\hsize 159 truemm
\hoffset -5truemm
\vsize 240 truemm
\voffset -5truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 15.\\
\\
Pola figur p�askich i obj�to�ci bry�
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip

\item{c15.1} Obliczy� pola obszar�w z przyk�ad�w 15.2 (b), (c)
i (d) tak jak w drugiej cz�ci przyk�adu (a) zamieniaj�c rolami
osie $x$-�w i $y$-�w.

\item{c15.2} Na�laduj�c przyk�ad 15.3 (b) obliczy� obj�to��
sto�ka $S$, ograniczonego powierzchni� jak� otrzymujemy
obracaj�c prost� $z=2x$ dooko�a osi $z$-�w i p�aszczyzn�
poziom� $z=h$.



\item{c15.3} Na�laduj�c przyk�ad 15.3 (b) obliczy� obj�to��
bry�y $S$, ograniczonej powierzchni� jak� otrzymujemy obracaj�c
krzyw� $z=x^4$ dooko�a osi $z$-�w i p�aszczyzn� poziom�
$z=h$.

\item{c15.4} Obliczy� pole figury $R$ ograniczonej krzywymi

(a) $y=x^3$ i $y=x^2$, (b) $y=x^{1/3},\  x=0,\ y=1 $, (c) $y=x^2,\
y=x+2$.

\item{c15.5} Obliczy� obj�to�� bry�y obrotowej $B$ , kt�ra
powstaje przez obr�t dooko�a osi $x$-�w obszaru $R$ w
p�aszczy�nie $(x,y)$ ograniczonego krzywymi $y=1-x^2,\ x=0,\
x=1$.

\head Zadania\endhead
\medskip

\item{z15.1} Niech $B$ b�dzie bry�� o podstawie kwadratowej
ograniczonej prostymi $x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1$ w p�aszczy�nie
$(x,y)$ p�aszczyznami r�wnoleg�ymi do osi $z$-�w
przechodz�cymi przez boki kwadratowej podstawy oraz p�aszczyzn�
$z=x+y+1$. Dziel�c podstaw� na ma�e kwadraty i wpisuj�c w $B$
prostopad�o�ciany o podstawach b�d�cych ma�ymi kwadratami
przybli�y� {\it od do�u} obj�to�� bry�y $B$ z
dok�adno�ci� $0,1$.


\item{z15.2} Obliczy� obj�to�� bry�y $B$ , kt�rej podstaw�
jest tr�jk�t $\{(x,y):0\xleq x\xleq 1,\ 0\xleq y\xleq x$ a
przeci�cie $B$ p�aszczyzn� prostopad�� do osi $x$-�w jest
kwadratem.

\item{z15.3} Obliczy� obj�to�� bry�y $B$, kt�rej podstaw�
jest tr�jk�t $\{(x,y):0\xleq x\xleq 1,\ 0\xleq y\xleq x$ a
przeci�cie $B$ p�aszczyzn� prostopad�� do osi $y$-�w jest
p�kolem.

\item{z15.5} Obliczy� obj�to�� bry�y obrotowej $B$ , kt�ra
powstaje przez obr�t dooko�a osi $y$-�w obszaru $R$ w
p�aszczy�nie $(x,y)$ ograniczonego krzywymi $y=x^{1/3},\ x=0$
 i styczn� do $y=x^2+1$ w punkcie $x=1$.
 \enddocument
