\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
5. Wielomiany, funkcje wymierne, funkcja pot�gowa
\endhead
\medskip

5.1. {\it Wielomianem} nazywamy funkcj� okre�lon� na ca�ej
prostej rzeczywistej postaci
$$
f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+ a_0,
$$ gdzie $n$ jest nieujemn� liczb� ca�kowit�, kt�r� nazywamy
{\it stopniem wielomianu} liczby  $a_0,a_1,...,a_n$  nazywamy
{\it wsp�czynnikami} wielomianu, przy czym $a_n\neq 0$ .
Wielomianami stopnia zero s� sta�e, stopnia jeden funkcje
liniowe, stopnia dwa funkcje kwadratowe.
\medskip

5.2. \proclaim{Twierdzenie} Je�li $f$ i $g$ s� wielomianami, to
$f+g$, $f\cdot g$ oraz $f\circ g$ s� wielomianami.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Niech $n\geq m$ i niech
$$
f(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+ a_0,\quad g(x) =
b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+ b_0.
$$
Wtedy
$$
(f+g)(x) =
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+(a_m+b_m)x^m+\dots+(a_1+b_1)x+ a_0+b_0,
$$
$$
\align
f\cdot g(x) = &\left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+
a_0\right)\left(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_1x+ b_0\right)\\
=& a_nb_mx^{n+m}+(a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m)x^{n+m-
1}+(a_nb_{m-2}+a_{n-1}b_{m-1}+a_{n-2}b_m)x^{n+m-2}+\dots+(a_1b_0+b_1a_0)x+a_0b_0.
\endalign
$$
Poniewa�
$$
g(x)^k=(b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_{m-1}x+ b_m)(
b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_{m-1}x+
b_m)...(b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_{m-1}x+ b_m),
$$
wi�c
$g(x)^k$ jest wielomianem dla ka�dego naturalnego $k$.
Wynika st�d, �e
$$
f\circ g(x) =  a_0g(x)^n+a_1g(x)^{n-1}+...+a_{n-
1}g(x)+ a_n
$$
jest wielomianem.\qed
\enddemo
\medskip

5.3. \proclaim{Twierdzenie} Niech $f$ i $g$ b�d� wielomianami
stopnia $n$ i $m$, odpowiednio, oraz niech $n\geq m$. Wtedy
istniej� wielomiany $Q$ i $R$, przy czym stopie� wielomianu $R$
jest
{\bf mniejszy} ni� stopie� wielomianu $g$ takie, �e
$$
f(x) =g(x)Q(x) + R(x).
$$
Wielomian $Q$ nazywamy ilorazem, a  wielomian $R$ reszt� przy
dzieleniu $f$ przez $g$.
\endproclaim

Przyk�ad: $f(x) = 4x^4-3x+15$, $g(x)=2x^2+2x+5$.
$$
\matrix
&4x^4&+0x^3&+0x^2&-3x&+15& =(2x^2+2x+5)(2x^2-2x-3) +13x+30\\
&4x^4&+4x^3&+10x^2&&&\\
&&-4x^3&-10x^2&-3x&+15&&\\
&&-4x^3&-4x^2&-10x&&&\\
&&&-6x^2&+7x&+15&&\\
&&&-6x^2&-6x&-15&&\\
&&&&13x&+30&&
\endmatrix
$$
Tak wi�c $Q(x) =2x^2-2x-3$, $R(x)=13x+30.$
\bigskip


5.4.
\proclaim{Twierdzenie} Je�li $f$ jest wielomianem stopnia
$n>1$ a $g(x) = x-r$, to reszta przy dzieleniu $f$ przez $g$ jest
sta�a r�wn� $f(r)$.
\endproclaim
Dow�d.
Mamy
$$
f(x) = (x-r)Q(x) + R,
$$
gdzie $R$ jest wielomianem stopnia zero, wi�c jest sta��.
Podstawiaj�c $x=r$ otrzymujemy
$$
f(r) = 0\cdot Q(x) + R= R.
$$
W szczeg�lno�ci, je�li $r_1$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$,
tzn.
$f(r_1)=0$, mamy $f(x) = (x-r_1)Q_1(x)$. Je�li $r_2$ jest
pierwiastkiem $Q$, to $Q(x)= (x-r_2)Q_2(x)$ i $f(x)=(x-r_1)(x-
r_2)Q_2(x)$. Znajduj�c po kolei pierwiastki kolejnych iloraz�w
otrzymujemy
$$
f(x)=(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_k)Q_k(x).
$$
Poniewa� stopienie wielomian�w $Q_1,Q_2,...$ malej�, widzimy,
�e
wielomian $f$ stopnia $n$ mo�e mie� co najwy�ej $n$
pierwiastk�w.
Pierwiastki $r_1,r_2,...,r_k$ nie musz� by� r�ne. Je�li
$f$ dzieli si� przez $(x-r)^k$, wtedy m�wimy, �e $r$ jest $k$-
krotnym pierwiastkiem.
\medskip

5.5. Przyk�ad. Niech
$$
f(x) = 2x^8-10x^7+8x^6+8x^5+6x^4+18x^3.
$$
Widzimy, �e $0$ jest trzykrotnym pierwiastkiem $f$:
$$
f(x) = (x-0)^32(x^5-5x^4+4x^2+3x+9).
$$
Sprawdzamy, �e $-1$ jest pierwiastkiem $x^5-5x^4+4x^2+3x+9$.
Dzielimy przez $x+1$ i otrzymujemy $x^4-6x^3+10x^2-6x+9$.
Dalej $3$ jest pierwiastkiem $x^4-6x^3+10x^2-6x+9$, kt�ry, jak
sprawdzamy, jest pierwiastkiem dwukrotnym. Wykonawszy dzielenie
otrzymujemy wielomian $x^2+1$, kt�ry nie ma pierwiastk�w.
Tak wi�c
$$
f(x) = 2x^3(x+1)(x-3)^2(x^2+1).
$$
\medskip

5.6. Funkcja $\phi$ nazywa si� {\it funkcj� wymiern�} je�li $\phi$
jest postaci
$$
\phi(x) =\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{gdzie $f,g$ s� wielomianami}.
$$
Oczywi�cie zak�adamy, �e $g$ nie jest wielomianem
sta�ym r�wnym zero.  Dziedzin� funkcji wymiernej jest zbi�r
liczb rzeczywistych bez pierwiastk�w wielomianu $g$,
kt�rych jest co najwy�ej tyle ile stopie� $g$.
\proclaim{Twierdzenie} Niech $\phi$ i $\psi$ b�d� funkcjami
wymiernymi. Wtedy $\phi+\psi$, $\phi\psi$, $\phi\circ\psi$ s� funkcjami
wymiernymi. Je�li $\psi$ nie jest identyczno�ciowo r�wna zero,
to
funkcja $\frac{\phi}{\psi}$ te� jest funkcj� wymiern�.
\endproclaim
\medskip

5.7. Niech $r$ b�dzie liczb� wymiern�.
Funkcj�
$$
\bold R^+\ni x\to x^r\bold R^+
$$
nazywamy {\it funkcj� pot�gow�.} Przy odpowiednim
ograniczeniu dziedzin funkcje wymierne, wielomiany i
funkcje pot�gowe mo�na sk�ada�.

Przyk�ad:
Niech $f(x)=x^2+2$, $g(x)=\frac{1}{x}$, $h(x)=\sqrt x$. Wtedy
$$f\circ g\circ h(x) =\frac{1}{|x|}+2.$$
  \bigskip


5.8. Niech $\phi=\frac{f}{g}$ b�dzie funkcj� wymiern�. Funkcja
$\phi$ jest okre�lona wsz�dzie poza pierwiastkami wielomianu $g$.
Mo�e si� zdarzy�, �e dziedzin� funkcji $\phi$ mo�na rozszerzy�
na niekt�re pierwiastki $g$. Np.
$$
\phi(x) = \frac{x^2-1}{x-1}.
$$
Funkcja $\phi$ nie jest okre�lona w punkcie $x=1$. Jednak�e  $1$
jest te� pierwiastkiem licznika, wi�c
$$
\phi(x) =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\quad\text{dla}\quad x\neq 1,
$$
wobec tego mo�emy rozszerzy� funkcj� $\phi$ k�ad�c $\phi(1)=2$.
Wida�, �e wykresie funkcji $\phi$ uzupe�nienie warto�ci funkcji
w punkcie $1$ jest "naturalne". Wykres funkcji uzupe�niamy jednym
punktem, kt�ry le� na prostej $y=x+1$.
Zazwyczaj nie wszystkie pierwiastki $g$ s� pierwiastkami $f$. Np.
$$
\phi(x) =\frac{x^3-2x+x}{x^2-1}.
$$
Pierwiastek mianownika $1$ jest te� pierwiastkiem licznika, po
skr�ceniu dostajemy
$$
\phi(x) =\frac{x(x-1)}{x+1}
$$
i mo�emy okre�li� funkcj�  $\phi$ w punkcie $1$: $\phi(1)=0$. Nie
mo�emy tego
zrobi� dla drugiego pierwiastka mianownika bo nie jest on
pierwiastkiem licznika. Co wi�cej, gdy zbli�amy si� z
warto�ciami $x$ do $-1$, to licznik zbli�a si� do $2$, a
mianownik do $0$, wi�c $|\phi(x)|$ "d��y" do niesko�czono�ci.
Zauwa�my, �e je�li podstawiamy w $\phi(x)$ warto�ci mniejsze od
$-1$, to mianownik jest ujemny, licznik te� jest ujemny i u�amek
jest dodatni i coraz wi�kszy przy zbli�aniu si� z $x$ do $-1$.
Je�li podstawiamy warto�ci
wi�ksze od $-1$ i bliskie $-1$ to mianownik jest dodatni, a
licznik ujemny i u�amek d��y do $-\infty$.
\medskip

5.9. M�wimy, �e funkcja $\phi$ ma granic� r�wn� $y_0$ w punkcie
$x_0$, niezale�nie od tego czy $\phi$ jest okre�lona w punkcie
$x_0$ czy nie,
je�li
\roster
\item $x_0\in (a,b)$ dla pewnego (by� mo�e ma�ego) przedzia�u
$(a,b)$ nale��cego do dziedziny funkcji $\phi$
\item warto�ci $\phi(x)$ zbli�aj� si� do warto�ci $y_0$ gdy
$x$ zbli�a si� do $x_0$.
\endroster
Wtedy piszemy
$$
\lim_{x\to x_0}\phi(x) = y_0
$$
\medskip

5.10.
\proclaim{Definicja} Funkcja $f$ nazywa si� ci�g�a w punkcie
$x_0$, je�li jest okre�lona w przedziale $(a,b)$ zawieraj�cym
punkt $x_0$ oraz je�li
$$
\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0).
$$
 M�wi�c obrazowo, funkcja jest ci�g�a w punkcie $x_0$ je�li
w tym punkcie wykres funkcji nie ma ma przerwy.
\endproclaim
Przyk�ady:

Funkcje $f$ i $g$ s� ci�g�e w ka�dym punkcie,
funkcja $h$ nie jest ci�g�a w punkcie $0$.
$$
f(x)=x-x^2\quad g(x)=\cases x &\text{ dla }x\leq 1\\ \frac{1}{x}&
\text{ dla }x>1\endcases\quad h(x)=\cases 1 &\text{ dla }x<0\\
2-x&
\text{ dla }x\geq 0\endcases
$$
\enddocument
