\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 12.\\
\\
Badanie przebiegu funkcji. Pierwotna
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c12.1} U�ywaj�c 12.1 (1)-(6) zbada� przebieg
nast�puj�cych funkcji:
\newline(a) $f(x) = x^3+3x^2-24x+20$,
\newline(b) $f(x) = \frac{x^5}{5}-
\frac{7x^4}{2}+15x^3$
\newline(c) $y=\frac{x-1}{(x+1)^2}$
\newline(d) $h(s)=
\frac{2-s+s^2}{2+s-s^2}$


\item{c12.2} U�ywaj�c 12.1 (1)-(6) zbada� przebieg
nast�puj�cych funkcji:
\newline(a) $f(x) =\frac{|x|}{x+1}$,
\newline(b) $g(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
\newline(c) $ t\to t\sqrt t +5t+3\sqrt t$
\newline(d) $ t\to t\sqrt t +4t-3\sqrt
t$.


\item{c12.3} U�ywaj�c 12.1 (1)-(6) zbada� przebieg
nast�puj�cych funkcji:
\newline(a) $y=\frac{8}{x^3} -\frac{6}{x}$
\newline(b) $g(x)=(x^2+x+1)^{\frac{1}{3}}$
\newline(c) $F(z) =(z-1)^2\root 3\of z$
\newline(d) $y=(x-1)^{\frac{1}{3}}+(x+1)^{\frac{1}{3}}$.

\item{c12.4} Znale�� pierwotne funkcji:
\newline(a) $x\to (x+1)^9$,
\newline(b) $s\to s^4+4s^3+4s-2$,
\newline(c) $u\to u^{\frac{1}{3}}+3u^{\frac{1}{2}}$
\newline(d)$f(z)=\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}$.

\item{c12.5}  Zastosowa� wz�r na ca�kowanie przez cz�ci do
znalezienia
\newline(a) $\int (x-1)^2(x+1) dx$,
\newline(b) $\int y(y+1)^{\frac{1}{2}}$,
\newline(c)$\int f(x)g(x) dx,$ gdzie $f(x)=2x+1,g(x)= (x+1)^2$.

\medskip

\head Zadania\endhead
\medskip

\item{z12.1} Zbada� przebieg funkcji $\root
4\of{x^4+|x|^3+x^2+|x|+1}$, i naszkicowa� wykres.

\item{z12.2} Udowodni�, �e je�li $g$ jest wielomianem stopnia
$n-1$, to $\lim_{x\to+\infty}\frac{\root n\of{ x^n +g(x)}}{x}=1$

\item{z12.3} Niech $f(x)=\frac{1}{(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)}$,
gdzie liczby $a_1,..,a_n$ s� r�ne. Znale�� asymptoty funkcji
$f$.

\item{z12.4} Znale�� funkcj� $F$ tak�, �e
\newline(a)
$F''(s)=6s+1\quad F(0)=2, \quad F(1)=0$,
\newline(b) $F^{(4)}=24,\quad
F^{(3)}(0)=6,\quad F''(0)=2,\quad F'(0) =1,\quad F(0)=0$,
\newline(c)
$F^{(n)}=n!\quad n=0,1,\dots,100$.

\item{z12.5} Znale�� pierwotn� funkcji $F(x)=f(x)'+x^2$, gdzie
$f(x) = 2x^2+1$.
\enddocument
