Ilustracja do Zadania
Dla parzystego $n$ niech $\omega_n$ oznacza podział $P=[0,1]^2$ na $n^2$ przystających kwadratów.
Oblicz (sprytnie) sumę dolną $s_{\omega_n}$ i sumę górną $S_{\omega_n}$ i porównaj z całką $\ \ \mathop{\int\!\int}\limits_P\{2x\}\;d\omega$.
Poniżej widać ilustracje:
całki podwójnej $\ \int\!\int\limits_{\!\!P}\;\{2x\}\:d\omega=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1+
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=\frac{1}{2}$
jej sumy górnej $S_{\omega_n}=\int\!\int\limits_{\!\!P}\;\{2x\}\:d\omega+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}$
jej sumy dolnej $\ s_{\omega_n}=\int\!\int\limits_{\!\!P}\;\{2x\}\:d\omega-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}
=\frac{1}{2}-\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}$