\magnification=1200
\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 19.\\
\\
Funkcja wyk�adnicza -- zastosowania
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip

\item{c19.1} Znale�� granice: (a) $\lim_{x\to
+\infty}\big(1+\frac{1}{x}\big)^{x+2}$,
\newline (b) $\lim_{x\to+\infty}\big(1+\frac{1}{x+1}\big)^{x}$,
\newline (c) $\lim_{x\to 0}(1+4x)^{3x}$
\newline (d) $\lim_{x\to 0}(1-x)^{\frac{x+1}{x}}$,
\newline (e) $\lim_{u\to 0}\frac{2^{2u}-2^{u+1}+1}{u^2}$.


\item{c19.2} W eksperymencie kultura bakterii rozmna�a si� w
sprzyjaj�cych warunkach i pocz�tkowo sk�ada si� ze 100 bakterii.  2 godziny p�niej kultura zawiera 500
bakterii. Ile bakterii b�dzie w kulturze po up�ywie dw�ch dni od
pocz�tku eksperymentu?


\item{c19.3} Upro�ci�: (a) $\cosh\log t$,
\newline (b) $\sinh \log t$.

\item{c19.4} Niech $\text{tgh } t = \frac{\sinh t}{\cosh t}$.
Udowodni� $\frac{d\text{ tgh }t}{dt}=\frac{1}{\cosh^2 t}.$

\item{c19.5} Obliczy�: (a) $\int\frac{\sinh u}{\cosh u} du$,
\newline (b) $\int\cosh u^2 du$,
\newline (c) $\int \cosh^3 z \sinh z dz$,
\newline (d) $\int t\sinh t dt.$

\head Zadania\endhead

\item{z19.1} Udowodni�, �e $\lim_{x\to-\infty}\text{tgh}(x)=-1$,
$\lim_{x\to+\infty}\text{tgh}(x)=1$.

\item{z19.2} Udowodni� $\sinh(x+y) = \sinh x\cosh y
+ \cosh x\sinh y$. Udowodni� odpowiednie twierdzenia dla
$\cosh(x+y)$ i
$\text{tgh}(x+y).$

\item{z19.3} Wyrazi� $\frac{d}{dx}\log(\sinh x)$ u�ywaj�c
funkcji wyk�adniczej.

\item{z19.4} Udowodni� twierdzenie 19.7.

\item{z19.5} Oblicz:
$$
\text{(a) }\int\frac{\text{tgh }u}{1-\text{tgh}^2\ u}\ du,\quad\text{(b)
}\int\frac{dx}{x\sqrt{1-9x^2}},\quad\text{(c) }\int\frac{xdx}{1-x^4}.
$$



\enddocument
