Odcinek figur

Dynamiczne rysunki w tekście zrobiono w Geogebrze


 

W artykule Środki par zbiorów można zobaczyć, jak tworzyć zbiór środkowy dla danych dwóch figur A, B, zbiór środków odcinków je łączących. Leży on pomiędzy A, B. Tu utworzymy całą kolekcję zbiorów płynnie przechodzących od figury A do figury B - odcinek figur.
Jak? Zobacz.

 

 

Napis  (1 - t) . P + t . Q  ma w tym tekście (jak i w matematyce wyższej) wiele znaczeń.

 

Określenie 1.   Gdy P, Q są liczbami i t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) . P + t . Q
określa liczbę Z taką, że leży ona pomiędzy liczbami P i Q oraz  | Z - P | = t . | Q - P|.
 
Równość  (1 - t) . P + t . Q = P + t . ( Q - P )  można bowiem zinterpretować następująco:
'idź do P, a potem jeszcze przejdź część t odległości Q - P'.
Zatem napis
(1 - t) . P + t . Q ,   t [0, 1]
opisuje cały przedział osi liczbowej o końcach P, Q.

 

Określenie 2.   Gdy P, Q są punktami płaszczyzny i t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) . P + t . Q
określa punkt Z taki, że leży on na odcinku PQ oraz  | ZP | = t . | QP|.
 
Wtedy w układzie współrzędnych, dla P(a, c), Q(b, d) i Z(x, y), mamy
x  =  (1 - t) . a + t . b ,
y  =  (1 - t) . c + t . d .
W tym przypadku napis
(1 - t) . P + t . Q ,   t [0, 1]
opisuje cały odcinek PQ.
Gdy t zmienia się od 0 do 1, to punkt (1 - t) . P + t . Q przebiega cały odcinek.
Ilustruje to poniższy rysunek (kliknij przycisk z lewego dolnego rogu rysunku).

 

To jest Aplet Java utworzony za pomocą GeoGebry z www.geogebra.org - wygląda na to, że nie został zainstalowany program Java, należy przejść do www.java.com

 

Określenie 3.   Gdy A, B są figurami płaskimi i t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) . A + t . B
określa zbiór wszystkich punktów  (1 - t) . P + t . Q ,  gdzie punkt P jest z A i Q jest z B.
 
Oczywiście:
    dla t = 0, mamy   (1 - 0) . A + 0 . B  =  A,   bo 1.P + 0.Q = P i P przebiega całe A,
    dla t = 1, mamy   (1 - 1) . A + 1 . B  =  B,   bo 0.P + 1.Q = Q i Q przebiega całe B,
    dla t = , mamy   (1 - ) . A + . B  =  A + B  =  SA,B , czyli środek zbiorów A, B,
      o czym pisaliśmy już w tekście Środki par zbiorów.

Na poniższym rysunku zobaczysz figury (1 - t) . A + t . B dla wypukłych wielokątów A, B.
Składają się ze zmniejszonych kopii figury A (w skali 1-t) i kopii figury B (w skali t).

 

To jest Aplet Java utworzony za pomocą GeoGebry z www.geogebra.org - wygląda na to, że nie został zainstalowany program Java, należy przejść do www.java.com

 

Określenie 3'.   Gdy A, B są figurami płaskimi, to odcinkiem AB nazywamy kolekcję figur

(1 - t) . A + t . B ,   t [0, 1] .

Na poprzednim rysunku zobaczysz odcinki AB, owe kolekcje, gdy zmieniać będziesz t (kliknij przycisk z lewego dolnego rogu rysunku).

 

 

Trudniej zobaczyć odcinek

(1 - t) . A + t . B ,   t [0, 1] ,
gdy końce, figury A, B nie są wypukłe, np. gdy A = A1A2A3A4 i B = B1B2B3B4B5 są zamkniętymi łamanymi.
Choć A, B mają pole 0, to figury odcinka AB różne od końców, mają (zazwyczaj) pole > 0.
Niektóre z nich (dla pewnych t) są 'dziurawe', inne nie. Ilustruje to poniższy rysunek.
(Można zacząć od prostszych przykładów jedną z łamanych zamieniając na odcinek.)

 

To jest Aplet Java utworzony za pomocą GeoGebry z www.geogebra.org - wygląda na to, że nie został zainstalowany program Java, należy przejść do www.java.com

 

 

Gdy A jest łamaną i B jest kołem, odcinek AB, czyli kolekcja

(1 - t) . A + t . B ,   t [0, 1] ,
wygląda jak kolekcja 'pogrubionych' łamanych.
Układając łamaną w kształt brzegów trójkątów, czy prostokątów, zobaczysz, że odcinki AB wyglądają w tych przykładach stosunkowo prosto.

 

To jest Aplet Java utworzony za pomocą GeoGebry z www.geogebra.org - wygląda na to, że nie został zainstalowany program Java, należy przejść do www.java.com

 

 

Dla figur A, B odcinek AB, kolekcja figur

(1 - t) . A + t . B ,   t [0, 1] ,
stanowi płynne, ciągłe przejście od figury A do figury B. To znaczy przy małej zmianie parametru t mało zmieniają się figury (1 - t) . A + t . B. (Są sposoby mierzenia zmienności figur, odległości między figurami - tu jednak nie będziemy tego precyzować).
To może być przydatne przy tworzeniu... filmów animowanych.
Dawniej, by w takich filmach uzyskać wrażenie ruchu tworzono kadry - rysunki, wiele rysunków na każdą 1 sekundę filmu. Na poszczególnych rysunkach stopniowo Lolek podnosił rękę albo Reksio merdał ogonem. Odcinek AB automatyzuje 'płynne przejście' od A - Bolka zdrowego, z kwadratową głową, do B - Bolka spuchniętego, z okrągłą twarzą (tylko nieco bardziej skomplikowanie niż na powyższym rysunku).
Teraz z łatwością zrobią to komputery. Nie tylko w filmach animowanych.
Można sobie wyobrażać, że tak może działać kompresja, spakowanie filmu na dysk. Zapamiętuje się tylko niektóre fragmenty prawdziwego 24 klatkowego filmu (24 kadry na każdą sekundę filmu), a 'płynność' zapewnia odtwarzacz z programem podobnym do tych dynamicznych obrazków, które tu widzimy. (W praktyce spakowanie filmu jest dużo bardziej skomplikowane, ale pojęcie odcinka pomiędzy figurami tłumaczy, że to jest możliwe.)

 

 

Zamiast twierdzeń opisujących własności odcinka między figurami proponuję trzy zadania, z których najistotniejsze jest 3, w którym ukryte są owe twierdzenia.
Zadania 1 i 2 pozwolą przyjrzeć się bliżej przykładom odcinków figur. 
Kolejne podpunkty zadań 1. 2. są coraz trudniejsze. Zatem warto opuszczać początkowe, gdy wydają Ci się za łatwe. Wystarczy poprawnie rozwiązać zadania 1n) i 2j). Gdy jednak masz z nimi kłopot, to poprzednie podpunkty mogą stanowić wskazówki.

 

Zadanie 1.  Opisz figury  (1 - t) . A + t . B,  dla t = ,  dla t = ,  dla t =  (albo ogólnie, dla dowolnego t, 0 < t < 1), to znaczy opisz ich kształty, podaj obwody i pola,
gdy A, B są takie, jak na rysunku. (Przyjmij, że kratka ma wymiary 1×1.)

a)         b)  
 
c)         d)  
 
e)         f)  
 
g)         h)  
 
i)         j)  
 
k)         l)  
 
m)         n)  

 

Odpowiedzi do zadania 1.i)  

 

Zadanie 2.  Podaj obwody i pola figur  (1 - t) . A + t . B,  dla t = ,  dla t = ,  dla t =  (albo ogólnie, dla dowolnego t, 0 < t < 1), gdy A, B są takie, jak na rysunku. (Przyjmij, że kratka ma wymiary 1×1.)

a)         b)  
 
c)         d)  
 
e)         f)  
 
g)         h)  
 
i)         j)  

 

Zadanie 3.  Odpowiedz na ogólne pytania. Precyzyjnie uzasadnij odpowiedź 'NIE'.

a)  Czy jeśli figury A, B są przystające, to każda figura odcinka AB przystaje do A ?

b)  Czy jeśli figury A, B są przystające, to każde dwie figury odcinka AB różne od końców A, B są przystające?

c)  Czy jeśli figury A, B są podobne, to każda figura odcinka AB jest podobna do A ?

d)  Czy jeśli figury A, B są podobne, to każde dwie figury odcinka AB różne od końców A, B są podobne?

e)  Czy jeśli figura B jest przesunięciem figury A, to każda figura odcinka AB przystaje do A?

f)  Czy jeśli figury A, B są jednokładne, to każde dwie figury odcinka AB są jednokładne?

g)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami, to

Obwód (1 - t) A + t B  =  (1 - t) . ObwódA + t . ObwódB ?

h)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami wypukłymi, to

Obwód (1 - t) A + t B  =  (1 - t) . ObwódA + t . ObwódB ?

i)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami wypukłymi, to

Pole (1 - t) A + t B  =  (1 - t) . PoleA + t . PoleB ?

j)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami wypukłymi, to

Pole (1 - t) A + t B  =  (1 - t)2 . PoleA + t2 . PoleB ?

k)  Czy jeśli A, B są odcinkami, to każda figura odcinka AB różna od końców, ma dodatnie pole?

l)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami i C jest figurą odcinka AB, to każda figura odcinka AC jest figurą odcinka AB ?

m)  Czy jeśli figury A, B są wielokątami wypukłymi i C jest figurą odcinka AB, to każda figura odcinka AC jest figurą odcinka AB ?

Odpowiedzi do zadania 3: