\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 7.\\
\\
Granica funkcji w punkcie
\endhead

\medskip
7.0. Z twierdzenia o ci�g�o�ci funkcji odwrotnej wynika nast�puj�ce
\proclaim{Twierdzenie} Dla ka�dej liczby ca�kowitej $k\neq0$ funkcja
$x\to x^{\frac{1}{k}}$ jest funkcj� ci�g��.
\endproclaim

Istotnie,  funkcja $f:\bold R^+\ni x\to x^{\frac{1}{k}}\in \bold
R^+$ jest funkcj� odwrotn� do funkcji $y\to y^k$ (rosn�cej dla $k>0$ i
malej�cej dla $k<0$), a funkcja $y\to y^k$ jest ci�g�a.

Z twierdzenia o ci�g�o�ci z�o�enia funkcji ci�g�ych wynika, �e dla
ka�dej liczby wymiernej $r=\frac{p}{q}$ funkcja $ \bold R^+\ni x
\to x^r=(x^{\frac{1}{q}})^p\in \bold R^+$ jest ci�g�a.
\medskip
7.1. {\it M�wimy, �e funkcja $f$ jest okre�lona {\bf w otoczeniu punktu
$x_0$} lub {\bf blisko punktu $x_0$} je�li dla pewnego
przedzia�u $(a,b)$ takiego, �e $x_0\in (a,b)$ $f(x)$ jest
okre�lone dla $x\in (a,b)$ za wyj�tkiem, by� mo�e punktu} $x_0$.
\medskip
\definition{Definicja granicy funkcji} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon�
dla wszystkich punkt�w odcinka $(a,b)$ za wyj�tkiem, by� mo�e,
punktu $x_0\in (a,b)$. M�wimy, �e funkcja $f$ ma granic� $\alpha$
w punkcie $x_0$ i piszemy
$$
\lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha
$$
je�li warto�ci funkcji $f(x)$ s� blisko warto�ci $\alpha$ dla $x$ bliskich
$x_0$.
\enddefinition

Je�li warto�ci funkcji $f(x)$ dla $x$ blisko punktu $x_0$ nie
skupiaj� si� wok� �adnej liczby, to m�wimy, �e {\it funkcja $f$
nie ma granicy w punkcie $x_0$, lub �e $  \lim_{x\to x_0}f(x)$ nie
istnieje.}

Je�li funkcja $f$ jest okre�lona w punkcie $x_0$, to $\lim_{x\to
x_0}f(x) =f(x_0)$ wtedy i tylko wtedy gdy funkcja $f$ jest ci�g�a
w punkcie $x_0$.

Je�li $f$ nie jest okre�lona w punkcie $x_0$ oraz $\lim_{x\to
x_0}f(x)$ istnieje, to je�li okre�limy funkcj� $f$ w punkcie $x_0$
{\it k�ad�c} $f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$, to tak otrzymana funkcja jest
ci�g�a w punkcie $x_0$.
\medskip

\definition{7.2. Definicja $\epsilon - \delta$ granicy funkcji} Niech $f$
b�dzie funkcj� okre�lon� dla wszystkich punkt�w odcinka $(a,b)$ za
wyj�tkiem, by� mo�e, punktu $x_0\in (a,b)$. M�wimy, �e funkcja $f$
ma granic� $\alpha$ w punkcie $x_0$ i piszemy
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=\alpha
$$
je�li dla ka�dego $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$ takie,
�e $x\neq x_0$ i $|x-x_0|<\delta\then |f(x)-\alpha|<\epsilon$.
\enddefinition
\medskip

7.3. {\it Funkcja $f$ nie mo�e mie� dw�ch r�nych granic w punkcie
$x_0$.}

Innymi s�owy $f(x)$ nie mo�e by� blisko dw�ch r�nych warto�ci gdy
$x$ jest blisko $x_0$.

Istotnie, za��my, �e $\lim_{x\to x_0}f(x) = \alpha$ i $\lim_{x\to
x_0}f(x) = \beta$ oraz $\beta>\alpha$. Niech $\epsilon=\frac{\beta-\alpha}{3}$ i niech
$\delta>0$ b�dzie takie, �e dla wszystkich $x\neq x_0$ i
$|x-x_0|<\delta$ zachodzi $|f(x)-\alpha|<\frac{\beta-\alpha}{3}$ oraz
$|f(x)-\beta|<\frac{\beta-\alpha}{3}$,
sk�d wynika, �e
$$
\align
0&=|(\beta-\alpha)-(f(x)-\beta) -(\alpha- f(x))|\\
&\xgeq \beta-\alpha -|\beta-f(x)| -|\alpha-f(x)|\\
&\xgeq\beta-\alpha-\frac{\beta-\alpha}3-\frac{\beta-\alpha}3\\
&=\frac{\beta-\alpha}{3},
\endalign
$$
co, wobec za�o�enia $\beta>\alpha$, nie jest prawd�.
\medskip

7.4. Przyk�ady.

(a) Obliczmy granic� $\lim_{x\to 5}3x^2-30$. Funkcja $x\to3x^5-
30$ jest wielomianem, wi�c jest funkcj� ci�g��, wi�c $\lim_{x\to
5}3x^2-30 =3\cdot5^2-30 = 45$.

(b) Obliczmy granic� $\lim_{x\to 0}f(x)$ gdzie
$$
f(x)=\cases x^2&\text{ dla } x<0,\\
x &\text{ dla } x>0.
\endcases
$$
Jak sprawdzali�my poprzednio,  k�ad�c $f(0) = 0$ otrzymujemy funkcj�
ci�g��, wi�c $\lim_{x\to 0}f(x)=0.$

(c) Niech
$$
f(x)=\cases x^2 &\text{ dla } x<0,\\
2-x&\text{ dla }x>0.
\endcases
$$
Wtedy $\lim_{x\to 0}f(x)$ nie istnieje, bo w
ka�dym przedziale w $(-\delta, \delta)$ s� punkty $x<0$ i dla nich $f(x)$
jest bliskie zero, i punkty $x>0$, a dla nich $f(x)$ jest bliskie
$2$. Innymi s�owy, funkcja $f$ przyjmuje odleg�e od siebie
warto�ci w ka�dym przedziale dooko�a punktu $0$.

(d) Obliczmy granic�
$$
\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}.
$$
Zauwa�my, �e wielomiany $x^2+x-6$ i $x^2-4$ maj� wsp�lny
pierwiastek r�wny $2$, wi�c dla $x\neq 2$ dziel�c licznik i
mianownik przez $x-2$ otrzymujemy
$$
\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\frac{x+3}{x+2}=\frac{5}{4}.
$$

(e) Obliczmy granic�
$$
\lim_{x\to\frac12}\frac{x^2+1}{1+\sqrt{2x+8}}.
$$
Korzystaj�c z twierdze� o funkcjach ci�g�ych, widzimy, �e
funkcja $x\to \frac{x^2+1}{1+\sqrt{2x+8}}$ jest ci�g�a w punkcie
$\frac12$, wi�c $
\lim_{x\to\frac12}\frac{x^2+1}{1+\sqrt{2x+8}}=\frac{(\frac12)^2+1}
{1+\sqrt{2\frac12+8}}.$
\medskip

\proclaim{7.5. Twierdzenie}Niech $f$ i $g$ b�d� dwoma funkcjami
okre�lonymi w otoczeniu punktu $x_0$. Za��my, �e granice
$$
\lim_{x\to x_0}f(x) \quad\text{ i } \quad \lim_{x\to x_0}g(x)
$$
istniej�. Wtedy
$$
\align
\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=&\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x),\\
\lim_{x\to x_0}f\cdot g(x)=&\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x),\\
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=&\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)},
\endalign
$$
je�li $\lim_{x\to x_0}g(x)\neq 0$.
\endproclaim
Twierdzenie to wynika z odpowiedniego twierdzenia o funkcjach
ci�g�ych w punkcie. Istotnie, je�li okre�limy
$$
f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)\quad \text{i}\quad g(x_0) =\lim_{x\to x_0}g(x),
$$
to tak rozszerzone funkcje s� ci�g�e w punkcie $x_0$, wi�c mo�na
skorzysta� z twierdzenia 6.4.
 Z powy�szego twierdzenia wynika natychmiast, �e
$$
\lim_{x\to x_0}c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to x_0}f(x)
$$
dla dowolnej sta�ej $c$, oraz
$$
\lim_{x\to x_0}(f-g)(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x).
$$
\medskip

7.6. Nast�puj�ce twierdzenie jest natychmiastow� konsekwencj�
twierdzenia o z�o�eniu funkcji ci�g�ych.
\proclaim{Twierdzenie}
Niech
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\quad\text{oraz}\quad \lim_{y\to
y_0}g(y)=\alpha.
$$
Wtedy
$$
\lim_{x\to x_0}g(f(x)) =\alpha.
$$
\endproclaim

7.7. Przyk�ady.

(a) Dla liczby wymiernej $a>1$ mamy
$$
\lim_{x\to 0}\frac{|x|^a}{x} = 0.
$$
Istotnie, mamy pokaza�, �e dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$ takie, �e
$$
|x-0|<\delta\then \left|\frac{|x|^a}{x}-0\right|<\epsilon.
$$
We�my $\epsilon>0$. Wtedy $|\frac{|x|^a}{x}|=\frac{|x|^a}{|x|}=|x|^{a-
1}$. Wi�c je�li $\delta=\epsilon^{\frac{1}{a-1}}$, to $|x|<\delta\then |x|^{a-
1}<\delta^{a-1}=\epsilon.$

(b)
$$
\lim_{x\to 0}\frac{|x|^{\frac{3}{2}}(1-x)}{x(2x+3)}=
\lim_{x\to 0}\frac{|x|^{\frac{3}{2}}}{x}\lim_{x\to 0}
\frac{1-x}{2x+3}= 0\cdot\frac{1}{3}=0.
$$

(c) Aby obliczy� granic�
$$
\lim_{x\to 1}\root 3\of{\frac{27x^3+4x-4}{x^{10}+4x^2+3x}}
$$
zauwa�amy najpierw, �e dla $x>\frac{3}{4}$ mamy $\frac{27x^3+4x-4}{x^{10}+4x^2+3x}>0$
oraz �e funkcja $y\to \root 3\of y$ jest ci�g�a na $\bold R^+$ (bo
funkcja $x\to x^3$ jest rosn�ca, odwzorowuje $\bold R^+$ na $\bold R^+$ i
jest ci�g�a). Wi�c
$$
\lim_{x\to 1}\root3\of{\frac{27x^3+4x-4}{x^{10}+4x^2+3x}}= \root
3\of{\frac{\lim_{x\to 1}(27x^3+4x-4)}{\lim_{x\to 1}
(x^{10}+4x^2+3x)}}=\root 3\of{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}.
$$
\medskip

7.8. Niech dla $a<x_0$ $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� w przedziale
$(a,x_0)$. M�wimy, �e funkcja $f$ {\bf ma granic� lewostronn�}
r�wn� $\alpha$ w punkcie $x_0$ i piszemy
$$
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\alpha
$$
je�li dla $x$ bliskich $x_0$ i {\bf mniejszych} od
$x_0$ warto�ci $f(x)$ s� bliskie $\alpha$. Niech dla $x_0<b$ $f$
b�dzie funkcj� okre�lon� w przedziale $(x_0,b)$. M�wimy, �e
funkcja $f$ {\bf ma granic� prawostronn�} r�wn� $\alpha$ w punkcie
$x_0$ i piszemy
$$
\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\alpha
$$
je�li dla $x$ bliskich $x_0$ i {\bf wi�kszych} od $x_0$ warto�ci $f(x)$ s�
bliskie $\a$. Innymi s�owy,
$$
\align
&\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\alpha,\quad \text{je�li dla ka�dego $\epsilon >0$ istnieje takie
$\delta >0$, �e}\quad 0<x_0-x<\delta\then |f(x)-\alpha|<\epsilon,\\
&\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\alpha,\quad\text{ je�li dla ka�dego $\epsilon>0$ istnieje takie
$\delta>0$, �e}\quad 0<x-x_0<\delta\then |f(x)-\alpha|<\epsilon.
\endalign
$$

\medskip

7.9. M�wimy, �e funkcja $f$ okre�lona na $[a,b]$ jest ci�g�a na
$[a,b]$, je�li jest ci�g�a w ka�dym punkcie $x_0\in (a,b)$ oraz
$$
\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) \quad\text{i }\quad  \lim_{x\to b^-
}f(x)=f(b).
$$
\medskip

7.10. M�wimy, �e funkcja $f$ okre�lona na $[a,+\infty)$ ma granic�
$\alpha$ gdy $x\to +\infty$ i piszemy
$$
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\alpha\quad
\text{ je�li dla ka�dego $\epsilon>0$ istnieje $M$ takie, �e }x>M\then
|f(x)-\alpha|<\epsilon.
$$
M�wimy, �e funkcja $f$ okre�lona na $(-\infty,b]$ ma
granic� $\alpha$ gdy $x\to -\infty$ i piszemy
$$
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\alpha\quad \text{ je�li dla ka�dego $\epsilon>0$ istnieje $M$
takie, �e }x<M\then |f(x)-\alpha|<\epsilon.
$$
Twierdzenie 7.5 pozostaje prawdziwe w przypadku $x_0=\infty$ lub
$x_0=-\infty$.
\bigskip


7.11. Niech
$$
f(x) = \frac{|x|}{x}\cdot\frac{1}{1+x^2}\quad\text{
dla}\quad x\neq 0.
$$
Mamy
$$
\gather
\lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}- \frac{|x|}{|x|}\cdot\frac{1}{1+x^2}=-1\\
\lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{|x|}\cdot\frac{1}{1+x^2} = 1
\endgather
$$
oraz
$$
\gather
\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}\frac{|x|}{|x|}\cdot\frac{1}{1+x^2} = \lim_{x\to
+\infty}\frac{1}{1+x^2} = 0\\
\lim_{x\to -\infty}f(x) = \lim_{x\to -\infty}-
\frac{|x|}{|x|}\cdot\frac{1}{1+x^2} = \lim_{x\to -\infty}-\frac{1}{1+x^2}= 0
\endgather
$$
Aby sprawdzi� r�wno�� $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+x^2} = 0$
bierzemy $\epsilon>0$ takie, �e $\epsilon<1$ i zauwa�amy, �e
$|\frac{1}{1+x^2}-0|<\epsilon$ zachodzi gdy $x>\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}$.
Wystarczy wi�c wzi�� $M=\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}$.

Podobnie $|\frac{1}{1+x^2}-0|<\epsilon$ zachodzi gdy $x<-
\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}$.
\enddocument
