Tematy prac magisterskich

1. Czy funkcja rzeczywista może być trochę nieciągła?
Zastanawiamy się, jakie własności ma zbiór punktów ciągłości funkcji rzeczywistej. W szczególności udowadniamy wzajemną odpowiedniość pomiędzy zbiorami ciągłości funkcji rzeczywistych a zbiorami typu G_delta. Pokazujemy też, że zbiór punktów nieciągłości funkcji pierwszej klasy Baire'a jest zbiorem pierwszej kategorii Baire'a.

2. Jak wyglądają funkcje addytywne?
Funkcja rzeczywista jest addytywna, jeśli spełnia warunek f(x)+f(y)=f(x+y) dla dowolnych x,y. Pokazujemy, że jedynymi addytywnymi funkcjami ciągłymi są funkcje liniowe. Potem rozszerzamy ten wynik na funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a. Wreszcie podajemy przykład funkcji addytywnej, która nie jest liniowa.

3. Czy zbiór półdomknięty jest półotwarty?
Mówimy, że zbiór jest domkniety jeśli jest równy swojemu (topologicznemu) domknięciu. Tę definicję można na różne sposoby modyfikować i otrzymywać zbiory o nieco innych własnościach: uogólnione zbiory domkniete, zbiory półdomknięte itd. Celem pracy jest zbadanie podstawowych własności tych pojęć.
Ta praca może być dla dwóch osób. Wymagana znajomość języka angielskiego.

4. Jakie konsekwencje ma Hipoteza Continuum?
Hipoteza Continuum mówi, że każdy nieprzeliczalny podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest mocy continuum. Nie da się wprawdzie udowodnić, że Hipoteza Continuum jest prawdziwa bądź fałszywa, ale można badać, co by było, gdyby jednak była prawdziwa.
Ta praca może być dla dwóch osób. Wskazana znajomość języka angielskiego.

5. Czy T2+T2=T4?
Wprowadzamy topologiczne aksjomaty oddzielania: T0, T1, T2, T3, T3,5, T4, T4,5, T5 i T6 (są to aksjomaty mówiące o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych). Pokazujemy, które z tych aksjomatów wyznaczają te same klasy przestrzeni topologicznych, a które różne.

6. Jak z ułamka zrobić łańcuch?
Wprowadzamy pojęcie ułamka łańcuchowego, pokazujemy różne podstawowe własności ułamków łańcuchowych, a nastepnie udowadniamy twierdzenie mówiące, że zbiór liczb z odcinka (0,1), które dają się przedstawić w postaci ułamka łańcuchowego o wspólnie ograniczonych mianownikach, jest miary Lebesgue'a zero. Wskazana znajomość języka rosyjskiego.

Jestem też otwarty na propozycje tematów pochodzące od studentów.


Powrót
do strony głównej