Zgadywanie wyrazów ciągów, teoria i zastosowania

Zarówno w matematyce jak i w różnych zastosowaniach dość często pojawiają się ciagi takie że potrafimy obliczyć kilkanaście, kilkadziesiąt lub więcej pierwszych wyrazów, ale nie znamy wzoru. Obecnie istnieją programy komputerowe które dla niektórych (stosunkowo ważnych) postaci wzorów potrafią wyznaczyć możliwy wzór gdy są jest dany pewien początkowy podciąg. Ponadto, przynajmniej w niektórych sytuacjach relatywnie łatwo można udowodnić że odgadnięty wzór jest poprawny. Celem pracy byłoby omówienie podstaw teoretycznych i zaprezenowanie na przykładach jak taki program pomaga w rozwiązaniu problemów matematycznych.

Funkcja G Meijera

Dokładne rozwiązania wielu problemów wymagają użycia funckji specjalnych. Funkcja G Meijera jest bardzo ogólną funkcją specjalną (wiele innych funkcji jest jej szczególnym przypadkiem). Dzięki swoim własnościom pomoga ono obliczać wiele całek (szczególnie całek oznaczonych od 0 do nieskończoności). Celem pracy byłoby omówienie podstawowych własności tej funkcji i pokazanie na przykładach jej użycie do obliczania całek.

Funkcje eliptyczne

Funkcje eliptyczne były badane w 19 wieku i wtedy powstała ładna teoria. One i związane z nimi obiekty odgrywają dużą rolę we współczesnej matematyce, do ich badania często stosuje się bardzo zaawansowane metody. Celem pracy byłoby elementarne przedstawienie funkcji eliptycznych, nawiązujące do 19-wiecznych motywacji (związki między analizą (całkowaniem) a algebrą i geometrią) lecz uwzględnijące również nowoczesne aspekty.

Obliczanie funkcji eliptycznych

Funkcje eliptyczne odgrywają dużą rolę we współczesnej matematyce i jej zatosowaniach, dlatego numeryczne obliczanie tych funkcji jest ważne. Dla funkcji eliptycznych można podać bardzo wydajne metody obliczeniowe oparte na specjalnych własnościach tych funkcji. Celem pracy byłoby zaprezentowanie metod obliczania funkcji eliptycznych (włączając całki eliptyczne) ze szczególnym uwzględnieniem obliczeń wielokrotnej precyzji.

Asymptotycznie szybkie obliczanie funkcji typu hipergeometrycznego

Naiwne metody numerycznego obliczania dla większości funkcji elementarnych czy specjalnych prowadzo do dość szybkiego (typowo kwadratowego) wzrostu wymaganej pracy przy wzroście wymaganej dokładności. W 1997 B. Haible i T. Papanikolaou podali metodę pozwalającą znacznie przyspieszyć obliczanie niektórych funkcji przy dużej dokładności (nieco później metodę rozszerzo na większą klasę funkcji). Celem pracy byłoby zaprezentowanie metody i zaprogamowanie jej, porównując wyniki z prostszymi metodami.