\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 4.\\
\\
Funkcje
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c4.1} (a) Niech $f:u\to \frac{2u+2}{u^2+1}$ znale�� $f(3)$.

(b) Niech $f:t\to \frac{t-1}{t+1}$ znale�� $f(2)$. Okre�li�
dziedzin� $f$.

(c) Niech $f:u\to \frac{2u^2+2}{u^2+1}$ znale�� dziedzin� funkcji
$f$.

(d) Niech $y=3x^{-2}+x$. Jak� warto�� przyjmuje $y$ dla $x=-3$?
\medskip

\item{c4.2} (a) Dla jakich warto�ci $\theta$ funkcja
$$ \theta\to \frac{\sqrt{\theta^2-9}}{\sqrt{4-(\theta-8)^2}} $$ jest
okre�lona?

(b) Jaka jest dziedzina funkcji $f(x) = \sqrt{x-\sqrt{x^2-x-2}}$?
\medskip

\item{c4.3} Niech $f(x) = 2x^2+3$, $g(x) = \sqrt{x^2}$. Poda�
wzory na $f+g$, $f-g$, $fg$ i $\frac{f}{g}$ i opisa� ich dziedziny.

\medskip

\item{c4.4} Niech $f:[1,2]\ni x\to \sqrt{x^2+1}\quad
g:[0,3]\ni y\to y^2+2\quad h:[0,30]\ni z\to z+1.$

(a) Znale�� $h\circ g\circ f$.

(b) Sporz�dzi� tablice funkcji $f$, $g$, $h$ (u�ywaj�c
kalkulatora) Naszkicowa� wykresy funkcji $f$, $g$ i $h$.
\medskip

\item{c4.5} Poda� przyk�ad funkcji kawa�kami monotonicznej, ale
nie monotonicznej przyjmuj�cej tak�e warto�ci ujemne.
\bigskip

\head
Zadania
\endhead


\item{z4.1} Opisa� dziedzin� funkcji
$$ f(u) = \frac{1}{\sqrt{4u-1}}-\sqrt{1-u^2}. $$
\medskip

\item{z4.2} Udowodni�, �e ka�da funkcja okre�lona na ca�ej
prostej jest sum� funkcji parzystej i nieparzystej.

\noindent {\bf Wskaz�wka:} Dla danej funkcji $f$ piszemy $$ f_1(x)
=\frac12(f(x)+f(-x)),\quad f_2(x) =\frac12(f(x)-f(-x)). $$ Mamy
$f=f_1+f_2.$
\medskip

\item{z4.3} Naszkicowa� wykres funkcji

(a) $f: x\to |x|$. Opisa� zbi�r warto�ci funkcji $f$.

(b) $g: t\to \sqrt t$. Opisa� dziedzin� i zbi�r warto�ci funkcji
$g$.

(c) Opisa� zbi�r warto�ci funkcji $g\circ f$. Co mo�na powiedzie�
o funkcji $f\circ g$ ?
\medskip

\item{z4.4} Niech $x\to x^2+rx+s$ i $y\to y^2+rx-s+\frac12$ b�d�
funkcjami kwadratowymi, z kt�rych ka�da ma dok�adnie jeden
pierwiastek. Znale�� $r$ i $s$.
\medskip

\item{z4.5}  Niech $f(x) = ax^2+bx+c$ i niech $a<0$. Poda� warunek
konieczny i dostateczny na to aby funkcja $f$

(a) mia�a dwa r�ne pierwiastki,

(b) mia�a jeden pierwiastek,

(c) naszkicowa� wykresy funkcji $f$ w przypadku (a) i (b).
\enddocument
