\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 23.\\
\\
Ci�gi
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip
\item{c23.1} Wypisa� 6 pierwszych wyraz�w nast�puj�cych
ci�g�w: (a) $a_n=n^2-n\quad n=1,2,\dots$,
\newline (b) $k_b=b^2-b\quad b=0,1,\dots$,
(c) $a_\lambda=(-1)^\lambda(\lambda-1)^3\quad \lambda=1,2,\dots$,
\newline(d) $n_j=\frac{j}{j^2+1},\quad j=0,1,\dots$,
(e) $b_k=(-2)^k,\quad k=0,1,\dots$,
\newline (f) $x_1=1, x_2=2,\quad x_n=2x_{n-1}-x_{n-2}$,
(g) $a_r=\frac{2r+1}{2r},\quad r=5,6,\dots$.

\item{c23.2} (a) Poda� przyk�ad ci�gu zbie�nego do $0$
maj�cego niesko�czenie wiele wyraz�w dodatnich i niesko�czenie
wiele wyraz�w ujemnych.
\newline (b) Czy ci�g $a_n=\sin n$ jest zbie�ny?
Uzasadni�.
\newline (c) Czy istnienie granicy $\li a_{n+m_0}$
poci�ga istnienie granicy $\li a_n$?

\item{c23.3} (a) Udowodni�, �e ci�g $a_n=\frac{n}{n+1},\quad
n=0,1,\dots$ jest zbie�ny do $1$.
\newline(b) Udowodni�, �e ci�g
$e_j=\frac{1}{\sqrt j},\quad j=1,2,\dots$ jest zbie�ny do $0$.
\newline (c) Udowodni�, �e $\li\sqrt{4+\frac{1}{n}}=2$.

\item{c23.4}   W nast�puj�cych przyk�adach rozstrzygn�� czy
ci�g jest zbie�ny do granicy sko�czonej, rozbie�ny do
$+\infty$ lub $-\infty$, czy te� nie ma granicy sko�czonej ani
niesko�czonej.
W przypadku gdy granica istnieje  znale�� t� granic�.
(a) $a_n=\frac{2n^3-n}{3n^3+n^2+1}\quad n=0,1,\dots$,
\newline (b) $a_n=\frac{1-
2n^2}{1+n-n^2},\quad n=1,2,\dots$,
(c) $u_n=\frac{n^3-3n+4}{n^2+n},\quad
n=1,2,\dots$,
\newline (d) $u_\l=\frac{\l!+1}{\l!-1},\quad\l=2,3,\dots$.
(e) $a_n=\frac{(n+3)!-n!}{(n+4)!},\quad n=0,1,\dots$,
\newline (f) $c_j=\frac{8^j-4^j}{3^j},\quad j=1,2,\dots$.

\item{c23.5} Znale�� kres g�rny  i kres dolny nast�puj�cych
zbior�w: (a) $\{x: 1-(\frac12)^n<x<2-(\frac12)^{2n},\quad
\forall_{n=1,2,\dots}\}$,
\newline (b) $\{x:0<x,  x^2 \leq 2\}$,
\newline (c) $\{\frac{x^2+1}{x^2-1}:
x\in \bold R\}.$

\item{c24.6} Poda�, kt�re z ci�g�w $a_n\quad n=1,2,\dots$ s�
rosn�ce, niemalej�ce, nierosn�ce czy malej�ce, ograniczone,
zbie�ne. W przypadku ci�g�w zbie�nych
znale�� $\li a_n$, w przypadku ograniczonych znale��
$\sup\{a_n:n=1,2,\dots\}$ i  $\inf\{a_n:n=1,2,\dots\}$.
(a) $a_n=\frac{2n-1}{3n+4}$
\newline (b) $a_n=\frac{n^2+1}{n^2+n}$,
\newline (c) $a_n=\frac{1\cdot2\cdot\dots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot(2n)}$,
\newline (d) $a_n=\frac{n}{\log n!}.$

\head Zadania\endhead

\item{z23.1} Udowodni�, �e je�li zbi�r $A$ jest ograniczony od
g�ry, to istnieje ci�g niemalej�cy $a_n, \quad n=1,2,\dots$
element�w zbioru $A$ taki, �e $\li a_n= \sup A$.

\item{z23.2} Udowodni� jedyno�� kresu g�rnego zbioru oraz
udowodni� istnienie i jedyno�� kresu dolnego zbioru
ograniczonego od do�u.

\item{z23.3} Sformu�owa� i udowodni� twierdzenie 23.18. dla
ci�g�w nierosn�cych.

\item{z23.4} Udowodni� nast�puj�ce twierdzenie
\proclaim{Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa} Je�li $a_n\quad
n=0,1,\dots$
jest ci�giem ograniczonym, to zawiera on podci�g zbie�ny.
\endproclaim
{\bf Wskaz�wka.}  Poniewa� ci�g jest ograniczony, wi�c istnieje liczba
ca�kowita $u_0$ taka, �e przedzia� $I_0=(u_0,u_0+1]$ zawiera
niesko�czenie wiele element�w ci�gu, w przedziale $I_0$ istnieje
przedzia�
$$
I_1=(u_0+\frac{u_1}{10}, u_0+\frac{u_1+1}{10}]\quad 0\xleq
u_1\leq 9,
$$
kt�ry
zwiera niesko�czenie wiele element�w ci�gu, w przedziale $I_1$
istnieje
przedzia�
$$
I_2=(u_0+\frac{u_1}{10}+\frac{u_2}{10^2},
u_0+\frac{u_1}{10}+\frac{u_2+1}{10^2}]\quad 0\xleq u_2\xleq
9
$$
kt�ry zwiera niesko�czenie
wiele element�w ci�gu i tak dalej. Wybieramy po jednym elemencie ci�gu
z ka�dego z przedzia��w $I_0$, $I_1$, $I_2,\dots$, i otrzymujemy
podci�g zbie�ny do liczby $u_0,u_1u_2\dots$.
\enddocument
