\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 10.\\
\\
Pochodne wy�szych rz�d�w
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip

\item{c10.1}  Obliczy� pochodne funkcji:

(a) $f(s) =s^{\frac{2}{3}}+3s^{\frac{1}{4}}-2s^{-3},$ (b)
$y=z^{\frac{5}{2}}-(z^2+1)^{\frac{2}{3}},$ (c) $u\to
\frac{u^{\frac{1}{3}}-2u^{\frac12}}{u^{\frac{2}{5}}+3u}$ (d)
$\frac{d}{dz}\bigg(\frac{\sqrt{z}+2}{\root 3\of{z^3-1}}\bigg)$
\medskip

\item{c10.2} Zr�niczkowa� funkcj�

(a) $g(w)=(w^{\frac{2}{3}}+1)(w^{\frac12}
-w^{\frac{1}{4}})^{\frac12},$ (b) $f(t) =(\root
5\of{t^3-1}+t^2)(\sqrt t-1)^4 $.

\medskip

\item{c10.3} Pokaza�, �e funkcja $x\to \sqrt{|x|}$ jest
r�niczkowalna w ka�dym punkcie poza $0$ oraz ,�e
$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{|h|}}{h}$ nie istnieje.

\medskip

\item{c10.4}

(a) Niech $y=x^3-x^2+3x+1.$ Znale�� $\frac{d^2y}{dx^2}.$ (b)
Znale�� trzeci� pochodn� funkcji $z\to
z^{\frac{5}{2}}-2z^{\frac{2}{3}} +z.$ (c) Znale�� drug� pochodn�
funkcji $u\to (1-\sqrt{u})^5.$
\medskip

\item{c10.5} Dla nast�puj�cych funkcji znale�� przedzia�y, w
kt�rych funkcja ro�nie i przedzia�y, w kt�rych funkcja maleje.

$\quad f(x) = \sqrt{1+x^3}$ (b) $h(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}$
(c)  $g(y)= \frac{y}{3}+ y^{\frac{2}{3}}-8y^{\frac{1}{3}}$ (d)
$f(x)=x^2(x-1)^{\frac{1}{3}}.$

\bigskip

\head Zadania\endhead


\item{z10.1} Poda� dow�d Twierdzenia 10.7 w przypadku $f'(x)<0$
i twierdzenia 10.9 w przypadku $f'(x)\xleq 0$.

\medskip

\item{z10.2}

(a) Niech $f(0)=2$, $f'(0)=-4$, $f''(0)=\frac{1}{5}$, $g(0)=10$,
$g'(0)=2$, $g''(0)=-1$. Znale�� $(f\cdot g)''(0)$.

(b) Niech $G(x)=H(x)^3$, $H(1)=2$, $H'(1)=\frac{1}{3}$,
$H''(1)=\frac{1}{4}.$ Znale�� $G''(1)$.

(c) Niech $\phi(s)=\sqrt{1-\psi(s)}$ oraz $\psi(-2)=-3$,
$\psi'(-2)=3$ , $\psi''(-2)=5$. Znale�� $\phi''(-2)$.
\medskip

\item{z10.3}  Niech $h(x)=x^2+x+\sqrt{x}$. Znale�� $k$-t�
pochodn� funkcji $h$ dla $k=1,2,3,\dots.$
\medskip

\item{z10.4} (a) Niech $f(x) =\frac{2x^2+x+1}{3x^2+1}$. Znale��
przedzia�y w kt�rych funkcja $f$ maleje i przedzia�y w kt�rych
funkcja $f$ ro�nie. Naszkicowa� wykres funkcji $f$. (b) Niech
$$
g(x)=\cases\frac{1}{x^2}&\text{ dla } x\neq 0\\ 0&\text{ dla
}x=0\endcases.
$$
Znale�� przedzia�y w kt�rych funkcja $g$ maleje.
\medskip

\item{z10.5} Udowodni� twierdzenia 10.6. i 10.7. korzystaj�c z
twierdzenia o warto�ci �redniej.
\enddocument
