\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 11.\\
\\
Maksima i minima funkcji
\endhead

\medskip
11.1. Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� na odcinku $(a,b)$.
Je�li $f$ jest r�niczkowalna w punkcie $x_0\in (a,b)$ oraz
$f'(x_0)=0$, to punkt $x_0$ nazywa si� punktem krytycznym
funkcji $f$.
\medskip

11.2. M�wimy, �e funkcja $f$ okre�lona na odcinku $(a,b)$
{\it ma lokalne maksimum} w punkcie $x_0$, je�li istnieje takie
$\delta>0$, �e dla $|x-x_0|<\delta$ mamy $f(x_0)\xgeq f(x)$.
M�wimy, �e $f$ {\it ma lokalne minimum} w punkcie $x_0$, je�li
istnieje takie $\delta>0$, �e dla $|x-x_0|<\delta$ mamy $f(x_0)\xleq f(x)$.

M�wimy, �e $f$ ma {\it istotne} lokalne maksimum w punkcie
$x_0$, je�li istnieje takie $\delta>0$, �e dla $|x-x_0|<\delta$, $x\neq x_0$ mamy
$f(x_0)> f(x)$.
M�wimy, �e $f$ ma {\it istotne} lokalne minimum w punkcie $x_0$,
je�li istnieje takie $\delta>0$, �e dla $|x-x_0|<\delta$, $x\neq x_0$ mamy
$f(x_0)<f(x)$.

M�wimy, �e $f$ ma {\it lokalne ekstremum} w punkcie $x_0$,
je�li $f$ ma lokalne minimum lub maksimum w punkcie $x_0$.


\proclaim{Twierdzenie} Je�li funkcja $f$ okre�lona na odcinku
$(a,b)$ i r�niczkowalna w punkcie $x_0$ ma lokalne ekstremum w
punkcie $x_0$, to $f'(x_0)= 0$, innymi s�owy, $x_0$ jest punktem
krytycznym funkcji $f$.
\endproclaim

Twierdzenie to wynika natychmiast z twierdzenia 10.6.
\medskip

\proclaim{Uwaga 11.3} Z definicji lokalnego ekstremum wynikaj�
nast�puj�ce implikacje.
\roster
\item"$\bullet$" $f$ jest malej�ca w $[x_0-\delta, x_0]$ i rosn�ca w
$[x_0, x_0+\delta]\quad\Rightarrow\quad f$ ma istotne lokalne
minimum w $x_0.$
\item"$\bullet$" $f$ jest rosn�ca w $[x_0-\delta, x_0]$ i malej�ca w
$[x_0, x_0+\delta]\quad\Rightarrow\quad f$ ma istotne lokalne
maksimum w $x_0$.
\item"$\bullet$" $f$ jest nierosn�ca w $[x_0-\delta, x_0]$ i niemalej�ca w
$[x_0, x_0+\delta]\quad\Rightarrow\quad f$ ma lokalne
minimum w $x_0.$
\item"$\bullet$" $f$ jest niemalej�ca w $[x_0-\delta, x_0]$ i nierosn�ca w
$[x_0, x_0+\delta]\quad\Rightarrow\quad f$ ma lokalne
maksimum w $x_0$.
\endroster
\endproclaim
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 11.4.} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon�
na odcinku $(a,b)$ i r�niczkowaln� w punktach bliskich punktu
$x_0\in (a,b)$. Za��my, �e $f''(x_0)$ istnieje. Wtedy
\roster
\item"$\bullet$" Je�li $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad
f$ ma istotne lokalne minimum w $x_0$.
\item"$\bullet$" Je�li $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad
f$ ma istotne lokalne maksimum w $x_0$.
\endroster
\endproclaim
\demo{Dowo�d} Za��my, �e $f'(x_0)=0.$ Wtedy z twierdzenia 10.6
zastosowanego do funkcji $f'$ wynika
�e je�li $f''(x_0)>0$, to $f'(x)<f'(x_0)=0$ dla $x\in (x_0-
\delta,x_0)$
oraz $f'(x)>f'(x_0)=0$ dla $x\in (x_0,x_0+\delta )$. Innymi s�owy
funkcja $f$ jest malej�ca na lewo od punktu $x_0$ i rosn�ca na
prawo od punktu $x_0$. Z 11.2 wynika, �e $f$ ma istotne
minimum w punkcie $x_0$. Rozumujemy podobnie w drugim
przypadku.\qed
\enddemo
\medskip


11.5.  Przyk�ady

(a) Znajdziemy lokalne maksima i minima funkcji $f:x\to 4x^4-
x^2+5$. Szukamy punkt�w krytycznych $f$. Rozwi�zaniami r�wnania
$0=f'(x)=16x^3+2x=2x(8x^2-1)$ s� punkty $x_1=0,\
x_2=\frac{1}{\sqrt{8}},\  x_3=-\frac{1}{\sqrt{8}}$.
$f"(x) = 48x^2-2$. Mamy wi�c $f''(x_1)=-2$, $f''(x_2)=4$,
$f''(x_3)=4$. Wi�c $f''(x_1)<0\Rightarrow f$ ma lokalne maksimum
 w punkcie $x_1$ $f''(x_2)=f''(x_3)>0\Rightarrow f$ ma lokalne minimum
w punktach $x_2$ i $x_3$.

(b) Rozwa�my funkcj� $f:t\to\sqrt{1+t^4}.$ Widzimy, �e
$f(0)<f(t)$ dla ka�dego $t\neq 0$. Zbadamy czy funkcja $f$ ma
jeszcze inne punkty krytyczne.
Piszemy $f'(t)
=\frac{4t^3}{2\sqrt{1+t^4}}=0$, sk�d wynika, �e $t=0$.
Czyli funkcja nie ma innych lokalnych maksim�w czy minim�w.
Zauwa�my te�, �e zbadanie drugiej pochodnej funkcji $f$ w
punkcie $0$ nic nie daje, bowiem $f''(0) = 0$.
\medskip

11.6. Funkcja $f$ okre�lona na $[a,b]$ nazywa si� {\it kawa�kami
monotoniczna}, je�li przedzia� $[a,b]$ mo�na podzieli� na
sko�czenie wiele przedzia��w tak, �e w ka�dym z nich funkcja
jest monotoniczna.
\proclaim{Twierdznie} Niech $f$ b�dzie funkcj�  r�niczkowalna w
ka�dym punkcie przedzia�u $(a,b)$ oraz niech $f'$ b�dzie
funkcj� ci�g��. Wtedy je�li $f'$ ma sko�czenie wiele
pierwiastk�w, to funkcja $f$ jest kawa�kami monotoniczna.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Pomi�dzy dwoma s�siednimi pierwiastkami $f'$ funkcja $f'$
jest albo
dodatnia albo ujemna. Istotnie, poniewa� $f'$ jest funkcj�
ci�g�a, wi�c je�li w przedziale przyjmuje i warto�ci dodatnie
i ujemne , to musi gdzie� pomi�dzy przyjmowa� warto�� $0$. Wynika to z
w�asno�ci warto�ci po�redniej funkcji ci�g�ych. Tak wi�c w przedzia�ach, kt�rych
ko�cami s� s�siednie pierwiastki funkcji $f'$ funkcja $f$ jest
albo rosn�ca albo malej�ca.\qed
\enddemo
\medskip
\proclaim{Wniosek} Funkcje wymierne i funkcje postaci $x\to
x^{\frac{1}{n}}$ s�
kawa�kami monotoniczne.
\endproclaim
Istotnie, je�li $f(x)=\frac{P(x)}{Q{x}}$, gdzie $P,Q$ s�
wielomianami, jest funkcj� wymiern�, to
$$
f'(x) = \frac{P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)}{P^2(x)}\quad \text{oraz}\quad
f'(x)=0\iff P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)=0,
$$
ale $P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)$ jest wielomianem, wi�c ma tylko
sko�czenie wiele pierwiastk�w.
\medskip

11.7. M�wimy, �e funkcja $f$ przyjmuje maksimum w punkcie $x_0$,
je�li $f(x_0)\xge f(x)$ dla wszystkich $x$ z dziedziny $f$. Piszemy
$$
f(x_0)= \max_xf(x).
$$
M�wimy, �e funkcja $f$ przyjmuje minimum w
punkcie $x_0$, je�li $f(x_0)\xle f(x)$ dla wszystkich $x$ z dziedziny
$f$. Piszemy
$$
f(x_0)= \min_xf(x).
$$
\medskip

11.8. Przyk�ady.

(a) Funkcja $f: (0,1)\ni x\to 2x$ nie ma ani maksimum ani minimum
w zbiorze $(0,1)$. Rzecz jasna, na zbiorze $[0,1]$ funkcja ta
przyjmuje maksimum w punkcie $1$ i minimum w punkcie $0$.

(b) Niech
$$
f(x) =\cases x^2 & \text{ dla } 0<x<1\\ \frac12&\text{ dla } x=0\text{
i  dla } x=1\endcases
$$
Dziedzin� funkcji $f$ jest przedzia� domkni�ty $[1,0]$.
Funkcja nie jest ci�g�a i nie przyjmuje ani maksimum ani minimum
na swojej dziedzinie $[0,1]$.

(c) Funkcja $f(t) =\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ okre�lona na przedziale
$(-1,1)$ ma minimum w punkcie $0$ i nie ma maksimum.
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 11.9} Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g��
na przedziale $[a,b]$ i r�niczkowaln� na przedziale $(a,b)$
tak�, �e pochodna $f'$
jest funkcj� ci�g�� i ma sko�czenie wiele pierwiastk�w
 $x_1,\dots,x_n$. Wtedy maksimum funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$
jest najwi�ksz� z liczb $f(a),f(x_1),\dots,f(x_n),f(b)$,
a minimum funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$ jest najmniejsz� z tych liczb.
\endproclaim
Istotnie w punkcie w przedziale otwartym $(a,b)$, w kt�rym funkcja
$f$ przyjmuje maksimum czy
minimum pochodna musi si� zerowa�, wi�c maksimum i  minimum
musz� by� przyj�te w jednym z punkt�w $a,x_1,\dots,x_n,b$.
Najwi�ksza z warto�ci $f$ w tych punktach jest wi�c maksimum funkcji $f$,
a najmniejsza minimum $f$.
\medskip

11.11. Przyk�ady.

(a) Znajdziemy maksimum i minimum funkcji $f(x) = \frac{1}{10}(x^3-
12x+10)$ w przedziale $[-3,3]$.

Mamy $f'(x) =\frac{1}{10}(3x^2-12)=\frac{3}{10}(x+2)(x-2).$ St�d
$f(-3)=1,9$, $f(-2)=2,6$, $f(2)=-0,6$, $f(3)=0,1$. Tak wi�c
$$\gather
\max_{x\in [-3,3]}f(x)=f(-2)=2,6\\
\min_{x\in [-3,3]}f(x)=f(2)=-0,6.
\endgather
$$

(b) Znajdziemy maksimum i minimum funkcji $f(x)=\sqrt{x}-2\root
 4\of{x}$ w przedziale $[0,100]$.

Mamy $f'(x)=\frac12
x^{-\frac12}\cdot\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}=\frac12
x^{-\frac{3}{4}}(x^{\frac{1}{4}}-1).$ Pochodna przyjmuje tylko
jedno
zero w przedziale $(0,100)$, w punkcie $1$. Mamy
$f(0)=0,\ f(1)=-1,\ f(100)=10-2\sqrt{10}>0$. Wi�c
$$
\max_{x\in [0,100]}f(x)=f(100)=10-2\sqrt{10}\quad \min_{x\in
[0,100]}f(x)=f(1)=-1.
$$
\bigskip


(c) Znajdziemy maksimum i minimum funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-
x^2}}$ w przedziale $(-1,1)$.

Poniewa� $f$ przyjmuje tylko warto�ci dodatnie, wi�c
$$
\gather
\max_{x\in (-1,1)}f^2(x)=(\max_{x\in (-1,1)}f(x))^2\\
\min_{x\in (-1,1)}f^2(x)=(\min_{x\in (-1,1)}f(x))^2.
\endgather
$$
Znajdziemy wi�c punkty gdzie $(f^2)'(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2}=0$.
Taki punkt jest tylko jeden $0$. $f(0)=1$. W tym punkcie funkcja
nie mo�e przyjmowa� maksimum, bo $f^2(\frac12)=\frac{1}{1-
\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}>1$, wi�c $\min_{x\in (-1,1)}f(x)=f(0)=1$.
Poniewa� ko�ce przedzia�u nie nale�� do $(-1,1)$, wi�c
funkcja $f$
nie przyjmuje maksimum w $(-1,1)$.

(d) Udowodnimy twierdzenie: {\it W�r�d prostok�t�w maj�cych
przek�tn� ustalonej d�ugo�ci $a$, kwadrat ma najwi�ksze pole.}

Niech $x,y$ b�d� d�ugo�ciami bok�w prostok�ta. Wtedy
$a^2=x^2+y^2$, sk�d $y = \sqrt{a^2-x^2}$. Pole tego prostok�ta
jako funkcja $x$ wynosi $P(x)=xy=x\sqrt{a^2-x^2}$. Szukamy maksimum
funkcji $P$ w przedziale $[0,a]$. Obliczmy pochodn�:
$$
P'(x) =
\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sqrt{a^2-x^2}\cdot
(1-\frac{x^2}{a^2-x^2})
$$
Sk�d $P'(x)=0\iff x=a$ lub $\frac12 a^2=x^2$. Ale $P(a)=0$,
a w drugim przypadku $y=\sqrt{a^2-\frac12 s^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=x$.
wi�c prostok�t jest kwadratem.

(e) Znajdziemy prostok�t o najwi�kszym polu, kt�rego jeden
wierzcho�ek jest w pocz�tku uk�adu, dwa na dodatnich p�osiach $x$-�w
$y$-�w, a czwarty wierzcho�ek le�y na paraboli o r�wnaniu
$y=4-x^2$. Wsp�rz�dne czwartego wierzcho�ka s� wi�c
$(x,4-x^2)$. Pole tego prostok�ta jest $P(x)=x(4-x^2)$. Szukamy
maksimum $P$ w przedziale $[0,2]$. Mamy $P'(x)=3x^2-4$. Wi�c
$P'(x)=0$ i $x\in [0,2]\iff x=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
Poniewa� $P(0)=P(2)=0$ wi�c
$P(\frac{2}{\sqrt{3}})=\frac{16}{3\sqrt{3}}$ jest maksymaln�
warto�ci� $P$.
\medskip

11.12. Niech $f$ b�dzie funkcj� dwukrotnie r�niczkowaln� w
przedziale $(a,b)$ i ci�g�� w przedziale $[a,b]$. Je�li
$$
f''(x)>0\quad \forall x\in (a,b),
$$
to $f'(x)$ jest funkcj�
rosn�c�, czyli wsp�czynnik kierunkowy stycznej do wykresu
funkcji $f$ w punkcie
$(x,f(x))$ ro�nie gdy
$x$ ro�nie. Z tego wynika, �e wykres funkcji zakrzywia si� do
g�ry w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz�wek zegara.
M�wimy wtedy, �e funkcja $f$ jest {\it wypuk�a} w przedziale
$[a,b]$. Podobnie, je�li
$$
f''(x)<0\quad \forall x\in (a,b),
$$
to $f'(x)$ jest funkcj�
malej�ca, czyli wsp�czynnik kierunkowy stycznej do wykresu
funkcji $f$ w punkcie
$(x,f(x))$ maleje gdy
$x$ ro�nie. Z tego wynika, �e wykres funkcji zakrzywia si� do w
d� w kierunku zgodnym  z ruchem wskaz�wek zegara.
M�wimy wtedy, �e funkcja $f$ jest {\it wkl�s�a} w przedziale
$[a,b]$.  Punkt $x_0$ taki, �e $f$ jest wypuk�a w przedziale
$[a,x_0]$ i wkl�s�a w przedziale $[x_0,b]$ lub wkl�s�a w
przedziale $[a,x_0]$ i wypuk�a w przedziale $[x_0,b]$ nazywa si�
{\it punktem przegi�cia} wykresu funkcji $f$. Je�li $f''$ jest
ci�g�a, to wtedy, oczywi�cie, $f''(x_0)=0$.
\medskip

11.13. Nast�puj�ce twierdzenie jest intuicyjnie oczywiste.
Analityczny jego dow�d jest nieco trudniejszy i tymczasem zostaje
pomini�ty.
\proclaim{Twierdzenie} Niech $f$ b�dzie funkcj� dwukrotnie
r�niczkowaln� w
przedziale $(a,b)$ i ci�g�� w przedziale $[a,b]$. Niech
$x\to l_1(x)$ b�dzie funkcj� liniow� tak�, �e $l_1(a)=f(a)$,
$l_1(b)=f(b)$. Innymi s�owy wykres $l_1$ jest sieczn� wykresu $f$
przez punkty $(a,f(a))$ oraz $(b,f(b))$. Niech $x_0\in (a,b)$ i
niech $x\to l_2(x)$ b�dzie
funkcj� liniow� tak�, �e $l_2(x_0)=f(x_0)$ i
$l'_2(x_0)=f'(x_0)$. Czyli wykres $l_2$ jest prost� styczn� do
wykresu $f$ w punkcie $(x_0,f(x_0))$. Mamy wtedy
$$
\gather
f''(x)>0\quad\forall\ x\in (a,b)\quad\Rightarrow\quad f(x)<l_1(x)
\text{ i }f(x)>l_2(x)\quad\forall\ x\in (a,b),\ x\neq x_0\\
f''(x)<0\quad\forall\ x\in (a,b)\quad\Rightarrow\quad f(x)>l_1(x)
\text{ i }f(x)<l_2(x)\quad\forall\ x\in (a,b),\ x\neq x_0.
\endgather
$$
\endproclaim
\medskip

11.14. Przyk�ad

Niech $f(x) = x^3+3x^2-24x +20$. Znajdziemy punkty gdzie $f$ ma
lokalne minimum i maksimum, oraz przedzia�y gdzie $f$ jest wypuk�a
i wkl�s�a. Pozwala to naszkicowa� wykres funkcji $f$.

Obliczamy pochodne
$$
\gather
f'(x) =3x^2+6x-24\\
f''(x)=6x+6,
\endgather
$$
wi�c $f'(x_1)=f'(x_2)=0$, gdzie $x_1=-4$ a $x_2=2$. $f''(x_3)=0$
gdzie $x_3=-1$. St�d $f$ jest wkl�s�a w $(-\infty, -1)$, wypuk�a w
$(-1,+\infty)$, ma lokalne maksimum w punkcie $-4$, lokalne
minimum w punkcie $2$, a punkt $-1$ jest punktem przegi�cia wykresu
$f$
\enddocument
