Napis: 0,7272727272727272... jesteśmy przyzwyczajeni traktować jak liczbę. Powstaje on na przykład przy dzieleniu pisemnym: 0,7272... 8 : 11 0 80 77 30 22 80 77 30 22 8 ... Uważamy więc, że napis ten reprezentuje tę samą liczbę co ułamek 8/11 (lub ułamek 16/22) : 0,7272727272727272... = 8/11 . Podobnie jest z: 0,666666... = 2/3 . Zgadzamy się też, że 2/3 = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ... , bowiem dodając pisemnie: 0,6 0,06 0,006 + 0,0006 0,00006 . . . 0,6666666666... widzimy tezę.
Trudniej jest zobaczyć wynik dodawania: 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ... Równość tę można 'wyczytać' z rysunku obok.
Wyraźnie podkreślmy:
Ani w dzieleniu pisemnym, ani w dodawaniu pisemnym, w żadnym momencie nie doszliśmy do wyniku. Otrzymaliśmy wynik po 'wykonaniu' pewnej nieskończonej operacji (dzielenia czy dodawania) i powstał on nie rachunkowo lecz w wyobraźni.
Dodawać będziemy wszystkie następujące liczby:
, -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, ... (16 dodatnich i 16 ujemnych) ..., , -, , -, , -, ... (32 dodatnie i 32 ujemne) ..., , -, , -, , -, ... (64 dodatnie i 64 ujemne) ..., ...
Najłatwiej jest je dodać tak, jak zostały wymienione:
Widać, że po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy 0 (słownie: zero).
Gdy dodawać będziemy w innej kolejności, dzieją się 'dziwne rzeczy'. Popatrz...
Widać, że teraz po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy 1 (słownie: jeden).
Gdy dodawać będziemy w jeszcze innej kolejności, na przykład takiej:
otrzymamy 2 (słownie: dwa).
A co dostaniemy przy dodawaniu w poniższej kolejności?
Tak, dobrze widzisz, 5/4 (słownie: pięć czwartych).
Nietrudno wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik 1/2. Wypisz 100 początkowych składników tego dodawania.
Trochę trudniej wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik 3/4. Wypisz 100 składników.
Podaj kolejność dodawania, przy której otrzymamy wynik (-1) (słownie: minus jeden). Wypisz 100 składników.
Czy jest takie ustawienie, przy którym suma jest równa 1/3?
Tak. Trzeba ustawić składniki według następującego algorytmu:
- jeśli suma dotychczas wybranych składników jest mniejsza od 1/3, wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę dodatnią, - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest większa lub równa 1/3, wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę ujemną.
Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy (-17/13), to wygenerowane ustawienie da sumę równą właśnie (-17/13).
Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy , to wygenerowane ustawienie da sumę równą .
Formalne uzasadnienie powyższych stwierdzeń niewiele się różni od zrozumienia działania powyższego algorytmu.
Gdy przestawimy składniki następująco:
'na końcu' nie otrzymamy 'żadnej sumy'. Częściowe sumy będą 'biegać' od 0 do 1 i z powrotem, nieskończenie wiele razy. Zadziwiające?
Powyższe rozważania matematyka wyższa kwituje stwierdzeniem:
Twierdzenie (Riemanna). Niech szereg an będzie zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny. Wtedy dla dowolnej liczby c istnieje taka permutacja p wyrazów szeregu, że ap(n) = c. Istnieje też permutacja q wyrazów, przy której szereg aq(n) jest rozbieżny.
Bezwzględna zbieżność szeregu oznacza, że jest on zbieżny także po wstawieniu wartości bezwzględnej nad każdym składnikiem.