Wybierzmy w X tak ciąg (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …), aby

d(x̃_{n}, i(x_{n})) < \frac{1}{n}, n = 1, 2, 3, …

Z nierówności

d(x_{n}, x_{m}) < d(x̃_{n}, x̃_{m}) + \frac{1}{n} + \frac{1}{m}

wynika, że (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) ∈ F_{X}. Jeśli x̃ oznacza klasę abstrakcji tego ciągu, to

lim_{n→∞} d(x̃_{n}, x̃) = lim_{n→∞} d(x̃_{n}, i(x_{n})) + lim_{n→∞} d(i(x_{n}), x̃) = 0,

więc lim_{n→∞} x̃_{n} = x̃.

10.19. Twierdzenie Baire’a. Jeśli A_{1}, A_{2}, A_{3}, … jest ciągiem domkniętych podzbiorów przestrzeni metrycznej zupełnej X oraz

X = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n},

to przynajmniej jeden ze zbiorów A_{n} ma niepuste wnętrze, tzn. zawiera pewną kulę otwartą.

Dowód: Przypuśćmy, że teza twierdzenia nie zachodzi tj., że żaden ze zbiorów A_{n} nie zawiera żadnej kuli. Wybierzmy dowolnie kulę K_{r_{0}}(x_{0}). Ponieważ zbiór A_{1} nie zawiera tej kuli i jest domknięty, to zbiór K_{r_{0}}(x_{0}) \ A_{1} jest niepusty i otwarty. Zawiera zatem pewną kulę K_{2r_{1}}(x_{1}). Następnie zbiór K_{r_{1}}(x_{1})\A_{2} zawiera pewną kulę K_{2r_{2}}(x_{2}), zbiór K_{r_{2}}(x_{2}) \ A_{3} kulę K_{2r_{2}}(x_{3}), itd. W ten sposób możemy indukcyjnie określić ciąg kul K_{r_{0}}(x_{0}), K_{r_{1}}(x_{1}), K_{r_{2}}(x_{2}), … o tej własności, że

K_{2r_{n}}(x_{n}) ⊂ K_{r_{n−1}} (x_{n−1} ) \ A_{n} dla n = 1, 2, 3, …

Z inkluzji powyższych wynika w szczególności, że lim_{n→∞} r_{n} = 0, bo r_{n} \frac{1}{2}r_{n−1} ⋯ \frac{1}{2^{n}}r_{0}. Wynika też, że każdy zbiór A_{n} jest rozłączny z kulą domkniętą \overline{K}_{r_{n}}(x_{n}), gdyż \overline{K}_{r_{n}}(x_{n}) ⊂ K_{2r_{n}}(x_{n}).

Zauważmy, że ciąg x_{1}, x_{2}, x_{3}, … środków kul spełnia warunek d(x_{n}, x_{m}) < r_{n}, dla m n, jest więc ciągiem fundamentalnym w X a ponieważ X jest przestrzenią zupełną, jest zbieżny do pewnego x ∈ X. Dla dowolnego wskaźnika n zachodzi wobec tego nierówność

d(x_{n}, x) = lim_{m→∞} d(x_{n}, x_{m}) r_{n}.

To z kolei implikuje, że x ∈ \overline{K}_{r_{n}}(x_{n}), a dalej, że x ∉ A_{n}. W konsekwencji dostajemy x ∉ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}, co przeczy założeniu ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}=X.

10.20. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych. Podzbiór E przestrzeni metrycznej nazywamy całkowicie ograniczonym jeżeli dla każdej liczby ε > 0 można go pokryć skończoną ilością kul o promieniu ε tj., gdy istnieje taki zbiór skończony F_{ε}, że E ⊂ ⋃_{x∈F_{ε}} K_{ε}(x).

Z każdego ciągu elementów zbioru całkowicie ograniczonego można wybrać podciąg fundamentalny

Załóżmy, że E jest zbiorem całkowicie ograniczonym a {x_{n}} ciągiem jego elementów. Wybierzmy dowolnie wskaźnik n_{1}. Wyraz x_{n_{1}} będzie pierwszym wyrazem podciągu. Niech F_{1} będzie skończoną 1-siecią dla E. Ponieważ E ⊂ ⋃_{x∈F_{1}} K_{1}(x), więc jedna z kul K_{1}(x) zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_{n}}. Z ciągu usuńmy wszystkie te wyrazy, które nie leżą w wybranej kuli. Z pozostałych wyrazów ciągu wybierzmy wyraz x_{n_{2}} dowolnie, ale tak, aby n_{2} > n_{1}. Podobnie postępując dla sieci F_{1/2}, F_{1/3} itd. zbudujemy podciąg {x_{n_{k}}} ciągu {x_{n}} o tej własności, że d(x_{n_{i}}, x_{n_{j}}) < 2/k, gdy i, j > k. Ciąg taki jest fundamentalny.

Zbiory całkowicie ograniczone często nazywa się zbiorami warunkowo zwartymi. Wyjaśnienie znajduje się w następującym twierdzeniu:

Podzbiór E przestrzeni metrycznej zupełnej X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i całkowicie ograniczony.

Dowód: Załóżmy, że zbiór E jest zwarty. Ponieważ każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausdorffa, więc E jest zbiorem domkniętym. Pokażemy, że jest także zbiorem całkowicie ograniczonym. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rodzina kul {K_{ε}(x)}_{x∈E} tworzy pokrycie otwarte zbioru E, a ponieważ E jest zbiorem zwartym, więc pewna skończona podrodzina K_{ε}(x_{1}), K_{ε}(x_{2}), …, K_{ε}(x_{n}) także pokrywa E. Oznacza to, że zbiór F_{ε} = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} jest ε-siecią dla E.

Załóżmy teraz, że zbiór E jest domknięty i całkowicie ograniczony. Niech {U_{α}}_{α∈A} będzie dowolnym pokryciem E zbiorami otwartymi U_{α}. Pokażemy najpierw, że z pokrycia tego można wybrać podpokrycie przeliczalne E, a potem, że z pokrycia przeliczalnego można wybrać podpokrycie skończone.

Niech F_{1} będzie skończoną 1-siecią dla E. Ze zbioru kul {K_{1}(x)}_{x∈F_{1}} wybierzmy te, które zawarte są całkowicie przynajmniej w jednym ze zbiorów U_{α} pokrycia. Podobnie postępując dla sieci F_{1/2}, F_{1/3} itd. otrzymamy przeliczalną rodzinę kul, tworzących pokrycie zbioru E. Jeżeli z rodziny A usuniemy wszystkie te zbiory U_{α}, które nie zawierają żadnej z wybranej kul, to pozostanie nam przeliczalna podrodzina {U_{α_{k}}}_{k=1}^{n} rodziny {U_{α}}_{α∈A} , dalej dająca pokrycie E.

Twierdzimy, że jeden ze zbiorów U_{n} = ⋃_{k=1}^{n} U_{α_{k}}, n = 1, 2, 3, … zawiera całkowicie zbiór E. Jeśli tak nie jest, to wybierając z każdego ze zbiorów E \ U_{n} po elemencie x_{n}, otworzymy ciąg {x_{n}}, który — na mocy całkowitej ograniczoności zbioru E — musi zawierać podciąg fundamentalny. Granica x_{0} tego podciągu oczywiście należy do E, bo E jest zbiorem domkniętym. Jednak nie może należeć do żadnego ze zbiorów U_{n}, bo do takiego zbioru musiałyby należeć prawie wszystkie wyrazy podciągu. Tu sprzeczność z założeniem, że E ⊂ ⋃_{k=1}^{n} U_{k}.

10.21. Produkt topologiczny przestrzeni metrycznych. Niech X = ∏_{k=1}^{∞} X_{k} będzie produktem topologicznym przeliczalnej rodziny przestrzeni metrycznych X_{k} i niech d_{k} oznacza metrykę w przestrzeni X_{k}. Dla elementów x = {x_{k}} i y = {y_{k}} produktu X połóżmy

d(x, y) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}} \frac{d_{k}(x_{k}, y_{k})}{1 + d_{k}(x_{k}, y_{k})} .

Nietrudno sprawdzamy, że d jest metryką w X.

Pokażemy, że topologia produktowa w X i topologia wyznaczona przez metrykę d pokrywają się. Wystarczy w tym celu porównać bazowe otoczenia punktu y = {y_{k}} ∈ X w topologii produktowej:

U_{n,ε} = {x ∈ X : d_{k}(x_{k}, y_{k}) < ε dla k = 1, 2, …, n}, n = 1, 2, 3, …, ε > 0,

z otoczeniami w metryce d:

V_{δ} = {x ∈ X : d(x, y) < δ}, δ > 0.

198 X. DODATEK Gdy

\frac{1}{2^{n}} + \frac{ε}{1 + ε} < δ,

to zachodzi zawieranie U_{n,ε} ⊂ V_{δ}, a gdy

δ < \frac{1}{2^{n}} \frac{ε}{1 + ε} ,

to zawieranie przeciwne V_{δ} ⊂ U_{n,ε}. Udowodniliśmy tym samym, że:

Produkt topologiczny przeliczalnej rodziny przestrzeni metrycznych jest przestrzenią metryzowalną.

Literatura.

[1] Ryszard Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1989.

WSKAZÓWKI

1.25 Pokazać, że funkcję x_{0} można przedstawić w postaci zbieżnego w L^{p}(a, b) szeregu ∑_{k=1}^{∞} λ_{k} x_{k}. 1.34 Wskazać w ℓ^{1} nieprzeliczalny zbiór liniowo niezależny. 1.36 Funkcja x = ctgπt jest homeomorfizmem (0, 1) na ℝ. 1.39 W dowodzie zupełności przestrzeni X/Y skorzystać z zadania 1.3. 2.18 Znaleźć funkcje liniową przeprowadzającą przedział [0, 1] na [a, b]. 2.20 Nie. 3.10 Równość równoległoboku potrzebna jest tylko przy dowodzie addytywności iloczynu skalarnego. 5.15 Skorzystać z twierdzenia Banacha-Steinhausa. 5.19 Wykazać, że różniczkowanie jest ciągłą operacją z X w C[0, 1]. Wywnioskować stąd, że kula jednostkowa w X jest zbiorem jednakowo ciągłym. Następnie skorzystać z twierdzenia Arzeli i twierdzenia Riesza. 6.3 Dowieść, że dla każdej funkcji x ∈ L^{p}(0, 1) i dowolnej liczby r > 0 istnieje taki podział 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯< t_{n} = 1 odcinka [0, 1], że funkcje

x_{k}(t) = \{ \begin{matrix}nx(t) & gdy t_{k−1} t t_{k}, \\ 0 & poza tym, \end{matrix} , k = 1, 2, …, n

spełniają nierówność ∥x_{k}∥ < r oraz x = \frac{1}{n}(x_{1} + x_{2} + … + x_{n}).

6.10 Topologia ta nie jest metryzowalna a każdy ciągły funkcjonał liniowy x^{∗} na X ma postać x^{∗}(x) = ∑_{k=1}^{n} α_{k}x(t_{k}) przy pewnym wyborze punktów t_{1}, t_{2}, …, t_{n} w [0, 1] i liczb α_{1}, α_{2}, …, α_{n}.

7.9 Posłużyć się kryterium Schura z funkcją φ(k) = \frac{1}{\sqrt{k−1/2}} .

ROZWIĄZANIA ZADAŃ

4.43 Na podprzestrzeni X_{0} ⊂ C(ℝ), złożonej z tych funkcji x, dla których granica lim_{t→−∞} x(t) istnieje, określmy funkcjonał liniowy x_{0}^{∗} wzorem

x_{0}^{∗}(x) = lim_{t→−∞} x(t),

a następnie przedłużmy go do ciągłego funkcjonału liniowego x^{∗} na całą przestrzeń C(ℝ). Wtedy x^{∗}(1) = 1, zaś x^{∗}(x_{n}) = 0 dla wszystkich n.

2.17 Można się posłużyć wzorami z końca dowodu twierdzenia Weierstrassa 2.1 otrzymując dla funkcji x(t) = t^{2}

x_{n}(t) = \frac{n−1}{n} t^{2} + \frac{1}{n} t,

a dla funkcji x(t) = t^{3}

x_{n}(t) = \frac{(n−1)(n−2)}{n^{2}} t^{3} + 3\frac{n−1}{n^{2}} t^{2} + \frac{1}{n^{2}} t.

1.33 Każda funkcja f ∈ C[−1, 1] ma jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy f = f_{1} + f_{2} funkcji parzystej i nieparzystej, mianowicie

f_{1}(t) = \frac{f(t) + f(−t)}{2} , f_{2}(t) = \frac{f(t) − f(−t)}{2} ,

zachodzą przy tym nierówności ∥f∥_{∞} ∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞} 2 ∥f∥_{∞} .

6.19 Ciągłość dodawania funkcji jest oczywista. Mnożenie przez liczby nie jest ciągłe, bo na przykład dla funkcji x(t) = 1/t nierówność |λx(t) − x(t)| < 1 nie zachodzi dla żadnej liczby λ ≠ 1.

1.12 Funkcja ∥ ∥_{p} nie jest podaddytywna. Dla ciągów x = (1, t^{1/p}, 0, …), gdzie t > 0, oraz y = (1, 0, 0, …) otrzymujemy

∥x + y∥_{p} − ∥x∥_{p} − ∥y∥_{p} = (2^{p} + t)^{1/p} − (1 + t)^{1/p} − 1 > 0,

a nierówność łatwo jest sprawdzić różniczkując po t.

Zbiór ℓ^{p} jest przestrzenią liniową. Z nierówności |x_{n} + y_{n}| 2 max{|x_{n}|, |y_{n}|} wynika

|x_{n} + y_{n}|^{p} 2^{p} max{|x_{n}|^{p}, |y_{n}|^{p}} 2^{p}(|x_{n}|^{p} + |y_{n}|^{p}).

Dlatego ∑ |x_{n} + y_{n}|^{p} < ∞, gdy oba ciągi {x_{n}}, {y_{n}} leżą w ℓ^{p}.

4.38 Wystarczy tezy dowieść dla ciągu {x_{n}} słabo zbieżnego do zera. Wtedy ciąg {x_{n}} jest jednostajnie ograniczony oraz x_{n}(t) → 0 dla wszystkich t ∈ [a, b], więc

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} |x_{n}(t)|^{p}dt = 0

na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej.

2.18 f_{n}(x) = \frac{1}{(b − a)^{n}} ∑_{k=0}^{n}f(\frac{n−k}{n} a + \frac{k}{n}b) (x − a)^{k}(b − x)^{n−k}

1.39 Odwzorowanie τ jest kontrakcją liniową, jest wobec tego funkcją ciągłą. Zauważmy, że obrazem kuli otwartej {x ∈ X : ∥x − x_{0}∥ < r} o środku x_{0} i promieniu r > 0 przez odwzorowanie τ jest kula {[x] ∈ X/Y : ∥[x] − [x_{0}]∥ < r}. Istotnie, zawieranie ⊂ jest oczywiste, a jeżeli element [x] leży w drugiej kuli, to z definicji normy ilorazowej wynika istnienie takiego elementu x′ ∈ [x], że ∥x′− x_{0}∥ < r, więc x′ leży w pierwszej kuli oraz τ(x′) = [x]. Zachodzi zatem także zawieranie w drugą stronę. Ponieważ każdy zbiór otwarty U w przestrzeni X jest sumą kul otwartych, więc jego obraz τ(U) musi być zbiorem otwartym w przestrzeni X/Y .

Aby dowieść zupełności przestrzeni X/Y wystarczy pokazać, że każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny (patrz zad. 1.3). Załóżmy, że dla ciągu {[x_{n}]} w przestrzeni X/Y szereg norm ∑ ∥[x_{n}]∥ jest zbieżny. Z każdej z warstw [x_{n}] wybierzmy element x′_{n} tak, aby ∥x′_{n}∥ ∥[x_{n}]∥ + 1/2^{n}. Wtedy ∑ ∥x′_{n}∥ < ∞, więc, na mocy założonej zupełności przestrzeni X, szereg ∑ x′_{n} jest zbieżny w X. Z ciągłości i liniowości odwzorowania τ wynika, że szereg ∑[x_{n}], będąc jego obrazem, musi być zbieżny w X/Y .

3.23 Dla wektora x ∈ H warstwa [x] = x+H_{0} przestrzeni H/H_{0} zawiera dokładnie jeden element przestrzeni H_{0}^{⊥} , jest nim wektor x_{1} z rozkładu ortogonalnego x = x_{0} + x_{1}.

7.12 Załóżmy, że {y_{n}} jest ciągiem Cauchy’ego w Y , który nie jest zbieżny. Ustalmy niezerowy funkcjonał x^{∗} ∈ X^{∗} i określmy ciąg operatorów {T_{n}} w L(X, Y) wzorem

T_{n}x = x^{∗}(x) y_{n}, n = 1, 2, 3, …

Łatwo zobaczyć, że gdy x^{∗}(x) ≠ 0, to ciąg {T_{n}x} nie jest zbieżny, nie może więc być zbieżny też ciąg {T_{n}}.

3.27 Funkcja r_{n} jest stała na każdym z przedziałów I_{k,n} = (\frac{k}{2^{n−1}} , \frac{k+1}{2^{n−1}} ) i na przemian przyjmuje wartości +1 i −1, zatem gdy m < n, to całka z niej po każdym z przedziałów I_{j,m} jest zerem. Dlatego

⟨r_{m}, r_{n}⟩ = ∑_{j=0}^{2^{m}−1} (−1)^{j} ∫_{I_{j,m}} r_{n}(t) dt = 0.

Łatwo sprawdzamy, że funkcja r_{2} r_{3} jest ortogonalna do wszystkich funkcji r_{n}, z tego powodu układ Rademachera nie jest zupełny.

Stosując podobne rozumowanie jak wyżej, można pokazać, że układ ortonormalny tworzą wraz z funkcją r_{1} wszystkie skończone iloczyny r_{n_{1}}r_{n_{2}} ⋯ r_{n_{k}}, 1 < n_{1} < n_{2} < … < n_{k}, k = 1, 2, 3, …, funkcji Rademachera.

2.20 Funkcje jednostajnie ciągłe tworzą domkniętą podprzestrzeń liniową w przestrzeni C(ℝ). Istotnie, jeżeli funkcja x jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu {x_{n}} funkcji jednostajnie ciągłych z C(ℝ), to dla dowolnej liczby dodatniej ε można wybrać taki wskaźnik n, by ∥x − x_{n}∥ < ε; następnie dla funkcji x_{n} taką liczbę dodatnią δ, by dla dowolnej pary s, t ∈ ℝ nierówność |s − t| < δ pociągała |x_{n}(s) − x_{n}(t)| < ε. Wtedy

\begin{aligned}|x(s) − x(t)| & |x(s) − x_{n}(s)| + |x_{n}(s) − x_{n}(t)| + |x_{n}(t) − x(t)| \\ & 2∥x − x_{n}∥ + |x_{n}(s) − x_{n}(t)| < 3ε \end{aligned}

dla każdej pary s, t ∈ ℝ spełniającej nierówność |s − t| < δ.

Przestrzeń X jest właściwym podzbiorem C(ℝ), gdyż istnieją ograniczone funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe, np. funkcja x(t) = sint^{2}.

4.8 Przyporządkowanie y → y^{∗} określone wzorem (4. 22) jest izometrycznym izomorfizmem ℓ^{1} na podprzestrzeń przestrzeni ℓ^{∞} ^{∗}, jednak nie każdy funkcjonał y^{∗} ma postać (4. 22), np. funkcjonał LIM z przykładu ??. Rzeczywiście, mielibyśmy y_{k} = LIMe_{k} = 0 dla wszystkich k.

4.26 Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że jeżeli P = {t_{0}, t_{1}, …, t_{n}} jest rozbiciem przedziału [a, b], to |f(t_{k}) − f(t_{k−1} )| = |f′(s_{k})|(t_{k} − t_{k−1} ) dla pewnego punktu s_{k} ∈ (t_{k−1} , t_{k}), więc ∑_{k=1}^{n} |f(t_{k}) − f(t_{k−1} )| jest sumą Riemanna całki ∫_{a}^{b} |f′(t)| dt.

4.46 Taką własność ma ciąg x_{n} = \frac{1}{n}(e_{1} + e_{2} + ⋯+ e_{n}), gdyż ∥x_{n}∥ = \frac{1}{\sqrt{n}}.

1.4.3 Niech x będzie dowolnym wektorem niezerowym. Szereg ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} x jest zbieżny, bo zbieżny jest szereg −1 + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + …, a nie jest zbieżny bezwzględnie.

3.24.2 Jeśli zbiór {x_{t}}_{t∈T} jest ortonormalny, to kule {x ∈ H : ∥x − x_{t}∥ < 1}, t ∈ T są parami rozłączne, a każda zawiera przynajmniej jeden element ośrodka. Zbiór T musi być więc najwyżej przeliczalny.

2.15 x_{0}(t) = 1, x_{1}(t) = x_{2}(t) = 1 − 2t, x_{3}(t) = 1 − \frac{3}{2}t − \frac{3}{2}t^{2} + x^{3}, x_{4}(t) = (1 − t)^{4} + 2\sqrt{2}t(1 − t)^{3} − 2\sqrt{2}t^{3}(1 − x) − t^{4}.

4.9 Rozumujemy identycznie jak dla przestrzeni ℓ^{1}, korzystając przy oszacowaniu |y^{∗}(x)| ∥x∥_{p}∥y∥_{q} z nierówności Höldera. Dla dowodu nierówności ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{q} wybieramy wektor x = (x_{1}, x_{2}, …), postaci x_{k} = sgn \overline{y_{k}} |y_{k}|^{q−1} . Mamy wtedy ∥x∥_{p} = ∥y∥_{q}^{q/p} oraz y^{∗}(x) = ∥y∥_{q}^{q}, zatem ∥y^{∗}∥ ∥y∥_{q}.

1.4.2 Niech {x_{n}} będzie ciągiem Cauchy’ego. Jeżeli m jest takim wskaźnikiem, że ∥x_{n} − x_{m}∥ 1 dla n > m, oraz M = max{∥x_{1}∥, …, ∥x_{m−1} ∥, ∥x_{m}∥ + 1}, to ∥x_{n}∥ M dla wszystkich n = 1, 2, . . ..

5.15 Na przestrzeni ℓ^{∞} funkcjonały liniowe

x_{n}^{∗}(b) = ∑_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}, gdzie b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, …) ∈ ℓ^{∞} , n = 1, 2, 3, …

są ciągłe i ∥x_{n}^{∗}∥ = ∑_{k=1}^{n} |a_{k}|. Także dla każdego b ∈ ℓ^{∞} ciąg {x_{n}^{∗}(b)} jest ogra-

niczony. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że normy ∥x_{n}^{∗}∥ muszą być wspólnie ograniczone.

1.21 Nierówność ∥x∥_{2} C_{2} ∥x∥_{1}, x ∈ C[a, b], nie zachodzi przy żadnej stałej C_{2}, bo dla funkcji x_{n}(t) = t^{n}, n = 1, 2, 3, … mamy ∥x∥_{1} = \frac{1}{n+1} , ∥x_{n}∥_{2} = 1.

1.3 Załóżmy, że X jest przestrzenią zupełną oraz, że szereg ∑_{k=1}^{∞} ∥x_{k}∥ jest zbieżny. Aby dowieść zbieżności szeregu ∑_{k=1}^{∞} x_{k} w X, wystarczy pokazać, że ciąg s_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} jego sum częściowych jest ciągiem Cauchy’ego w X. Zauważmy w tym celu, że dla m < n mamy

∥s_{n} − s_{m}∥ = ∥x_{m+1} + x_{m+2} + … + x_{n}∥
∥x_{m+1} ∥ + ∥x_{m+2} ∥ + … + ∥x_{n}∥
= σ_{n} − σ_{m},

gdzie σ_{n} i σ_{m} są odpowiednio n-tą i m-tą sumą częściową szeregu ∑_{k=1}^{∞} ∥x_{k}∥. Stąd, dla dowolnych już m, n zachodzi

∥s_{n} − s_{m}∥ |σ_{n} − σ_{m}|,

a ponieważ {σ_{n}} jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego, więc

lim_{m,n→∞} ∥s_{n} − s_{m}∥ = 0.

Przejdźmy do dowodu w drugą stronę. Niech {x_{n}} będzie dowolnym ciągiem Cauchy’ego w X. Pokażemy, że jest on zbieżny. Wybierzmy z ciągu {x_{n}} podciąg {x_{n_{k}}} tak, aby ∥x_{n_{k}} − x_{m}∥ 1/2^{k} dla k = 1, 2, … oraz wszystkich m > n_{k} i oznaczmy

y_{1} = x_{n_{1}}, y_{k} = x_{n_{k}} − x_{n_{k−1}} .

Ponieważ

∑_{k=1}^{∞}∥y_{k}∥ ∥x_{n_{1}}∥ + ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{2^{k}} < ∞,

więc z założenia wynika, że szereg ∑_{k=1}^{∞} y_{k} jest zbieżny w X. Ciąg {x_{n_{k}}} jest ciągiem sum częściowych tego szeregu, jest więc także zbieżny. Niech x = lim_{k→∞} x_{n_{k}}. Sprawdźmy, że x jest także granicą samego ciągu {x_{n}}. Rzeczywiście,

∥x − x_{m}∥ = ∥x − x_{n_{k}}∥ + ∥x_{n_{k}} − x_{m}∥ < ε + \frac{1}{2^{k}}

dla dostatecznie dużych k i m > n_{k}.

7.66 Oczywiście nie. Jeżeli g : [0, 1] → ℂ jest funkcją ciągłą i |g(t)| ≡ 1, to operator T x(t) = x(t) g(t) jest izometrią na C[0, 1], ale nie ma postaci (7. 42).

5.3 Na przestrzeni s_{0} tych ciągów liczb zespolonych, dla których tylko skończenie wiele wyrazów może być różnych od zera, z normą �sup” określmy operatory T_{1}, T_{2}, T_{3}, … wzorem

T_{n}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{1}, 2x_{2}, …, nx_{n}, 0, 0, …).

Założenia wniosku 5.2 są wtedy spełnione, bo ∥T_{n}∥ = n a dla x ∈ s_{0} ciąg {T_{n}x} jest od pewnego miejsca stały. Operator T ma postać

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) = (x_{1}, 2x_{2}, 3x_{3}, …),

jest więc operatorem nieciągłym.

3.31 Ponieważ U_{n}(cosu) = \frac{sin(n + 1)u}{2^{n} sinu} , więc ortonormalność układu jest konsekwencją równości

∫_{−1}^{1} U_{m}(t) U_{n}(t) \sqrt{1 − t^{2}} dt = \frac{1}{2^{m+n}} ∫_{0}^{π} sin(m + 1)u sin(n + 1)u du.

6.10 Bazę otoczeń zera dla omawianej topologii tworzą zbiory U_{ε,F} postaci

U_{ε,F} = {x ∈ X : |x(t)| < ε dla t ∈ F },

gdzie ε jest dowolną liczbą dodatnią, a F skończonym podzbiorem [0, 1]. Gdyby topologia ta była metryzowalna, to spośród zbiorów U_{ε,F} można by wybrać przeliczalną rodzinę, tworzącą bazę otoczeń zera. Powiedzmy, że tworzyłyby ją zbiory U_{ε_{n},F_{n}}, n = 1, 2, …. Ponieważ suma ⋃_{n=1}^{∞} F_{n} jest zbiorem najwyżej przeliczalnym, więc w [0, 1] istnieje punkt t_{0} leżący poza tą sumą. Mamy tu sprzeczność, bo zbiór U_{1,{t_{0}}} jest otwarty, a nie zawiera żadnego ze zbiorów U_{ε_{n},F_{n}}.

Niech x^{∗} będzie ciągłym funkcjonałem liniowy na X. Z ciągłości w zerze wynika istnienie takiego otoczenia U_{ε,F}, że |x^{∗}(x)| 1 dla wszystkich x ∈ U_{ε,F}. Zauważmy, że jeżeli funkcja x zeruje się na zbiorze F, to x^{∗}(x) = 0. Rzeczywiście, ponieważ nx ∈ U_{ε,F} dla n = 1, 2, …, więc |x^{∗}(x)| 1/n, a w konsekwencji x^{∗}(x) = 0. Oznaczmy punkty zbioru F przez t_{1}, t_{2}, …, t_{n} i wybierzmy w X taki układ funkcji e_{1}, e_{2}, …, e_{n}, że e_{m}(t_{k}) = δ_{mk} dla m, k = 1, 2, …, n. Oznaczmy także x^{∗}(e_{k}) = α_{k}. Jeżeli x ∈ X, to funkcja x − ∑_{k=1}^{n} x(t_{k})e_{k} znika na zbiorze F, więc x^{∗}(x − ∑_{k=1}^{n} x(t_{k})e_{k}) = 0, a stąd

x^{∗}(x) = ∑_{k=1}^{n}α_{k}x(t_{k}).

Z drugiej strony wzór powyższy określa ciągły funkcjonał liniowy x^{∗} na X przy dowolnym wyborze zbioru skończonego F = {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} w [0, 1] i układu liczb zespolonych α_{1}, α_{2}, …, α_{n}.

1.6 Aby dowieść zupełności obu przestrzeni można powtórzyć rozumowanie z przykładu 1.5 przy dodatkowym założeniu, że każdy z ciągów {x_{n}^{k}}, k = 1, 2, …, jest zbieżny, powiedzmy do liczby g_{k}. Przechodząc w (1. 1) do granicy przy n → ∞ otrzymujemy |g_{k} −g_{m}| ε, a w konsekwencji zbieżność ciągu g_{1}, g_{2} … Oznaczmy limg_{k} = g. Wybierzmy i ustalmy wskaźnik k k_{0} tak, by |g_{k} −g| < ε a następnie n_{0} tak, by |x_{n}^{k} − g_{k}| < ε dla n n_{0}. Wtedy z (1. 2)

|x_{n} − g| |x_{n} − x_{n}^{k}| + |x_{n}^{k} − g_{k}| + |g_{k} − g| < ε + ε + ε = 3ε

dla wszystkich n n_{0}. Zatem limx_{n} = g.

1.34 Wystarczy w przestrzeni ℓ^{1} wskazać nieprzeliczalny zbiór liniowo niezależny. Takim zbiorem jest na przykład zbiór wszystkich ciągów postaci {n^{−s} }_{n=1}^{∞} , s > 1, bo gdy przy 1 < s_{1} < s_{2} < … < s_{k} równość

α_{1}n^{−s_{1}} + α_{2}n^{−s_{2}} + … + α_{k}n^{−s_{k}} = 0

zachodzi dla wszystkich n, to mnożąc obie strony przez n^{s_{1}} i przechodząc do granicy przy n → ∞ otrzymujemy α_{1} = 0. Usuwając z tej równości zerowy składnik α_{1}n^{−s_{1}} i powtarzając rozumowanie dla wykładnika s_{2} otrzymujemy α_{2} = 0, itd. W końcu po k-krokach otrzymamy α_{1} = α_{2} = … = α_{k} = 0.

4.33.1 Jeśli x^{∗}(x_{n}) → x^{∗}(x′_{0}) oraz x^{∗}(x_{n}) → x^{∗}(x′′_{0}), to x^{∗}(x′_{0} − x′′_{0}) = 0, więc x′_{0} = x′′_{0}.

7.72 Jest tak tylko wtedy, gdy 1 ∉ σ(U). Warunek ten nie jest spełniony np. dla operatora U = I.

5.16 Niech X_{0} = {x ∈ X : T x = 0} oznacza jądro odwzorowania T. Z twierdzenia 5.10 wiemy, że T jest izomorfizmem z przestrzeni X/X_{0} na Y . Gdy y = 0, to przyjmijmy x = 0, a gdy y ≠ 0 to w warstwie T^{−1} y przestrzeni X/X_{0} wybierzmy x tak, aby ∥x∥ 2 ∥T^{−1} y∥. Wtedy T x = y oraz ∥x∥ 2 ∥T^{−1} ∥ ∥y∥.

1.36 Ponieważ funkcja x = ctgπt jest homeomorfizmem (0, 1) na ℝ, więc możemy określić odwzorowanie T : L^{p}(ℝ) → L^{p}(0, 1) wzorem

T f(t) = π^{−p} sin^{2/p} πt f(ctgπt).

Wtedy

∥T f∥_{p}^{p} = ∫_{0}^{1} |f(ctgπt)|^{p} \frac{sin^{2} t}{π} dt = ∫_{−∞}^{+∞} |f(x)|^{p}dx = ∥f∥_{p}^{p}.

7.5 Mamy obliczyć bezpośrednio

∥A∥ = sup_{|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}=1} (|x + iy|^{2} + |y + iz|^{2} + |z + ix|^{2})^{1/2}

= sup_{|x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}=1} (2 + 2 Im(x\overline{y} + y\overline{z} + z\overline{x}))^{1/2}.

Jeśli przyjmiemy x = x_{1} + ix_{2}, y = y_{1} + iy_{2}, z = z_{1} + iz_{2}, to zadanie sprowadzi się do obliczenia maksymalnej wartości wyrażenia

\begin{aligned}V & = Im(x\overline{y} + y\overline{z} + z\overline{x}) \\ & = x_{2}y_{1} − x_{1}y_{2} + y_{2}z_{1} − y_{1}z_{2} + z_{2}x_{1} − z_{1}x_{2}, \end{aligned}

pod warunkiem x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 1. Do obliczenia tego maksimum warunkowego zastosujemy metodę czynników nieoznaczonych Lagrange’a (patrz [3] I. 212). Przyrównanie do zera pochodnych cząstkowych funkcji

x_{2}y_{1} − x_{1}y_{2} + y_{2}z_{1} − y_{1}z_{2} + z_{2}x_{1} − z_{1}x_{2} − λ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + z_{1}^{2} + z_{2}^{2})

prowadzi do układu równań

z_{2} − y_{2} − 2λx_{1} = 0, y_{1} − z_{1} − 2λx_{2} = 0,
x_{2} − z_{2} − 2λy_{1} = 0, z_{1} − x_{1} − 2λy_{2} = 0,
y_{2} − x_{2} − 2λz_{1} = 0, x_{1} − y_{1} − 2λz_{2} = 0.

Z niego

\begin{aligned}V_{max} & = (z_{2} − y_{2})x_{1} + (x_{2} − z_{2})y_{1} + (y_{2} − x_{2})z_{1} = 2λ(x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}) \\ & = (y_{1} − z_{1})x_{2} + (z_{1} − x_{1})y_{2} + (x_{1} − y_{1})z_{2} = 2λ(x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}), \end{aligned}

co po uwzględnieniu równości x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 1 daje V_{max} = λ. Wartość λ = ^{\frac{\sqrt{3}}{2}} łatwo wyznaczamy z układu równań, zatem

∥A∥ = \sqrt{2 + \sqrt{3}} .

Obliczanie współrzędnych wektora optymalnego (x, y, z) można kontynuować, otrzymując w rezultacie

x = \frac{e^{it}}{\sqrt{3}}, y = \frac{e^{i(t+2π/3)}}{\sqrt{3}} , z = \frac{e^{i(t+4π/3)}}{\sqrt{3}} , t ∈ ℝ.

Tworzą one wierzchołki trójkąta foremnego wpisanego w okrąg o środku 0 i promieniu \frac{1}{\sqrt{3}}.

Druga metoda obliczania ∥A∥ znacznie szybciej prowadzi do celu. Ponieważ

A^{∗} = ( \begin{matrix}1 & 0 & −i \\ −i & 1 & 0 \\ 0 & −i & 1 \end{matrix} ) , A^{∗}A = ( \begin{matrix}2 & i & −i \\ −i & 2 & i \\ i & −i & 2 \end{matrix} ) ,

więc wielomian det(zI − A^{∗}A) przyjmuje postać

det(zI − A^{∗}A) = z^{3} − 6z^{2} + 9z − 2 = (z − 2)(z − 2 − \sqrt{3})(z − 2 + \sqrt{3}),

skąd

∥A∥ = max\{\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{3}} , \sqrt{2 − \sqrt{3}} \} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} .

2.16 Ciąg s_{n} sum częściowych szeregu Taylora funkcji x(t) = cosπt

s_{n}(t) = 1 − \frac{π^{2}}{2!} t^{2} + \frac{π^{4}}{4!} t^{4} − \frac{π^{6}}{6!} t^{6} + … + (−1)^{n} \frac{π^{2n}}{(2n)!} t^{2n}

jest zbieżny jednostajnie do funkcji x na każdym przedziale skończonym.

4.33.3 Przestrzeń skończenie wymiarowa jest izomorficzna z ℂ^{k} (względnie ℝ^{k}, gdy jest to przestrzeń rzeczywista). W przestrzeni ℂ^{k} słaba zbieżność ciągu x_{n} = (x_{n1}, x_{n2}, …, x_{nk}) pociąga zbieżność ciągów {x_{ni}}_{n=1}^{∞} , i = 1, 2, …, k jego współrzędnych a to, jak wiadomo, gwarantuje zbieżność samego ciągu {x_{n}}.

2.19 Jeżeli odwzorowanie φ : S_{1} → S_{2} jest homeomorfizmem, to odwzorowanie liniowe T : C(S_{2}) → C(S_{1}) postaci

T x(s) = x(φ(s))

jest izometrią.

Niech βℝ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a prostej ℝ. Z określenia uzwarcenia Čecha-Stone’a wynika (patrz 10.14), że przestrzenie C(ℝ) i C(βℝ) są izometrycznie izomorficzne, choć jak widać przestrzenie ℝ i βℝ homeomorficzne nie są (druga jest zwarta a pierwsza nie).

1.35 Normę zupełną w przestrzeni C^{k}(ℝ) można wprowadzić na wiele sposobów. Jednym z nich jest

∥x∥ = sup_{t∈ℝ} |x(t)| + sup_{t∈ℝ} |x′(t)|.

Jeżeli {x_{n}} jest ciągiem fundamentalnym w tej normie, to jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji x_{0}, a także ciąg pochodnych {x′_{n}} jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji y_{0}. Ponieważ

x_{n}(t) = x_{n}(0) + ∫_{0}^{t}x′_{n}(s) ds,

więc x_{0}(t) = x_{0}(0)+∫_{0}^{t} y_{0}(s) ds dla każdego t ∈ ℝ. Wynika stąd, że x_{0} jest funkcją różniczkowalną oraz x′_{0} = y_{0}, zatem y_{0} jest granicą ciągu {x_{n}} w normie ∥ ∥.

4.36 Zbiór złożony z punkcji charakterystycznych wszystkich przedziałów [a, b] jest liniowo gęsty w przestrzeni L^{p}(ℝ), można zatem przeprowadzić analogiczne rozumowanie jak w przykładzie 4.34.

3.20 Mamy

| det\{x_{i}(t_{j})\}_{1 i,j n} |^{2} = ∑_{τ,σ} sgn(τσ) ∏_{i=1}^{n}x_{τ(i)}(t_{i}) \overline{x_{σ(i)}(t_{i})},

gdzie τ i σ przebiegają grupę permutacji liczb {1, 2, …, n} a sgn oznacza znak permutacji. Przyjmując

a_{i,j} = ⟨x_{i}, x_{j}⟩ = ∫_{−∞}^{∞} x_{i}(t) \overline{x_{j}(t)}dt,

prawa strona dowodzonej równości przyjmie postać

\frac{1}{n!} ∑_{τ,σ} sgn(τσ) ∏_{i=1}^{n}a_{τ(i),σ(i)} = \frac{1}{n!} ∑_{τ,σ} sgn(τσ^{2}) ∏_{i=1}^{n}a_{τσ(i),σ(i)} =

= \frac{1}{n!} ∑_{σ} ∑_{τ} sgn(τ) ∏_{i=1}^{n}a_{τ(i),i} =

= det{a_{i,j}}_{1 i,j n}

6.14 Niech O będzie ośrodkiem w ℓ^{2}. Jeżeli x_{0} należy do słabego domknięcia zbioru A, to w A metodą �przekątniową” można wybrać taki ciąg {x_{n}}, że

lim_{n→∞} ⟨x_{n} − x_{0}, y⟩ = 0

dla wszystkich y ∈ O. Ponieważ ciąg {x_{n} − x_{0}} jest ograniczony, więc równość

lim_{n→∞} ⟨x_{n} − x_{0}, y⟩ = 0

zachodzi dla wszystkich x ∈ ℓ^{2}.

1.25 Pokażemy, że układ Schura nie daje jednoznaczności rozkładu. Przedstawimy w tym celu funkcję x_{0} w postaci zbieżnego szeregu

x_{0} = ∑_{k=1}^{∞}λ_{k} x_{k}.

Szereg ten będzie zbieżny na całym półotwartym przedziale (a, b], w szczególności zbieżny w punktach t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . .. Z własności x_{k}(t_{i}) = 0 dla i = 1, 2, …, k − 1 i x_{k}(t_{k}) = 1, podobnie jak w przykładzie 1.24, otrzymamy układ równań 1 = x_{0}(t_{1}) = λ_{1}, 1 = x_{0}(t_{2}) = λ_{1} x_{1}(t_{2}) + λ_{2}, itd., który pozwala wyznaczyć współczynniki λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, … jednoznacznie. Jeśli y_{n} jest n-tą sumą częściową tego szeregu oraz s_{n} oznacza najmniejszą spośród liczb t_{1}, t_{2}, …, t_{n}, to wykresem funkcji y_{n} jest łamana złożona z dwóch odcinków, łączących punkt (a, 0) z punktem (s_{n}, 1) i punkt (s_{n}, 1) z punktem (b, 1). Dlatego

∥x_{0} − y_{n}∥_{p}^{p} = ∫_{a}^{s_{n}} (\frac{t − a}{s_{n} − a} )^{p} dt = \frac{s_{n} − a}{p + 1} → 0.

7.2 Jeśli T jest operatorem ograniczonym, to ∥T x − T y∥ ∥T ∥ ∥x − y∥ dla wszystkich x, y ∈ X, co oznacza, że T jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Załóżmy teraz, że T jest ciągły w pewnym punkcie x_{0} ∈ X, tzn.

∥T x − T x_{0}∥ ε, gdy ∥x − x_{0}∥ δ.

Niech y ∈ X, ∥y∥ 1. Wtedy dla wektora x = x_{0} + δy zachodzi ∥x − x_{0}∥ δ, zatem ∥δT y∥ = ∥T x − T x_{0}∥ ε. Stąd ∥T y∥ \frac{ε}{δ}, a w konsekwencji ∥T ∥ \frac{ε}{δ}.

5.17 Niech x_{n} = χ_{[0,1/n]}, y_{n} = χ_{[0,n]}. Wtedy

\frac{∥x_{n}∥_{p}}{∥x_{n}∥_{q}} = n^{1/q−1/p} , \frac{∥y_{n}∥_{p}}{∥y_{n}∥_{q}} = n^{1/p−1/q} .

Gdy n → ∞, to pierwszy z ilorazów dąży do zera, a drugi do nieskończoności. Zatem normy te nie są zgodne.

4.47 Wynika to natychmiast z równości

∥x_{n} − x_{0}∥^{2} = ∥x_{n}∥^{2} − 2 Re⟨x_{n}, x_{0}⟩ + ∥x_{0}∥^{2},

gdyż prawa strona dąży do zera przy n → ∞.

4.49 Z twierdzenia 4.31 wiadomo, że każdy ciągły funkcjonał liniowy x^{∗} na przestrzeni C_{0}(ℝ) ma postać

x^{∗}(x) = ∫_{0}^{∞} x(t) dμ(t),

gdzie μ jest miarą Radona na prostej ℝ. Słaba zbieżność do zera ciągu {x_{n}} wynika więc natychmiast z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej.

Przedstawimy dowód nie korzystający z opisu przestrzeni (C_{0}(ℝ))^{∗}. Zauważmy przedtem, że dla każdego ε > 0 można dobrać taką liczbę d = d(ε), aby |x(t)| < ε dla t poza przedziałem [−d, d], a jeśli n_{1}, n_{2}, n_{3}, … jest ciągiem wskaźników spełniającym warunek n_{k+1} n_{k} + 2d, to

∥\frac{1}{m}x_{n_{1}} + \frac{1}{m}x_{n_{2}} + ⋯+ \frac{1}{m}x_{n_{m}} ∥_{∞} \frac{1}{m}∥x∥_{∞} + ε.

Załóżmy, że ciąg {x_{n}} nie jest zbieżny do zera. Wtedy istnieje taki ciągły funkcjonał liniowego x^{∗} na przestrzeni C_{0}(ℝ) oraz podciąg {x_{n_{k}}} ciągu {x_{n}}, że Rex^{∗}(x_{n_{k}}) 1. Od ciągu wskaźników {n_{k}} możemy przy tym wymagać dodatkowo, by n_{k+1} > n_{k} + 2d(ε). Wtedy

! |x^{∗}(\frac{1}{m}x_{n_{1}} + \frac{1}{m}x_{n_{2}} + ⋯+ \frac{1}{m}x_{n_{m}})| (\frac{1}{m}∥x∥_{∞} + ε)∥x^{∗}∥.

To jednak jest niemożliwe, gdy liczba ε jest dostatecznie mała a m dostatecznie duże.

6.15 Niech x_{0} będzie dowolnym elementem kuli oraz

U = {x ∈ X : |x_{k}^{∗}(x − x_{0})| < ε dla k = 1, 2, …, n}

dowolnym jego bazowym otoczeniem w słabej topologii. Pokażemy, że U zawiera pewien element sfery. Jeżeli x_{1} ∈ ⋂_{k=1}^{n} kerx_{k}^{∗}, x_{1} ≠ 0, to x_{0} + λx_{1} ∈ U dla każdego λ. Funkcja ∥x_{0} + λx_{1}∥ musi na [0, ∞) przyjmować wszystkie wartości z przedziału [∥x_{0}∥, ∞), w szczególności wartość 1.

Słabe domknięcie sfery żadnych innych elementów zawierać już nie może, bo kula jest zbiorem domkniętym wypukłym.

6.18 Pokażemy, że przestrzeń (ℓ^{p})^{∗} można utożsamić z ℓ^{∞} . Z każdym ciągiem ograniczonym y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ^{∞} zwiążemy funkcjonał liniowy y^{∗} na ℓ^{p} wzorem

y^{∗}(x) = ∑_{n=1}^{∞}x_{n}y_{n} gdy x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ ℓ^{p}.

Szereg ten jest bezwzględnie zbieżny, a gdy ∥x∥ 1, to |x_{n}| |x_{n}|^{p} dla wszystkich n, więc

|y^{∗}(x) ∑_{n=1}^{∞}|x_{n}|^{p}|y_{n}| ∥y∥_{∞} .

Z nierówności tej i jednorodności ∥λx∥ = |λ|^{p}∥x∥ wynika, że gdy ∥x∥ < ε to |y^{∗}(x)| < ε^{1/p}∥y∥_{∞} . To zaś oznacza ciągłość funkcjonału y^{∗}.

Z drugiej strony, jeżeli y^{∗} ∈ (ℓ^{p})^{∗}, to dla n = 1, 2, , … połóżmy y_{n} = y^{∗}(e_{n}), gdzie e_{n} jest ciągiem z jedynką na n-tym miejscu. Twierdzimy, że ciąg {y_{n}} jest ograniczony. Gdyby dla pewnego podciągu było lim_{k→∞} |y_{n_{k}}| = ∞, to ciąg wektorów x_{k} = y_{n_{k}}^{−1} e_{n_{k}} byłby zbieżny do zera w ℓ^{p}, zaś y^{∗}(x_{n}) ≡ 1, co przeczy ciągłości y^{∗}. Skoro ciąg {y_{n}} jest ograniczony, to dla x ∈ ℓ^{p} mamy y^{∗}(x) = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n}, bo szereg po prawej stronie jest zbieżny.

7.9 Oczywiście zastosujemy tu kryterium Schura. Jako funkcję φ wybierzemy φ(k) = \frac{1}{\sqrt{k−1/2}} . Ponieważ macierz Hilberta jest symetryczna, więc wystarczy

dowodzić tylko jednej z nierówności (7. 34).

∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{j + k − 1} φ(j) = ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{j − 1/2 + k − 1/2} \frac{1}{\sqrt{j − 1/2}}

∫_{0}^{∞} \frac{dt}{(t + k − 1/2)\sqrt{t}} = 2 ∫_{0}^{∞} \frac{ds}{s^{2} + k − 1/2}

= \frac{2}{\sqrt{k − 1/2}} ∫_{0}^{∞} \frac{du}{u^{2} + 1} = \frac{π}{\sqrt{k − 1/2}} .

1.26 Oznaczmy g = lim sup|x_{n}|. Jeżeli {y_{n}} ∈ c_{0}, to lim sup|x_{n} − y_{n}| g − lim sup|y_{n}| = g, więc ∥[x]∥ g. Równość otrzymamy dla ciągu {y_{n}} określonego wzorem y_{n} = x_{n}(1 − g/|x_{n}|), gdy |x_{n}| > g, oraz y_{n} = 0 dla pozostałych n.

7.84 Niech {y_{1}, y_{2}, …, y_{n}} będzie bazą przestrzeni T (X) oraz {y_{1}^{∗}, y_{2}^{∗}, …, y_{n}^{∗}} takim układem funkcjonałów w Y^{∗}, że y_{i}^{∗}(y_{k}) = δ_{i,k} (patrz ??). Określmy funkcjonał x_{k}^{∗} ∈ X^{∗}, k = 1, 2, …, n, wzorem x_{k}^{∗}(x) = y_{k}^{∗}(T x). Jeżeli wektor T x ma postać T x = λ_{1}y_{1} + λ_{2}y_{2} + … + λ_{n}y_{n}, to λ_{k} = y_{k}^{∗}(T x) = x_{k}^{∗}(x).

4.33.2 Wynika to natychmiast z nierówności |x^{∗}(x_{n})−x^{∗}(x_{0})| ∥x^{∗}∥ ∥x_{n} −x_{0}∥.

5.18 Wystarczy pokazać, że odwzorowanie T ma domknięty wykres. Załóżmy, że x_{n} → x_{0} w X oraz T x_{n} → y w ℓ^{1}. Ponieważ ∥ ∥_{2} ∥ ∥_{1}, więc także T x_{n} → y w ℓ^{2}. Z założenia wiemy, że T jako odwzorowanie z X do ℓ^{2} jest ciągłe. Zatem musi być y = T x_{0}.

1.38 Dla x, x′∈ X i y, y′∈ Y równość warstw [x + y] = [x′+ y′] w przestrzeni (X + Y)/Y zachodzi, gdy x + y − x′− y′∈ Y , tj. gdy x − x′∈ X ∩ Y , to z zaś oznacza równość warstw [x] = [x′] w X/(X ∩ Y).

5.19 Operacja różniczkowania z przestrzeni X do C[0, 1] ma wykres domknięty. Wynika to ze znanego twierdzenia analizy: jeżeli ciąg x_{n} zbiega do x_{0} oraz x′_{n} zbiega do y_{0} jednostajnie na przedziale [0, 1], to x_{0} jest funkcją różniczkowalną i x′_{0} = y_{0}. Z twierdzenia o wykresie domkniętym wnosimy, że mamy do czynienia z operacją ciągłą. Zatem ∥x′∥_{∞} C ∥x∥_{∞} dla x ∈ X. Wynika stąd, że kula jednostkowa przestrzeni X jest zbiorem jednakowo ciągłym. Twierdzenie Arzeli orzeka, że jest zbiorem zwartym a twierdzenie Riesza z kolei, że X musi być przestrzenią skończenie wymiarową.

6.1.e Warunki 1–5 są konieczne. Pierwsze dwa, bo chodzi o topologię Hausdorffa. Trzeci, bo dodawanie wektorów jest operacją ciągłą w zerze. Dla każdego U ∈ U istnieją wtedy takie otoczenia zera V_{1} i V_{2}, że V_{1} + V_{2} ⊂ U. Wystarczy zatem obrać V ∈ U, by V ⊂ V_{1} ∩ V_{2}. Warunek czwarty wynika z ciągłości w zerze operacji mnożenia przez liczby. Dla U ∈ U istnieje bowiem taka liczba δ > 0 i otoczenie zera W, że λW ⊂ U jeśli tylko |λ| δ. Ponieważ mnożenie przez liczbę różną od zera jest homeomorfizmem, więc zbiór δW jest także otoczeniem zera. Aby dowieść (v), zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X funkcja φ(μ) = μx jest ciągła z ℂ w X i φ(0) = 0. Zatem dla dowolnego U ∈ U istnieje taka liczba δ > 0, że |μ| δ pociąga μx ∈ U. Wystarczy zatem wziąć λ = δ^{−1} .

Z warunków (i) oraz (ii) wynika, że rodzina zbiorów {x + U : x ∈ X, U ∈ U} jest bazą otoczeń pewnej topologii T . Pokażemy, że jest to topologia Hausdorffa i że operacje liniowe są ciągłe w T . Niech x, y ∈ X, x ≠ y. Zbiór U ∈ U wybierzmy tak, by y − x ∉ U. Na mocy (iii) i (iv) w U istnieje taki zbiór V , że V − V ⊂ U. Wtedy x+V i y+V są rozłącznymi otoczeniami punktów x i y. Oznacza to, że T jest topologią Hausdorffa. Ciągłość operacji dodawania wektorów (x, y) → x+y w dowolnym punkcie (x_{0}, y_{0}) wynika natychmiast z (iii). Jeżeli bowiem x_{0} + y_{0} + U jest otoczeniem punktu x_{0} + y_{0} oraz V ∈ U jest takie, by V + V ⊂ U, to (x_{0}+V)+(y_{0}+V) ⊂ x_{0}+y_{0}+U. Pozostaje wykazać, że operacja mnożenia przez liczby jest ciągła. Niech λ_{0}x_{0} + U będzie dowolnym bazowym otoczeniem punktu λ_{0}x_{0}. Dobierzemy tak liczbę ε > 0 i zbiór V ∈ U, by obraz otoczenia W = {(λ, x) : |λ − λ_{0}| < ε, x − x_{0} ∈ V } punktu (λ_{0}, x_{0}) w ℂ × X przez odwzorowanie (λ, x) → λx wpadał w zbiór λ_{0}x_{0}+U. Wybierzmy w U kolejno V_{1} ⊂ V_{2} ⊂ V_{3}, by V_{1} + V_{1} + V_{1} ⊂ U, by μV_{2} ⊂ V_{1} gdy tylko |μ| 1 i by λ_{0}V_{3} ⊂ V_{1}. Niech także δ będzie taką liczbą dodatnią, że x_{0} ∈ δV_{2}. Połóżmy ε = min{1, 1/δ} oraz V = V_{3}. Jeżeli (λ, x) ∈ W, to λx = λ_{0}x_{0} + (λ − λ_{0})x_{0} + λ_{0}(x − x_{0}) + (λ − λ_{0})(x − x_{0}). A ponieważ (λ − λ_{0})x_{0} ∈ (λ − λ_{0})δV_{2} ⊂ V_{1}, λ_{0}(x − x_{0}) ∈ λ_{0}V_{3} ⊂ V_{1} oraz (λ − λ_{0})(x − x_{0}) ∈ (λ − λ_{0})V_{2} ⊂ V_{1}, więc λx ∈ λ_{0}x_{0} + U.

6.3 Sprawdzamy łatwo, że ∥x + y∥ ∥x∥ + ∥y∥ oraz ∥λx∥ = |λ|^{p}∥x∥ dla dowolnych x, y ∈ L^{p}(0, 1) i λ ∈ ℂ. Wynika stąd natychmiast, że L^{p}(0, 1) jest przestrzenią liniową, a operacje dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby są ciągłe. Dowód zupełności jest identyczny jak dla p 1 (patrz ??).

Załóżmy, że W jest zbiorem wypukłym L^{p}(0, 1) z niepustym wnętrzem. Nie ograniczając ogólności, możemy założyć, że dla pewnego r > 0 zbiór W zawiera kulę {x ∈ L^{p}(0, 1) : ∥x∥ < r}. Ustalmy dowolną funkcję x ∈ L^{p}(0, 1). Ponieważ całka ∫_{0}^{t} |x(s)|^{p}ds jest ciągłą funkcją parametru t (patrz ??), więc dla każdego n istnieje taki podział 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯< t_{n} = 1 odcinka [0, 1], że ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} |x(s)|^{p}ds = ∥x∥/n dla wszystkich k = 1, 2, …, n. Połóżmy x_{k}(s) = nx(s) gdy s ∈ [t_{k−1} , t_{k}] oraz x_{k}(s) = 0 poza tym. Wtedy ∥x_{k}∥ = n^{p−1} ∥x∥ oraz x = \frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+…+x_{n}). Ponieważ n^{p−1} dąży do zera przy n → ∞, więc dla dostatecznie dużego n mamy ∥x_{k}∥ < r, k = 1, 2, …, n. Oznacza to, że każda z funkcji x_{k}, a w konsekwencji także funkcja x leży w W.

3.24.1 Jeżeli wektory x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tworzą zbiór ortonormalny oraz ∑_{k=1}^{n}λ_{k}x_{k} = 0,

to

0 = ⟨∑_{k=1}^{n}λ_{k}x_{k}, x_{m}⟩ = ∑_{k=1}^{n}λ_{k}⟨x_{k}, x_{m}⟩ = λ_{m}

dla m = 1, 2, …, n.

1.37 TAK, izomorfizmem jest odwzorowanie φ : L^{1}(0, 1) → L^{1}(0, 1) × L^{1}(0, 1) określone wzorem φ(x)(t) = (x(\frac{t}{2}), x(\frac{1+t}{2} )).

3.10 Mamy ⟨x, x⟩ = ∥x∥^{2}, zatem jest spełniona własność (1) iloczynu skalarnego, także ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}. Hermitowskość funkcji ⟨ , ⟩ wyprowadzamy łatwo wprost z definicji, podobnie identyczność

⟨i x, y⟩ = i ⟨x, y⟩.

Pozostaje do udowodnienia addytywność funkcji ⟨ , ⟩ i jej jednorodność przy mnożeniu przez skalary rzeczywiste.

Korzystając z równości równoległoboku łatwo dowodzimy, że

⟨u + v, z⟩ + ⟨u − v, z⟩ = 2 ⟨u, x⟩,

a przyjmując tu v = u otrzymujemy

⟨2u, z⟩ = 2⟨u, z⟩.

Z porównania lewych stron obu tożsamości, po wstawieniu u = \frac{1}{2}(x + y) oraz v = \frac{1}{2}(x − y), dostajemy postulowaną addytywność funkcji ⟨ , ⟩.

Z addytywności i ciągłości badanej funkcji wynika już jej jednorodność przy mnożeniu przez liczby rzeczywiste. Istotnie, z addytywności przez indukcję po n dostajemy równość ⟨n x, y⟩ = n ⟨x, y⟩, a po wstawieniu \frac{1}{n}x w miejsce x równość ⟨\frac{1}{n} x, y⟩ = \frac{1}{n}⟨x, y⟩; łącznie zatem ⟨\frac{m}{n} x, y⟩ = \frac{m}{n} ⟨x, y⟩. Ponieważ zachodzi także równość ⟨−x, y⟩ = −⟨x, y⟩, funkcja λ → ⟨λ x, y⟩ − λ, ⟨x, y⟩ zeruje się na zbiorze wszystkich liczb wymiernych. Skoro jest ciągła a liczby wymierne leżą gęsto w ℝ — musi być funkcją zerową.

1.4.1 Niech {b_{t}}_{t∈T} będzie bazą Hamela tej przestrzeni. Dla x = ∑_{t∈T} λ_{t}b_{t} połóżmy ∥x∥ = max_{t∈T} |λ_{t}| (λ_{t} ≠ 0 tylko dla skończenie wielu t ∈ T). Funkcja ∥ ∥ jest normą.

4.48 Ciąg x_{n} = (0, 0, …, 0, 1, 1, …) z zerami do miejsca n-tego jest *-słabo zbieżny do zera. Nie jest jednak słabo zbieżny do zera, gdyż dla funkcjonału LIM z przykładu ?? zachodzi LIMx_{n} = 1.

2.13 Ponieważ wielomian optymalny jest jedyny, więc z nierówności

∥x_{0} − w_{0}∥_{∞} ∥x_{0} − Rew_{0}∥_{∞}

wynika, że musi być rzeczywisty. Gdyby ze zbioru S_{0} punktów ekstremalnych funkcji x_{0} − w_{0} nie można było wybrać żadnego alternansu długości n + 1, to dla pewnej liczby m < n przedział [a, b] da się tak podzielić na m + 1 przedziałów domkniętych punktami a < s_{1} < s_{2} < ⋯< s_{m} < b, że w punktach zbioru S_{0} wybranych z jednego przedziału funkcja x_{0} − w_{0} przyjmuje wartości tego samego znaku a z przedziałów sąsiednich znaków przeciwnych (oczywiście żaden z punktów s_{k} nie może należeć do S_{0}). Wielomian stopnia m

w(t) = ∏_{k=1}^{m}(t − s_{k})

zmienia znak w każdym z punktów s_{k}, a więc funkcja (x_{0} − w_{0})w przyjmuje na zbiorze S_{0} wartości wyłącznie jednego znaku. Z twierdzenia 2.11 wynika, że w w_{0} nie może być w takim razie wielomianem optymalnym.

Dalej rozumujemy jak w przykładzie 2.12. Gdyby w_{0} nie był wielomianem optymalnym mimo istnienia alternansu t_{1}, t_{2}, …, t_{n+1} , to na mocy twierdzenia Kołmogorowa mielibyśmy

min_{1 k n+1} (−1)^{k} Rew(t_{k}) > 0

dla pewnego wielomianu w stopnia niższego niż n. Wielomian Rew musiałby wtedy zmieniać znak w każdym z przedziałów (t_{k}, t_{k+1} ), a taki wielomian musi mieć stopień przynajmniej n.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

[1] A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969.

[2] R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1989.

[3] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1995.

[4] J. Górniak, T. Pytlik, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Skrypt Politechniki Wrocławskiej 1976.

[5] R. Larsen, Functional analysis, an introduction, Marcel Dekker inc., New York 1973.

[6] G. Meinardus, Aproksymacja funkcji i jej metody numeryczne, PWN, Warszawa 1968.

[7] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.

[8] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2001.

[9] K. Yosida, Functional analysis, Springer-Verlag , Berlin Heildelberg New York 1980.

[10] W. Żelazko, Algebry Banacha, PWN, Warszawa 1968.

SKOROWIDZ NAZW

*-homomorfizm 167 *-izomorfizm 167

algebra Banacha 151 algebra ilorazowa 159 algebraiczna suma prosta podprzestrzeni 18 alternans 31

baza Hamela 177 baza otoczeń punktu 92, 185 baza Schaudera 14 baza topologiczna 14

C*-algebra 166 całka Stieltjesa 72 ciąg fundamentalny 192 ciąg fundamentalny słabo 80 ciąg fundamentalny *-słabo 83 ciąg mocno zbieżny operatorów 138 ciąg monotoniczny operatorów 123 ciąg słabo zbieżny 87, 80 ciąg *-słabo zbieżny 83 ciąg zbieżny 192 częściowa izometria 125

domknięcie zbioru 185 dopełnienie ortogonalne 43 dwustronny topologiczny dzielnik zera 153 dystrybucja temperowana 96

element osobliwy 153 element regularny 153 element singularny 153

forma kwadratowa operatora 119 funkcja borelowska 170 funkcja istotnie ograniczona 8 funkcja liniowa 179 funkcja o wahaniu ograniczonym 72 funkcja Σ-mierzalna 170 funkcja Σ-prosta 170 funkcje Hermite’a 56 funkcje Rademachera 46 funkcjonał liniowy 179 funkcjonał Minkowskiego 181

generatory algebry 165 granica w nieskończoności funkcji 189 granica słaba ciągu 80 granica *-słaba ciągu 83

H^{∗} - algebra 150 hiperpłaszczyzna podpierająca 40 homeomorfizm 186

ideał dwustronny 158 ideał lewy 158 ideał prawy 158 iloczyn skalarny 34 inwolucja 151 izometria 9, 125, 130, 192 izometryczne włożenie 192 izomorfizm algebraiczny 180 izomorfizm izometryczny 9

jądro Dirichleta 52

kombinacja liniowa 177 kres dolny operatora 121 kres górny operatora 121 kula 192

lemat Riemanna-Lebesgue’a 51 lemat Urysohna 25, 186 lewy topologiczny dzielnik zera 153

macierz Hilberta 108 macierz odwzorowania 179 metryka 191 miara Radona 76 miara spektralna 171

nierówność Höldera 6 nierówność Minkowskiego 6 nierówność Schwarza 37 norma funkcjonału 60 norma Hilberta-Schmidta 144 norma operatora 102 normy równoważne 11 normy zgodne 89

odległość 191 odwzorowanie liniowe 179 odwzorowanie liniowe domknięte 90 operator dodatni 121 operator hermitowski 115 operator Hilberta-Schmidta 144 operator lewy odwrotny 110 operator liniowy 179 operator normalny 115 operator odwrotny 110 operator ograniczony 102 operator prawy odwrotny 110 operator quasi-nilpotentny 112 operator samosprzężony 115 operator sprzężony 115, 137 operator unitarny 131 operator Volterry 108, 112 operator zwarty 134 ośrodek 13, 185 otoczenie punktu 92, 185

pierwiastek kwadratowy z operatora 124 podprzestrzeń liniowa 178 podprzestrzeń przestrzeni topologicznej 185 podprzestrzeń własna operatora 125, 142 pokrycie 187 półprosta algebra Banacha 161 prawy topologiczny dzielnik zera 153 produkt topologiczny przestrzeni 18 projektor 132 projektor ortogonalny 133 promień spektralny elementu 153 promień spektralny operatora 112 przekształcenie ciągłe 185 przekształcenie otwarte 185 przemienna algebra Banacha 151 przestrzenie izomorficzne 9 przestrzeń liniowa lokalnie wypukła 94 przestrzeń liniowa rzeczywista 176 przestrzeń liniowa topologiczna 92 przestrzeń metryczna zupełna 192 przestrzeń topologiczna lokalnie zwarta 188 przestrzeń topologiczna zwarta 187 przestrzeń całkowicie regularna 186 przestrzeń Hausdorffa 186 przestrzeń Hilberta 34 przestrzeń ilorazowa 179 przestrzeń liniowa 176 przestrzeń metryczna 191 przestrzeń normalna 186 przestrzeń ośrodkowa 13, 185 przestrzeń strukturalna 161 przestrzeń topologiczna 185 przestrzeń typu B_{0} 95 przestrzeń unitarna 34 przestrzeń z własnością aproksymacji 139 punkt ekstremalny 10

radykał algebry 161 refleksywna przestrzeń Banacha 68 rezolwenta elementu 153 rezolwenta operatora 127 rodzina scentrowana zbiorów 187 rozkład jedności 174 równanie Hilberta 128 równość równoległoboku 37 rzut 132 rzut ortogonalny 133

słaba topologia wyznaczona przez rodzinę funkcji 190 spektrum punktowe operatora 125 spektrum operatora 126 supremum istotne funkcji 8 szereg Fouriera klasyczny 50 szereg bezwzględnie zbieżny 4 szereg zbieżny 4

średnica rozbicia 72 topologia 185 topologia dyskretna 185 topologia metryzowalna 192 topologia odziedziczona 185 topologia produktowa 190 topologia silniejsza 185 topologia słaba 97 topologia słabsza 185 topologia trywialna 185 topologia wyznaczona przez metrykę 192 topologia *-słaba 98 topologiczna suma prosta podprzestrzeni 18 topologiczny nilpotent 161 transformata Kelley’a operatora 131 transformata Laplace’a 104 twierdzenie Baire’a 193 twierdzenie Hahna-Banacha 182, 184 twierdzenie Stone’a 24 twierdzenie Tichonowa 191 twierdzenie Tietzego-Urysohna 26 twierdzenie Weierstrassa 20, 22

uwypuklenie zbioru 180 uzwarcenie Aleksandrowa 163, 189 uzwarcenie jednopunktowe 189 uzwarcenie przestrzeni topologicznej 189 uzwarcenie Čecha-Stone’a 189

wahanie funkcji 72 wahanie miary Radona 77 warstwa przestrzeni ilorazowej 178 wartość własna operatora 125 wektor własny operatora 125 wektory liniowo niezależne 177 wektory liniowo zależne 177 wektory ortogonalne 43 widmo 153 widmo punktowe operatora 125 widmo operatora 126 wielomiany Bernsteina 20 wielomiany Czebyszewa 30, 48 wielomiany Czebyszewa 2-giego rodzaju 48 wielomiany Hermite’a 57 wielomiany Legendre’a 45 wnętrze zbioru 185 wykres odwzorowania liniowego 90 wymiar przestrzeni liniowej 177 wyznacznik Gramma 41 wzór polaryzacyjny 37

zbieżność mocna 80 zbiór I kategorii 85 zbiór brzegowy 85 zbiór całkowicie ograniczony 194 zbiór domknięty 185 zbiór gęsty 185 zbiór liniowo niezależny 177 zbiór ortogonalny 44 zbiór ortonormalny 44 zbiór ortonormalny zupełny 44 zbiór otwarty 185 zbiór rezolwenty 153 zbiór warunkowo zwarty 194 zbiór wypukły 180 zbiór wypukły pochłaniający 181 zbiór zwarty 187

SPIS RZECZY

WSTĘP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ROZDZIAŁ I: PRZESTRZENIE BANACHA . . . . . . . . . . . . . . 3

Przestrzenie unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Przykłady przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Izomorfizm. Równoważność norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ośrodkowość. Bazy topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Przestrzenie ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Produkt przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ROZDZIAŁ II: PRZESTRZENIE FUNKCJI CIĄGŁYCH . . . . . . . . 20 Dwa twierdzenia Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Twierdzenie Stone’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Lemat Urysohna i twierdzenie Tietzego-Urysohna . . . . . . . . . . 25 Twierdzenia o najlepszej aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . 27 Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ROZDZIAŁ III: PRZESTRZENIE HILBERTA . . . . . . . . . . . . . 34 Przestrzenie unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Twierdzenia o najlepszej aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Układy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Szeregi ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Klasyczne szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Funkcje Hermite’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

ROZDZIAŁ IV: CIĄGŁE FUNKCJONAŁY LINIOWE . . . . . . . . . 59 Własności ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Przestrzeń sprzężona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Refleksywność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Przestrzeń sprzężona z przestrzenią C(S) . . . . . . . . . . . . . . 71

Przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Słaba i *-słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ROZDZIAŁ V: ZASTOSOWANIA TWIERDZENIA BAIRE’A . . . . . . 85 Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ROZDZIAŁ VI: PRZESTRZENIE LINIOWE TOPOLOGICZNE . . . . . 92 Topologie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Słabe topologie w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . . 97 Zadania uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ROZDZIAŁ VII: OPERATORY LINIOWE . . . . . . . . . . . . . 102

Przestrzeń operatorów linowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Norma operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Przestrzeń L(X, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Operatory odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Operator sprzężony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Operatory normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Forma kwadratowa operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Operatory dodatnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Ciągi monotoniczne operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Widmo operatora, wartości własne . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Rezolwenta operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Operatory unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Projektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Rozkład spektralny operatora zwartego . . . . . . . . . . . . . 140 Twierdzenie spektralne dla operatorów zwartych . . . . . . . . . 142

Operatory Hilberta-Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ROZDZIAŁ VIII: ALGEBRY BANACHA . . . . . . . . . . . . . . 151 Własności ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Przemienne algebry Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Przemienne C*-algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

ROZDZIAŁ IX: TWIERDZENIE SPEKTRALNE . . . . . . . . . . 169 Miara spektralna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Twierdzenie spektralne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

ROZDZIAŁ X: DODATEK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Przestrzenie topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 WSKAZÓWKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ROZWIĄZANIA ZADAŃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 SKOROWIDZ NAZW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217