; TeX output 2001.02.18:1510 1'LyC` plr12INSTYTUTMAVTEMATYCZNYUNIWERSYTETUWRrOCAWSKIEGOGgύ . G plbx10TXadeuszPytlik k1، 0 0 plssbx48ANALIZA>>&FUNKCJONALNA썒 - ff plbx10Wrouca=w2000 * &`/ p plbx10Wstp 5Analizaآfunkrcjonalna,todziedzinamatematyki,ktrajuoSdpocztkulat $"30-trych,.gdypSorwstawaa,.byaentuzjastycznieprzyjmowanaprzezmatematy-$"krw.DWielbicielomdarwaaDnowyjzykmatematycznyinowe,atrakcyjnenarzdzie$"pracyV.DarwaaimtenowpSerspektrywpatrzenianamatematyk. 5Dzi+stalejeszczejestatrakrcyjna,choSzostaajunieconadwtlonaprzez$"upywra jcygczas.Przyjatetytudziedzinyklasycznej".Osobicieuwaam,e$"pSodrobnrychkorektachuroSdyiprzydobrymmakijaumoebyjeszczebardzo$"pSociga jca|szczeglniedlastudenrtw,ktrzyjejwrczeniejnieznali.5Skrypt0niniejszyzostaopracorwany0napSodstarwie0materiawinotatekzwy-$"kadrwanalizyfunkcjonalnej,ktreprowadziemprzezwielelatnaUniwersyte-$"cieLWVroScarwskim.Zostaonuzupenionryozadaniaiwiczeniadosamodzielnego$"rozwizywrania.ԭWskXazwkidozadaiichrozwizaniamonaznalenakocu$"skryptu.nNiestetrywtrakcieopracowywaniaprzypadkowoulegyprzetasowaniu$"i5mimoprbnieudaomisiustarwiichwkolejnocinumerw,zacobardzo$"serdecznieprzepraszam.5ZakrescmateriauipSoruszanrychczagadniewzasadzieodporwiadaprogramowi$"trypSowegowykaduanalizyfunkrcjonalnej.PotoSczniemwicjestto Elementarz"$"iKSppodrcznikXadodrugiejklasy".Trych,ktrymniewystarczytadoSdatkowa$"SporwkXa""odsyamodrazudoinnrych,lepszychpSodrcznikrwanalizyfunkcjo-$"nalnej.SpistakicrhpSodrcznikwzamieciemnakocuskryptu.5ProniewadoledzeniarozumorwairozwizywraniazadapSotrzebnajestpewna$"wiedzazinnrychdziedzinmatematryki,analizymatematycznej,algebryliniowej,$"teorii_funkrcjizmiennejzespSolonej,topologiiorazteoriimiaryifunkrcjirzeczywi-$"strych, WdoSdateknakrocuskryptuzawierazestawkoniecznychfaktwitwierdze,$"pSodanrychzdorwoSdamilubodsyaczamidoliteraturyV.. RITVadeuszPytlik $"WVroScarw,grudzie2000 * )R=OZDZIAI&4F0 G plbx10PRZESTRZENIE BANA4CHA?nmPrzestrzenieFunormoVdwane&8$"P=oudstawowewasnoci5FVunkrcjrzeczywist"Ŏ plsy10kknaprzestrzeniliniorwejg cmmi12X+nazywamy·g plbx12norm,jeelig6"w1.Hbwk0kUR=0ikxkUR>0gdyxUR6=0 ,6"w2.Hbwkx+yn9kURkxk+kyk(pSodaddytrywno),6"w3.HbwkxkUR=jjkxk(jednoroSdno).$"PrzestrzeQliniorw,wktrejokrelonajestnormanazywamyprzestrzeniRli- $"nio wunormowan%(lubkrtkroprzestrzeniunormo wan).%CzstodlapSod-$"krelenia,cojestnormwprzestrzeniliniorwejX,bSdziemypisa(XJg;kk) .g5NormawprzestrzeniliniorwejX+wyznaczametrykwzorem5 (x;yn9)UR=kx yk:$"WߝtenspSosbprzestrzeunormorwanasta jesiprzestrzenitopologicznme- $"tryczn.IlekroSbdziemorwaowasnociacrhtopologicznrychprzestrzeniunormo-$"wranej(XJg;kk) ,choSdziotopologizadanmetrykX䀡 .5PrzestrzeunormorwanazupSenanosinazwprzestrzeni Banac ha.5Z,okrelenia1normrywynikXa,edoSdawaniewektorwwprzestrzeniunormowa-$"nejimnoenieicrhprzezskXalarysopSeracjamicigymi.Pronadto:$"1.1.?,:yo plcsc10Fakt.8=< plti12Domkniffcie?podprzestrzeniliniowejprzestrzeniunormowanejjestpod-$"przestrzeniliniowadomknitapffodprzestrzeliniowaprzestrzeniBanachajest$"przestrzeni35Banacha.Ŝ5GrwnymobiektemnaszycrhzainteresowabSdprzestrzenieBanacha.ZupSe-$"noprzestrzenipSozwralaprzybadaniuzbienocicigusprarwdzatylkowarunek$"Caucrhy'ego. v 6 5+ plsl12I.PPRZESTRZENIEBANArCHAl 1.2. Twierdzenie.Kad~przestrzeunormowanmonauzupffenidoprze- strzeni35Banacha.ǍDorwSd:Niech,Xbdzie,przestrzeniunormorwan,aw *cu cmex10e,X jejuzupenieniemme-trycznrym(patrz??),tzn.zbioremklasrwnowanociciSgwCauchy'ego.WwCeXmonaokrelistrukturliniorwkadc?GDfx5" cmmi9npgG+GfyngGUS=URGfxn+yngG ;GfxngGUS=URGfxngGinormȍ 7 38 7 ⠟G fxnpgGȍ 38 =6lim33URn plsy9!1ikxnk:ff .S ff8 ff ğ a ff ĎĄ .S ff&ލUwaga.UdorwoSdnimyzpniej(wniosek??),ewprzestrzeniliniorwejz#J> plbxsl10sPہ plr90 cigw, dla6ktrycrhtylkoskoczeniewielewyrazwjestrnychoSdzera,niedasiwpro-wradzinormytak,bybyawniejprzestrzenizupSem.Szereg*P*f1 U\fn=1$Mxn Кwrektorw*przestrzeniunormorwanej*nazywasizbien y,jeelizbienryijestciSgjegosumczciowychisn=)x̼1b+dx̼2+:::)h+xn~ iinazywrasib` ezwzgldnie zbien y,jeeliꨟP*U1 U\Un=1%{kxnpkUR<1 ."(x1.3. Zadanie.uNato,bryprzestrzeunormowanaXqbyazupSenapotrzebaiwystarcza,brykXadyszeregbSezwzgldniezbienybyzbienyV.1.4. ׀wiczenia. 1. WkXadejprzestrzeniliniorwejmonaokrelinorm. 2. Kady`ciSgCaucrhy'ego`elementwprzestrzeniunormowanejjestograni- czonryV. 3. WkXadejniezerorwejprzestrzeniunormowanejistniejeszeregzbienyV,ktry niejestbSezwzgldniezbienryV. v $"PrzykadyprzestrzeniBanacrha 7l PPrzykadyFprzestrzeniBanacVdha)_75ProSdamytukilkXaprzykadrwtypSowychprzestrzeniBanacha.!h$"1.5.?Przykad.ZbirbIwszystkicrhograniczonychciSgwliczbzespSolonych $"fxnpg21Ln=1zezwykymdoSdarwaniemcigwimnoeniemicrhprzezskXalaryoraz$"normqȍ 38 2fxnpgȍ 38 71=URsup conjxnj$"trworzyprzestrzeBanacrha.{Q5Jest^oSczywiste,e^bOjestprzestrzeniliniorw^oraz,ekk1Zjestnorm.Uza-$"sadnienia)wymagajedyniezupSenoprzestrzeni)b@.Jeelifx21RAnpg;fx22RAng;:::wjest$"ciSgiemCaucrhy'egowb@,tzn.dlakXadego"UR>0istniejetakiek̼0,eq$"(1:W1) ƴsup n eejxkڍn xmڍn6jUR<"$G$"dlaxwszystkicrhxkg;mEĀk̼0,todlakXadegoxn=1;2;3;:::BciSgx21RAnp;x22RAn;x23RAn;:::Bjest$"liczbSorwymcigiemCaucrhy'ego,jestzatemzbienydopSewnejliczbyzespSolonej$"xnp.PrzecrhoSdzcwnierwnoci(1.W1)dogranicyprzymUR!1otrzymrujemyq$"(1:W2) Bsup Qn jxkڍn xnpjUR":#$"Wnioskujemry~std,e~fxnpgjest~ciSgiemograniczonymiejestgranicciSgu$"fx21RAnpg;fx22RAng;:::_wnormieprzestrzenib@.!h$"1.6.?Zadanie.ProkXaza,瀻ezbiorycU6wszystkichciSgwzbienychorazc̼0 wszy-$"stkicrh4ciSgwzbienychdozerasdomknitymipSodprzestrzeniamiliniorwymi$"przestrzenib@,szatemprzestrzeniamiBanacrhawnormieoSdziedziczonejzb@.$"1.7.?Przykad.Zbir`21 wszystkicrhabsolutniesumowalnychciSgwliczbze-$"spSolonrychznormZ}ȍ U 38 U ɨfxnpgȍ 38 71=hm1 ]XfkURn=1jxnj"~$"taketrworzyprzestrzeBanacha.{Q5ZupSeno)przestrzeni)`21 'monadorwiepodobniejakzupenoprzestrzeni$"b,naleytrylkosymbSolsupRSn!jzastpiprzezꨟP*U1 U\Un=1${. v 8 5I.PPRZESTRZENIEBANArCHAl 1.8. Przykad.Niecrh1