\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm
\vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 6.\\
\\
Funkcje ci�g�e
\endhead

\medskip
\definition{6.1. �cis�a definicja ci�g�o�ci funkcji w punkcie}
Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� w przedziale $(a,b)$ i niech
$x_0\in(a,b)$. M�wimy, �e funkcja $f$ jest ci�g�a w punkcie
$x_0$ je�li ma jednocze�nie nast�puj�ce dwie w�asno�ci:
\roster
\item Dla ka�dej liczby $A$ {\bf wi�kszej od} $f(x_0)$,
(czyli $A>f(x_0)$) istnieje podprzedzia� $(a',b')\subset(a,b)$, ze �rodkiem w $x_0$,
taki, �e $A>f(x)$ dla ka�dego $x\in (a',b')$,
\item Dla ka�dej liczby $B$ {\bf mniejszej od}  $f(x_0)$,
(czyli $B<f(x_0$) istnieje podprzedzia� $(a",b")\subset
(a,b)$ ze �rodkiem w $x_0$ taki, �e $B<f(x)$ dla ka�dego $x\in (a",b")$.
\endroster
\enddefinition
Funkcja jest ci�g�a w punkcie $x_0$ je�li jej wykres nad
przedzia�em $(a,b)$ nie ma przerwy w punkcie $(x_0, f(x_0))$.

Funkcja jest ci�g�a na zbiorze $M\subset \bold R$, je�li jest
ci�g�a w ka�dym punkcie nale��cym do zbioru $M$.
\medskip

6.2. M�wimy, �e punkt $x$ jest blisko punktu $x_0$ je�li
dla ma�ego przedzia�u $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$ $x$ nale�y do $(x_0-
\epsilon,x_0+\epsilon)$.

 {\it Funkcja jest ci�g�a w punkcie $x_0$
je�li warto�ci funkcji w punktach bliskich $x_0$ le�� blisko
warto�ci $f(x_0)$.}

{\bf Przyk�ady}

(a) {\it Funkcja $f:x\to x^2-1$ jest dodatnia blisko zera}.
Istotnie, dla  $x\in (-1, 1)$ mamy $f(x)>0$.

(b) {\it Funkcja $f:x\to 10^{10}x^2-1$ jest ujemna blisko zera.}
Istotnie, dla  $x\in (-\frac{1}{10^5}, \frac{1}{10^5})$ mamy
$f(x)<0$.

(c) {\it Je�li $f(x)>a$ blisko punktu $x_0$ oraz $g(x)>b$ blisko
punktu
$x_0$, to $f(x)+g(x)>a+b$ blisko punktu $x_0$.} Istotnie,
za�o�enie o $f$ m�wi, �e istnieje $\delta_1>0$ takie, �e
$f(x)>a$ dla $x\in (x_0-\delta_1,x_0+\delta_1)$. Za�o�enie o $g$ m�wi,
�e istnieje $\delta_2>0$ takie, �e
$g(x)>b$ dla $x\in (x_0-\delta_2,x_0+\delta_2)$. St�d $f(x)+g(x)>a+b$ dla
$x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$, gdzie $\delta$ jest mniejsz� z liczb
$\delta_1,\delta_2$.

(d) {\it Niech $f:x\to c$, gdzie $c$ jest sta�a. $f$ jest funkcj�
ci�g�� w ka�dym punkcie.} Je�li $f(x_0)>B$,
to   $c>B$, wi�c $f(x)>B$ dla ka�dego $x$.

(e) {\it Funkcja $f(x) =x$ jest ci�g�a w ka�dym punkcie $x_0$.}
Istotnie, je�li $f(x_0)>B$ (to znaczy $x_0>B$), to dla $\delta=x_0-B$
i $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ mamy $f(x)=x>B$.

(f) {\it Funkcja $x\to \frac1x$ jest ci�g�a w ka�dym
punkcie poza punktem $0$.} Istotnie, niech dla ustalenia uwagi $x_0>0$, i niech
$A>\frac1{x_0}$. To znaczy, �e $\frac{1}{A}<x_0$. Mamy znale�� przedzia�, ze �rodkiem w $x_0$,
taki, �e ten sam warunek, $\frac{1}{A}<x$ zachodzi dla wszystkich $x$ z tego przedzia�u.
Ale to jest proste: we�my jako ten przedzia� wszystkie $x$, kt�rych odleg�o�� od $x_0$ jest
mniejsza ni� odleg�o�� $1/A$ od $x_0$. Innymi s�owy, niech $\delta=x_0-1/A$, i jako wymagany
przedzia� we�my $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.

Analogiczne rozumowanie przeprowadzamy dla warunku $B<\frac1{x_0}$. W tym wypadku za $\delta$
mo�na przyj�� mniejsz� z liczb $x_0$ i $1/B-x_0$, a dodatkowe ograniczenie na $\delta$
wynika st�d, �e szukany przedzia� nie mo�e zawiera� 0.

Przypadek punktu $x_0<0$ mo�na rozpatrzy� tak samo.

(g) {\it Funkcja $f(x) =\cases 1&\text{ dla } x\xgeq 0\\ 0 &\text{
dla
}x<0\endcases$ nie jest ci�g�a w punkcie $0$}.
Istotnie, dla $B=\frac12$ mamy $f(x_0)>\frac12$. Jednak dla �adnego
przedzia�u
otwartego zawieraj�cego zero nie mo�e by� $f(x)>\frac12$ dla
wszystkich $x$ z tego przedzia�u, bo dla
ujemnych $x$ $f(x)=0$.
\medskip

\bigskip


6.3. Warunki (1) i (2) w definicji mo�na zast�pi� jednym
warunkiem:
\definition{Definicja ,,$\epsilon\ -\ \delta$"}
 Funkcja $f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0$ nale��cym do
przedzia�u zawartego w dziedzinie $f$ je�li dla ka�dego {\bf
dodatniego} $\epsilon$ istnieje {\bf dodatnie} $\delta$ takie, �e
dla $x$ spe�niaj�cych warunek $|x-x_0|<\delta$ mamy $|f(x)-
f(x_0)|<\epsilon$.
\enddefinition
Istotnie, dla ka�dego $\epsilon>0$ mamy $f(x_0)-\epsilon<f(x_0)<f(x_0)+\epsilon$.
Je�li $f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0$, to z pierwszej nier�wno�ci (i warunku (2)
definicji ci�g�o�ci) wynika, �e dla $x$ blisko punktu $x_0$ $f(x_0)-
\epsilon<f(x)$, a z drugiej (i warunku (1) definicji), �e dla $x$ blisko punktu $x_0$
$f(x)<f(x_0)+\epsilon$, czyli istnieje takie $\delta>0$, �e dla $x$ w
odleg�o�ci mniejszej ni� $\delta$ od $x_0$ (czyli dla $|x-x_0|<\delta$) mamy
$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. To pokazuje, �e je�eli $f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0$, to
spe�niony jest warunek w definicji ,,$\epsilon\ -\ \delta$" (definicji
{\it epsilonowo-deltowej}). Mo�na te� prosto pokaza�, �e obie definicje s� sobie
ca�kowicie r�wnowa�ne.
\medskip

\proclaim{6.4. Twierdzenie} Niech $f$ i $g$ b�d� dwoma funkcjami
ci�g�ymi w punkcie $x_0$. Wtedy funkcje $f+g$, $f-g$ i $f\cdot g$
s� ci�g�e w punkcie $x_0$. Ponadto, je�li $g(x_0)\neq 0$, to funkcja
$\frac{f}{g}$ te� jest ci�g�a w punkcie $x_0$.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Dla przyk�adu udowodnimy ci�g�o�� $f\cdot g$. We�my dowolne $\epsilon>0$. Dla
tego $\epsilon$ mamy {\bf znale��} $\delta>0$ takie, �e warunek
$$
|x-x_0|<\delta
$$
poci�ga
$$
|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|<\epsilon.
$$
Poniewa� $f$ jest ci�g�a w $x_0$ istnieje takie $\delta_0$, �e
dla $x$ spe�niaj�cych warunek $|x-x_0|<\delta_0$ mamy
$$
|f(x)|<1+|f(x_0)|.
$$
Dla takich $x$ mamy wi�c
$$
\aligned
|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|=&|f(x)g(x) -f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-
f(x_0)g(x_0)|\\
\xleq &|f(x)||g(x)-g(x_0)| + |g(x_0)||f(x)-f(x_0)|\\
\xleq & (1+|f(x_0)|)|g(x)-g(x_0)| + |g(x_0)||f(x)-f(x_0)|
\endaligned\tag1
$$
Niech teraz $\delta_1>0$ i $\delta_2>0$ b�d� takie, �e
$$
\gather
|x-x_0|<\delta_1\then |g(x)-
g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}\cdot\frac{1}{1+|f(x_0)|}\tag2\\
|x-x_0|<\delta_2\then |f(x)-
f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}\cdot\frac{1}{|g(x_0)|}\tag3
\endgather
$$
Innymi s�owy, $\delta_1$ zosta�a dobrana, na mocy definicji
,,$\epsilon-\delta$'' ci�g�o�ci funkcji $g$ w punkcji $x_0$, do liczby
$\epsilon'=\epsilon/(2(1+|f(x_0)|))$, i podobnie zosta�a dobrana $\delta_2$.
Bior�c $\delta$ najmniejsz� spo�r�d $\delta_0,\delta_1\delta_2$, dla $|x-
x_0|<\delta$ zachodz� (1),(2) i (3), sk�d
$$
|f(x)g(x)-
f(x_0)g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}\cdot\frac{1}{1+|f(x_0)|}\cdot(1+|f(x_0)|)+
\frac{\epsilon}{2}\cdot\frac{1}{|g(x_0)|}\cdot|g(x_0)|=\frac{\epsilon}{2}+
\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.
$$
\qed\enddemo
\medskip

6.5.
Z przyk�ad�w (d) i (e) oraz twierdzenia 6.4. wynika, �e
wielomian jest funkcj� ci�g�� w ka�dym punkcie. Z twierdzenia
6.4. wynika, �e funkcja wymierna jest ci�g�a w ka�dym punkcie
swej dziedziny.
\medskip

\proclaim{6.6. Twierdzenie} Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g�� w
ka�dym punkcie odcinka $[a,b]$. Wtedy dla ka�dego $\gamma$ z
przedzia�u o ko�cach $f(a)$ i $f(b)$ istnieje punkt $x\in [a,b]$
taki, �e $f(x)=\gamma$.
\endproclaim

Innymi s�owy, funkcja ci�g�a na odcinku przyjmuje wszystkie
warto�ci po�rednie mi�dzy dowolnymi dwoma swymi warto�ciami.

Geometrycznie twierdzenie to jest oczywiste: poniewa� wykres
funkcji jest krzyw� ci�g��, ��cz�c� punkty $(a,f(a))$
i $(b,f(b))$, wi�c dla $\gamma$ pomi�dzy $f(a)$ i $f(b)$ prosta
pozioma na wysoko�ci $\gamma$ musi przecina� wykres funkcji,
to znaczy dla pewnego $x\in
[a,b]$ punkt $(x,\gamma)$ le�y na wykresie funkcji (czyli $f(x)=\gamma$).

\proclaim{Wniosek 1} Je�li funkcja ci�g�a na prostej przyjmuje
warto�ci dodatnie i ujemne, to ma pierwiastek.
\endproclaim
W szczeg�lno�ci,
\proclaim{Wniosek 2}
Ka�dy wielomian stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Niech
$$
f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\quad n\text{ nieparzyste.}
$$
Wtedy dla $x\neq 0$
$$
f(x) = a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\dots+\frac{a_1}{a_nx^{n-
1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}\right).
$$
Je�eli $|x|$ jest wystarczaj�co du�e, to
$$
\left|\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\dots+\frac{a_1}{a_nx^{n-
1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}\right|<\frac12 .
$$
Wi�c, dla $|x|$ wystarczaj�co du�ego
$$
1+\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\dots+\frac{a_1}{a_nx^{n-
1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}>\frac12,
$$
sk�d wynika, �e dla du�ych $|x|$ $f(x)$ ma ten sam znak, co
$a_nx^n$. Dlatego je�li $a_n>0$, to dla $x$ ujemnych o du�ej warto�ci
bezwzgl�dnej $f(x)$ jest ujemne i dla du�ych $x$ jest dodatnie.
Dla $a_n<0$ jest na odwr�t:  dla du�ych $|x|$ $f(x)$ jest
dodatnie dla ujemnych $x$ i ujemne dla dodatnich $x$.
\qed\enddemo
\medskip

\proclaim{6.7. Twierdzenie} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� na odcinku $(a,b)$ o
warto�ciach w odcinku $(c,d)$ a $g$ funkcj� okre�lon� na
odcinku $(c,d)$. Je�li $f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0\in (a,b)$,
a $g$ jest ci�g�a w punkcie $f(x_0)\in (c,d)$, to funkcja $g\circ
f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0$.
\endproclaim

\demo{Dow�d} Niech $\epsilon>0$. Poniewa� funkcja $g$ jest ci�g�a w punkcie
$f(x_0)$ mo�emy dobra� $\delta_1>0$ takie, �e
$$
|y-f(x_0)|<\delta_1\then |g(y)-g(f(x_0))|<\epsilon.\tag4
$$
Teraz, poniewa� $f$ jest ci�g�a w punkcie $x_0$ dobieramy $\delta>0$
takie, �e
$$
|x-x_0|<\delta\then |f(x)-f(x_0)|<\delta_1,
$$
sk�d wobec (4)
mamy
$$
|x-x_0|<\delta\then |g(f(x))-g(f(x_0))|<\epsilon.
$$
\qed\enddemo
\medskip

6.8. Niech $f$ b�dzie funkcj� rosn�c� i ci�g�� na odcinku
$[a,b]$, $a<b$. Wtedy zbi�r warto�ci funkcji $f$ jest odcinkiem
$[f(a),f(b)]$. Istotnie, poniewa� funkcja jest rosn�ca
$f(a)<f(b)$, przy czym s� to warto�ci skrajne. Z kolei poniewa� jest ci�g�a,
 przyjmuje wszystkie
warto�ci po�rednie z odcinka $[f(a), f(b)]$. Okre�lamy {\it funkcj�
odwrotn�} do funkcji $f$ jako funkcj� $g$ na odcinku
$[f(a),f(b)]$ tak�, �e
$$
g(f(x))= x\quad\text{dla wszystkich}\quad a\leq x\leq b.
$$
Wtedy r�wnie�
$$
f(g(y))= y\quad\text{dla wszystkich}\quad f(a)\leq y\leq f(b).
$$
Poniewa� {\bf r�nym warto�ciom $x$ odpowiadaj� r�ne
warto�ci $f(x)$} funkcja $g$ jest dobrze okre�lona.

Podobnie okre�lamy funkcj� odwrotn� dla funkcji malej�cej.
Wtedy funkcja odwrotna jest okre�lona na odcinku $[f(b),f(a)]$

{\it Funkcja odwrotna do funkcji rosn�cej jest rosn�ca, funkcja
odwrotna do funkcji malej�cej jest malej�ca.}

Wykres funkcji odwrotnej do funkcji $f$ (rosn�cej lub malej�cej)
jest odbiciem wykresu funkcji $f$ wzgl�\-dem prostej $y=x$. Mo�na st�d wywnioskowa�,
�e {\bf funkcja odwrotna do funkcji ci�g�ej jest
ci�g�a.}
\medskip

6.9. Z ci�g�o�ci funkcji odwrotnej wynika
\proclaim{Twierdzenie} Dla ka�dej liczby ca�kowitej $k$ funkcja
$x\to
x^{\frac{1}{k}}$ jest funkcj� ci�g��.
\endproclaim

Istotnie,  funkcja $f:\bold R^+\ni x\to x^{\frac{1}{k}}\in \bold R^+$ jest
jest
funkcj� odwrotn� do funkcji rosn�cej $y\to y^k$, a funkcja $y\to
y^k$ jest
ci�g�a. ($\bold R^+$ oznacza zbi�r liczb rzeczywistych dodatnich.)


Z twierdzenia o ci�g�o�ci z�o�enia funkcji ci�g�ych wynika,
�e dla ka�dej liczby wymiernej $r=\frac{p}{q}$ funkcja $\bold R^+\in
x \to x^r\in \bold R^+$ jest ci�g�a.
\enddocument
