\define\Q{{\Cal Q}}
\define\then{\Longrightarrow}
\define\a{{\alpha}}
\hsize 159 truemm \vsize 216 truemm
\document
\nologo \NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 8.\\
\\
Pochodna
\endhead

\medskip
8.1. Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� na odcinku $(a,b)$.
Za��my, �e $f$ jest funkcj� ci�g�� i niech $x_0 \in (a,b)$.
Prosta na p�aszczy�nie przechodz�ca przez punkty $(x_0,f(x_0))$ i
$(x_1,f(x_1))$ ma r�wnanie $y=f(x_0)+m_1(x-x_0)$, gdzie
$$
m_1 =\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
$$
Je�li funkcja jest dostatecznie
,,g�adka" (wykres jej nie ma ,,kant�w") w punkcie $x_0$, to
mo�emy przeprowadzi� styczn� do wykresu funkcji w punkcie
$(x_0,f(x_0)$ zbli�aj�c punkt $x_1$ do punktu $x_0$. R�wnanie
prostej stycznej b�dzie wi�c mia�o posta�
$$
y=f(x_0)+m\ (x-x_0),\quad\text{gdzie}\quad m =\lim_{x_1\to
x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
$$
Rola punktu $x_1$
jest tu pomocnicza, jest to punkt blisko punktu $x_0$, po jego
lewej lub prawej stronie. Dlatego zazwyczaj oznaczamy $x_1-x_0 =h$
i piszemy
$$
m = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
$$
Granic� t�, (o ile istnieje!), nazywamy {\it pochodn� funkcji
$f$ w punkcie $x_0$} i oznaczamy $f'(x_0)$.
\medskip

8.2. Niech $f(x)= 2x+1$. Wtedy pochodna funkcji $f$ (kt�rej wykres
jest prost� o wsp�czynniku kierunkowym $2$) jest oczywi�cie r�wna
$2$. Istotnie,
$$
f'(x_0)=\lim_{h\to
0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to
0}\frac{2(x_0+h)-2x_0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2h}{h}=2.
$$
\medskip

8.3. Niech $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ b�dzie funkcj� okre�lon� na
odcinku $(-1,1)$. Wykresem tej funkcji jest p�okr�g o promieniu
$1$ i �rodku $(0,0)$. Wsp�czynnik kierunkowy prostej stycznej do
ko�a w punkcie $(x_0,\sqrt{1-x_0^2})$ jest r�wny $f'(x_0)$. Mamy
$$
\align f'(x_0)=&\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}
\frac{\sqrt{1-(x_0+h)^2}-\sqrt{1-x_0^2}}{h}\\
=&\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1-(x_0+h)^2}-\sqrt{1-x_0^2}}{h}\cdot\frac{\sqrt{1-
(x_0+h)^2}+\sqrt{1-x_0^2}}{\sqrt{1-(x_0+h)^2}+\sqrt{1-x_0^2}}\\
=&\lim_{h\to 0}\frac{-2hx_0+h^2}{h(\sqrt{1-(x_0+h)^2}+\sqrt{1-x_0^2})}=\lim_{h\to
0}\frac{-2x_0+h}{\sqrt{1-(x_0+h)^2}+\sqrt{1-x_0^2}}\\
=&\frac{-x_0}{\sqrt{1-x_0^2}}.
\endalign
$$
Wektor $\overarrow{(1,-\frac{x_0}{y_0})}$ jest prostopad�y do wektora
$\overarrow{(x_0,y_0)}$. Widzimy, wi�c, �e prosta styczna do p�kola w
punkcie $(x_0,\sqrt{1-x_0^2})$ jest prostopad�a do wektora
$\overarrow{(x_0,\sqrt{1-x_0^2})}$, bo na prostej o wsp�czynniku
kierunkowym $m$ le�y oczywi�cie wektor $\overarrow{(1,m)}$.

\medskip

8.4.Niech $f(x)=|x|$. Wtedy pochodna funkcji $f$ w punkcie $0$
{\it nie istnieje.} Istotnie,
$$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{|h|}{h}=\cases 1&\text{ gdy } h>0\\ -1 &\text{ gdy }
h<0\endcases.
$$
\medskip

8.5. Dla ustalonej funkcji $f$ okre�lonej na przedziale $(a,b)$
przyporz�dkowanie $x\to f'(x)$ jest now� funkcj�. Funkcj� t�
nazywamy pochodn� funkcji $f$. Jej dziedzin� s� rzecz jasna te
punkty $x$ z przedzia�u $(a,b)$ dla kt�rych
$$
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x_0)}{h}
$$
istnieje.
Proces przyporz�dkowania funkcji $f$ funkcji $f'$ nazywamy {\it
r�niczkowaniem}.


8.6. Przyk�ady.

(a) Niech $f(x) = ax+b$. Wtedy $f'(x)=a$. Istotnie,
$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)+b-ax-b}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{ah}{h}=a.
$$
(b) Niech $f(x) = x^2$. Wtedy $f'(x)=2x$. Istotnie,
$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to
0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
$$
(c) Niech
$f(x)=\frac{1}{x}$. Wtedy $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$. Istotnie,
$$
\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\to
0}\frac{1}{h}\cdot\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\lim_{h\to 0}\frac{-
1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^2}.
$$

(d) Niech $f(x)=\sqrt{x}$. Wtedy $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$.
Istotnie,
$$
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h\to
0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+
\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to
0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt x}.
$$
\medskip

8.7. Niech dla ustalonej funkcji $f$ $\Delta_hf(x) =f(x+h)-f(x)$.
Je�li sztucznie oznaczy� $\Delta_h=h$, to {\it iloraz r�nicowy}
$$
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\Delta_hf}{\Delta_h}
$$
interpretujemy
jako iloraz {\it przyrostu funkcji} $\Delta_hf(x) $ do {\it przyrostu
argumentu} $\Delta_h$. Pochodna funkcji w punkcie jest wi�c granic�
ilorazu r�nicowego, gdy przyrost argumentu d��y do zera. Tak�
interpretacj� pochodnej mia� na my�li Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716), kt�ry nieco p�niej ni� Isaac Newton (1642-1727),
lecz niezale�nie od niego stworzy� podstawy wsp�czesnej analizy
matematycznej. Id�c za Leibnizem przyj�o si� pisa�
$$
f'(x)=\lim_{h\to
0}\frac{\Delta_hf(x)}{\Delta_h}=\frac{df(x)}{dx}\quad\text{gdzie}\quad
df=\Delta_hf \text{ i } dx=\Delta_h\quad\text{dla bardzo ma�ych } h.
$$
Na przyk�ad
$$ \frac{d(ax+b)}{dx} = a,\quad
\frac{d\big(\frac{1}{x}\big)}{dx}=- \frac{1}{x^2},\quad
\frac{d\sqrt{x}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
$$
Aby w zapisie
Leibniza zapisa�, �e obliczamy pochodn� funkcji w punkcie, powiedzmy, $4$
piszemy
$$
\frac{df(x)}{dx}\bigg|_{x=4} = \frac{1}{2\sqrt{4}},
\quad \text{np.}\quad \frac{d\sqrt{x}}{dx}\bigg|_{x=4} =
\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}
$$
\medskip
\bigskip


\proclaim{Twierdzenie 8.8} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� w
przedziale $(a,b)$ zawieraj�cym punkt $x_0$. Funkcja $f$ ma
pochodn� w punkcie $x_0$ r�wn� $m$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla
$x\in (a,b)$
$$
\align
f(x) =&
f(x_0)+m(x-x_0)+r(x)(x-x_0),\tag1\\
&\quad\text{gdzie}\quad\lim_{x\to x_0}r(x)=0.
\endalign
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d}  Dla $x\neq x_0$ odejmuj�c stronami $f(x_0)$ i dziel�c
obie strony (1) przez $x-x_0$
otrzymujemy
$$
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= m+r(x).
$$
Wtedy
$$
f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=
m\iff\lim_{x\to x_0}r(x)=0.\qed
$$
\enddemo
Twierdzenie to m�wi, �e je�li
funkcja ma pochodn� w punkcie $x_0$, to  funkcja $f$ jest r�wna
funkcji liniowej plus b��d $r(x)(x-x_0)$, kt�ry dla punkt�w $x$
blisko punktu $x_0$ jest bardzo ma�y w stosunku do odleg�o�ci
punktu $x$ od $x_0$.
\medskip
\proclaim{Wniosek} Niech $f$ b�dzie funkcj� okre�lon� w przedziale
$(a,b)$ zawieraj�cym punkt $x_0$. Je�li funkcja $f$ ma pochodn� w
punkcie $x_0$ to $f$ jest ci�g�a w tym punkcie.
\endproclaim
Istotnie, (1) poci�ga, �e
$$
\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)+
f'(x_0)\lim_{x\to x_0}(x- x_0)+\lim_{x\to x_0}r(x)(x-x_0)=f(x_0).
$$



\bigskip
\enddocument
