\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\arcsinh{\text{\rm arcsinh}\,}
\def\arccosh{\text{\rm arccosh}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\tgh{\text{\rm tgh}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 20.\\
\\
Metody ca�kowania
\endhead

\medskip
20.1. U�amkiem prostym nazywamy funkcj� wymiern� nast�puj�cego typu
$$
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)^n},
$$
gdzie albo (a) $g(x)$ jest funkcj� sta�� a $h(x)$ liniow�, albo (b) $g(x)$ jest funkcj� sta�� albo
liniow� a $h(x)$ jest funkcj� kwadratow�, nie posiadaj�c� pierwiastk�w rzeczywistych.
Na przyk�ad, nast�puj�ce funkcje s� u�amkami prostymi
$$
\frac2{x-3},\qquad\frac6{(x+100)^{28}},\qquad\frac{3x+7}{2x^2+2x+10},\qquad\frac{4x-3}{(x^2+2x+10)^3},
$$
a nast�puj�ca funkcja nie jest
$$
\frac1{(x^2-3x+2)^2}
$$
(gdy� mianownik ma pierwiastki, 1 i 2).

Zainteresowanie u�amkami prostymi bierze si� z dw�ch fakt�w: (1) u�amki proste mo�na sca�kowa� przy
pomocy funkcji kt�re mamy do dyspozycji (to znaczy ca�k� zapisa� konkretnym wzorem), i (2) ka�d�
funkcj� wymiern� mo�na roz�o�y� na sum� u�amk�w prostych i wielomianu.

\medskip

20.2. Ca�kowanie u�amk�w prostych rodzaju (a). W tym wypadku ca�kowanie nie przedstawia �adnych
trudno�ci. Stosujemy podstawienie $ax+b=t$ a wi�c $adx=dt$.
$$
\align
\int\frac{\alpha\,dx}{(ax+b)^n}&=\int\frac{\alpha(1/a)\,dt}{t^n}=\frac\alpha a\int t^{-n}\,dt\\
&=\cases\frac\alpha{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}+C;&\text{je�li }n\neq1,\\
\frac\alpha a\log|ax+b|+C;&\text{je�li }n=1.\endcases
\endalign
$$
Jak wida� funkcja pierwotna tego typu u�amka prostego jest albo funkcj� wymiern� albo
logarytmiczn�.

\medskip

20.3. Ca�kowanie u�amk�w prostych rodzaju (b), w przypadku gdy licznik jest sta��. Znajdziemy wz�r
na ca�k� postaci
$$
\int\frac{\alpha\,dx}{(ax^2+bx+c)^n},\qquad\text{gdzie } b^2-4ac<0,
$$
(gdy� z za�o�enia mianownik nie ma pierwiastk�w rzeczywistych). Przy pomocy prostego podstawienia
liniowego sprowadzimy t� ca�k� do postaci
$$
\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}.\tag1
$$
W tym celu przekszta�camy mianownik
$$
\align
(ax^2+bx+c)^n&=a^n\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)^n\\
&=a^n\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac ca-\frac{b^2}{4a^2}\right)^n\\
&=a^n\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)^n.
\endalign
$$
Podstawmy
$$
q=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\qquad\text{i}\qquad\frac{x+(b/2a)}q=t.
$$
Otrzymujemy
$$
(ax^2+bx+c)^n=a^nq^{2n}(t^2+1)^n,\qquad dx=q\,dt,
$$
oraz
$$
\int\frac{\alpha\,dx}{(ax^2+bx+c)^n}=\frac\alpha{a^nq^{2n-1}}\int\frac{dt}{(t^2+1)^n}.
$$
Przyk�ad: Obliczymy
$$
\int_0^3\frac{dx}{4x^2+6x+9}.
$$
zgodnie z powy�szym schematem, podstawiamy
$$
t=\frac{4(x+3/4)}{\sqrt{27}},
$$
i otrzymujemy
$$
\align
\int_0^3\frac{dx}{4x^2+6x+9}&=\frac{4}{27}\frac{\sqrt{27}}{4}\int_{1/\sqrt3}^{5/\sqrt3}
\frac{dt}{t^2+1}\\
&=\frac1{\sqrt{27}}\left\{\arctg\frac5{\sqrt3}-\arctg\frac1{\sqrt3}\right\}.
\endalign
$$

\medskip

20.4. Wz�r rekurencyjny. Teraz obliczymy ca�k� (1). Je�li $n=1$ to ca�ka jest r�wna, z dok�adno�ci� do
sta�ej, $\arctg x$. Je�eli $n>1$ to napiszemy $n=m+1$ i wyprowadzimy {\bf wz�r rekurencyjny}, czyli
obliczymy ca�k� (1) z $n=m+1$ przy pomocy tego samego typu ca�ki z $n=m$. Wz�r rekurencyjny
otrzymujemy ca�kuj�c przez cz�ci, i zauwa�aj�c nast�puj�ce dwa fakty
$$
\frac{d\,\frac1{(x^2+1)^m}}{dx}=-\frac{2mx}{(x^2+1)^{m+1}},
$$
oraz
$$
\frac1{(x^2+1)^m}=\frac{x^2+1}{(x^2+1)^{m+1}}=\frac{x^2}{(x^2+1)^{m+1}}+\frac1{(x^2+1)^{m+1}}.
$$
Bior�c pod uwag� oba te fakty otrzymujemy
$$
\align
\int\frac{dx}{(x^2+1)^{m+1}}&=\int\frac{dx}{(x^2+1)^m}-\int\frac{x^2\,dx}{(x^2+1)^{m+1}}\\
&=\int\frac{dx}{(x^2+1)^m}+\frac1{2m}\frac{x}{(x^2+1)^m}-\frac1{2m}\int\frac{dx}{(x^2+1)^m}\\
&=\frac1{2m}\frac{x}{(x^2+1)^m}+\left(1-\frac1{2m}\right)\int\frac{dx}{(x^2+1)^m}.
\endalign
$$
Powy�szy wz�r to szukany wz�r rekurencyjny. Natychmiast otrzymujemy jego wersj� dla ca�ek
oznaczonych
$$
\int_a^b\frac{dx}{(x^2+1)^{m+1}}=\left.\frac1{2m}\frac{x}{(x^2+1)^m}\right|_a^b+\left(1-\frac1{2m}\right)
\int_a^b\frac{dx}{(x^2+1)^m}.
$$
Zauwa�my, �e powy�szy wz�r jest prawdziwy tak�e dla $m$ nie b�d�cej liczb� ca�kowit�, je�eli tylko
$m\neq0$.

U�ywaj�c wzoru rekurencyjnego mo�emy sprowadzi�, w $n-1$ krokach, ca�k� (1) do ca�ki
$$
\int\frac{dx}{x^2+1}.
$$
Przyk�ad: Obliczymy
$$
\int_{-1}^0\frac{dx}{(x^2+2x+2)^3}.
$$
Podstawiaj�c $t=x+1$ ca�k� sprowadzamy do
$$
\int_0^1\frac{dt}{(t^2+1)^3},
$$
a nast�pnie u�ywamy wzoru rekurencyjnego dwukrotnie.
$$
\align
\int_0^1\frac{dt}{(t^2+1)^3}&=\left.\frac14\frac{t}{(t^2+1)^2}\right|_0^1+\frac34
\int_0^1\frac{dt}{(t^2+1)^2}\\
&=\left.\frac14\frac{t}{(t^2+1)^2}\right|_0^1+\left.\frac34\frac12\frac{t}{t^2+1}\right|_0^1+
\frac34\frac12\int_0^1\frac{dt}{t^2+1}\\
&=\frac14\left(\frac14-0\right)+\frac38\left(\frac12-0\right)+\frac38\frac{\pi}4\\
&=\frac14+\frac{3\pi}{32}.
\endalign
$$

\medskip

20.5. Ca�kowanie u�amk�w prostych rodzaju (b) gdy licznik nie jest sta��. Obliczymy ca�k� postaci
$$
\int\frac{\alpha x+\beta}{(ax^2+bx+c)^n}dx,\qquad\text{gdzie }\alpha\neq0,\ b^2-4ac<0.
$$
Dokonujemy przekszta�cenia
$$
\align
\int\frac{\alpha x+\beta}{(ax^2+bx+c)^n}dx&=\int\frac{\frac\alpha{2a}(2ax+b)+\beta-\frac{\alpha
b}{2a}}{(ax^2+bx+c)^n}dx\\
&=\frac\alpha{2a}\int\frac{(2ax+b)\,dx}{(ax^2+bx+c)^n}=\left(\beta-\frac{\alpha
b}{2a}\right)\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}.
\endalign
$$
Drug� ca�k� obliczyli�my w poprzednim punkcie. Pierwsz� obliczamy przez podstawienie $t=ax^2+bx+c$
$$
\align
\int\frac{(2ax+b)\,dx}{(ax^2+bx+c)^n}&=\int\frac{dt}{t^n}\\
&=\cases \log|ax^2+bx+c|+C;&\text{je�li }n=1,\\
\frac1{(1-n)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+C;&\text{je�li }n\neq1.\endcases
\endalign
$$
W ten spos�b udowodnili�my nast�puj�ce twierdzenie
\proclaim{Twierdzenie 20.6} Funkcja pierwotna dowolnego u�amka prostego jest sum� funkcji
wymiernej, logarytmicznej i arkusa tangensa.
\endproclaim

\medskip

Nast�puj�ce twierdzenie przytaczamy bez dowodu. Dow�d opiera si� na fakcie, �e ka�dy wielomian
mo�na roz�o�y� na iloczyn czynnik�w stopnia nie wi�kszego ni� dwa, czyli liniowych i kwadratowych.
Ten fakt z kolei jest konsekwencj� tak zwanego zasadniczego twierdzenia algebry, kt�re m�wi, �e
ka�dy wielomian rozk�ada si� na iloczyn czynnik�w liniowych, je�eli dopu�ci� jako wsp�czynniki
liczby zespolone.
\proclaim{Twierdzenie 20.7} Ka�d� funkcj� wymiern� mo�na roz�o�y� na sum� wielomianu i u�amk�w
prostych.
\endproclaim
\proclaim{Wniosek} Ca�ka nieoznaczona funkcji wymiernej jest sum� funkcji wymiernych,
logarytmicznych i arkus�w tangens�w.
\endproclaim

\medskip

20.8. Rozk�ad na u�amki proste. Niech $x\mapsto f(x)$ b�dzie funkcj� wymiern�. Wtedy
$f(x)=\varphi(x)/\psi(x)$, gdzie $\varphi$ i $\psi$ s� wielomianami. Za��my, �e $f$ nie jest
wielomianem, gdy� wielomiany ca�kuje si� prosto. W takim razie za��my, �e stopie� wielomianu
$\psi$ jest wi�kszy ni� 0, i �e ten wielomian nie dzieli $\varphi$. Je�eli stopie� $\varphi$ nie
jest mniejszy ni� stopie� $\psi$ to dzielimy $\varphi$ przez $\psi$
$$
\varphi(x)=q(x)\psi(x)+r(x),
$$
gdzie $q$ i $r$ s� wielomianami i stopie� $r$ jest mniejszy ni� stopie� $\psi$. Wtedy
$$
f(x)=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{\psi(x)}.
$$
�eby sca�kowa� $f$ wystarczy sca�kowa� $r/\psi$, gdy� ca�kowanie $q$ nie przedstawia �adnego
problemu. Tak wi�c, mo�emy z g�ry za�o�y�, �e stopie� $\varphi$ jest mniejszy ni� stopie� $\psi$ --
inne przypadki mo�na od razu do tego przypadku sprowadzi�. Za��my te�, �e oba wielomiany $\varphi$
i $\psi$ nie maj� wsp�lnych czynnik�w (w przeciwnym przypadku podzielmy je przez wszystkie wsp�lne
dzielniki).

Pierwszym, i najtrudniejszym krokiem w rozk�adzie $f$ na u�amki proste jest rozk�ad mianownika
$\psi$ na iloczyn czynnik�w liniowych i kwadratowych nierozk�adalnych. Innymi s�owy, musimy zapisa�
$$
\psi(x)=A(x-\alpha_1)^{\nu_1}\cdots(x-\alpha_k)^{\nu_k}(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{\mu_1}\cdots
(x^2+\beta_lx+\gamma_l)^{\mu_l},\tag2
$$
gdzie liczby $\mu$ i $\nu$ s� liczbami naturalnymi, wszystkie $\alpha$ s� od siebie r�ne,
wszystkie czynniki kwadratowe s� r�ne i nierozk�adalne (nie maj� pierwiastk�w). Wiadomo, �e ka�dy
wielomian $\psi$ mo�na tak roz�o�y�, wynika to z wspomnianego wy�ej zasadniczego twierdzenia
algebry. Niestety, nie ma �adnej og�lnej metody, kt�ra pozwala�aby taki rozk�ad znale��.

\medskip

20.9. Nieoznaczone wsp�czynniki. Niech mianownik b�dzie ju� dany przez (2). Zawsze mo�emy za�o�y�,
�e $A=1$ (odpowiada to wyci�gni�ciu sta�ej $1/A$ przed znak ca�ki. Nast�pnie bierzemy pod uwag�
jako mo�liwe sk�adniki sumy u�amki proste maj�ce mianowniki b�d�ce czynnikami (2), z pot�gami nie
wi�kszymi ni� te wyst�puj�ce w (2). Liczniki zostawiamy dowolne. To s� w�a�nie wsp�czynniki
nieoznaczone. Oznaczamy je wstawiaj�c do konkretnego wzoru i sprowadzaj�c do wsp�lnego mianownika.
T� metod� najlepiej pozna� na przyk�adach. Rozwa�my funkcj� wymiern�
$$
\frac{x^4+x^2+2x+1}{x^4(x+1)^2}.
$$
W rozk�adzie na u�amki proste mog� wyst�pi� u�amki o mianownikach $x^4$, $x^3$, $x^2$, $x$,
$(x+1)^2$ oraz $(x+1)$. Poniewa� wszystkie mianowniki s� liniowe, wi�c liczniki musz� by� sta�e.
Mamy wi�c do ustalenia 6 sta�ych, $A,\ B,\ C,\ D,\ E$ i $F$.
$$
\frac{x^4+x^2+2x+1}{x^4(x+1)^2}=\frac{A}{x^4}+\frac{B}{x^3}+\frac{C}{x^2}+\frac{D}{x}+
\frac{E}{(x+1)^2}+\frac F{(x+1)}.\tag3
$$
Dodaj�c 6 u�amk�w po prawej stronie dostajemy
$$
\frac{A(x+1)^2+Bx(x+1)^2+Cx^2(x+1)^2+Dx^3(x+1)^2+Ex^4+Fx^x(x+1)}{x^4(x+1)^2}.
$$
Porz�dkuj�c licznik wed�ug pot�g $x$ otrzymujemy
$$
(D+F)x^5+(C+2D+E)x^4+(B+2C+D)x^3+(A+2B+C)x^2+(2A+B+F)x+A.
$$
Por�wnuj�c liczniki w (3) otrzymujemy nast�puj�cy uk�ad r�wna�
$$
\align
D+F&=0\\
C+2D+E&=1\\
B+2C+D&=0\\
A+2B+C&=1\\
2A+B+F&=2\\
A=1.
\endalign
$$
Rozwi�zuj�c ten uk�ad otrzymujemy $A=1$, $B=C=D=0$, $E=1$, $F=0$. Tak wi�c
$$
\frac{x^4+x^2+2x+1}{x^4(x+1)^2}=\frac1{x^4}+\frac1{(x+1)^2}.
$$

\medskip

20.10. Niech $R(u)$ oznacza funkcj� wymiern� zmiennej $u$, a $R(u,v)$ funkcj� wymiern� dw�ch
zmiennych $u$ i $v$. Wymienimy teraz metody znajdowania kilku rodzaj�w ca�ek, kt�re odpowiednim
podstawieniem mo�na sprowadzi� do ca�ek funkcji wymiernych.

\medskip

20.11. Ca�k� postaci $\int R(e^x)\,dx$ mo�na sprowadzi� do ca�ki wymiernej podstawiaj�c
$$
y=e^x.
$$

\medskip

20.12. Ca�k� $\int R(x,\root q \of {\alpha x+\beta})$, gdzie $q>1$ jest liczb� ca�kowit�,
$\alpha\neq0$ sprowadzamy do ca�ki wymiernej podstawiaj�c
$$
y=\root q\of{\alpha x+\beta}.
$$

\medskip

20.13. W ca�ce $\int R(\cos x,\sin x)\,dx$ stosujemy podstawienie
$$
y=\tg\frac x2.
$$

\medskip

20.14. W ca�ce $\int R(\cosh x,\sinh x)\,dx$ stosujemy podstawienie
$$
y=\tgh\frac x2.
$$

\enddocument
