\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 3.\\
\\
LICZBY RZECZYWISTE
\endhead

\medskip
{3.1.} Nie istnieje liczba wymierna $a$ taka, �e $a^2=2.$
\medskip

3.2. {\bf Dodatni� liczb� rzeczywist�} nazywamy niesko�czone
rozwini�cie dziesi�tne
$$
a,\a_1\a_2\a_3.... \quad\text{gdzie}\quad a\text{ jest nieujemn�
liczb� ca�kowit�} \quad \a_1,\a_2,...\in\{0,1,2,...,9\}.
$$
Dodatnie liczby wymierne identyfikujemy z pewnymi liczbami
rzeczywistymi poprzez ich niesko�czone rozwini�cia dziesi�tne (dla
liczb wymiernych s� one okresowe od pewnego miejsca). Niech
$x=a,\a_1\a_2\a_3...$,
$y=b,\beta_1\beta_2\beta_3...$ piszemy $x=y$ je�li  $a=b$,
$\a_1=\beta_1$, $\a_2=\beta_2$, $\a_3=\beta_3$ itd.
Piszemy $x<y$ je�li
$$
\align
&a>b\\
\text{ lub } &a=b\  i\  \a_1>\beta_1\\
\text{ lub } &a=b \ i \ \a_1=\beta_1\ i\ \a_2>\beta_2\\
\text{ lub } &a=b \ i \ \a_1=\beta_1\ i\ \a_2=\beta_2 \ i\ \a_3>\beta_3\\
\text{itd.}
\endalign
$$
\medskip

3.3. Dla liczby rzeczywistej  $x=a,\a_1\a_2\a_3...$ liczba wymierna
$a,\a_1\a_2\a_3...\a_k.$ jest przybli�eniem dziesi�tnym liczby
$x$.
Widzimy, �e
$$
a,\a_1\a_2\a_3...\a_k.<x\leq  a,\a_1\a_2\a_3...\a_k.+10^{-k}.
$$
\medskip
 3.4. Definiujemy ujemne liczby rzeczywiste jako $-a,\a_1\a_2...$
i, tak jak dla liczb wymiernych, $-a,\a_1\a_2\a_3...$
$<-b,\beta_1\beta_2\beta_3...$ je�li $a,\a_1\a_2\a_3...>b,\beta_1\beta_2\beta_3...$.
Do wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich i ujemnych do��czamy
jeszcze liczb� wymiern� $0$.
Liczby rzeczywiste, kt�re nie s� wymierne, tzn. nie maj�
rozwini�cia okresowego od pewnego miejsca, nazywamy {\bf liczbami
niewymiernymi}. Na przyk�ad liczba $1,110100100010000.... $ jest liczb�
niewymiern�.
\medskip

3.5. DEFINIUJEMY dodawanie i mno�enie liczb rzeczywistych tak, �e
dla liczb wymiernych zgadzaj� si� one z dodawaniem i mno�eniem
liczb wymiernych. Definicja ta jest taka, �e wszystkie postulaty
{\bf 1. - 17.} s� spe�nione.
\medskip

3.6. Liczbom rzeczywistym przyporz�dkowujemy punkty na prostej:
najpierw wybieramy punkt $0$ i $1$. W spos�b opisany poprzednio
przyporz�dkowujemy ka�dej liczbie wymiernej dodatniej
$x=\frac{p}{q}$ punkt na prostej odk�adaj�c najpierw $p$
odcink�w $[0,1]$, od punktu $0$ na prawo, a potem przy pomocy
twierdzenia Talesa dziel�c otrzymany odcinek na $q$ r�wnych
cz�ci.
Je�li liczba wymierna $x$ jest przedstawiona przy pomocy
niesko�czonego rozwini�cia dziesi�tnego $x=a,\a_1\a_2\a_3...$,
to istnieje procedura, kt�ra pozwala nam narysowa�
odpowiadaj�cy jej punkt na prostej {\it niedok�adnie}, ale z
dowolnie dobrym przybli�eniem. Najpierw wybieramy punkt o
wsp�rz�dnej ca�kowitej $a$, gdzie $a$ jest najwi�ksz�,
nieujemn� liczb� ca�kowit� {\it mniejsz�} ni� $x$. Potem
odcinek $[a,a+1]$ dzielimy na $10$ r�wnych cz�ci i wybieramy
punkt $a+\frac{\a_1}{10}$ taki, kt�ry jest lewym ko�cem odcinka,
w kt�rym le�y liczba x: liczba $x$ nale�y do odcinka
$[a+\frac{\a_1}{10}, a+\frac{\a_1+1}{10}]$. Ten odcinek dalej
dzielimy
na $10$ r�wnych cz�ci i wybieramy liczb�
$a+\frac{\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2}$ i tak dalej.

Liczby wymierne
$a,a+\frac{\a_1}{10},a+\frac{\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2},a+\frac{
\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2}+\frac{\a_3}{10^3}$ itd. s� wszystkie
{\it mniejsze} od $x$, ale przybli�aj� $x$ (od do�u) z coraz to
wi�ksz� dok�adno�ci�:
$$
\align
 x-a &<1\\
 x-(a+\frac{\a_1}{10}) &<10^{-1}\\
 x-(a+\frac{\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2}) &<10^{-2}\\
 x-(a+\frac{\a_1}{10}a+\frac{\a_2}{10^2}+\frac{\a_3}{10^3}) &<10^{-
3}
\endalign
$$
Podobnie post�pujemy je�li $x$ jest liczb� rzeczywist�
$x=a,\a_1\a_2\a_3...$. Nie mo�emy jej narysowa� dok�adnie na
prostej, ale mo�emy to zrobi� z dok�adno�ci� tak du�a jak
chcemy przy pomocy procedury opisanej powy�ej.
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 3.7} Dla ka�dej dodatniej liczby rzeczywistej
$c$ i ka�dego naturalnego $n$ istnieje liczba rzeczywista $x$
taka, �e
$$
x^n=c\quad\text{wtedy piszemy} \quad x= c^{\frac{1}{n}}=\root n\of
c.
$$
\endproclaim
\medskip

3.8.
Udowodnimy najpierw, �e dla liczb rzeczywistych {\it dodatnich}
$$
x<y\then x^n<y^n\quad\text{ oraz } \quad x^n<y^n\then x<y.\tag{3.1}
$$
Istotnie,
$$
0<x<y\then x^2<xy<yy=y^2,\quad 0<x^2<y^2\then
x^2x<y^2x<y^2y=y^3\then x^3<y^3 ...\quad \text{itd.}
$$
co dowodzi $0<x<y\then 0<x^n<y^n$. Za��my teraz, �e
$0<x^n<y^n$.
Wtedy, je�li $0<x<y$ nie zachodzi, to albo $x=y$ i wtedy
$x^n=y^n$,
wbrew za�o�eniu, albo $x>y$ i wtedy na podstawie przed chwil�
udowodnionego wynikania $x^n>y^n$ wbrew za�o�eniu.
\medskip

3.9.
Z (3.1) wynika, �e dla danej liczby rzeczywistej dodatniej $c$ jest
co najwy�ej jedna liczba rzeczywista $x$ taka, �e $x^n=c$.
Piszemy $\root n\of c$. Aby znale�� liczb�
rzeczywist� $\root n \of c= a,\a_1\a_2\a_3... $ mamy znale��
wi�c liczb� nieujemn� ca�kowit� $a$ i liczby
$\a_1,\a_2,\a_3\in\{0,...,9\}$ tak aby dla ka�dego $k$
$$
a,\a_1\a_2...\a_k.<\root n\of c\leq a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k}.
$$
to znaczy
$$
(a,\a_1\a_2...\a_k.)^n <c \leq
(a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k})^n.\tag{3.2}
$$
Stosujemy nast�puj�c� procedur�:
\medskip

\noindent Liczba $a$ jest najwi�ksz� nieujemn� liczb�
ca�kowit� tak�, �e
$$
a^n<c,
$$
liczba $\a_1$ jest najwi�ksz� z liczb $0,1,...,9$ tak�,
�e
$$
(a+\frac{\a_1}{10})^n < c,
$$
liczba $\a_2$ jest najwi�ksz� z liczb $0,1,...,9$ tak�,
�e
$$
(a+\frac{\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2})^n <c,
$$
liczba $\a_3$ jest najwi�ksz� z liczb $0,1,...,9$ tak�,
�e
$$
(a+\frac{\a_1}{10}+\frac{\a_2}{10^2}+\frac{\a_3}{10^3})^n < c
$$
i tak dalej.
Mamy, z (3.2), dla ka�dego $k$
$$
(a,\a_1\a_2...\a_k.)^n<c\leq
(a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k})^n.
$$

W ten spos�b otrzymujemy liczb� rzeczywist�
$x=a,\a_1\a_2\a_3...$ tzn. tak�, �e
$$
a,\a_1\a_2...\a_k.<x\leq a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k},
$$
sk�d
$$
(a,\a_1\a_2...\a_k.)^n<x^n\leq (a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k})^n.
$$
Wobec (3.2) widzimy, �e dla ka�dego $k$
$$
|x^n-c|<
(a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k})^n- (a,\a_1\a_2...\a_k.)^n= L_k.
$$
Aby obliczy� $L_k$ skorzystamy ze wzoru 1.11.
$$
A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^2+...+B^{n-1}),
$$
podstawiaj�c
$$
A = a,\a_1\a_2...\a_k.+10^{-k}\quad B= a,\a_1\a_2...\a_k.
$$
Ale $A\leq a+1$ i $B\leq a+1$, wi�c
$$
L_k= A^n-B^n\leq 10^{-
k}(A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^2+...+B^{n-1})\leq 10^{-k}n(a+1)^n,
$$
sk�d wynika, �e
$$
\frac{|x^n-c|}{n(a+1)^n}\leq 10^{-k}\quad \text{dla ka�dego}\quad
k
$$
czyli
$$
\frac{|x^n-c|}{n(a+1)^n}=0\quad \text{wi�c}\quad
|x^n-c|=0\quad\text{sk�d wynika, �e}\quad x^n=c.
$$
\medskip

3.10. Obliczmy pierwszych par� cyfr $\root 3\of 2$.
$$
\align
a=1\quad &\text{bo} \quad 1^3<2\quad\text{oraz}\quad 2^3>2\\
\a_1=2\quad &\text{bo} \quad 1.2^3<2\quad\text{oraz}\quad
(1.3)^3>2\\
\a_3=5\quad &\text{bo} \quad 1.25^3<2\quad\text{oraz}\quad
(1.26)^3>2\\
\a_4=9\quad &\text{bo} \quad 1.259^3<2\quad(\text{oraz}\quad
1.26^3>2).
\endalign
$$
\medskip

3.11. Dla dowolnej liczby wymiernej $a$ i liczby rzeczywistej
dodatniej $c$ okre�lamy $c^a$. Dla liczby dodatniej
$a=\frac{p}{q}$
piszemy
$$
c^a= c^{\frac{p}{q}} = \root q \of {c^p} =({\root q\of c})^p
$$
a dla liczby ujemnej $a$ piszemy
$$
c^a=\frac{1}{c^{-a}}.
$$
\enddocument
