\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 7.\\
\\
Granica funkcji w punkcie
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c7.1} Znale�� funkcje odwrotne wraz z ich dziedzinami i zbada�
czy s� ci�g�e.
\newline(a) $f(t)=\frac{3t+1}{t}\quad t>0$,
\newline (b) $g(y)=\frac{1-y^3}{y^3}\quad y>1$,
\newline (c) $h(x) =
(1+\sqrt x)^3\quad x>0$.
\medskip

\item{c7.2} Zbada� istnienie nast�puj�cych granic. Obliczy� te,
kt�re istniej�.
\newline (a) $\lim_{x\to 0}\frac{x^3+2x^2-x}{x}$,
\newline (b) $\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$,
\newline (c) $\lim_{x\to
1}\frac{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}{x-1}$,
\newline (d) $\lim_{y\to\frac{1}{3}}f(y)$, gdzie
$$
f(y)=\cases y^2+y&\text{ dla }y<\frac{1}{3}\\
5&\text{ dla }y=\frac{1}{3}\\
12y^3&\text{
dla }y>\frac{1}{3}
\endcases
$$
\item{c7.3} Niech $\lim_{x\to 0}f(x)=12$ i $\lim_{x\to 0}g(x)=3$,
znale�� $\lim_{x\to 0}\sqrt{f\cdot g(x)}$
\medskip

\item{c7.4} Niech $\lim_{x\to 2}f(x)=3$,  $\lim_{x\to
2}g(x)=\frac{1}{3}$, $\lim_{x\to 3}g(x)=2$. Znale��
$\lim_{x\to 2}(f+\frac{g\circ f}{g})(x)$.


\medskip

\item{c7.5} Kt�re z nast�puj�cych r�wno�ci zachodz�?
\newline (a) $\lim_{x\to 0^+}x^2 =0$
\newline (b) $\lim_{x\to+\infty}x^{- 2}=0 $
\newline (c) $\lim_{x\to-\infty}(1+\frac{1}{x})=-1$.
\bigskip

\head Zadania\endhead

\item{z7.1}  Piszemy $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ gdy dla ka�dego
$M$ istnieje $\delta>0$ takie, �e $x\neq+0$ oraz $|x-x_0|<\delta\then f(x)>M$.
Udowodni� $\lim_{x\to 0}x^{-2}=+\infty$. Czy jest prawd�, �e
$\lim_{x\to 0}x^{-1}=+\infty$?
\medskip

\item{z7.2}  Poda� analogiczne definicje dla (a) $\lim_{x\to
x_0}f(x)=-\infty$, (b) $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, \newline
(c) $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, (d) $\lim_{x\to
-\infty}f(x)=-\infty$.
\medskip

\item{z7.3}  Poda� analogiczne definicje dla (a) $\lim_{x\to
x_0^+}f(x)=+\infty$, (b) $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty$ \newline
(c) $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty$, (d) $\lim_{x\to
x_0^-}f(x)=-\infty$.
\medskip

\item{z7.4} Znale�� $\lim_{x\to -
1^+}\frac{x^2}{2(1+x)}$ , $\lim_{x\to -1^-}\frac{x^2}{2(1+x)}$,
$\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2(1+x)}$, $\lim_{x\to +
\infty}\frac{x^2}{2(1+x)}$.
\medskip

\item{z7.5} Obliczy� (a)
$\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2+x-1}$ (b)
$\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^4+2x^2+1}{x^6+x-10}$.
\enddocument
