\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 22.\\
\\
Zastosowania wzoru Taylora
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip
\item{c22.1} Udowodni� (a) $\binom{n}{j}=\binom{n}{n-j}$,
\newline (b) $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$,
\newline (c) $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n $,
\newline (d) $\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}=0$.


\item{c22.2} Obliczy� u�ywaj�c wzoru z 22.3. przy zadanym $n$
i oszacowa� b��d: (a) $\root 3\of{0,97}\quad n=3$,
\newline (b) $\root 3\of{1,02}\quad n=3$,
\newline (c) $\root 5\of{0,98}\quad n=3$,
\newline (d) $(1,1)^{1,1}\quad n=3$,
\newline (e) $\sqrt{1.4}\quad n=4.$

\item{c22.3} Znale�� $n$-ty wielomian Taylora oraz reszt�
funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$: (a)  $f:x\to
\frac{1}{1+x^{10}}$,
\newline (b) $f:x\to \frac{1}{1-x^8}$,
\newline (c) $f:x\to \frac{x^2}{1+x}$,
\newline (d) $f:x\to \frac{x^3}{1+x^5}$.

\item{c22.4} U�ywaj�c metody opisanej w 22.7. znale��
przybli�enie warto�ci logarytmu przy zadanym $m$ i oszacowa�
b��d: (a) $\log\frac{3}{2}\quad m=1$,
\newline (b) $\log 3\quad m=2$,
\newline (c) $\log\frac{5}{4}\quad m=1$.

\item{c22.5} U�ywaj�c metody opisanej w 22.8. znale��
przybli�enie warto�ci $\arctg$ przy zadanym $n$ i oszacowa�
b��d: (a) $\arctg \frac{1}{5}\quad n=2$,
\newline (b) $\arctg \frac{1}{7}\quad n=2$,
\newline (c) $\arctg \frac{1}{8}\quad n=2$,
\newline (d) $\arctg 1\quad n=5$.

\head Zadania\endhead

\item{z22.1} Udowodni� $\sum_{k=0}^mk\binom{m}{k}=m2^{m-1}$.

\item{z22.2} Znale�� $n$-ty wielomian Taylora funkcji $x\to
(a+x)^\alpha$ w punkcie
$x_0=0$ dla $\alpha\neq 0$, $a>0$ oraz reszt� $R_{n+1}(x)$.

\item{z22.3} Obliczy� liczb� $\pi$ z dok�adno�ci� $0,001$
u�ywaj�c wzor�w (9) lub (11). Poda� podobne wzory
do (11) iteruj�c wz�r na tangens sumy.

\item{z22.4} Udowodni�, �e $e^2$ nie jest liczb� wymiern�.
Czy istnieje $k$ takie, �e dla pewnej liczby wymiernej $w$
$e=\root k\of w$?
\enddocument
