\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 8.\\
\\
Pochodna
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip

\item{c8.1}  Dla danej funkcji $f$ i punktu $x_0$ obliczy�
$f'(x_0)$ korzystaj�c z definicji pochodnej.

(a) $f(x)=3x^2+1\quad x_0= 0$,

(b) $f(x)=\frac{x-1}{x+1}\quad x_0= 1$,

(c) $f(x)=\sqrt{x^2+4}\quad x_0= 3$

(d) $f(x)=(x+1)^3-x\quad x_0= 0$
\medskip

\item{c8.2} Znale�� r�wnanie prostej stycznej do wykresu funkcji
$f$ w punkcie $(x,f(x))$.

(a) $f(x) =\frac{x}{x^2-1}\quad (2,2/3)$

(b) $f(x) = x^3+x-1\quad (1,1)$.
\medskip

\item{c8.3} Znale�� pochodn� funkcji

 $t\to \frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}$


\medskip

\item{c8.4} Obliczy� pochodn� funkcji $s\to 2s^2-3s+5$. Czy
pochodna jest funkcj� ci�g��?

\medskip

\item{c8.5} Obliczy�
$$ (a)\quad \frac{d(2v^3+3v^2)}{dv}\bigg|_{v=1}, \quad(b)\quad
\frac{d(\frac{1}{s})}{ds}\bigg|_{s=1}. $$

\bigskip

\head Zadania\endhead


\item{z8.1}
Przybli�y� funkcj� $f$ funkcj� liniow� w punkcie $x_0$, znale��
reszt� $r$ i sprawdzi�, �e jest ona ci�g�a w punkcie $x_0$.


(a) $f(x) = 2x^2-x \quad  x_0 = 3$

(b) $f(x) = 1-3x+s^2 \quad  x_0 = -1$

(c) $f(x) = \frac{1}{x} \quad x_0 =1$.
\medskip

\item{z8.2}  Naszkicowa� przyk�ad wykresu funkcji $f$ takiej, �e
(a) $f'(x)>0$ dla ka�dego $x\in \bold R$, (b) $f'(x)<0$ dla
ka�dego $x\in \bold R$.
\medskip

\item{z8.3}  Naszkicowa� przyk�ad wykresu funkcji $f$ takiej, �e
(a) $f'$ jest funkcj� rosn�c�, (b) $f'$ jest funkcj� malej�c�.
\medskip

\item{z8.4}   Niech $d(s)$ b�dzie odleg�o�ci� prostej
przechodz�cej przez punkty $(-s,s^2)$ i $(s,s^2)$ od prostej
$y=0$. Czy
$$
\lim_{s\to 0}\frac{d(s)}{s}=0?
$$
Zilustrowa� zadanie
z8.4 rysunkiem.
\medskip

\item{z8.5} Niech $f(x) = \sqrt x$. Niech $l$ b�dzie prost�
styczn� do wykresu funkcji $f$ w punkcie $1$. Czy istniej� punkty
$(x_1, \sqrt{x_1})$ i $(x_2, \sqrt{x_2})$ takie, �e prosta $l_1$
przez nie przechodz�ca jest r�wnoleg�a do prostej $l$ a odleg�o��
prostej $l$ i $l_1$ jest bardzo ma�a w stosunku do odleg�o�ci
punkt�w $x_1$ i $x_2$ od punktu $1$?
\enddocument
