\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 3.\\
\\
LICZBY  RZECZYWISTE
\endhead

\medskip
\head
�wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c3.1} Niech $x=0,456370700700007....$ i $y=0,4563(707)$,
kt�ra z tych liczb jest wi�ksza?
\medskip

\item{c3.2} Znale�� liczb� wymiern� pomi�dzy liczbami
$$0,112131415161718191101111121...\quad\text{i}\quad
0,202030405060708090100110120...$$

\medskip

\item{c3.3} Czy jest prawd�, �e $1,3<\root 3\of 6<2$? Uzasadni�.
\medskip

\item{c3.4} Upro�ci� wyra�enia: (a)$[\root
4\of{(x^{1/3})^3}]^4$,
(b) $[\sqrt{x^{1/3}x^{5/3}}]^3$, (c) $\sqrt{(x^{4/5})^5y^8}$,
(d) $x^2\root 4 \of{(x^{-8/3})^3y^8}$
\medskip

\item{c3.5} Znale�� trzy cyfry po przecinku liczby $\root 3\of
7$.

\head Zadania\endhead


\item{z3.1} Niech $x=1,01001000100001....$ znale�� trzy cyfry po
przecinku liczby $\root 3 \of x$.
\medskip

\item{z3.2} Udowodni�, �e liczba $\root 3\of 3$ nie jest
wymierna.
\medskip

\item{z3.3} Niech $A$ i $B$ b�d� dwoma liczbami rzeczywistymi,
o kt�rych wiemy, �e $0<A^4<B^4<\frac12$. Oszacowa� $B-A$.

\medskip

\item{z3.4} Znale�� liczb� niewymiern� pomi�dzy liczbami
$0,(00112)$ i $0,001120011200(11)$. {\bf Wskaz�wka:} skorzysta� z
twierdzenia,
�e liczby wymierne maj� rozwini�cia dziesi�tne okresowe od
pewnego miejsca.
\medskip

\item{z3.5}  Udowodni�, �e jest niesko�czenie wiele liczb
wymiernych $a$ spe�niaj�cych nier�wno�� $1<a<2$.

\enddocument
