Rozeta opisana na wielościanie

Rysunki dynamiczne 3D utworzono apletem z www.javaview.de/.
Można nimi manipulować trzymając lewy przycisk myszy.


 

 
Badając rozety opisane na wielokątach (na których można opisać koło), okazało się, że ich obwody i pola wyrażają się dość prostymi wzorami (patrz tekst Rozety wpisane i opisane na wielokącie). Co więcej, uzasadnienie owych wzorów było czysto geometryczne i łatwe.
Tu zbadamy analogiczne pojęcie dla wielościanów.

 

 

Określenie.
Gdy na wielościanie można opisać kulę, to można też opisać na nim rozetę utworzoną następująco:
    -   wyznaczamy środek O kuli opisanej na wielościanie,
    -   wyznaczamy promienie tej kuli łączące O z wierzchołkami,
    -   tworzymy kule o średnicach będących owymi promieniami,
    -   rozeta opisana na tym wielościanie jest sumą utworzonych kul.

 

 

      Rozeta opisana na sześcianie
 

Wyznaczymy Pr - pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.

Promień Ro kuli opisanej na sześcianie ma długość połowy przekątnej, Ro = /2 a.
Jej środek O jest punktem przecięcia przekątnych.
Rozeta opisana na tym sześcianie składa się z ośmiu kul o promieniach Rr = Ro/2 = /4 a.
Kule te nachodzą na siebie, nie są rozłączne.

     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa

Powyżej słabo widać, niemal cały sześcian schowany jest we wnętrzu rozety.
Zatem popatrzmy tylko na jedną z tych ośmiu kul i to 'obdartą ze skóry'.

     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa

 

Na powierzchni rozety opisanej na sześcianie:
 
    -   leżą wierzchołki sześcianu ( ),
 
    -   leżą środki krawędzi sześcianu ( ),
 
    -   leżą środki ścian sześcianu ( ),
 
    -   leży punktów sześcianu.
 

Zatem każda z ośmiu kul tworzących rozetę jest opisana na sześcianie (różowym) o krawędzi a/2.

     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa
 
Przy czym tylko część z ich powierzchni tworzy powierzchnię rozety.
Mianowicie, gdy pomyślimy o płaszczyznach ścian tych małych sześcianów (o krawędzi a/2), to podzielą powierzchnie kulek na części: żółte i zielone.
Cała powierzchnia rozety składa się więc z nie nachodzących na siebie części:
z żółtych i z części zielonych. Zatem:
Pr   =   24 . Pżół  +  24 . Pziel ,
gdzie Pżół oznacza pole części żółtej, a Pziel - pole części zielonej.
 
     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa
 
Dalej wystarczy już tylko wyznaczyć te wielkości: Pżół, Pziel.
W tym celu zauważmy, że
6 . Pżół  +  12 . Pziel   =   4Rr2 .
     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa
 
Ponadto, część żółta i cztery części zielone tworzą czaszę o wysokości h = Rr - a/4.
     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa
Już Archimedes znał wzór na pole powierzchni czaszy:   2Rr . h.
 
Zatem mamy układ równań:
6 . Pżół  +  12 . Pziel   =   4Rr2 ,
1 . Pżół  +  4 . Pziel   =   2Rr . h.
Dzieląc pierwsze równanie przez 3 i odejmując od niego drugie, mamy:
Pżół   =   4/3 Rr2 - 2Rr . h .
Uwzględniając to w drugim:
4 . Pziel   =   2Rr . h - ( 4/3 Rr2 - 2Rr . h )
Stąd
Pziel   =   Rr . h - 1/3 Rr2 .
 
Zatem pole rozety jest równe
Pr  =  24 . (Pżół  +  Pziel)  =  24 . ( 4/3 Rr2 - 2Rrh + Rrh - 1/3 Rr2 )  =  24 (Rr2 - Rr h).
 
Uwzględniając, że Rr = /4 a oraz h = Rr - a/4 dostajemy na koniec:
 
Pr  =  24 . (Rr2 - Rr h)  =  24 . ( 3/16 a2 - /4 a (/4 a - a/4 ) )  =  3/2 . a2.
 
Pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a jest równe 3/2 . a2.
 

 

 

Podobnie można wyznaczyć objętość tej rozety. Wszystkie obrazki pozostaną bez zmian. Trzeba jednak znać wzór na objętość odcinka kuli - bryły ograniczonej czaszą kuli i płaszczyzną odcinającą ową czaszę. Objętość odcinka kuli jest równa   Rr2h - h3/3,   gdzie (jak poprzednio) Rr oznacza promień kuli, a h - wysokość czaszy.
 

Zadanie 1.   
Wyznacz Vr - objętość rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.

 

 

Podobnie można zbadać rozetę opisaną na czworościanie foremnym. (Powyższe rysunki trzeba nieco zmodyfikować.)
 

Zadanie 2.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi a.

     

rysunek zastępczy, aplet Javy nie działa

 

 

Poniższe zadanie jest łatwe jeśli odpowiednio użyjemy poprzedniego.
 

Zadanie 3.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w czworościan foremny o krawędzi b.

Wskazówka:
 

 

 

Zadanie 4.   
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w ośmiościan foremny o krawędzi b.