\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 2.\\
\\
LICZBY  WYMIERNE  II
\endhead

\medskip

{2.1.} Do postulat�w {\bf 1.-16.} dodajemy jeszcze jeden postulat
zwany postulatem Archimedesa.
\medskip

{\bf 17.} Dla ka�dej liczby wymiernej $a$ istnieje liczba
ca�kowita
$k$ taka, �e $a<k$.
\medskip


2.2. Je�li $a\leq \frac{1}{n}$ dla ka�dego naturalnego $n$, to
$a\leq 0$.

Istotnie, je�li $a>0$, to $\frac{1}{a}>0$. Z postulatu
{\bf 17.} wynika, �e istnieje liczba ca�kowita $k$ taka, �e
$\frac{1}{a}<k$, sk�d mamy $a>\frac{1}{k}$, czyli, �e nie dla
wszystkich $n$ $a\leq \frac{1}{n}$.
\medskip

2.3.Je�li $A>1$ i $a\leq A^{-n}$ dla wszystkich $n=1,2,3,..$, to
$a\leq 0$.

Istotnie, $A>0$ poci�ga, �e dla $A=1+b$, gdzie $b=A-1>0$. St�d
$$
A^n=(1+b)(1+b)....(1+b) = 1+nb +\text{pozosta�e dodatnie
czynniki}>nb.
$$
Wynika st�d, �e $a\leq A^{-n}= \frac{1}{A^n}$ poci�ga, �e
$a\leq \frac{1}{nb}$ czyli $ab\leq \frac{1}{n}$, sk�d wobec 2.2.
mamy $ab\leq 0$, a poniewa� $b>0$ wi�c $a\leq 0$.

\medskip

2.4. Dla $a\in \Q$ piszemy
$$
|a| = \cases a &\text{ je�li } a\geq 0\\
             -a & \text{ je�li } a\leq 0\endcases
$$
Mamy
$$
|a|>0 \text{ dla } a\neq 0 , \quad |0|= 0
$$
oraz
$$
|a| =|-a|, \quad |ab|=|a||b|\quad |a^{-1}| = |a|^{-1}\quad
|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}.
$$
Dla $a\in \Q$ liczb� $|a|$ interpretujemy geometrycznie jako
odleg�o�� na osi liczbowej punktu $a$ od punktu $0$.
W szczeg�lno�ci,
$$
|a|<\alpha\text{ znaczy, �e } -\alpha<a<\alpha.
$$
Podobnie $|a-b|$ interpretujemy jako odleg�o�� punkt�w $a$ i
$b$ na osi liczbowej.
M�wimy, �e odleg�o�� mi�dzy liczbami $a$ i $b$ "jest ma�a",
je�li liczba $|a-b|$ jest ma�a. Liczba $-\frac{11}{10}$ jest
bli�ej liczby $-1$ ni� liczba $-\frac{1}{2}$.
\medskip

2.5. Ta interpretacja geometryczna uzasadnia {\bf nier�wno��
tr�jk�ta}:
$$
|a+b|\leq |a|+|b|.\tag1
$$
Prawdziwo�� nier�wno�ci tr�jk�ta sprawdzamy przez rozwa�enie
przypadk�w:
\roster
\item  $a\geq 0$ i $b\geq 0$. Wtedy $a+b\geq 0$ oraz $a=|a|,\quad
b=|b|, \quad a+b=|a+b|$ i (1) zachodzi.
\item  $a\leq 0$ i $b\leq 0$. Wtedy $a+b\leq 0$ oraz $a=-|a|,\quad
b=-|b|, \quad a+b=-|a+b|$ i (1) zachodzi.
\item $a\geq 0$ i $b\leq 0$. Wtedy  $a=|a|,\quad b=-|b|, \quad a+b=
|a|-|b|$ czyli
$$
|a+b|= \cases |a|-|b|&\text{ gdy }  |a|\geq |b|\\
              |b|-|a|&\text{ gdy }  |a|\leq |b|\endcases.
$$
Wtedy odpowiednio
$$
|a+b|= \cases |a|-|b|\leq |a|+|b|&\text{ gdy }  |a|\geq |b|\\
              |b|-|a|\leq |a|+|b|&\text{ gdy }  |a|\leq |b|
\endcases.
$$
\item  Przypadek $a\leq 0$ i $b\geq 0$ jest identyczny z
poprzednim.
\endroster
\medskip

2.6. Z nier�wno�ci tr�jk�ta otrzymujemy natychmiast
$$
|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|, \quad ||a|-|b||\leq |a-b|.
$$
Istotnie, $|a|=|a-b+b|\leq |a-b|+|b|$ wi�c , przenosz�c na drug�
stron� $|b|$ mamy $|a|-|b|\leq |a-b|$. Zamieniaj�c rolami $a$ i
$b$ otrzymujemy $-(|a|-|b|) =|b|-|a|\leq |b-a|=|a-b|$.
\medskip

2.7. Interpretacja geometryczna nast�puj�cego faktu jest
oczywista.
$$
a\leq x\leq b\quad\text{ i }\quad a\leq y\leq b\then |x-y|\leq b-a.
$$
Istotnie, odleg�o�� dw�ch punkt�w nale��cych do odcinka
$[a,b]$ jest nie wi�kszy ni� d�ugo�� tego odcinka.
Dow�d analityczny jest nast�puj�cy: mo�emy przyj��, �e
$x\leq y$. Wtedy $0\leq  y-x\leq b-x\leq b-a$, bo $-x\leq -a$.
\medskip

2.8. Liczb� wymierna $x$, kt�ra ma posta�
$$
x=
\frac{\alpha_1}{10}+
\frac{\alpha_2}{10^2}+...+
\frac{\alpha_3}{10^3}+\frac{\alpha_n}{10^n}
$$
gdzie $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ s� liczbami $0,...,9$
nazywa si� u�amkiem dziesi�tnym. Zapisujemy j�
$x=0,\alpha_1\alpha_2...\alpha_n.$. (Zauwa�my, �e na ko�cu u�amka
dziesi�tnego piszemy kropk�!) Dodatnia liczba wymierna mo�e by�
zapisana
w postaci
$$
a+x=a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_n.,
$$
gdzie $a$ jest nieujemn� liczb� ca�kowit�
wtedy i tylko wtedy gdy jest ona postaci $\frac{p}{q}$, $p$ i $q$
nie maj� wsp�lnych dzielnik�w oraz $q$ jest iloczynem pot�gi
liczby $2$ i pot�gi liczby $5$.
\medskip

2.9. {\bf Niesko�czonym rozwini�ciem dziesi�tnym} dodatniej
liczby wymiernej nazywamy zapis
$$
a,\alpha_1\alpha_2\alpha_3... ,
$$
gdzie $a$ jest nieujemn� liczb� ca�kowit�, a
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...$
s� liczbami $0,1,2,...,9.$
Np. liczb� $\frac{1}{3}$ zapisujemy jako $0,33333....$.
\medskip

2.10. {\it Ka�d� dodatni� liczb� wymiern� mo�emy zapisa� w
postaci
niesko�czonego rozwini�cia dziesi�tnego.}
Istotnie, niech $x$ b�dzie dodatni� liczb� wymiern� i niech
$a$ b�dzie najwi�ksz� liczb� ca�kowit� {\it mniejsz�} od
$x$.
Wtedy
$$
a<x\leq a+1.
$$
Piszemy liczb� $a$ po lewej stronie przecinka.

Je�li np. $x=\frac{13}{9}$, wtedy
$$a=1\quad \text{ i }\quad
1<\frac{13}{9}\leq 2.$$
Z po�r�d dziesi�ciu liczb:
$$
a=a+\frac{0}{10},\quad a+\frac{1}{10},\quad
a+\frac{2}{10},\quad ...,\quad a+\frac{9}{10}
$$
wybieramy najwi�ksz� mniejsz� od $x$.
Niech to b�dzie
$ a+\frac{\alpha_1}{10}$. Wtedy
$$
 a+\frac{\alpha_1}{10}< x\leq a+\frac{\alpha_1}{10}+\frac{1}{10}.
$$
Mo�emy to zapisa�
$$
a,\alpha_1<x\leq a,\alpha_1+10^{-1}.
$$
W przypadku liczby $\frac{13}{9}$ $\alpha_1=4$.

W podobny spos�b znajdujemy liczb� $\alpha_2$: jest to najwi�ksza z
po�r�d
liczb $0,1,2,...,9$ taka, �e
$$
a,\alpha_1a_2.<x\leq a,\alpha_1\alpha_2.+10^{-2}
$$

W przypadku liczby $\frac{13}{9}$ $\alpha_2=4$, czyli
$$
1,4.<\frac{13}{9}\leq 1,4.+10^{-2}.
$$

Kontynuuj�c ten proces znajdujemy liczby $a,\alpha_1,...,\alpha_m$ takie,
�e
$$
a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m.<x\leq a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m. +10^{-m}\quad
\text{dla}\quad m=0,1,2,3,...
$$

Nie mo�e zaistnie� przypadek, �e wszystkie liczby $\alpha$ pocz�wszy
od pewnego miejsca , np. pocz�wszy od liczby $a_k$ b�d� zerami.
Mieliby�my wtedy bowiem, �e
$$
a,\alpha_1....\alpha_k.<x\leq a,\alpha_1...\alpha_k.+10^{-m}\quad\text{dla
ka�dego}\quad m=k+1,k+2,...
$$
Wynika�oby st�d, �e
$$
0<x-a,\alpha_1...,\alpha_k.\leq 10^{-m}
$$
dla wszystkich $m=1,2,...$, co jak wiemy znaczy,�e $0<x-
a,\alpha_1...,\alpha_k\leq 0$, co jest niemo�liwe.

Je�li dla dw�ch liczb wymiernych $x,y$ ich rozwini�cia
dziesi�tne s� r�wne, to $x=y$.
Istotnie, je�li rozwini�cia dziesi�tne liczb $x$ i $y$ s� te
same, to
$$
\align
a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m. <& x\leq
a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m.+10^{-m}\\
a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m. <& y\leq
a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_m.+10^{-m}
\endalign
$$
sk�d wynika, �e
$$
|x-y|\leq 10^{-m}\quad\text{dla ka�dego }\quad m=0,1,2,...
$$
co poci�ga, �e $|x-y|=0$.
\medskip

2.11. Dla $x\in \Q^+$ piszemy
$$
x=a,\alpha_1\alpha_2\alpha_3....\text{ oraz } -x=
-a,\alpha_1\alpha_2\alpha_3.....
$$
to znaczy, �e
$$
-a-\frac{\alpha_1}{10}-\frac{\alpha_2}{10^2}-...-\frac{\alpha_m}{10^m}-10^{-
m}\leq -x < -a-\frac{\alpha_1}{10}-\frac{\alpha_2}{10^2}-...-
\frac{\alpha_m}{10^m}
$$
dla ka�dego $m=0,1,2,...$.
\medskip

2.12. Je�li liczba $x$ ma {\it sko�czone} rozwini�cie
dziesi�tne, tzn.
$$
x=
\frac{\alpha_1}{10}+
\frac{\alpha_2}{10^2}+...+
\frac{\alpha_3}{10^3}+\frac{\alpha_n}{10^n}=a,\alpha_1\alpha_2...\alpha_n. ,
$$
to procedura opisana powy�ej daje niesko�czone rozwini�cie
dziesi�tne $x$ postaci
$$
a,\alpha_1\alpha_2...(\alpha_n-1)9999....
$$
\medskip

2.13. Mo�na udowodni�, ale nie b�dziemy z tego korzysta�, �e
rozwini�cie dziesi�tne dodatniej liczby {\it wymiernej } jest
postaci
$$
a,\alpha_1....\alpha_k\alpha_{k+1}....\alpha_{k+s}\alpha_{k+1}....\alpha_{k+s}\alpha_{k+1}...
.\alpha_{k+s}....
$$
tzn. od pewnego miejsca blok cyfr $\alpha_{k+1}....\alpha_{k+s}$ powtarza
si� niesko�czenie wiele razy.
Np.
$$
\frac{203}{165} =1,23303030....
$$
Piszemy wtedy
$$
\frac{203}{165} =1,23\overline{30}.
$$
\enddocument
