\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 6.\\
\\
Funkcje ci�g�e
\endhead

\medskip
\head
�wiczenia
\endhead
\medskip
\roster
\item{c5.1} Znale�� iloraz i reszt� przy dzieleniu wielomianu
$f$ przez wielomian $g$

(a) $f(x) =3x^2+x^2-x+2\quad g(x)=x^2+x-2$.

(b) $f(s) =s^5-2s^4+s^3-6s^2+s+8\quad g(s)= s^2+1$

(c) $f(y)= y^4+y-1\quad g(y)=y^3+1 $

(d) $f(u) =u^2+2u-3\quad g(u)=u^2-u-1$.

\medskip

\item{c5.2}

(a) Znale�� wielomiany, dla kt�rego $1$ jest podw�jnym
pierwiastkiem, $0 $ i $-1$ s� pojedynczymi pierwiastkami i kt�re
nie maj� wi�cej pierwiastk�w.

(b) Wielomian $y\to y^5-7y^3+2y^2+12y-8$ ma podw�jny pierwiastek
$-2$ i pojedynczy pierwiastek $2$. Znale�� pozosta�e
pierwiastki.


\medskip

\item{c5.3} Niech $f(x) = \frac{x+1}{1-x}\quad g(x)=1+x^2$.
Znale��

(a) $f+g$, (b) $f\circ g$, (c) $g\circ f$.
\medskip

\item{c5.4} Niech $f(x) =\frac{x^2-x}{x+3}\quad
g(x) = \frac{1}{x+1}\quad h(x)=\frac{x^2}{x+1}.$
Znale�� $[g\circ(g\circ h)]+f$ i wykaza�, �e jest to funkcja
wymierna.

\medskip

\item{c5.5} Dla nast�puj�cych funkcji  znale�� punkty, w
kt�rych funkcja nie jest okre�lona, a w�r�d nich te, na kt�re
funkcja mo�e by� przed�u�ona do funkcji ci�g�ej.

(a) $x\to \frac{(x-1)^2}{x^2-1}$

(b) $x\to \frac{x^2-x}{(x-1)^2x}$

(c) $x\to \frac{x^2-6x+9}{(x^2-9)(x-3)}$
\endroster
\bigskip

\head Zadania\endhead

\roster
\item{z5.1}  Znale�� wszystkie pierwiastki i ich krotno�ci
wielomianu
$(x+3)^3(x-1)^4(x^4-1)$.
\medskip

\item{z5.2} Znale�� granic�
$$
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2/3}-5x^{1/3}+4}{(x^{2/3}-1)(x^{2/3}-4)}.
$$


\medskip

\item{z5.3} Naszkicowa� wykres funkcji

(a) $f: x\to \frac{1}{|x|}$. Czy funkcja ma granic� w punkcie
$x=0$?

(b)
$$
g: t\to \cases t^2+1&\text{ dla }t\xleq 0\\
t^{\frac12}+1&\text{ dla }t>0\endcases.
$$
Czy funkcja $g$ jest ci�g�a
w ka�dym punkcie?

\medskip

\item{z5.4} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� i ci�g�a
wsz�dzie poza punktami $-1, 2, 3$. Poda� przyk�ad takiej
funkcji
przy pomocy wzoru.
\medskip

\item{z5.5}  Niech $f(x) = \frac{1}{ax^2+bx+c}$ i niech $a>0$.
 Poda� warunek
konieczny i dostateczny na to aby funkcja $f$

(a) by�a ci�g�a w ka�dym punkcie, naszkicowa� wykres funkcji
$f$,

(b) by�a nieci�g�a w jednym  punkcie,

(c) by�a nieci�g�a w dw�ch punktach. Znale�� te punkty.
\endroster
\enddocument
