\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 12.\\
\\
Badanie przebiegu funkcji. Pierwotna
\endhead

\medskip
12.1. Niech $f$ b�dzie funkcj�. Aby zbada� przebieg funkcji $f$
i naszkicowa� jej wykres mo�emy post�powa� jak nast�puje:
\roster
\item Badamy czy funkcja jest parzysta, nieparzysta, czy ani
taka ani taka.
Je�li zachodzi jeden z dw�ch pierwszych przypadk�w, to
ograniczamy si� do
badania przebiegu funkcji na zbiorze $\{x:x\xgeq 0\}$.
\item Znajdujemy przedzia�y,
 w kt�rych $f$ jest okre�lona i
badamy
jednostronne granice $f$ w $-\infty$ i $+\infty$ oraz na ko�cach
przedzia��w,
w kt�rych $f$ jest okre�lona. Je�li $f$ ma granic� w $+\infty$ lub
$-\infty$
r�wn� $c$, to rysujemy  prost� $y=c$, do kt�rej wykres $f$ si�
zbli�a
gdy $x\to +\infty$ lub $x\to -\infty$. Prosta $y=c$ nazywa si� {\it
poziom� asymptot�}
funkcji $f$. Podobnie, gdy na ko�cu przedzia�u okre�lono�ci
$f$ ma
jednostronn� niesko�czon� granic� rysujemy prost� $x=\alpha$,
gdzie $\alpha$ jest ko�cem przedzia�u.
Prosta ta nazywa
si� pionow� asymptot� $f$. Rzecz jasna, funkcja $f$ mo�e mie�
dwie
asymptoty poziome (w $+\infty$ i $-\infty$) i wiele asymptot pionowych.
\item Lokalizujemy pierwiastki funkcji $f$. Nie zawsze udaje si�
nam
znale�� te pierwiastki dok�adnie.
\item Znajdujemy pochodn� $f'$ i lokalizujemy punkty
krytyczne $f$ (czyli pierwiastki $f'$).
W przedzia�ach pomi�dzy punktami krytycznymi badamy czy funkcja
$f$ jest rosn�ca czy malej�ca (badamy znak $f'$).
Dla ka�dego punktu krytycznego
$\beta$ sprawdzamy czy jest to punkt lokalnego maksimum lub minimum
czy nie
i rysujemy styczn� poziom� do wykresu funkcji w punkcie
$(\beta,f(\beta))$.
Badamy r�wnie� zachowanie $f$ w punktach $\alpha$ gdzie
granica $\lim_{x\to\alpha^-}f'(x)$
lub $\lim_{x\to\alpha^+}f'(x)$ jest r�wna niesko�czono�ci. S� to
punkty w kt�rych styczna do wykresu jest pionowa.
\item Obliczamy $f''$ i lokalizujemy jej pierwiastki tak dok�adnie jak
si� da, i badamy w kt�rych przedzia�ach pomi�dzy zerami
$f''$ funkcja $f$ jest wkl�s�a, a w
kt�rych wypuk�a. Dla ka�dego $\gamma$ b�d�cego pierwiastkiem
$f''$ obliczmy $f(\gamma)$ i $f'(\gamma)$ a
w punktach $(\gamma,f(\gamma))$ rysujemy proste styczne do wykresu
funkcji.
Badamy, kt�re z tych punk�w s� punktami przegi�cia.
\item Na podstawie wiadomo�ci uzyskanych przez wykonanie
(1)-(5) rysujemy wykres funkcji.
\endroster
\medskip

12.2. Wprowadzamy nast�puj�ce oznaczenia:

$$
\gather
\lim_{x\to+\infty}f(x)= f(+\infty),\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)=f(-\infty),\\
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0^-),\quad\lim_{x\to
x_0^+}f(x)=f(x_0^+).
\endgather
$$


Przyk�ady.

(a) Niech $f(x)=-\frac{x^3}{6}-\frac{x}{6}+2$.
$f$ jest wielomianem, wi�c $f$ jest wsz�dzie okre�lona.
Dla $x\neq 0$ mamy $f(x)=\frac{x^3}{6}\big(1+\frac{1}{x^2}-
\frac{12}{x^3}\big)$. Poniewa� dla dla du�ych $|x|$
wyra�enie $1+\frac{1}{x^2}-\frac{12}{x^3}$ jest bliskie $1$, wi�c
$f(x)>0$ dla $x>0$ i $f(x)<0$ dla $x<0$, tzn. $f(+\infty)=+\infty$
i $f(-\infty)=-\infty$. Obliczamy $f'(x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{6}$.
Wi�c $f'(x)<0$, czyli $f$ jest malej�ca. Wynika st�d, �e $f$ ma
dok�adnie jeden pierwiastek. Zauwa�my, �e le�y on pomi�dzy $2$
i $3$. Obliczamy
$f''(x)=-x$, wi�c $f$ jest wypuk�a w przedziale $(-\infty,0)$
i wkl�s�a w przedziale $(0,+\infty)$. Punkt $0$ jest wi�c punktem
przegi�cia funkcji $f$.
Obliczamy $f(0)=2$. Szkicujemy wykres funkcji $f$.


(b) Niech $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$. $f$ jest okre�lona wsz�dzie poza
punktem
$2$. Obliczamy $f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}$ wi�c $f'(x)<0$ dla
wszystkich
punkt�w $x\neq 2$. W obu przedzia�ach $(-\infty,2)$ i $(2,+\infty)$
funkcja $f$
jest malej�ca. Mamy
$$
f(x)=\frac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}, \quad\text{wi�c}\quad
f(-\infty)=1,\quad
f(+\infty)=1.
$$
Prosta $y=1$ jest poziom� asymptot� $f$ w $+\infty$ i $-\infty$.
Mamy r�wnie� $f(2^-)=-\infty$ i $f(2^+)=+\infty$. Prosta $x=2$ jest wi�c
pionow�
asymptot� funkcji $f$ w punkcie $0$. Obliczamy $f''(x) =
\frac{2}{(x-2)^3}$,
wi�c $f''(x)<0$ dla $x<2$ i $f''(x)>0$ dla $x>2$. Tak wi�c w
przedziale
$(-\infty,2)$ funkcja $f$ jest wkl�s�a, a w przedziale $(2,+\infty)$
funkcja $f$
jest wypuk�a. Szkicujemy wykres funkcji $f$.

(c) Niech $f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}$. Funkcja $f$ jest parzysta,
$f(0)=0$.
Wystarczy zbada� funkcj� w przedziale $(0,+\infty)$. Funkcja jest
okre�lona
w przedziale $(0,+\infty)$ poza punktem $1$. Dla $x\to +\infty$, piszemy
$$
f(x) =
\frac{1}{\frac{1}{x^2}-1}=\frac{-1}{1-\frac{1}{x^2}},
$$
wi�c $f(+\infty)=-1$. R�wnie�
$$
f(x)=\frac{x^2}{1+x}\frac{1}{1-x},
$$
wi�c, poniewa� pierwszy u�amek jest bliski $\frac12$ gdy $x\to 1$
mamy
$f(1^-)=+\infty$ i  $f(1^+)=-\infty$. Widzimy, �e prosta $y=-1$ jest
poziom�
asymptot� $f$, a prosta $x=1$ pionow� asymptot� $f$.
Obliczamy
$$
f'(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2},\quad
f''(x)=\frac{2(1+2x^2-3x^4)}{(1-x^2)^4}.
$$
Mamy $f(0)=f'(0)=0$ oraz $f''(0)=2$, wi�c $f$ ma lokalne minimum
w punkcie
$0$. Poniewa� $f''(x)>0$ w przedziale $(0,1)$ i $f''(x)<0$ w
przedziale
$(1,+\infty)$, w pierwszym przedziale $f$ jest wypuk�a, w drugim
wkl�s�a.
Rysujemy wykres funkcji dla $x$'�w dodatnich, a potem odbijamy
symetrycznie wzgl�dem osi pionowej.

(d) Niech $f(x)=\root 3\of{\frac{x-1}{x-2}}=
(x-1)^{\frac{1}{3}}(x-2)^{-\frac{1}{3}}$. Funkcja jest zdefiniowana
dla $x\neq 2$. Korzystaj�c z przyk�adu (b) widzimy, �e
$$
f(-\infty)=f(+\infty)=1,\quad f(1)=0\quad f(2^-)=-\infty\quad
f(2^+)=+\infty,
$$
czyli s� dwie
asymptoty $x=2$ i $y=1$.
$$
\align
f'(x)=&\frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}(x-2)^{-\frac{1}{3}}
-\frac{1}{3}(x-2)^{-\frac{4}{3}}(x-1)^{\frac{1}{3}}\\
=&\frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}(x-2)^{-\frac{4}{3}}\left((x-2)-(x-1)\right)\\
=&\frac{-1}{3\root 3\of{(x-1)^2(x-2)^4}}.
\endalign
$$
Widzimy, �e $\lim_{x\to 1}f'(x)=-\infty$ oraz $\lim_{x\to
2}f'(x)=-\infty$ wi�c w punktach $(1,f(1))$ i $(2,f(2))$ styczna do
wykresu $f$
jest pionowa.
Dla $x\neq 1,2$ mamy $f'(x)<0$, wi�c funkcja jest malej�ca.
$$
f''(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{-\frac{5}{3}}(x-2)^{-\frac{7}{3}}\left(
\frac{1}{3}(x-2)+\frac{2}{3}(x-1)\right)=\frac{2\big(x-\frac{4}{3}
\big)}
{3\root 3\of{(x-1)^5(x-2)^7}}.
$$
Mamy
$$
f''(x)\cases >0&\text{i $f$ jest wypuk�a dla}\quad
(1,\frac{4}{3})\cup (2,+\infty)\\
<0&\text{i $f$ jest wkl�s�a dla}\quad (\frac{4}{3},2)\cup (-\infty,1)
\endcases
$$
Punktem przegi�cia jest punkt $\frac{4}{3}$.
Na podstawie tych wiadomo�ci mo�emy naszkicowa� wykres funkcji
$f$.
\medskip

\proclaim{Definicja 12.3}
Niech $f$ i $F$ b�d� dwoma funkcjami okre�lonymi na odcinku
$(a,b)$. M�wimy, �e
$F$ jest {\bf pierwotn�} funkcji $f$, je�li $F'=f$.
\endproclaim
Zachodzi nast�puj�ce
\proclaim{Twierdzenie} Je�li $F'(x)=0\quad \forall_{x\in (a,b)}$,
to $F$ jest funkcj� sta��.
\endproclaim
Istotnie,  z twierdzenia 10.10 wynika, �e je�li $F'(x)=0\quad
\forall_{x\in (a,b)}$, to
$f$ jest r�wnocze�nie niemalej�ca i nierosn�ca w przedziale
$(a,b)$, a wi�c dla dowolnych
$x',x''\in (a,b)$ jednocze�nie zachodzi $f(x')\xleq f(x'')$ i
$f(x')\xgeq f(x'')$, sk�d wynika, �e $f$ jest sta�a.
\proclaim{Wniosek} Dla dowolnej funkcji $f$, je�li $F$ i $G$ s�
pierwotnymi $f$,
to $F(x)=G(x)+c$.
\endproclaim
Istotnie, $(F-G)'=F'-G'=f-f=0$. Wi�c $F-G=c$, sk�d $F=G+c$.
\medskip

12.4. Przyk�ady

(a) Pierwotn� funkcji sta�ej jest funkcja liniowa. Istotnie, dla
dowolnej sta�ej $c$
mamy $\frac{d}{dx}(cx+b)=c$.

(b) Pierwotna funkcji $x^\alpha$, gdzie $\alpha$ jest liczb� wymiern�
$\neq -1$ jest $\frac{1}{\alpha+1}
x^{\alpha+1}+c$.
Istotnie, $\frac{d}{dx}\big(\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}\big)=x^\alpha.$

(c) Pierwotn� wielomianu
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0$ jest wielomian
$$\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+
\frac{a_{n-1}}{n}x^n+\dots+\frac{a_1}{2}x^2+a_0x+C.
$$

(d) Pierwotn� funkcji $fg'+f'g$ jest funkcja $fg+c$. Pierwotn�
funkcji $\frac{-f'}{f^2}$ jest
funkcja $\frac{1}{f}$.
Pierwotn� funkcji $\frac{gf'-fg'}{g^2}$
jest funkcja $\frac{f}{g}+C$.

(e) Pierwotn� funkcji $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ jest funkcja
$\sqrt{1+x^2}+C$.
\medskip

12.5.
P�niej poka�emy, �e dla ka�dej funkcji $f$ ci�g�ej w
przedziale $(a,b)$
istnieje pierwotna, tzn. r�niczkowalna funkcja $F$ taka, �e
$F'=f$. Teraz zajmiemy
si� szukaniem funkcji pierwotnych dla funkcji zadanych wzorami.
Nie zawsze funkcja
pierwotna mo�e by� wyra�ona wzorem.

Funkcj� pierwotn� funkcji $f$ ci�g�ej w przedziale $(a,b)$
oznaczamy przez
$$
\int f(x) dx +C,
$$
czyli
$$
\frac{d}{dx}\left(\int f(x) dx+C\right)
=\frac{d}{dx}\int f(x) dx +\frac{d}{dx}C= \frac{d\int f(x)
dx}{dx}=f(x).
$$

Proces znajdowania pierwotnej $\int f(x) dx+C$ funkcji $f$ nazywamy
{\it ca�kowaniem}.
\medskip

12.6. Oto niekt�re regu�y ca�kowania:
$$
\align
\int (f(x)+g(x)) dx = & \int f(x) dx + \int g(x) dx,\quad
\int (f(x)-g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx\\
\int c( f(x)) dx = & c\int f(x) dx, \quad
\int (x+a)^\alpha dx = \frac{1}{\alpha+1}(x+a)^{\alpha+1}\quad \text{dla}\quad
\alpha\neq -1
\endalign
$$
Obliczmy
$$
\align
\int \left(3\root 4\of{x+1}+2\root 3\of{2+x}-\frac{1}{x^2}\right) dx
=&3\int (x+1)^{\frac{1}{4}} dx + 2\int (2+x)^{\frac{1}{3}} dx - \int
x^{-2} dx\\
=&\frac{12}{5}(x+1)^{\frac{5}{4}}+
\frac{3}{2}(2+x)^{\frac{4}{3}}+x^{-1}+C.
\endalign
$$

12.7. Ca�kowanie przez cz�ci.
Poniewa�
$$
\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\quad
\text{wi�c}\quad
\int f'(x)g(x) dx =  f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) dx+C
$$

Obliczmy

(a)
$$
\align
\int (x+1)^{100}x dx =& \frac{1}{101}(x+1)^{101}x-\int
\frac{1}{101}(x+1)^{101} dx\\
=&\frac{1}{101}(x+1)^{101}x -\frac{1}{101\cdot 102}(x+1)^{102}.
\endalign
$$
(b)
$$
\align
\int (x+a)^{6}(x+b)^2 dx =&\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2
-\frac{2}{7}\int (x+a)^7(x+b) dx +C\\
=&\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2-\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8(x+b)+\frac{2}{7\cdot8}\int (x+a)^8 dx
+C\\
=&\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2 -\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8(x+b)
+\frac{2}{7\cdot8\cdot9}(x+a)^9.
\endalign
$$
\medskip

12.8.
Poniewa�
$$
\frac{df(x)}{dx},\quad\text{wi�c mo�emy
formalnie napisa�}\quad
df(x)= f(x)dx.
$$
Symbol $df(x)$ nazywamy r�niczk� funkcji $f$, a $dx$ nazywamy
r�niczk� $x$.
Podobnie, definicja pierwotnej mo�e by� zapisana
$$
\frac{d}{dx}\big[\int f(x)dx\big] = f(x) \quad \text{lub}\quad
d\big[\int f(x)dx\big] =f(x)dx.
$$
Mo�emy napisa� formalne wzory
$$
d(f+g)=df+dg\quad d(f-g)=df-dg\quad d(cf)=cdf\quad d(fg)=df\ g+f\
dg \quad \int fdg=fg-
\int g df+ C.
$$
Obliczmy
\noindent (a)
$$
\int (1+x)^6x dx=\int xd(\frac{1}{7}(1+x)^7) =
\frac{1}{7}(1+x)^7x-\int \frac{1}{7}(1+x)^7dx +C
= \frac{1}{7}(1+x)^7x-\frac{1}{56}(1+x)^8+C.
$$
\noindent (b)
$$
\align
&\int (x+a)^{6}(x+b)^2 dx =
\int (x+b)^2d[\frac{1}{7}(x+a)^7]
= \frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2 -\int\frac{1}{7}\int
(x+a)^7d[(x+b)^2]+C\\
= &\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2 -\frac{1}{7} (x+a)^7(x+b)^2+
\int (x+b)d[\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8]+C\\
= &\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2 -\frac{1}{7}
(x+a)^7(x+b)^2+(x+b)\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8
-\int\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8d[x+b]+C\\
= &\frac{1}{7}(x+a)^7(x+b)^2 -\frac{1}{7}
(x+a)^7(x+b)^2+(x+b)\frac{2}{7\cdot8}(x+a)^8
-\frac{2}{7\cdot8\cdot9}(x+a)^9+C
\endalign
$$
\enddocument
