\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 11.\\
\\
Maksima i minima funkcji
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c11.1} Znale�� maksimum i minimum funkcji

(a) $f(x)= \frac{x^2+5}{x+2}$ w przedziale $[0,10]$.

(b) $f(x)=  \frac{x^2+5}{x+2}$ w przedziale $[0,+\infty)$.

(c) $ f(x) =\frac{2+x-x^2}{2-x+x^2}$ w przedziale $[-4,4]$

\item{c11.2} Niech $h(z) =\frac{z^3}{z^4+27}$. Znale��
przedzia�y, w kt�rych funkcja $h$ jest rosn�ca i przedzia�y,
w kt�rych $h$ jest malej�ca. Znale�� maksimum funkcji $h$.


\item{c11.3}  Niech $f(x) = x^3 -12x +11$. Znale�� punkty gdzie
$f$ ma
lokalne minima i maksima, oraz przedzia�y gdzie $f$ jest wypuk�a
i wkl�s�a. Naszkicowa� wykres funkcji $f$.

\item{c11.4} Niech $f(x) = \frac{|x|}{x^2+1}$. Znale�� punkty
gdzie $f$ ma
lokalne minima i maksima, oraz przedzia�y gdzie $f$ jest wypuk�a
i wkl�s�a. Naszkicowa� wykres funkcji $f$.
\newline{\bf Wskaz�wka.} Rozwa�y� osobno przedzia� $(-\infty,0)$ i
przedzia� $(0,+\infty)$.

\item{c11.5} Niech $f(x) = (x^2+x+1)^{\frac{1}{3}}$. Znale��
punkty gdzie $f$ ma
lokalne minima i maksima, oraz przedzia�y gdzie $f$ jest wypuk�a
i wkl�s�a. Naszkicowa� wykres funkcji $f$.

\bigskip

\head Zadania
\endhead
\medskip

\item{z11.1} Udowodni� drug� implikacj� w twierdzeniu 11.4

\item{z11.2} Udowodni�, �e dla ka�dego $n\in \bold Z$ funkcja
$x\to x^n$ jest kawa�kami monotoniczna. Wywnioskowa� st�d,
�e funkcja $x\to x^{\frac{1}{n}}$ jest te� kawa�kami
monotoniczna.

\item{z11.3} Poda� przyk�ad funkcji ci�g�ej na przedziale
$(0,1)$, kt�ra ma lokalne maksimum i nie przyjmuje maksimum na tym
przedziale.

\item{z11.4} Ilo�� gazu produkowana przez piec w gazowni przy
temperaturze
$500^{\circ}$ wynosi $3m^3$ na minut� ($m^3/min$) i wzrasta o
$0,1m^3$ na minut� przy podniesieniu temperatury pieca o
$1^{\circ}$ w przedziale do $[500^{\circ},800^{\circ}]$. Powy�ej
$800^{\circ}$ ilo�� gazu produkowana zwi�ksza si� do $0,15
m^3/min$ na ka�dy stopie� wzrostu temperatury. Koszt utrzymania pieca w
temperaturze $T$ przez godzin� wynosi $500+(T-50)^2$ z�. $1m^3$
gazu gazownia sprzedaje za 1 z�. Przy jakiej temperaturze
produkcja gazu jest najbardziej op�acalna?

\item{z11.5} Korytarz o szeroko�ci 90 cm  przecina si� pod
k�tem z szerokim korytarzem. O�miometrowy kij jest przesuwany
w�skim korytarzem po pod�odze. Jak szeroki musi by� szeroki
korytarz aby mo�na by�o kij przepcha� po pod�odze do szerokiego
korytarza
i przesuwa� go dalej szerokim korytarzem.
\enddocument
