\magnification=1200
\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 26.\\
\\
Funkcje analityczne
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead


\item{c26.1} Znale�� promie� zbie�no�ci nast�puj�cych
szereg�w: (a) $\sum_{n=0}^\infty nx^n$,
(b) $\sum_{n=0}^\infty\frac{2n-1}{3n+1}x^n,$
\newline (c) $\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n,$
(d) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\dots\cdot(2n-1)}
{2\cdot5\cdot8\cdot\dots\cdot (3n-1)}(x-1)^n$,
\newline (e) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1\cdot5\cdot9\cdot\dots\cdot(4n-3)}
{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot (2n)}(x+2)^n$,
(f) $\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{n!}x^n.$

{\bf Wskaz�wka:} Zastosowa� kryterium ilorazowe do zbadania zbie�no�ci czy
rozbie�no�ci odpowiednich szereg�w.
\medskip

\item{c26.2} Znale�� szereg Taylora funkcji $f(x)$ wok� danego punktu $x_0$ i
promie� zbie�no�ci znalezionego szeregu: (a) $f(x)=1/\sqrt x$, $x_0=1$,
(b) $f(x)=x^{2/3}$, $x_0=1$,
\newline (c) $f(x)=x^{-1/4}$, $x_0=16$,
(d) $f(x)=1/(2-x)^2$, $x+0=0$,
\newline (e) $f(x)=\sqrt{1-x}$, $x_0=0$,
(f) $f(x)=\sin x$, $x_0=\pi/6$,
\newline (g) $f(x)=2^x$, $x_0=1$,
(h) $f(x)=x^4/(1-x)$, $x_0=0$,
\newline (i) $f(x)=e^{x^2}$, $x_0=0$.

{\bf Wskaz�wka:} Cz�sto najpro�ciej jest znale�� szereg Taylora danej funkcji poprzez manipulowanie
znanym szeregiem Taylora innej funkcji.
\medskip

\head Zadania
\endhead

\item{z26.1} Za��my, �e
$\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg| = L$. Udowodni�, �e
szereg $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ ma promie� zbie�no�ci $R$
r�wny $\frac{1}{L}$, je�li $L\neq 0$ oraz $R =\infty$, gdy $L=0$.
\medskip

\item{z26.2} Niech $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ ma promie� zbie�no�ci
$R$. Niech $p$ b�dzie ustalon� liczb�. Jaki promie�
zbie�no�ci ma szereg
$$
\sum_{n=0}^\infty p^n a_nx^n.
$$
\medskip

\item{z26.3}  U�ywaj�c tylko rozwini�� w szeregi Taylora funkcji
i twierdzenia 26.1 udowodni�, �e: (a) $\frac{d\sin x}{dx}= \cos x$,
\newline (b) $\frac{d\cos x}{dx}= -\sin x$,
\newline (c) $\frac{d\arctg x}{dx}= \frac{1}{(1+x^2}$.
\medskip

\item{z26.4}  Niech $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ ma promie� zbie�no�ci
$R$. Niech $k$ b�dzie ustalon� liczb� naturaln�. Jaki promie�
zbie�no�ci ma szereg
$$
\sum_{n=0}^\infty a_nx^{nk}.
$$
\medskip

\item{z26.5} Niech $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ ma promie� zbie�no�ci
$R$. Niech $k$ b�dzie ustalon� liczb� naturaln�. Jaki promie�
zbie�no�ci ma szereg
$$
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^{n+k}.
$$

\enddocument
