Przed laty popularne było zadanie, a raczej zagadka:

ZADANIE 4.  
Kwadratowa wyspa na kwadratowym jeziorze jest otoczona zewsząd wodą. W najwęższym miejscu woda oddzielająca wyspę ma szerokość s = 1,5 m (jak na rysunku obok).
Jak zbudować kładkę z dwóch desek o długości 1,49 m ?
 
Uwaga.  
Odpowiedź 'wystarczy przeskoczyć' nie jest interesująca. Oczywiście chodzi o kładkę bez gwoździ!

Rozwiązanie.  

 
Można ułożyć te deski w kształt T-kładki, jak na rysunku obok.
Obliczmy minimalną długość x desek, przy której można zbudować T-kładkę.
 
Ponieważ   ZT  =  x/2   (dlaczego?),
więc
    ZW  =  ZT + TW  =  x/2 + x  =  3/2 ^. x.
Z drugiej strony:
    ZW  =  ^. s   (dlaczego?).
Zatem
    x  =  2/3 ^{. .} s  =  1,41 .

ZADANIE 6.  
Wyspa w kształcie sześciokąta foremnego jest otoczona zewsząd wodą. W najwęższym miejscu woda oddzielająca wyspę ma szerokość s = 1,5 m (jak na rysunku obok).
Jakiej długości muszą być dwie deski, by z nich zbudować T-kładkę?

Rozwiązanie.  

 
 
Zauważ, że ZT jest połową boku trójkąta równobocznego o wysokości x/2, czyli
     ZT  =  x/2/ .
Stąd
    ZW  =  x(1 + 1/2/) .
Z drugiej strony: ZW jest bokiem trójkąta równobocznego o wysokości s,
skąd
    ZW  =  2s/   (dlaczego?).
Zatem
    x  =  4/(1 + 2) ^. s .

ZADANIE 3.  
Wyspa w kształcie trójkąta równobocznego jest otoczona zewsząd wodą. W najwęższym miejscu woda oddzielająca wyspę ma szerokość s = 1,5 m (jak na rysunku obok).
Jakiej długości muszą być dwie deski, by z nich zbudować T-kładkę?

Rozwiązanie.  

 
 
Zauważmy, że ZT jest wysokością trójkąta równobocznego o boku x,
więc
    ZW  =  x ^. /2 + x  =  x (1 + /2) .
Z drugiej strony:
    ZW  =  2s   (dlaczego?).
Zatem
    x  =  4/(2 + ) ^. s .

 
Uwaga.  

 
 
Otrzymany wynik:
   x  =  4/(2 + ) ^. s    1,07 ^. s
jest WIĘKSZY od s !!!
 
Widać to też na rysunku obok.
Zatem przy takiej wyspie T-kładki nie są praktyczne!

W powyższych zadaniach odpowiedzi zależą od kształtu wyspy, od szerokości s, ale nie zależą od wielkości wyspy. Wydawać by się mogło, że tak jest dla dowolnego kształtu wyspy.
Jednak tak nie jest. Na poniższym rysunku widać wyspy w kształcie 20-kąta foremnego. Dla 'dużych' wysp odpowiedź zależy tylko od s, natomiast gdy wielkość wyspy jest mała w porównaniu z s, to odpowiedź ZALEŻY od wielkości wyspy (oznaczona jest przez x').

ZADANIE P.   (łatwe!)
Wyspa jest tak mała, że można ją uważać za punkt. Leży dokładnie w środku jeziora w kształcie koła o promieniu s = 1,5 m (jak na rysunku obok).
Jakiej długości muszą być dwie deski, by z nich zbudować T-kładkę?

Rozwiązanie.  

 
 
Wystarczy zoabaczyć trójkąt prostokątny (gdzie?). Wtedy z tw. Pitagorasa mamy
    x ² + (x/2) ²   =   s ² .
Stąd
    x  =  2/ ^. s .

ZADANIE K*.  
Wyspa w kształcie koła o promieniu r = 1 leży po środku jeziora. Szerokość pasa wody jest równa s = 1,5 m (jak na rysunku obok).
Jakiej długości muszą być dwie deski, by z nich zbudować T-kładkę?

Opowiedź.  

 
         

Uwaga.  
Na poniższym rysunku widać jak konstrukcyjnie wyznaczyć długość x dwóch desek tworzących T-kładkę. Dla punktu Z znajdujemy kolejno: W, okrąg o promieniu ZW/2, prostą p, punkty A', B'. Dalej tworzymy końce (czerwone) T-kładki.
Analogiczną konstrukcję można wykonać w zadaniach 3, 4, 6 i P.