Objętości graniastosłupów ściętych

Jak obliczać objętości graniastosłupów ściętych? Zobacz.

Wszystkie rysunki w tym tekście są dynamiczne, można przesuwać <suwaki> znajdujące się z lewej strony.
Rysunki utworzono przy użyciu programu C.a.R. - dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

Graniastosłup prawidłowy, o podstawie będącej n-kątem foremnym A1A2...An, przecinamy płaszczyzną przechodzącą pomiędzy podstawami. Otrzymujemy graniastosłup ścięty.
(Prawdę mówiąc dostajemy dwie bryły - obie są graniastosłupami ściętymi. Dla skupienia uwagi patrzmy tylko na tą dolną: A1A2...AnA1'A2'...An'.)

 

 

Niech P oznacza pole podstawy A1A2...An i niech hk = AkAk'.
Wtedy objętość V tej bryły jest równa

V  =  P . 1/n (h1 + h2 + ... + hn) .

Dla parzystych n dowód można po prostu zobaczyć (przestaw suwak <dowód> ):  

 

 

Co widzisz?
 

Uwaga 1. 
W tym dowodzie korzystaliśmy jedynie z tego, że punkt S jest środkiem symetrii podstawy.
Zatem wzór na objętość jest prawdziwy dla graniastosłupów ściętych o podstawach mających środek symetrii, czyli np. gdy podstawą jest równoległobok (rozważamy tu jedynie graniastosłupy proste - o ścianach bocznych prostopadłych do podstawy).

Dla n = 3 podajemy poniżej dwa dowody wzoru na objętość:

 

 

Uwaga 2. 
Drugi dowód (suwak <dowód> = 2) nie wymaga założenia, że w podstawie jest trójkąt równoboczny; podstawą może być dowolny trójkąt.

Uwaga 3. 
Rozumowanie w dowodzie pierwszym (suwak <dowód> = 1) o 'spadających patyczkach' można uściślić. Pisaliśmy na ten temat w artykułach: Symetryzacja Steinera, Symetryzacja Steinera.

Uwaga 4. 
Pomysł z pierwszego dowodu (suwak <dowód> = 1) można uogólnić. Gdy podstawą jest n-kąt foremny (n dowolne; nieparzyste lub parzyste), to budujemy nad nią nie trzy, a n brył.

Środek S n-kąta foremnego wyznacza podział podstawy na n trójkątów o równych polach. Te trójkąty wyznaczają podział graniastosłupa ściętego na n graniastosłupów ściętych o podstawach trójkątnych. Stosując dla nich wzór na objętość, dostaniemy wzór ogólny:

 

 

Uwaga 5.
Dowód powyższy jest niepełny, zawiera lukę. Brak w nim uzasadnienia równości

hS = 1/n . (h1 + h2 + ... + hn) .
Dla parzystych n jest to niemal oczywiste, dla n = 3 można uzasadniać całkiem elementarnie. Tu pokażemy uzasadnienie wymagające rachunku wektorowego i nieco wyższej matematyki:

- Punkt S jest środkiem ciężkości wierzchołków podstawy, czyli

- Wybierzmy tak układ współrzędnych (na podstawie), by S = (0,0). Wtedy dla współrzędnych punktów Ak = (xk,yk) mamy:

- Równanie płaszczyzny tnącej jest postaci f(x,y) = ax + by + c.

- Reszty dowodzi poniższy rachunek:

 

Uwaga 6.
Wzór

V = P . hS
jest w pewnym sensie lepszy i to z trzech powodów:  

- Jest wygodniejszy w stosowaniu - wystarczy zmierzyć jedną wielkość hn (a nie n).

- Natychmiast z tego wzoru wynika, że gdy będziemy kręcić graniastosłupem prawidłowym wzdłuż osi prostopadłej do podstawy, przechodzącej przez S, to płaszczyzna tnąca będzie wycinała różne graniastosłupy ścięte (o różnych h1,...,hn), ale o tej samej objętości V = P . hS .
(Zakręć bryłą na poniższym rysunku.)

 

 

- Trzeci powód:
Dla dowolnego graniastosłupa ściętego wyciętego z graniastosłupa prostego (o dowolnej podstawie)

V = P . hS ,
gdzie S oznacza środek ciężkości podstawy.
Podamy tu szkic uzasadnienia. Najpierw określimy nieprecyzyjnie pojęcie środka ciężkości figury płaskiej F (dla formalnej definicji potrzebne jest pojęcie całki):

- Podzielmy figurę F o polu P na 'małe' części o polach p1, p2,...,pm i wybierzmy po jednym punkcie Z1, Z2,...,Zm z każdej części.
Punkt S jest środkiem ciężkości figury F, gdy

- Wybierzmy tak układ współrzędnych (na podstawie), by środek ciężkości S = (0,0). Wtedy dla współrzędnych punktów Zi = (xi,yi) mamy:

- Równanie płaszczyzny tnącej jest postaci f(x,y) = ax + by + c.

- Reszty dowodzi poniższy rachunek (formalnie potrzebny tu jest drobny rachunek całkowy):

 

Uwaga 7.
Równość:

V = P . hS  =  P . 1/n (h1+h1+...+hn)
zachodzi dla tych graniastosłupów ściętych, które w podstawie mają wielokąt, w którym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem ciężkości wierzchołków.

 

Na deser zobaczmy, że dla brył wyciętych z graniastosłupów prawidłowych (już niekoniecznie jedną płaszczyzną), zachodzi następujący wzór: