\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 6.\\
\\
Funkcje ci�g�e
\endhead

\medskip
\head
�wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c6.1} (a) Pokaza�, �e  $\frac12-(x-1)^2$ jest dodatnie
blisko punktu $1$.

(b) Niech niech $f(x) = x^2+1$. Pokaza�, �e $f(x)<2$ blisko
punktu
$0$.

(c) Niech $g(x)=\frac{1}{x}.$ Czy $g(x)>\frac{1}{4}$ blisko punktu
$1$?
\medskip

\item{c6.2}

(a) Niech $A(t)=\sqrt{t+1}$. Znale�� $\delta>0$ takie, �e $A(t)<3$
dla $|t-1|<\delta$.


(b) Niech $f(x)=9x-5$. Znale�� $\delta>0$ takie, �e
$$
|x-1|<\delta\then |f(x)-4|<\delta.
$$
\medskip

\item{c6.3} Niech $f(x)=2x+3$. Udowodni�, �e $f$ jest ci�g�a w
punkcie $1$.
\medskip

\item{c6.4} Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g�a w przedziale $[-1,1]$
i niech $f(-1)=1$, $f(1)=-1$. Czy funkcja ma przynajmniej
jeden pierwiastek w przedziale $(-1,1)$? Dlaczego?

\medskip

\item{c6.5} Znale�� liczb� $K$ tak�, �e wielomian $x^5+x-10$
ma przynajmniej jeden pierwiastek $r$ taki, �e $|r|\xleq K$.
\bigskip

\head Zadania\endhead

\item{z6.1}  (a) Niech $f(x)=\cases x^2&\text{ dla }x\xleq 1\\
x+1&\text{ dla }x>1\endcases.$ Czy $f(x)<\frac{3}{2}$ blisko $1$.

(b) Niech $f(x)=\frac{1}{x^2}$. Udowodni�, �e dla dowolnego
$\epsilon>0$
istnieje $\delta>0$ takie, �e
$$
|x-2|<\delta\then |f(x)-\frac{1}{4}|<\epsilon.
$$
\medskip

\item{z6.2}  U�ywaj�c definicji "$\epsilon \ -\ \delta$ "
udowodni�,
�e nast�puj�ce funkcje s� ci�g�e.

(a) $g(t)=\frac{t^2-1}{3}$.

(b) $h(x) =\cases x^2+1&\text{ dla } x<-1\\
-2x&\text{ dla } x\xgeq -1\endcases$

(c) $g: t\to \cases t^2+1&\text{ dla }t\xleq 0\\
t^{\frac12}+1&\text{ dla }t>0\endcases$.
\medskip

\item{z6.3}

(a) Udowodni� ci�g�o�� $f+g$ i $f-g$ z twierdzenia 6.4. w streszczeniu.

(b) Korzystaj�c z przyk�adu (f) (punkt 6.2 streszczenia) i
twierdzenia o ci�g�o�ci funkcji z�o�onej udowodni�, �e
je�li $g$ jest
funkcj� ci�g�� w punkcie $x_0$ i $g(x_0)\neq 0$, to
$x\to\frac{1}{g(x)}$ jest funkcj� ci�g�� w punkcie $x_0$.
\medskip

\item{z6.4} Poda� przyk�ad funkcji ci�g�ej we wszystkich
punktach przedzia�u $[-1,1]$ poza punktem $0$, kt�ra jest
dodatnia w punkcie $1$ i ujemna w punkcie $-1$ i nie ma pierwiastka
w przedziale $[-1,1]$.
\medskip

\item{z6.5}  Niech $f(x) = x^2+4x+1$. Znale�� przedzia�
d�ugo�ci $1$ na kt�rym funkcja $f$ jest rosn�ca i znale��
funkcj� odwrotn� do funkcji $f$ na tym przedziale.
\enddocument
