\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 9.\\
\\
Obliczanie pochodnych
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip

\item{c9.1}  Obliczy� pochodne nast�puj�cych funkcji:

(a) $y=x^5-2x^3+1,$

(b) $z=\frac{y^{11}-3y^7+1}{y-1}$,

(c) $g(t) = (t^3+3)(t^7+3t^4-t^2+1)$,

(d) $u\to\frac{u^2-2u+3}{u^2+2u-3}$

(e) $x\to\frac{1-2x-x^2}{1+x^2}$.
\medskip

\item{c9.2} Znale�� r�wnanie prostej stycznej do wykresu funkcji
$s\to\frac{s^2-5s+10}{3s^3-1}$ w punkcie $s=0$.
\medskip

\item{c9.3} Znale�� pochodn� funkcji
$$
w\to (5w^3+w^2-1)(w^2-10w+6)+\frac{w-1}{w+1}.
$$

\medskip

\item{c9.4} Korzystaj�c ze wzoru na pochodn� funkcji z�o�onej
obliczy�

(a) $f'(x)$ gdzie $f(x) = (x^5-3x^3+2x^2+x-1)^{100}$

(b) $\frac{d(t^3-\sqrt{1+t^2})^5}{dt}\bigg|_{t=0}$

(c) $\frac{d\sqrt{(y^2+1)^3-1}}{dy}$

(d) $f'(1)$ gdzie $f(x) = \left(x^2+\sqrt{x^2+1}\right)^4(x+1)$.
\medskip

\item{c9.5} Obliczy�
$$ f'(s)\quad\text{gdzie}\quad f(s)
=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{s}}}.
$$

\bigskip

\head Zadania
\endhead


\item{z9.1} Udowodni�, �e pochodna wielomianu stopnia $n$ jest
wielomianem stopnia $n-1$.
\medskip

\item{z9.2}  Korzystaj�c ze wzoru Leibniza udowodni�, �e
pochodna funkcji $f\equiv 1$ jest zero.
\medskip

\item{z9.3}  Udowodni�:
$$
\lim_{x\to 0^+}\frac{d\sqrt{x}}{dx}=+\infty.
$$
Znale��
geometryczn� interpretacj� powy�szego faktu.
\medskip

\item{z9.4} Niech $f(x) = f_1\circ f_2\circ f_3\circ \dots \circ
f_n(x)$. Poda� wz�r na $f'(x)$.
\medskip

\item{z9.5} Niech $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^+\sqrt{x+
\sqrt{x}}}}$. Poda� wz�r na $f'(x)$.

\enddocument
