\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 4.\\
\\
Funkcje
\endhead

\medskip

4.1. Zbi�r wszystkich liczb rzeczywistych b�dziemy oznacza� przez
${\bold R}$. {\it Odcinkiem domkni�tym} nazywamy zbi�r
$[a,b]=\{x\in{\bold R}:a\leq x\leq b\}$.{\it Odcinkiem domkni�tym z lewej
strony} nazywamy zbi�r $[a,b)=\{x\in{\bold R}:a\leq x< b\}$. {\it
Odcinkiem domkni�tym z prawej strony } nazywamy zbi�r
$(a,b]=\{x\in{\bold R}:a<x\leq b\}$. {\it Odcinkiem otwartym} nazywamy
zbi�r $(a,b)=\{x\in{\bold R}:a< x < b\}$. Piszemy r�wnie�
$(a,+\infty)=\{x\in{\bold R}: x>a\}, \quad [a,+\infty)=\{x\in{\bold R}: x\geq a\},\quad
(-\infty,a)=\{x\in{\bold R}: x<a\},\quad (-\infty, a]=\{x\in{\bold R}: x\leq a\}.$
\medskip

4.2. Niech $M\subset {\bold R}$ b�dzie podzbiorem zbioru liczb
rzeczywistych. {\it Funkcj�} $f$ okre�lon� na $M$ o warto�ciach
rzeczywistych nazywamy przyporz�dkowanie ka�demu punktowi zbioru
$M$ liczby rzeczywistej. Zbi�r $M$ nazywamy {\it dziedzin�}
funkcji $f$. Piszemy $$ M\ni x\to f(x)\in {\bold R}. $$ Przyk�ady:
\roster
\item  $M =[0,1], \quad f(x) = \sqrt x$ .
\item  $M= [0,2)\cup \{2\}\cup (3,4)$
$$ f(x)=\cases x^2&\text{ gdy } x\in[0,2)\\ 4  &\text{ gdy } x=2\\
x+1&\text{ gdy } x\in[3,4)
\endcases
$$
\item $M={\bold R}, \quad f(x) = \cases 0 &\text{ gdy x jest
wymierna}\\1&\text{ gdy x jest niewymierna}.
\endcases $
\item $M={\bold R}, \quad f(x) = 1.$
\endroster
\medskip

4.3. Cz�sto piszemy $y=f(x)$. Np. $y=\frac{2x+1}{x^2+1}$. Nie
zawsze w definicji funkcji jest jawnie podawana jej dziedzina.
Je�li funkcja jest okre�lona wzorem, np. $f(x) = \sqrt {x+1}$,
dziedzin� funkcji jest maksymalny podzbi�r ${\bold R}$, dla kt�rego wz�r
ma sens. W tym przyk�adzie jest to zbi�r $\{x\in{\bold R}: x\geq -1\}$.
\medskip

4.4. Niech $f, g$ b�d� dwoma funkcjami okre�lonymi na zbiorze $M$.
Okre�lamy
$$
\align
f+g:&M\ni x\to f(x)+g(x)\\
f-g:&M\ni x\to f(x)-g(x)\\
fg:&M\ni x\to f(x)g(x)\\
\frac{f}{g}:& \{x\in M: g(x)\neq 0\} \ni x\to \frac{f(x)}{g(x)}
\endalign
$$
Dziedzin� funkcji $\frac{f}{g}$ jest $\{x\in M: g(x)\neq 0\}.$
\medskip

4.5. Niech $f, g$ b�d� dwoma funkcjami okre�lonymi na zbiorach $M$
i $N$ odpowiednio. Za��my, �e $f(M) = \{f(x):x\in M\}\subset N$.
Okre�lamy funkcj� z�o�on�
$$
g\circ f:M\ni x\to g(f(x)).
$$
Przyk�ad: Niech $g(y) =2y^2+3$, $f(x) = \sqrt{x-1}$. Wtedy
$$
g\circ f(x) = 2(\sqrt{x-1})^2+3= 2x+1\quad\text{ dla }\quad x\geq1.
$$

\bigskip


4.6. {\it Tablic� funkcji} jest zestawienie warto�ci funkcji dla
r�nych wybranych warto�ci zmiennej $x$.

Przyk�ad 1: dla funkcji $x\to x^2= y$ tablic� b�dzie np.:
$$
\pmatrix
 x & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5\\
 y & 0,01 & 0,04 & 0,09 & 0,16 & 0,25
\endpmatrix
$$

Przyk�ad 2: dla funkcji $x\to \cases x+1&\text{ gdy }
x<0\\x^2&\text{ gdy } 0\leq x<\leq 1\\ \frac{2}{x}&\text{ gdy }
x>1\endcases$ tablic� b�dzie np.:
$$
\pmatrix
 x & -2 & -1 & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5  & 2 & 3& 4\\
 y &  -1&  0 & 0 & 0,01 & 0,04 & 0,09 & 0,16 & 0,25 & 1&
\frac{2}{3}& \frac{1}{2}.
\endpmatrix
$$
\medskip

4.7. Wykresem funkcji $x\to f(x)=y$ o dziedzinie $M$ nazywamy
zbi�r punkt�w p�aszczyzny
$$
\{(x,y): x\in M, y = f(x)\}.
$$
Zauwa�my, �e proste pionowe przecinaj�ce o� $x$-�w w punktach
$x\in M$ przecinaj� wykres funkcji dok�adnie w jednym punkcie.
Tak�e ka�dy podzbi�r $W$ p�aszczyzny maj�cy w�asno��, �e dla
pewnego zbioru $M\subset {\bold R}$ �e proste pionowe przecinaj�ce o�
$x$-�w w punktach $x\in M$ przecinaj� $W$ w dok�adnie w jednym
punkcie jest wykresem funkcji $f$ o dziedzinie $M$ takiej, �e
$f(x)=y$, gdzie $y$ jest rz�dn� (jedynego!) punktu w kt�rym prosta
pionowa przechodz�ca przez punkt $x$ przecina $W$.

{\it Pierwiastkiem } funkcji $f$ nazywamy liczb� $x$ tak�, �e
$f(x)=0$. Zbi�r pierwiastk�w funkcji jest zbiorem punkt�w na osi
$x$-�w b�d�cym przeci�ciem wykresu funkcji z osi� $x$-�w.
\medskip


4.8. Funkcja $f$ nazywa si�
$$
\align
\text{rosn�ca, je�li} &\quad x_1<x_2\then f(x_1)<f(x_2)\\
\text{malej�ca, je�li} &\quad x_1<x_2\then f(x_1)>f(x_2)\\
\text{niemalej�ca, je�li} &\quad x_1\leq x_2\then f(x_1)\leq f(x_2)\\
\text{nierosn�ca, je�li} &\quad  x_1\leq x_2\then f(x_1)\geq f(x_2).
\endalign
$$
Je�li funkcja jest rosn�ca lub malej�ca to m�wimy, �e jest
�ci�le monotoniczna. Je�li funkcja jest niemalej�ca lub nierosn�ca
to m�wimy, �e jest monotoniczna.

Je�li dziedzin� funkcji $f$ mo�emy podzieli�, na odcinki w kt�rych
funkcja jest monotoniczna (lub �ci�le monotoniczna), to m�wimy, �e
funkcja jest {\it kawa�kami monotoniczna} (lub {\it kawa�kami
�ci�le monotoniczna}). Funkcja $x\to x^2$ jest kawa�kami �ci�le
monotoniczna: jest malej�ca na odcinku $(-\infty,0)$ i rosn�ca na
odcinku $[0,+\infty)$.
\medskip

4.9. Funkcja $f$ nazywa si� {\it parzysta}, je�li $f(-x)=f(x)$.
Funkcja $f$ nazywa si� {\it  nieparzysta}, je�li $f(-x)=-f(x)$.
Funkcja $f(x) = x^4$ jest parzysta, funkcja $f(x) = x^3$ jest
nieparzysta. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgl�dem
osi $y$-k�w, wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgl�dem
punktu $(00)$.
\medskip

4.10.{\it Funkcja liniow�} nazywamy funkcj� okre�lon� na ca�ej
prostej postaci
$$
x\to mx+b.
$$
Wykresem funkcji liniowej jest
prosta o wsp�czynniku kierunkowym $m$. Ka�da prosta na
p�aszczy�nie nie r�wnoleg�a do osi $y$- �w jest wykresem funkcji
liniowej.
\medskip

4.11. Przyk�ad opisu zjawiska fizyczne przy pomocy funkcji:
Samoch�d stoj�cy rusza z maksymalnym przyspieszeniem $a$ i jedzie
z tym przyspieszeniem przez dwie minuty, potem zaczyna hamowa� z
maksymalnym op�nieniem $-b$ i jedzie tak a� do zatrzymania.
Opiszemy funkcj� pr�dko�ci samochodu zale�n� od czasu:
$$
v(t) =\cases at &\text{ dla } 0\leq t\leq 2\\
2a-b(t-2) &\text{ dla  } 2
< t \leq t_0,
\endcases
$$
gdzie $t_0 = 2+\frac{b}{a}$, jest czasem zatrzymania samochodu.
\medskip

4.12. {\it Funkcj� kwadratow�} nazywamy funkcj� okre�lon� na ca�ej
prostej postaci
$$ x\to y=f(x)= ax^2+bx+c,\quad\text{gdzie}\quad
a\neq 0.
$$
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o osi
r�wnoleg�ej do osi $y$-�w.

Mamy
$$
f(x) = a\big[\big(x+\frac{b}{2a}\big)^2+\frac{c}{a}-
\frac{b^2}{4a^2}\big], \quad\text{lub}\quad f(x) =
a\big(x+\frac{b}{2a}\big)^2- \frac{D}{4a},\quad\text{gdzie}\quad
D=b^2-4ac.
$$
Za��my, �e $a>0$. Wtedy najmniejsza warto�� jak�
przyjmuje funkcja kwadratowa jest $y=f(\frac{-b}{2a}).$ To znaczy
punkt
$
\big(-\frac{b}{2a},\frac{-D}{4a}\big)$ jest wierzcho�kiem
paraboli.

Je�li $D<0$ to funkcja kwadratowa nie ma pierwiastk�w, ca�y jej
wykres jest ponad osi� $x$-�w. Je�li $D=0$, wtedy wierzcho�ek
paraboli le�y na osi $x$-�w oraz funkcja mo�e by� zapisana w
postaci $$ f(x) = a(x-r)^2\quad\text{gdzie}\quad r=-\frac{b}{2a}.
$$ W tym przypadku funkcja $f$ jest z�o�eniem funkcji liniowej
$y=\sqrt a(x-r)$ oraz funkcji $y\to y^2$.

Je�li $D>0$, to parabola przecina o� $x$-�w w dw�ch punktach
$x=r_1$ i $x=r_2$, gdzie
$$
r_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a},\quad
r_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}.
$$
Funkcja $f$ ma dwa pierwiastki $r_1,
r_2$ i mo�e by� przedstawiona jako iloczyn dw�ch funkcji
liniowych:
$$ f(x) = a(x-r_1)(x-r_2).
$$
\enddocument
